优等生·江苏版高考数学专题28：以解析几何中定点、定值为背景的解答题

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专题2.1 以解析几何中定点、定值为背景的解答题-2019年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)(解析版

专题二压轴解答题第一讲以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量"．一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法．类型一定值问题典例1．【2019江苏镇江上学期期末考】已知椭圆：的长轴长为4，两准线间距离为．设为椭圆的左顶点，直线过点，且与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程；（3）已知直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线和的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）由题意可知，，，解得，，因为，解得，所以椭圆的方程为．（2）因为，所以，所以，设直线：，代入椭圆，整理得，，所以，即，解得，即，所以直线的方程为．【名师指点】本题主要考查了椭圆的简单性质，转化思想及方程思想，一元二次方程求根公式，还考查了韦达定理及中点坐标公式、两点斜率公式，考查计算能力，属于难题．【举一反三】1．【2019江苏南京模拟】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值．②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线P A的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）①②．【解析】（1）由题意知，则，又可得，所以椭圆C的标准方程为．（2）①M N．②点（），点Q，∵，，∴==．∵点P在椭圆C上，∴，∴==．∵，∴，∴的取值范围是．2．【2019江苏昆山第一学期期中考】如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点．设，（1）若，求出、两点坐标（2）当直线绕点转动时，试探究是否为定值．【答案】（1）；（2）．学-科网【解析】（1）设，因为，所以，所以，因此，由得（2）设，因为，，所以因此，，．类型二定点问题典例2．【2019苏北三市第一次质量检测】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1．过轴上一点为常数，且的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）经过定点【解析】（1）由题意，得，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意，当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；所以设的斜率为，则直线的方程为，又准线方程为，所以点的坐标为，由得，，即，所以，，所以，从而直线的方程为，（也可用点差法求解），所以点的坐标为，所以以为直径的圆的方程为，即，因为该式对恒成立，令，得，所以以为直径的圆经过定点．【名师指点】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．【举一反三】1．【2019江苏南通市如皋调研三】如图所示，抛物线的焦点为．（1）求抛物线的标准方程；（2）过的两条直线分别与抛物线交于点，与，（点，在轴的上方）．①若，求直线的斜率；②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）因为，所以p=2，所以方程为．（2）法一：，，，得，代入得，则，，．法二：由①得，代入①求，，而，得．法三：利用抛物线的定义转化为到准线的距离，得．（3），得，，同理①代入①得，又有，，而，．当存在时，设直线：，得：，得，过定点．当不存在时，检验得过定点．综上所述，直线过定点．2．【2019江苏如东中学模拟二】如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且．（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）设，，．由，得，即．因为，所以，所以．所以动点的轨迹为抛物线，其方程为．（2）证明：设点，，若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，又，，所以，，整理得，所以．（3）因为，所以，即，①直线的方程为：，整理得：，②将①代入②得，即，当时，即直线经过定点．类型三定线问题典例3．【2019江苏如皋中学10月月考】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：点在一条定直线上．【答案】（1）；（2）见解析(2)由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为．联立方程组，消去y得，解得点．同理，解得点．由M，D，N三点共线，有，化简得．由题设可知与同号，所以．联立方程组，解得交点．将代入点G的横坐标，得．所以，点G恒在定直线上．【名师指点】（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关．【举一反三】1．如图，已知是椭圆的长轴顶点，是椭圆上的两点，且满足，其中、分别为直线AP、QB的斜率．（1）求证：直线和的交点在定直线上；（2）求证：直线过定点；（3）求和面积的比值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2．【解析】（1）根据题意，可设直线的方程为，直线的方程为，则直线和的交点的横坐标满足：，即．因此直线和的交点在定直线上．（2）由（1），可设点的坐标为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程，得消去得，设，则根据根与系数的关系，得，即，代入直线的方程得，，故．联立方程，得消去得，设，则，即，代入直线的方程得，，故，当，即时，直线与轴的交点为，当，即时，下证直线过点．，故直线过定点．（3）由题意知，，再结合（2）中相关结论知，，故．2．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22．（1）求该椭圆的标准方程；学-科网（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【解析】从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =．所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=【精选名校模拟】1．【2019江苏南京期末调研】如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)【解析】（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．设，，由得，所以，，因为，在直线上，所以，，所以，，从而．因为，所以．（3）方法一：的面积．由（2）知，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．2．【2019江苏如东中学二模】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1，∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，∴椭圆的方程为．（2）由题意知k0，右焦点设：设A（）B()．因为l1，l2的斜率乘积为﹣1，所以，所以= +=3，过定点可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，直线l的方程为：，由（2）得，y= ，故，即M（，），则N()…．（12分）可得直线MN的方程：，即，则，即y=，故直线MN过定点（或令y=0，即得x=），易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．综上：直线MN过定点，所以S== ，所以面积最大．3．【2019江苏七校期中联考】已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为，故椭圆的方程为．（2）设，．（3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得0，设则得，从而，即又由得，故又，当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值．4．【2019江苏如皋第一学期调研一】已知椭圆T的焦点分别为F1(﹣1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)．（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，△ABD和△ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若ME⊥MF，求证：点M在定圆上．【答案】（1）（2）点M在定圆上．【解析】（1）设所求的方程为，其中，且，解得，，椭圆T的标准方程为．（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，所以，不妨设，，则，直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线CD方程为，与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，，当时，；当时，；当且仅当，即时取等号．综上，的最大值为．（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或或，则（定值），其中O是坐标原点，点M在定圆上．当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，设直线ME、MF的方程分别为、，可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：，直线ME、MF与椭圆相切，则，直线ME、MF与椭圆相切，则，展开化简得：（且），、可以看作是这个方程的两根，由得，即，并且此时方程中的判别式恒成立，点M也在定圆上．综上，点M在定圆上．5．【2019江苏泰州姜堰中学期中考】已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；学科=网若，求直线AR的斜率的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，，，即有椭圆方程为；证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，，，则，即为定值．由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，将t换为可得，则R的坐标为，即有直线AR的斜率，可令，则，则，当时，，当且仅当时上式取得等号，同样当时，，时，，，则AR的斜率范围为6．【2019江苏南通市如皋上学期调研三】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值；（3）若的延长线交直线于点，求线段长度的最小值．【答案】（1）；（2）见解析（3）【解析】（1），即为的中点．，代入椭圆方程得：，，直线方程为：．（3），得，，当且仅当时取最小值．7．【2019江苏南京上学期期中考】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆离心率是，焦点到相应准线的距离是3．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x＝4交于点P，Q．①求证：AP，AQ斜率的积是定值；②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点．【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析．【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，所以，，因为椭圆的焦点到相应准线的距离为，得c=1，所以，，因此，椭圆的方程为．（2）①设动圆的圆心坐标为，则圆的方程为，设点，令，可得，则AP、AQ的斜率之积为（定值）．②设直线MN的方程为，设点．将直线MN的方程代入椭圆方程并化简得，由韦达定理可得．因为A、M、P三点共线，则，由于，，所以，则，同理可得，由，解得t=1，因此，直线MN过定点（1，0）．8．【2019江苏南通一中期中考】已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）由题意可得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示：设直线PB的方程为y＝k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．联立，消去y化为方程（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣4＝0，∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，∴△＝（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣4）＞0．（*）x1+x2＝，．直线AE的方程为，令y＝0，则＝＝＝＝．故直线AE过定点Q（1，0）．学科!网（3）①当直线MN与x轴重合时，＝（2，0）•（﹣2，0）＝﹣4．②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my＝x﹣1，联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my﹣3＝0，可知△＞0．，可得y M+y N＝，y M y N＝．∴＝x M x N+y M y N＝（my M+1）（my N+1）+y M y N＝（1+m2）y M y N+m（y M+y N）+1＝＝﹣4+，∵m2≥0，∴，∴，∴的取值范围是．综上可知：的取值范围是．。

解析几何中的定点,定值问答(含答案解析)

