优等生·江苏版高考数学专题28：以解析几何中定点、定值为背景的解答题

优等生�江苏版高考数学专题28：以解析几何中定点、定值

为背景的解答题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左

焦点，直线与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点.

（1）求椭圆的方程； （2）若

，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；

（3）设直线与轴分别交于

，证明： 为定值. 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12

，且过点312⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，. F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若AF FC =，求BF FD

的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

3．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， B 为椭圆的上

顶点， 12BF F ∆ A 为椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.

4．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19

-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.

5．已知抛物线C ： 2

2y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22

221x y a b +=（0a b >>）

的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝⎭

（1）求椭圆M 的方程； （2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定

直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.

6．如图，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，

112DF F F ⊥， 12

1F F DF = 12DF F ∆. （1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>交于点

A ，

B （A 在x 轴上方），且3

AB a =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .

①求证：直线OQ 的斜率为定值；

②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2

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x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．

（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；

（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证： 2

AP AQ MN ⋅为定值． 9．已知椭圆C ： 22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为12

，且上焦点为()0,1F ，过F 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．设点()3,4P ，记PM 、PN 的斜率分别为1k 和2k ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如果直线l 的斜率等于1-，求12k k ⋅的值；

（3）探索1211k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12

11k k +的取值范围．

10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是12

，其左、右顶点分别为1A 、2A ，

B 为短轴的一个端点， 12A BA ∆的面积为

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线:l x =x 轴交于D ， P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证： DE DF ⋅为定值．

11．已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .

（1）若过点12C ⎛ ⎝⎭

的直线l 被圆O l 的方程；

（2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PA =

(O 为坐标原点)，

求r 的取值范围； （3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，点()0,2B ，点()

1C -． （1）求经过A ，B ，C 三点的圆P 的方程；

（2）过直线4y x =-上一点Q ，作圆P 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．