分析几何中的定点和定值问题【教课目的】学会集理选择参数（坐标、斜率等）表示动向图形中的几何对象，研究、证明其不变性质 ( 定点、定值等 )，领会“设而不求” 、“整体代换”在简化运算中的作用．【教课难、要点】解题思路的优化．【教课方法】议论式【教课过程】一、基础练习1 、过直线x 4 上动点 P 作圆O：x2y2 4 的切线PA、PB，则两切点所在直线AB 恒过必定点．此定点的坐标为．【答案】(1,0)yPB4xA【分析】设动点坐标为P(4,t），则以OP直径的圆C方程为：x(x 4)y( y t ) 0 ，故 AB 是两圆的公共弦，其方程为4x ty 4 ．注：部分优异学生可由x0 x y0 y r 2公式直接得出．4x40令0得定点 (1,0) .y2 、已知 PQ 是过椭圆 C : 2 x2y21中心的任一弦， A 是椭圆 C 上异于P、Q的随意一点．若AP、AQ分别有斜率 k1、 k2，则 k1k2=______________．【答案】 -2【分析】设P( x, y), A( x0 , y0 ) ，则Q(x,y) y0y y0y y02y 2k1 k2x x0x 2x2，x0x02x2y 21又由 A 、 P 均在椭圆上，故有：00，2x2y21y02y2两式相减得 2( x02x 2 )( y02y2 ) 0， k1k2222x0x3 、椭圆x 2y 21，过右焦点F作不垂直于 x 轴的直线交椭圆于A、 B 两点，3627AB 的垂直均分线交x 轴于N e=1，则 NF : AB 等于_______.42【答案】1 4【分析】设直线 AB 斜率为 k ，则直线方程为y k x 3 ,与椭圆方程联立消去y 整理可得34k 2x224k2 x36k 2 1080 ,则 x1 x224k22, x1x236k 2108 34k34k2,所以 y1y218k, 34k2则 AB 中点为12k 2,9k. 34k24k23所以 AB 中垂线方程为 y9k21x12k22,34k k 3 4k令则 x3k 2即N 3k22 ,0y 0 ,34k2,34k,所以 NF33k 29(1k 2 ) 34k234k 2.AB1 k2x 1 236 1 k 2NF 1x 24x 1 x 24k 2,所以.3 AB4４、已知椭圆 x 2y 2 1(a b 0) ， A, F 是其左极点和左焦点，P是圆 x 2y 2b 2a 2b 2上的动点，若PA = 常数，则此椭圆的离心率是PF【答案】 e = 5 12【分析】PA常数，所以当点 P 分别在（± b ，0 ）时比值相等，因为 PF即a b = a+b，整理得： b 2 ac ，b c b+c又因为 b 2 a 2 c 2 ，所以 a 2c 2ac同除以 a 2 可得 e 2 + e -1=0 ，解得离心率 e =5 1 ．2二、典例议论例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C ：x 2y 2 1的左极点为 A ，过原点 O 的直线（与42坐标轴不重合）与椭圆C 交于 P ，Q 两点，直线 PA ，QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点．试问以 MN 为直径的圆能否经过定点（与直线 PQ 的斜率没关）？请证明你的结论．yMAPOQNx剖析一：设 PQ 的方程为 ykx ，设点 P x 0 , y 0 （ x 0 0 ），则点 Q x 0 , y 0 ．联立方程组ykx,消去 y 得 x 24 2．22y 241x2k所以 x 02，则 y 02k．1 2k21 2 k2所以直线 AP 的方程为 ykx 2 ．进而 M 0,2k1 1 2k 21 2k 21同理可得点 N0, 2k．112k 2所以以 MN 为直径的圆的方程为x 2( y12k 2k 2)( y 2k ) 01 11 2k 2整理得： x 2y 2 ( 2k2k ) y 2 011 2k 211 2k2 x 2 y 2 2 02, 0)由，可得定点 F (y剖析二：设 P （ x 0， y 0 ），则 Q （﹣ x 0 ，﹣ y 0），代入椭圆方程可得 x 0 2 2 y 02 4 ．由直线 PA 方程为：yy 0 ( x 2) ，可得 M 0,2y 02 y 0 x 0x 0，同原因直线 QA 方程可得 N 0,，可得以22x 02MN 为直径的圆为 x 2y2y 02y 2y 0 2 0 ，x 0x 0整理得： x 2y 22y 02 y 0 y 4 y 2 0x 0 2x 0 2 x 0 2 4242，代入整理即可得x 2y 24x 0 y 0 y 2 0因为 x 02y 0x 0 24此圆过定点 F (2, 0) ．剖析三：易证： k AP k AQb 2 1 a 2，2故可设直线AP 斜率为 k ，则直线 AQ 斜率为1 .2k直线 AP 方程为 y k( x2) ，进而得 M (0, 2k ) ，以1 1代 k 得 N 0,2kk故知以 MN 为直径的圆的方程为 x 2( y 2k)( y1 ) 0k整理得： x2y22 (12k ) y 0kx 2 y 22 02, 0) .由，可得定点 F (y剖析四、设 M (0, m), N (0, n) ，则以 MN 为直径的圆的方程为x 2 ( y m)( yn) 0即 x 2y 2(m n) y mn再由k AP k AQ k AM k AN = b 21得 mn - 2 ，下略a22.例 2 、已知离心率为 e 的椭圆C :x2y2恰过两点，，a2b21(a b 0)(1 e) 和 20 .(1)求椭圆 C 的方程；(2) 已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，此中M 、N 对于原点O对称，AB过点 E(1, 0) ，且 AB、MN 斜率互为相反数.试问：直线AM、BN的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea23B Ne (1)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(2)设 AB 方程为y k( x1) ， A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 )k AM kBNy1kx3y2kx3k( x1 1) kx3k ( x21) kx3x1x3x2x3x1x3x2x3则整理得： k AM k BN k ( x1x3 1)(x2x3 ) (x2x3 1)(x1 x3 )( x1x3 )( x2x3 )k AM kBNk 2x1x22x32( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )由y k( x1)消元整理得： (4 k 21)x28k2 x 4k 240 ，x2 4 y24.所以 x1 x28k 21 , x1 x24k4k24k224②1y kx又由消元整理得：x2 4 y2 4(4 k 2 1)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得： k AM kBN0.例 2( 变式 ) 、已知离心率为 e 的椭圆Cx2y21(a b 0)，，. :a2b2恰过两点 (1 e) 和 20(3)求椭圆 C 的方程；(4)已知 AB、MN 为椭圆C上的两动弦，此中 M、N 对于原点O对称，AB过定点E(m, 0), ( 2 m 2) ，且 AB、MN 斜率互为相反数. 试问：直线 AM 、 BN 的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea2B N e3(3)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(4)设 AB 方程为y k( x m) ， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 ).kAM kBNy1kx3y2kx3x1x3x2x3k( x1m)kx3k (x2m)kx3 x1x3x2x3则整理得： k AM kBNk ( x1x3m)( x2x3 ) ( x2x3m)( x1x3 )(x1x3 )( x2x3 )kAMkBNk 2x1x22x32m( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )y k( x m)消元整理得： (4 k21)x28k 2mx4k 2 m240 ，由4 y24x2所以 x1x28k2m, x1 x24k 2m24②4k214k21又由y kx消元整理得：x2 4 y24(4 k 21)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得：kAMkBN0.三、课外作业1 、已知椭圆x2y2A、B是其左、右极点，动点M知足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P1 ，，42在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点，则点 Q 的坐标为．【答案】（0,0 ）【分析】试题剖析：设M (2,t ), 则AM : y t( x 2) ，与椭圆方程联立消y 得(t28) x24t 2 x 4t 232 0，4.28t t 28t162t，所以 k BP 82，即 k BP k OM1，点Q的坐 O所以 x P28， y P22t2tt t 816t 282（0,0 ）x2y21上不一样于左点A、右点 B 的随意一点，直PA， PB 的斜率2 、已知 P 是412分 k1 , k2 ,则 k1k2的．1【答案】3【分析】P( x, y) ， A(23,0), B(23,0)y， k2yk1x2，x 2 33y y y2 k1k2x2，⋯⋯①x 2 3 x 2 312因 P 在上，所以x2y2 1 ，即 y212x2⋯⋯②1243把②代入①，得k1k2y21 x2123x2y21(a b0) 的离心率e=1， A,B 是的左右点，P 上不一样于3 、已知b2a22AB 的点，直PA,PB 的斜角分,， cos() =.cos()【答案】 7【分析】.试题剖析：因为A,B 是椭圆的左右极点，P 为椭圆上不一样于 AB 的动点，kPAkPBb 2 Q e1 c 1 a2 b 21 b23 kPA b 2 3 a 22 a 2a 24 a 24，k PB，a 24cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 1 34 7cos() cos cossinsin1 tantan1 344 、以下图，已知椭圆x 2 y 21，在椭圆 C 上任取不一样两点A ，B ，点 A 对于 x 轴的对称C ：4点为 A ' ，当 A ， B 变化时，假如直线 AB 经过 x 轴上的定点 T (1 ， 0) ，则直线 A 'B 经过 x 轴上的定点为 ________．【答案】 (4 ， 0)AB 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，由 x 2 y 2 1得 (my ＋ 1) 2 ＋ 4 y 2 ＝4 ，即 (m 2 ＋ 4) y 2＋【分析】设直线 4x my 12 my －3 ＝ 0.记 A (x 1， y 1 )， B (x 2， y 2)，则 A ′(x 1 ，－ y 1)，且 y 1＋ y 2＝－ 2m， y 1 y 2＝－3 ，m 24m 2 4当 m ≠0 时，经过点 A ′(x 1，－ y 1 )，B( x 2， y 2 )的直线方程为yy 1 ＝ x x 1.令 y ＝ 0 ，得 x ＝y 2y 1 x 2x 1x 2 x 1 y 1 ＋ x 1my 2 my 1 y 1 ＋ my 1 ＋ 1 ＝ my 1 y 2－my 12＋my 1 y 2＋ my 12＋ 1 ＝2my 1 y 2 ＋ 1 ＝y 2y 1 ＝y 1y 2＋ y 1y 2＋ y 1y 2.－2m3m24＋ 1 ＝ 4 ，所以y＝ 0 时，x＝4.2mm24当 m ＝0时，直线AB的方程为 x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，自然能够有一条经过点 (4 ，0) 的直线．当直线 AB 为 x 轴时，直线A′B就是直线 AB ，即x轴，这条直线也经过点 (4 ， 0) ．综上所述，当点A，B 变化时，直线A′B 经过 x 轴上的定点(4，0)．x2y21的右焦点 F2的直线交椭圆于于M ,N 两点，令F2 M m, F2 N n ，则5、过椭圆34mn____ ．m n【答案】34【分析】x2y 21，得 M 试题剖析：不失一般性，不如取MN垂直 x 轴的状况，此时 MN ：x=1, 联立43x1（1，3）,N （1，-3），∴m=n= 3 ，∴ mn3 222m n46 、已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为F12，0，点B 2,2在椭圆 C 上，直线y kx k0与椭圆 C 交于E F两点，直线AE AF分别与y轴交于点M，，，N ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．x2y21(a b 0) ，分析：（Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为b2a2因为椭圆的左焦点为 F12，0 ，所以a2b2 4 ．设椭圆的右焦点为F2 2，0，已知点 B2,2在椭圆 C 上，由椭圆的定义知 BF1BF22a ，所以 2a3224 2 ．所以 a22，进而 b2．所以椭圆 C 的方程为x2y 2 1 ．84解法二：设椭圆C 的方程为x2y 2a2b21(a b0) ，因为椭圆的左焦点为F12，0 ，所以a2b2 4 ．①因为点 B 2,2421．②在椭圆 C 上，所以b2a2由①②解得， a2 2 ，b 2．所以椭圆 C 的方程为x2y 21 ．84（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为22,0．因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E x, y（不如设 x00 ），则点 F x0 ,y0．00y kx,28联立方程组x2y2消去 y 得x2．84112k所以 x022，则 y022k．12k122 k2所以直线 AE 的方程为ykx22．112k 2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点M，N，令 x22k22k0 得 y12k2，即点 M 0,1．112k2同理可得点22kN 0,．1 1 2k222k22k2 2 12k 2．所以 MN12k 2112k2k1设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2k．22 22 12k 2则以 MN 为直径的圆的方程为x2yk ，k即 x2y 22 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法二：因为椭圆 C 的左端点为 A ，则点 A 的坐标为22,0 ．因为直线 y kx (k0) 与椭圆x2y21交于两点 E，F，84设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F (x0 ,y0 ) ．所以直线 AE 的方程为yy0x22．x022因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x2 2 y0，即点 M2 2 y0．0 得 y220,x0x022同理可得点 N 0,2 2 y0．x0222 2 y0 2 2 y016 y0．所以 MN2 2 x0x028x0 2 2因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆C上，所以x02y021 ．84.所以 MN 8．y0设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P2x0．0,y02则以 MN 为直径的圆的方程为x2y 2x016．y02y0即 x2y2 +2 2x0 y4 ．y0令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法三：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0．因为直线 y kx ( k 0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E2 2 cos,2sin（ 0），则点 F2 2 cos ,2sin ．所以直线 AE 的方程为y2sin x22．22 cos 2 2因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x 0 得 y2sin，即点 M0,2sin．cos1cos1同理可得点 N0, 2sin．cos1所以 MN2sin2sin41cos1．cos sin设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2cos．sin2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2cos4，sin sin2.即 x 2y 24cosy 4 ．sin令 y0 ，得 x 24 ，即 x 2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ，P 2 2,0 ．、已知椭圆x 2y 2（a， b）的离心率为 3 A (1 ，3在椭圆 C 上．7C: a2b 2=1>0>0，点2 )2(I) 求椭圆 C 的方程；(Ⅱ )设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断能否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与 l 订交于两点 P 1， P 2 （两点均不在座标轴上），且使得直线 OP 1 ， OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明原因．（Ⅰ）解：由题意，得c 3 ， a 2 b 2 c 2 ，又因为点 A(1, 3 )在椭圆 C 上，a22所以13 1 ，解得a2 ， b 1， c3 ，a 24b 2所以椭圆 C 的方程为x 2y 21.4（Ⅱ）结论：存在切合条件的圆，且此圆的方程为x 2y 25 .证明以下：假定存在切合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2y 2 r 2 (r0) .当直线 l 的斜率存在时，设l的方程为ykx m .y kxm,222由方程组x 2得 (4k1) x8kmx 4m40 ，y21,4因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，所以 1 (8km) 24(4k21)(4m24) 0 ，即 m 24k 2 1 ..y kx m,得 (k 222kmxm 2r 20 ，由方程组y 2r 2 ,1)xx 2则2(2km)24(k21)(m2r 2 ) 0 .设 P 1 (x 1, y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ，则x 1x 2 2km ， y2xb ，k 2 1设直线 OP 1 ， OP 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，y y2 (kxm)(kx 2m) k 2 x x2km( xx ) m 2k 1k 211112x 1x 2x 1 x 2x 1 x 2所以k 2 m 2 r 2 km k 2km m 2 m 2 2 2k 21 2 1r k2 r 22 r 2mmk 2 1，k 1 k 2(4 r 2 )k 2124k 214k 2(1r 2) .将m代入上式，得要使得k 1k2为定值，则4 r 21241 r2 ，即 r 5 ，考证切合题意 .所以当圆的方程为x 2 y 25 时，圆与 l 的交点 P 1, P 2 知足 k 1k 2 为定值 1 .4 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l的方程为 x2 ，此时，圆 x 2 y 25 与 l 的交点 P 1 , P 2 也知足 k 1k 21 .4y 2 2228、已知椭圆 C 1 ：x1( a b0) 的离心率为，且过定点 M (1 ， )． a 222 2b(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知直线 l ： y kx1(k R) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，试问在 y 轴上能否存在定点P ，使得3以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，说明原因．ec25a2a 222a 22(1) 解：由已知 b cb251 112a 224b∴椭圆 C 的方程为2 y24x21 55y kx 1322(2) 解：由得：9(2k4) x12kx 43 02y24x215 5设 A(x1， y1)， B(x2， y 2)，则 x1、 x2是方程①的两根∴x1x212k，x1 x2439(2k24)9(2k24)uuur，uuur，设 P(0， p )，则PA ( x1，p)y1p) PB ( x2y2uuur uuurp 21PA PB x1 x2y1 y2p( y1y2 )x1 x2(kx1)( kx2(18p 245)k236 p23 24 p39uuur uuur uuur 9(2k24) uuur若 PA PB ，则 PA PB即 (18 p245)k 236 p224 p39 0对随意 k∈R恒建立18p 245 0∴24 p39036 p2此方程组无解，∴不存在定点知足条件.①1) pk ( x1 x2 ) 2 p p233。

苏教高中数学高考二轮复习专题与圆相关的定点、定值问题PPT演示课件

解：
（2）对于圆方程x2 y2 1, 令y 0, 得x 1,
不妨令P(1,0),Q(1,0).由直线l2过点A(3,0)且与 x轴垂直，所以直线l2方程为x 3 设M (s,t),则直线PM方程为y t (x 1)
s 1
解方程组 y
s
t 1
(x
1),
得E(3,
x3
4t ) s 1
同理可得F (3, 2t ) s 1
作业：
1、已知椭圆x2 y2 1, A, B是其左右顶点.动点M满足MB AB, 42
连接AM交椭圆于点P,在x轴上有异于A, B的定点Q,以MP为直径的圆经过BP、MQ的交点，则点Q的坐标为_______
2、已知圆C : (x 4)2 ( y 1)2 4,直线l：2m x (3m 1) y 2 0 (1)若直线l与圆C相交于两点A, B.弦长AB 2 3,求m的值； (2)已知点M (4,5),点C为圆心，若直线MC上存在定点N（异于点M ) 满足：对于圆C上任一点P,都有 PM 为一常数，试求所有满足条件
所以 3
52 42
t 0 t2 9
0
解得
t
-539或t
1（舍去） -5
5
所以，存在点B( 9 ,0)对于圆上的任意一点P 5
都有 PB 为一常数3
PA
5
小结：此类定点(定值)问题一般有两种思路： 1由特殊到一般，先由特殊位置（特殊值）找出定点(定值)，再利用所求出的定点(定值）来证明一般性结论 2 转化为等式（方程）恒成立问题
解：
（1）因为直线l1过点A(3,0),且与圆O：x2 y2 1相切
所以直线l1的斜率必定存在。设直线l1：y k(x 3),即kx y 3k 0

2以解析几何中定点、定值为背景的解答题-2017年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)含解析

专题二压轴解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求”变中有不变的量”.一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一定值问题典例1 椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0）的离心率为35，P(m,0)为C 的长轴上的一个动点,过P 点斜率为45的直线l 交C于A 、B 两点。

当m ＝0时，412PA PB ⋅=-（1)求C 的方程; （2)证明：22||||PA PB +为定值.【答案】（1）2212516x y +=；（2）41【解析】【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得;而范围问题需将所求量用变量表示,利用函数与方程思想求解．【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,2)，且满足32a b +=．(1)求椭圆C 的方程；（2）斜率为12的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ,点M 的坐标为(2,1),设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ,2k 的值;② 试探究21k k+是否为定值？并说明理由．【答案】（1）22182x y+=;（2）①2121--=k，2122-=k ，②021=+k k ．【解析】设),(11y x A ．),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x ．又21111--=x y k ，21222--=x y k ，故2121221121--+--=+x y x y k k )2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y ．又m x y +=1121，m x y +=2221,所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m ．故021=+k k．类型二定点问题典例2 已知椭圆C ：22221x y a b+=（a>b 〉0)的上顶点为A ，左,右焦点分别为F 1,F 2，且椭圆C 过点P （43，3b ）,以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2．（1）求椭圆C 的方程;(2）若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问:在轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）22+y =12x ;(2）存在两个定点（1，0)，(1，0),使其到直线l 的距离之积为定值1 【解析】(2)①当直线l 斜率存在时,设直线l 方程为y=kx+p,代入椭圆方程得()222124220.k xkpx p +++=－因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点，所以()2222221641222()(810)2k p k p k ―p =+=+=－－，即22 2+1k p = 7分设在x 轴上存在两点（s ，0）,（t,0),使其到直线l 的距离之积为1,则2222|||||()|==11211ks p kt p k st kp s t p k k k +++++⋅+++, 即(st+1）k+p （s+t ）=0（*），或()()2320st k s t kp ++++= （*＊）．由（*）恒成立,得100st s t +=⎧⎨+=⎩，解得11s t =⎧⎨=-⎩，或11s t =-⎧⎨=⎩, 而（*＊）不恒成立． 10分②当直线l 斜率不存在时，直线方程为x=2定点1F （－1，0）、2F （1，0）到直线l 的距离之积12d d =(2-1)(2+1)=1⋅．综上，存在两个定点（1，0）,（1，0）,使其到直线l 的距离之积为定值1 12分【名师指点】解析几何中有关定点问题等综合性问题,它涉及到解析几何中的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系,解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．【举一反三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C于,M N 两点，且12l l ⊥,求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标;（3）在（2）的条件下求AMN ∆面积的最大值.【思路分析】（1）由已知列出方程组2465a bb a =⎧⎪+⎨=⎪⎩,解出,a b 的值即可；（2）设1:2l x my =-，21:2lx y m=--,联立直线与椭圆组成的方程组，求出点222284(,)44m m M m m -++与点222284(,)4141m m N m m --++，当1m =±时，6:5MNl x =-过点6(,0)5-直线256:()4(1)5MN m l y x m =+-过定点6(,0)5-过定点，当1m ≠±时，直线256:()4(1)5MN m l y x m =+-过定点6(,0)5-过定点，所以可得直线MN 过定点6(,0)5-；（3）由（2）写出三角形AMN 的面积表达式22244819544141AMN m mS m m m mm m∆=+=+++++，由基本不等式可求其最大值。

江苏高考解析几何定值定点问题含答案解析

第2课时定点、定值问题题型一定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解由题意可得2c ＝22，即c ＝2，设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3，则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4，可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①解将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k 2)x 2＝4，解得x ＝±21＋2k2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2，由E 是3x ＋3y －2＝0上一点，可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE ⊥MN ，OM ＝d ，即有23－m m ＝－1k，①4＋4k21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，②由①得m ＝2k3(k －1)(k ≠1)，代入②式，化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47.②证明由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，解得x N ＝2－4k 21＋2k 2，y N ＝k (x N ＋2)＝4k1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)，以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型二定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．(1)解由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)，由题意知直线PQ 斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0.所以x 1,2＝(42k 2＋42k )±[－(42k 2＋42k )]2－4(2k 2＋1)(4k 2＋8k ＋2)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2.由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1 ＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 (2018·南通考试)如图，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝uPB →，求证：λ＋u 为定值．证明当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合，从而λ＝2，u ＝23，λ＋u ＝83.当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 由题设，得x 1＋1k ＝λx 1，x 2＋1k＝ux 2，即λ＝1＋1x 1k ，u ＝1＋1x 2k.所以λ＋u ＝1＋1x 1k ＋1＋1kx 2＝2＋x 1＋x 2kx 1x 2，将y ＝kx ＋1代入x 2＋y 2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，则Δ>0，x 1,2＝－2k ±4k 2＋12(1＋k 2)2(1＋k 2)， x 1＋x 2＝－2k1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k2，所以λ＋u ＝2＋－2k1＋k 2k · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋k 2＝83. 综上，λ＋u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．例椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1，所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0· 2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．1．(2019·江苏省明德实验学校调研)如图，已知A ，B 是圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点，P 为直线l ：x ＝4上的动点，P A ，PB 与圆的另一个交点分别为M ，N .(1)若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； (2)求证：直线MN 过定点．(1)解由题意可知直线P A 的方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2＝4，解得M (0,2)，直线PB 的方程为y ＝3x －6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －6，x 2＋y 2＝4，解得N ⎝⎛⎭⎫85，－65，所以MN 的方程为y ＝－2x ＋2，即2x ＋y －2＝0.(2)证明设P (4，t )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)，直线PB 的方程为y ＝t2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2t 236＋t 2，24t 36＋t 2，同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－84＋t 2，－8t 4＋t 2，直线MN 的斜率k ＝24t36＋t 2－－8t4＋t 272－2t 236＋t 2－2t 2－84＋t 2＝8t 12－t2，直线MN 的方程为y ＝8t 12－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－84＋t 2－8t4＋t 2，化简得y ＝8t 12－t 2x －8t12－t 2，所以直线MN 过定点(1,0)．2．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值．解 (1)由椭圆定义得MF 1＋MF 2＝4，①由垂直得MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝4(4－b 2)，②由题意得12MF F S＝12MF 1· MF 2＝1，③ 由①②③，可得b 2＝1，C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，因为直线RS 过点(2，－1)，所以－1＝2k ＋m ，即2k ＝－m －1，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，故x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km 4m 2－4＝2k －2kmm ＋1＝2k m ＋1＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )．(1)解由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45，由题意可知D (5,0)，显然，直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0.(2)证明设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以D 点坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1.△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．4．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，Δ＝16(k －1)2>0，∴x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k， ∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k＝k · 2k 2＋8k 2－2k ＝8k， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k＝－1， ∴直线AB 的斜率为定值－1.5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2aba 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →· OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1，解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)2(1＋4k 2)，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ，所以OA →· OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)· 4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足MA ＝MB .求证：1OA 2＋1OB2＋2OM 2为定值． (1)解将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明由MA ＝MB ，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 12＝123＋4k 2，y 12＝12k 23＋4k 2，所以OA 2＝OB 2＝x 12＋y 12＝12(1＋k 2)3＋4k 2，同理，OM 2＝12(1＋k 2)4＋3k 2. 所以1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝2×3＋4k 212(1＋k 2)＋2(4＋3k 2)12(1＋k 2)＝76.1 OA2＋1OB2＋2OM2为定值76.综上，。

高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解

解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

2019江苏高考压轴题(中篇)专题01.04 解析几何中的定值问题

专题01.04--解析几何中的定值问题一、问题概述定值问题是解析几何中的常见题型也是江苏高考中的热点问题．在解析几何中，当几何量与参数无关时，这就构成了定值问题．解决此类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻找定值的“不变”性，一种思路是进行一般的计算推理求出结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中的定义，列出方程，再用根与系数的关系，“点在曲线上”，点差法等导出所求定值的关系所需要的表达式，化简整理求出结果（例1，例2）；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少（例1，例3），用特殊探索法（特殊值，特殊位置，特殊图形）先确定出定值，揭开神秘面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般的证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的．同时，有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索，如果试题以客观形式出现，特殊化方法往往比较凑效．二、释疑拓展1．【南京市2018届高三第三次模拟考试.18题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32.已知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.2．【苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研（一）.18题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上不同的三点，A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅为定值并求出该定值．3．【盐城市2015届高三第三次模拟考试.18题】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为，点AA与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求PAB∆的面积；（3）是否存在点E，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【镇江市2014届高三第一学期期末调研.18题】椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，右顶点为A ，直线l 过2F 交椭圆于B ，C 两点。

解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》

解析几何题型——《解析几何中的定值定点问题》题型特点：定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。

解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

这类试题考查的是在运动变化过程中寻找不变量的方法。

典例 1 如图，已知双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，OB AB ⊥，OA BF //（O 为坐标原点）。

（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点),(00y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF MF恒为定值，并求此定值。

典例2 已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8。

（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。

典例3 已知直线6:+=x y l ，圆5:22=+y x O ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率33=e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。

（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。

典例4 椭圆的两焦点坐标分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ,且椭圆过点)23,1(-。

（1）求椭圆方程；（2）过点)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由。

【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc

高考解析几何解答题题型分析及解答策略。

©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。

解析几何中的定值与定点问题-玩转压轴题(解析版)

专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩，同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=；设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =；又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+；当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >）和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动，当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值，是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ，若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16，此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ．故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足．故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=，又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==．过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ，则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确．对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=，当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=；当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-；当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=；当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+，由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ，则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F，设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=，所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥，所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =，当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意；当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ，解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++，代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =，整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2），设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-，此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----．故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+，过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为（1，0）．。

高考数学压轴题及答案：解析几何中的定值问题

高考数学压轴题及答案：解析几何中的定值问题1500字高考数学压轴题及答案：解析几何中的定值问题解析几何是高考数学中的一个重要章节，涉及到直线、平面、圆、曲线等几何图形的性质和相关定理。

在解析几何中，定值问题是一类常见的问题，它要求在满足一定条件下确定某个几何图形的具体位置或性质。

下面我们就来看一道典型的解析几何定值问题。

【题目】已知平面上有一个圆O，其圆心坐标为(-5, 3)，过点A(8, -4)的直线与圆O交于点B和点C。

若点A与点B的距离为6，点A与点C的距离为10，则圆O的半径为多少？【思路与解答】解析几何的定值问题通常需要通过建立坐标系来解决。

首先，我们可以建立直角坐标系，以点A为原点，建立平面直角坐标系xOy。

由于圆O的圆心坐标为(-5, 3)，我们可以据此求得点O在坐标系中的位置。

由题意可知，直线AB与圆O相交于点B，根据垂径定理，我们可以得知点B到圆心O 的距离和圆O的半径是相等的。

设圆O的半径为r，则直线AB的斜率为k1 = -4/8 = -1/2。

设点C的坐标为(x, y)，则直线AC的斜率为k2 = (y - (-4))/(x - 8) = (y + 4)/(x - 8)。

由于直线AC与圆O相交于点C，根据切径垂直定理可知直线AC的斜率k2与直线BC 的斜率k1的乘积为-1。

即 k1 * k2 = -1。

将k1和k2带入上式，可以得到 (-1/2) * ((y + 4)/(x - 8)) = -1。

通过求解上式，我们可以得到点C的坐标为 (x, y) = (2, -4)。

使用两点之间的距离公式，可以得到点B与点O之间的距离 d1 = OB = √[(-5 - 2)^2 + (3 - (-4))^2] = √(49 + 49) = √98。

同时，使用两点之间的距离公式，可以得到点C与点O之间的距离 d2 = OC = √[(-5 - 2)^2 + (3 - (-4))^2] = √(49 + 49) = √98。

专题14 以解析几何中定点、定值为背景的解答题-2018年高考数学备考优等生百日冲刺(江苏专版)

专题14 以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量".一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一定值问题典例 1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为，左焦点()2,0F -，直线:l y t =与椭圆交于,A B 两点， M 为椭圆上异于,A B 的点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若()1M -，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程；（3）设直线,MA MB 与y 轴分别交于,C D ，证明： OC OD ⋅为定值.【答案】（1）22184x y +=（2）2217039x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（3）见解析【解析】（2）设(),A s t ，则(),B s t -，且2228s t +=.①∵以AB 为直径的圆P 过M 点 ∴MA MB ⊥∴0MA MB ⋅=，又∵()1MA s t =++ ，()1MB s t =-+∴()22610s t -++=.②由①②解得： 13t =，或1t =-（舍） ∴2709s =. 又∵圆P 的圆心为AB 的中点()0,t ，半径为2ABs =， ∴圆P 的标准方程为2217039x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（3）设()00,M x y ，则MA l 的方程为()0000t y y y x x s x --=--，若k 不存在，显然不符合条件. 令0x =得000C tx sy y s x --=-；同理00D tx sy y s x --=--，∴OC OD⋅000000C D tx sy tx sy y y s x s x -+--=⋅=⋅---222222220000222200t x s y t x s y x x x s--==-- ()()()2222002282828282t y t y y t ---=--- 2202288422t y t y -==-为定值. 【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫⎪⎝⎭，.F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BFFD的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）73 （3）53m = 【解析】（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,{ 1,43x y x y--=+=，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故()11713317BF FD --==-．（3）设00,)A x y （，则()00,B x y --，直线AF 的方程为()0011y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得()2220000156815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(),c C C x y 在直线()0011y y x x =--上，所以()000031152C c y y y x x x -=-=--，同理， D 点坐标为0085(52x x ++， 03)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．类型二定点问题典例2 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，B 为椭圆的上顶点， 12BF F ∆A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()22222264163430340m k k mk m ∆=-+->+->，即()1222122834{ 43·.34mkx x k m x x k +=-+-=+，又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()20A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212·122y yx x =---， ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k mmkkkk--+++=+++，∴2271640m mk k ++=．解得： 12m k =-， 227k m =-，且均满足22340k m +->，当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾；当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，【名师指点】解析几何中有关定点问题等综合性问题，它涉及到解析几何中的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．【举一反三】已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1) 曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±;(2)见解析. 【解析】（Ⅱ）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221{99x my x y =++=，消去x 得 ()229280m y my ++-=,设()()1122,,,P x y Q x y ，则12212229{89m y y m y y m +=-+-=+，直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+- ， 22221SQ y y k x s my s==-+-， ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-.当3s =时， ()282991SP SP k k s -==--；当3s =-时， ()2811891SP SP k k s -==--. 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值. 类型三定线问题典例3 已知抛物线C ： 22y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝⎭（1）求椭圆M 的方程；（2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2) 点G 在定直线1x =上【解析】∴22221{ 424199a b a b -=+=，解得224,3a b ==，椭圆M 的方程为22143x y += （2）方法一当点P 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点(P ，8,55Q ⎛ ⎝⎭，则直线120A P l y -+=和直线2:20A Q l y +-=，联立20 20y y -+=+-=，解得G ⎛ ⎝⎭，当点P 为椭圆的下顶点时，由对称性知：1,G ⎛⎝⎭. 猜想点G 在直线1x =上，证明如下：由条件可得直线PQ 的斜率存在，设直线()():40PQ y k x k =-≠，联立方程()224{34120y k x x y =-+-=，消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21223234k x x k+=+， ()21226412*34k x x k -⋅=+则直线()111:22A P y l y x x =++与直线()222:22A Q yl y x x =-- 联立两直线方程得()()12122222y yx x x x +=-+-（其中x 为G 点横坐标）将1x =代入上述方程中可得1212322y y x x -=+-，即()()()()122134242k x x k x x --=--+，即证()1212410160x x x x -++= 将()*代入上式可得()2222464121032163434k kkk⨯-⨯-+++()2222161632034034k k k k --++==+，此式成立∴点G 在定直线1x =上. 方法二由条件可得直线PQ 的斜率存在，设直线()():40PQ y k x k =-≠ 联立方程()224{34120y k x x y =-+-=，消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()()112233,,,,,P x y Q x y G x y ，则21223234k x x k +=+， 2122641234k x x k -⋅=+12x x ∴-==由1A ，P ， G 三点共线，有： 311322y y x x =++ 由2A ， Q ， G 三点共线，有：323222y y x x =--上两式相比得()()()()()()212133121224222242y x k x x x x y x k x x +-++==---- ()()()()12122112121238338x x x x x x x x x x x x -++--==--++-+，解得31x =∴点G 在定直线1x =上．【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【举一反三】如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】从而1DF =112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2DF =所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=【精选名校模拟】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ， B （A 在x 轴上方），且AB =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）. （1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q . ①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.【答案】（1）22163x y += (2) ①12-②【解析】(2)设平行AB 的直线的方程为y x m =+，且0m ≠，① 联立22{ 163y x mx y =++=，得到2234260x mx m ++-=，所以12223Q x x m x +==-， 3Q Q my x m =+=；故，直线OQ 的斜率为13=223Q OQ Q m y k m x ==--（定值）②由题意可知1,:,:2A AB y x OQ y x ==-，联立方程组221,2{1,63y x x y =-+=得()()2,1,2,1,C D --设()00,P x y ，先考虑直线斜率都存在的情形：直线:AP y x =，联立方程组：{12y x y x==-得x y y x E ⎛⎫--,直线()001:122y PC y x x ++=--, 联立方程组： ()001122{y y x x y x++=--=得0000000022,33x y x y F y x y x ⎛⎫++ ⎪+-+-⎝⎭,则000023x y AF y x +==+-CE ==，所以AF CE ⋅==当直线斜率不存在时结果仍然成立.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN ⋅为定值．【答案】（1）k =2）见解析。

专题33以解析几何中定值定点的综合问题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)

【名师综述】以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.【精选名校模拟】1.【石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理）】（本小题满分14分）已知椭圆C ：()222210x y aba b+=过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，且MP PN =，再P 过作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）直线l 恒过定点1(0)4-，【解析】试题分析：(Ⅰ)点()2,0在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为12c e a ==，且222a b c =+，解方程组可得,a b 。

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析：设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

2025高考数学必刷题第77讲、定点、定值问题 (学生版)

第77讲定点、定值问题知识梳理1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．必考题型全归纳题型一：面积定值例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()(),0,0,A a B b --O 为坐标原点，且1OAB S = .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上第一象限内任意一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，渐近线方程为02x y ±=，点()2,0A 在C 上；(1)求双曲线C 的方程；(2)过点A 的两条直线AP ，AQ 分别与双曲线C 交于P ，Q 两点（不与A 点重合），且两条直线的斜率1k ，2k 满足121k k +=，直线PQ 与直线2x =，y 轴分别交于M ，N 两点，求证：AMN 的面积为定值.变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点)M ，且左焦点为()1F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)ABC 内接于椭圆E ，过点()4,1P 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD AQ PD = ，证明：PBC 面积为定值，并求出该定值．变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知1l ，2l 既是双曲线1C ：2214yx -=的两条渐近线，也是双曲线2C ：22221x ya b-=的渐近线，且双曲线2C 的焦距是双曲线1C .(1)任作一条平行于1l 的直线l 依次与直线2l 以及双曲线1C ，2C 交于点L ，M ，N ，求MNNL的值；(2)如图，P 为双曲线2C 上任意一点，过点P 分别作1l ，2l 的平行线交1C 于A ，B 两点，证明：PAB 的面积为定值，并求出该定值.变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=，,A B 是椭圆上的两个不同的点，O 为坐标原点，,,A O B 三点不共线，记AOB 的面积为AOB S .(1)若()()1122,,,OA O x y x y B == ，求证：122112AOB S x y x y =- ；(2)记直线,OA OB 的斜率为12,k k ，当1214k k =-时，试探究2AOB S 是否为定值并说明理由.题型二：向量数量积定值例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 是C 的左、右焦点，过1F 的动直线l 与C 交于不同的两点A ，B 两点，且2ABF △的周长为椭圆C 的其中一个焦点在抛物线24y x =准线上，(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点5,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明:MA MB ⋅ 为定值.例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知()4,M m 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，且M 到C 的焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；(2)如图所示，过点()2,0P 的直线l 与C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ= ，QB PB μ=，求证：λμ+是定值.例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10B ,的距离的2倍.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于E ，F 两点，探索BE BF ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，点Q 为椭圆E 的左顶点，直线QA ，QB 分别交4x =于M ，N 两点，O 为坐标原点，求证：OM ON ⋅为定值．变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.题型三：斜率和定值例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知()221:1044x y C a a a+=<<-，()222:144x y C b b b+=>-．(1)证明：2y x =-总与1C 和2C 相切；(2)在（1）的条件下，若2y x =-与1C 在y 轴右侧相切于A 点，与2C 在y 轴右侧相切于B 点．直线l 与1C 和2C 分别交于P ，Q ，M ，N 四点.是否存在定直线l 使得对任意题干所给a ，b ，总有AP AQ BP BQ k k k k +++为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线2111:2(0)C y p x p =>与抛物线2222:2(0)C x p y p =>在第一象限交于点P .(1)已知F 为抛物线1C 的焦点，若PF 的中点坐标为()1,1，求1p ；(2)设O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k .若斜率为2k 的直线l 与抛物线1C 和2C 均相切，证明12k k +为定值，并求出该定值.例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知PAB 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(0,3),(0,3),-且直线PA ，PB 的斜率之积是3-，设点P 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)经过点(1,3)且斜率为k 的直线与曲线H 交于不同的两点E ，F （均异于A ，B ），证明：直线BE 与BF 的斜率之和为定值.变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知12A A B ，，是椭圆()222210x y a b a b+=>>的顶点（如图），直线l 与椭圆交于异于顶点的P Q ，两点，且2//l A B ，且2A B =，(1)求此椭圆的方程；(2)设直线1A P 和直线BQ 的斜率分别为12k k ，，证明12k k +为定值.变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点()1,0M 的直线为,l N 为圆22:(2)4C x y +-=与y 轴正半轴的交点.(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：(2)证明：若直线l 与圆C 交于,A B 两点，直线,AN BN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切．(1)求C 的方程；(2)直线()():10l y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，且PQ 平分APB ∠，设直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），判断k k '⋅是否为定值？并说明理由．例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点()()3,0,3,0M N -，动点(),P x y 满足直线PM 与PN 的斜率之积为13-，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接BD 并延长交曲线C 于点H ．证明：直线AB 与AH 的斜率之积为定值．例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系xOy 中，点P 到点)F 的距离与到直线l ：x =P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)过W 上两点A ，B 作斜率均为12-的两条直线，与W 的另两个交点分别为C ，D .若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(在C 上，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.题型五：斜率比定值例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线Γ：22221x y a b-=实轴AB 长为4（A 在B 的左侧），双曲线Γ上第一象限内的一点P 到两渐近线的距离之积为45.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)设过()4,0T 的直线与双曲线交于C ，D 两点，记直线AC ，BD 的斜率为1k ，2k ，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①12k k +为定值；②12k k ⋅为定值；③12k k 为定值例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为其左右焦1F ()(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P ()0000,(0)x y x y ≠，点P 在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线l ，斜率为0k ，1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，则11201k k k k k +是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，左右两个顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 交双曲线的右支于,M N两点，且M 在x 轴上方，当l x ⊥轴时，MN =(1)求双曲线方程.(2)求证：直线12,MA NA 的斜率之比为定值.题型六：线段定值例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆1C ：22x y m +=与圆2C ：2240x y x +-=.(1)若圆1C 与圆2C 内切，求实数m 的值；(2)设()3,0A ，在x 轴正半轴上是否存在异于A 的点(),0B b ，使得对于圆2C 上任意一点P ，PAPB为定值？若存在，求b 的值；若不存在，请说明理由.例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P 为平面上的动点，记其轨迹为Γ.(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P 为圆心的动圆经过点()1,0F -，且内切于圆()22:116K x y -+=；②已知点()1,0T -，直线4l x =-：，动点P 到点T 的距离与到直线l 的距离之比为12；③设E 是圆22:4O x y +=上的动点，过E 作直线EG 垂直于x轴，垂足为G ，且2GP GE = .(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A ，B ，若过点()1,0K 的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交曲线Γ于点M ，N ，直线n 过点()1,0T -且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则线段的比值TP TQ是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 为1C 上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF 并延长交1C 于点B ，且2ABF △的周长为8，12AF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若椭圆2C 的长轴端点为12,F F ，且2C 与1C 的离心率相等，P 为AB 与2C 异于1F 的交点，直线2PF 交1C 于,M N 两点，证明：||||AB MN +为定值．变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线()21:0C y px p =>的焦点为1F ，抛物线22:2C y px =的焦点为2F ，且1212F F =．(1)求p 的值；(2)若直线l 与1C 交于M ，N 两点，与2C 交于P ，Q 两点，M ，P 在第一象限，N ，Q 在第四象限，且2MP NQ =，证明：MN PQ为定值．变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.(1)若直线00:2x l y x y =-与E 只有一个公共点，求p ；(2)设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为,A B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB ⊥②试问PC AB PB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆O ：222x y r +=与直线0x y -+=相切.(1)若直线:25l y x =-+与圆O 交于M ，N 两点，求MN ；(2)已知()9,0C -，()1,0D -，设P 为圆O 上任意一点，证明：PDPC为定值.变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点，AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D .（i ）求OCM 的面积与ODN △的面积之比；（ⅱ）证明：22CM MD +为定值.变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆C 过点()1,2A ，()2,1B ，且圆心C 在直线y x =-上.P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0,3-，求证：无论l 的位置如何变化PM PN ⋅恒为定值；(3)对于（2）中的定值，使PM PN ⋅恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合.变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点M 到定点()3,0F 的距离和它到直线l ：253x =的距离的比是常数35．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与圆2216x y +=相切，切点N 在第四象限，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求证：FAB 的周长为定值．题型七：直线过定点例19．（2024·全国·高三专题练习）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1(1,0)F -且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于,A B 两点，2ABF 的周长为8.(1)若2ABF 的面积为7，求直线AB 的方程；(2)过,A B 两点分别作直线4x =-的垂线，垂足分别是,E F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上任意一点，12PF F △(1)求椭圆C 的方程；(2)过x 轴上一点()1,0F 的直线与椭圆交于,A B 两点，过,A B 分别作直线2:l x a =的垂线，垂足为M ，N 两点，证明：直线AN ，BM 交于一定点，并求出该定点坐标.例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)过点⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点K (2，0)作与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 点作直线l ：x＝2a c的垂线，其中c 为椭圆C 的半焦距，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率e =2P ⎛ ⎝⎭在E 上．(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点．变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB= ，3AF FB ⋅=．(1)求椭圆C 的方程；(2)不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k .若()121k k k +=，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A ､B 分别为椭圆E ∶22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点､椭圆的离心率为3，F 1､F 2为椭圆的左､右焦点，点P 是线段AB 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为7110-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 是圆C ∶x 2+y 2=9上的点处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MG ，MH ，切点分别为G ，H ，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．题型八：动点在定直线上例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C 的离心率2e =，长轴的左、右端点分别为()()122,02,0A A -，(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线1x my =+与椭圆C 交于P Q ，两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l ：1x my =+与圆C ：2240x y x +-=交于A ､B 两点.(1)若1m =时，求弦AB 的长度；(2)设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=.(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设直线l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .证明：Q ，A ，B ，C 四点共圆，并探究当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1M 、2M ，短轴长为C 上的点P 满足直线1PM 、2PM 的斜率之积为34-．(1)求C 的方程；(2)若过点()1,0且不与y 轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，记直线1M A 、2M B 交于点Q ．探究：点Q 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(P ，且离心率为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．题型九：圆过定点例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆2222=1(>>0)x y C a b a b+：的离心率2=e ，左、右焦点分别为12,F F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆M ：2223x y +=的切线l (直线l 的斜率存在且不为零)与椭圆相交于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆是否经过坐标原点.例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l 1:10x y -+=过椭圆C :2221(0)4x y b b +=>的左焦点，且与抛物线M :22(0)y px p =>相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点(1,0)F 的距离比到y 轴的距离大1．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)当0x ≥时，记动点M 的轨迹为曲线C ，过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点A ()2,0，且点A 到C 的渐近线的距离为7．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()4,0作斜率不为0的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点E ，F ．试判断以EF 为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．题型十：角度定值例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN ∠为定值.例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求圆O 和椭圆C 的方程．（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．例30．（2024·全国·高三专题练习）已知点()20F -，是椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左焦点，过F 且垂直x 轴的直线l 交E 于P ，Q ，且10||=3PQ .(1)求椭圆E 的方程；(2)四边形ABCD (A ，D 在x 轴上方)的四个顶点都在椭圆E 上，对角线AC ，BD 恰好交于点F ，若直线AD ，BC 分别与直线l 交于M ，N ，且O 为坐标原点，求证：MOF NOF ∠=∠．变式27．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.变式28．（2024·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知圆222:(64F x y -+=，N 为圆上一动点，1(F -，若线段1NF 的垂直平分线交2NF 于点M .(1)求动点M 的轨迹方程E ;(2)如图，点(2,P Q 在曲线E 上，,A B是曲线E 上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.变式29．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）已知()2,0A ，()2,0B -分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴的两个端点，C 的焦距为2．()3,0M ，4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线PM 与C 的另一交点为D ，直线PN 与C 的另一交点为E ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线DE 的倾斜角为定值．变式30．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 轴，且过()2,1A -，2B ⎛ ⎝⎭两点.(1)求E 的方程；(2)若直线l 与圆O ：2285x y +=相切，且直线l 交E 于M ，N 两点，试判断MON ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

谈谈解析几何定点定值问题的出题背景

谈谈椭圆定点定值问题的几何背景引言：跟很多同学一样，笔者也是一个被解析几何折磨到死去活来的高三理科生。

但是作为大江苏高考的考生，笔者在语数英三门课程面前显然要承受更大的压力。

作为高考数学卷最烦的题目，解析几何这个所有高中生的痛，也深深地扎在笔者的心里。

可是，在一轮轮的练习之后，笔者逐渐发现，解析几何也并不那么可怕，也有其可爱的一面。

举例来说吧，作为江苏省无论是学校每天的小题训练，每周的模拟卷，甚至是一模二模这种大型市级模拟，以至于正式高考，都特别喜欢考察的椭圆定点定值问题，看似神奇的结论，复杂的计算，实际上大都蕴含着巧妙的几何背景，如果掌握这些背景，做题目很多时候就能找到避免繁杂计算的突破口，另辟蹊径，获得简洁精巧的证明。

（当然，按照目前江苏僵化的高考模式，未必能拿到多少分数。

）Part1：定点问题例题1：如图，已知C(0,1)。

在椭圆xx29+yy24=1上，任意找关于y轴对称的两个点P、Q，直线PC交椭圆于点M。

求证直线MQ过定点。

根据对称性显然有D在y轴上。

易证D(0,4)。

证明留做习题。

很多同学做到这一步就结束了。

但是想想，为什么这么巧合？这些出卷老师是怎么知道会过定点的？用几何画板稍稍的做一些尝试，很容易发现，这个定点与半长轴a的取值并无关系，而YY cc YY DD=Y BB2。

下面我们来剖析一下本题的出题背景。

对于选修4-2稍有了解的都知道，平面上的点可以使用矩阵来进行线性变换。

所以我们要证明对于任意椭圆成立，我们只需要证明对于圆成立即可。

剩下来的通过伸缩变换矩阵可以得到对于一切椭圆均成立。

假设OD=x,OA=r,OF=y,即证xy=R2。

∵∆DDDDDD∼∆AADDAA∴EEAA CCCC=AADD CCDD=RR−xx CCDD∵∆FFAAAA∼∆FFDDFF∴EEAA BBCC=AAAA BBAA=yy−RR BBAA设OH=h,BH=LCD2=L2+(h+x)2=L2+h2+2hx+x2=R2+2xh+x2BF2=L2+(h+y)2=L2+h2+2hy+y2=R2+2yh+y2联立可得�RR−xx yy−RR�2=RR2+2yyℎ+yy2RR2+2xxℎ+xx2考虑到这对一切h恒成立，整理系数可知2yy(RR−xx)2=2xx(RR−yy)2(RR−xx)2(RR2+yy2)=(yy−RR)2(RR2+xx2)展开第一式可知R2=xy带入二式也成立。

解析几何定点、定值问题答案

解析几何定点、定值问题答案1、解：（Ⅰ）由题意知e=a c =21，所以e 2=22c a =222cb -a =41．即a 2=43b 2．又因为b=116+=3，所以a 2=4，b 2=3．故椭圆的方程为3422y x +=1.…4分（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k(x-4)．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)4(22y x x k y ,得（4k 2+3）x 2-32k 2x+64k 2-12=0． ①…6分设点B(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则A(x 1,-y 1)．直线AE 的方程为y-y 2=1221x x y y -+(x-x 2)．令y=0，得x=x 2-12122)(y y x x y +-．将y 1=k(x 1-4)，y 2=k(x 2-4)代入，整理，得x=8)(42212121-++-x x x x x x ． ②…8分由①得x 1+x 2=34k 3222+k ，x 1x 2=3412k 6422+-k …10分代入②整理，得x=1．所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0)．……12分2、（1）解：设),,(),,(2211y x B y x A （1）由条件知直线.2:px y l -=．……1分由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 2,22消去y ，得.04322=+-p px x …………2分由题意，判别式.044)3(22>⋅--=∆p p （不写，不扣分）由韦达定理，.4,322121p x x p x x ==+．……………………………3分由抛物线的定义，.43)2()2(||21p p p px p x AB =+=+++= 从而.42,84==p p 所求抛物的方程为.42x y =．…………………6分（2）易得.2,21221p y y p y y =+-=．……………………………7分设),(00y x P 。

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优等生�江苏版高考数学专题28：以解析几何中定点、定值为背景的解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点.（1）求椭圆的方程；（2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；（3）设直线与轴分别交于，证明：为定值. 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，. F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BF FD的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， B 为椭圆的上顶点， 12BF F ∆ A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.4．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.5．已知抛物线C ： 22y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝⎭（1）求椭圆M 的方程；（2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.6．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥， 121F F DF = 12DF F ∆. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ，B （A 在x 轴上方），且3AB a =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证： 2AP AQ MN ⋅为定值． 9．已知椭圆C ： 22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为12，且上焦点为()0,1F ，过F 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．设点()3,4P ，记PM 、PN 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求12k k ⋅的值；（3）探索1211k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出1211k k +的取值范围．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A 、2A ，B 为短轴的一个端点， 12A BA ∆的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l x =x 轴交于D ， P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证： DE DF ⋅为定值．11．已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .（1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆O l 的方程；（2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；（3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，点()0,2B ，点()1C -．（1）求经过A ，B ，C 三点的圆P 的方程；（2）过直线4y x =-上一点Q ，作圆P 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．参考答案1．（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据离心率为，左焦点，可求出和，从而求出椭圆的方程；（2）设，则，且，由，以为直径的圆过点可得即，从而可求出圆的标准方程；（3）设，则的方程为，求出两点的纵坐标，则，化简求得. 试题解析：（1）∵且∴，.∴椭圆方程为.（2）设，则，且.①∵以为直径的圆过点∴∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍）∴.又∵圆的圆心为的中点，半径为，∴圆的标准方程为.（3）设，则的方程为，若不存在，显然不符合条件. 令得；同理， ∴为定值.点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.2．（1）22143x y +=（2）73 （3）53m = 【解析】试题分析：（1）22143x y +=；（2）由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线BF 方程为3430x y --=，故()11713317BF FD --==-．（3）设00,)A x y （，则()00,B x y --，通过直线和椭圆方程，解得00000085385,(525252x y x C D x x x ⎛⎫--+ ⎪--+⎝⎭，， 003)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =。

试题解析：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知： 2212{ 1914c a a b =+= 解之得：2{a b ==，所以椭圆方程为： 22143x y += （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,{ 1,43x y x y --=+=，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故()11713317BF FD --==-．（3）设00,)Ax y （，则()00,B x y --，直线AF 的方程为()0011y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 ()2220000156815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标008552C x x x -=-，又(),c C C x y 在直线()0011y y x x =--上，所以()000031152C c y y y x x x -=-=--，同理， D 点坐标为0085(52x x ++， 003)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．3．(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：⑴由12BF F ∆为等边三角形，，可以得1c =，b =从而计算出结果；⑵设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立直线与椭圆方程得12x x +， 12x x ，又因为MA NA ⊥， 1MA NA k k =-，代入化简得2271640m mk k ++=，解出m 与k 的关系代入求解即可解析：（Ⅰ）由已知()122{{12c 4BF F b b c S ∆==⇒=== ∴2224a b c =+=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()22222264163430340m k k m k m ∆=-+->+->，即 ()1222122834{ 43·.34mk x x k m x x k +=-+-=+，又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()20A ，，∴1MA NA k k =-，即1212·122y y x x =---， ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k m mk k k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=．解得： 12m k =-， 227km =-，且均满足22340k m +->，当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾；当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，点睛：本题是道解析几何综合题目，利用已知条件中的等边三角形及其面积求得椭圆方程，在求直线恒过定点时的方法，需要联立直线与椭圆方程，建立k 与m 的关系，然后根据直线特征计算出定点。