中国科学技术大学数学科学学院2015(HUST版)
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研试题及解答
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研真题参考解答一. 1.假设在直线上的对称中心为 t +12,t +1,t +12 ,则这点与(1,0,1)的连线与直线的方向向量垂直,解得t =−13,最终可得答案为 −13,43,−13 .2.假设两个交点分别为(t,2t,−3t ),(2k +1,k −2,k +3),这两点与点(3,7,8)共线,于是(t −3,2t −7,−3t −8)//(2k −2,k −9,k −5),从此可解得t =−1517,k =−3729,从而可得交点坐标.3.二次型乘以二后对应的矩阵为 01110−31−30,特征多项式为(λ−3)(λ3+3λ−2),于是正惯性指数为2.4.容易算得第一个矩阵的特征多项式为λ2−2λ+4,它整除λ3+8,于是A 3=−8E,从而有A 9=−83E.后一空答案为(−10)n .5.设A =(a ij )3×3,去看看分量满足什么条件,最后就可得维数为3.如果先把题中矩阵搞成Jordan 标准型再算可交换矩阵有可能简化一点点计算.6.在原矩阵后面添加矩阵diag {I n ,I n ,I n },然后做行变换可得逆矩阵为:I n −A −C +AB I n −B I n.7.−8,4.二. 1.根据题设条件,我们可以通过只做初等列变换把矩阵A 变为(I m ,0),对应的矩阵语言是:存在n 阶可逆方阵P,使得AP =(I m ,0),于是取Q =P −1即可.2.A (1,x,x 2,x 3)=(1,x,x 2,x 3) 0000010000200003 ,于是A 的极小多项式为λ(λ−1)(λ−2)(λ−3).3.先算下向量组的秩,然后任取那么多个向量看看是否线性无关.4.可以先算出A 的特征多项式为(λ−1)(λ−3)(λ+1)2,然后算特征向量并正交单位化,把这些向量写在一起得所求.5.按先算特征值再算特征向量的方法把A 对角化:A 17−11 = 17−11 15001,于是p nq n=1817−1115n011−711p0q0,整理得p n=1815n+7p0+7−75n(1−p0),于是lim n→∞p n=78.算A n的时候利用特征多项式及带余除法应该更方便一点.。
2015中科院数学科学学院考博参考书、真题、报录比、复试分数线、考博大纲、资料笔记、研究生招生专业目录
2015年中国科学院大学基础数学考博（数学科学学院）参考书、真题、报录比、复试分数线、考博大纲、资料笔记、研究生招生专业目录学院介绍中国科学院大学数学科学学院是在原中国科学院研究生院数学系的基础上，与中国科学院数学与系统科学研究院联合组建成立的，院长和副院长分别由数学与系统科学研究院的院长和分管教育的副院长担任。
学院在科研与教学结合方面做了一系列开创性和探索性的工作，真正做到了在科研中促进学生培养、在学生培养中推动科研创新。
数学科学学院实行“院所融合”的办院方针，中科院数学相关学科实行研究生教育一体化，有关研究生教育的工作，从招生到培养的各个环节，都纳入到数学科学学院的平台上，统一标准、统一管理。
同时数学科学学院承担中科院数学学科硕士研究生集中教学和硕士、博士研究生的全培养过程以及中国科学院大学的数学公共选修课程的教学。
每年开设110余门课程，其中一年级硕士集中教学的学科基础课和专业基础课课程80余门，学科范围覆盖数学各个学科领域，教学质量和教学效果优异。
数学科学学院集成“院所融合”的综合优势，研究生课程体系规范、科研环境优良，拥有一支教学与科研相结合的高水平师资队伍，其中数学与系统科学研究院每年有40多人次在数学科学学院开设基础课程，包括院士和“杰青”近20人次，学院专任教师队伍中有教授9人、副教授11人、博士生导师9人、硕士生导师20人、中国科学院“百人计划”入选者1人。
近几年专任教师在数学的多个领域的理论和应用方面都做出一系列重要成果。
目前承担国家自然科学基金重大、重点、面上项目、中科院项目和其它项目近20项，总经费近2400万元。
三十多年来，数学科学学院为我国培养了大批高水平的博士研究生和博士后人员，大部分活跃在教学和科研一线专注中国名校保（考）研考博辅导权威专注中国名校保（考）研考博辅导权威二、2015年中国科学院大学基础数学考博参考书三、中国科学院大学基础数学考博真题四、中国科学院大学基础数学考博报录比五、2015年中国科学院大学基础数学博士研究生招生专业目录学科、专业名称（代码）研究方向指导教师预计招生人数考试科目备注070101基础数学1401代数群与量子群席南华①1001英语一②2016代数学基础③3015李代数02代数K 理论唐国平①1001英语一②2297代数学A③3060代数K 理论03微分几何焦晓祥①1001英语一②2109微分流形③3091黎曼几何04调和分析燕敦验①1001英语一②2145实分析③3117调和分析070103概率论与数理统计01随机过程胡晓予①1001英语一②2177概率论A③3149随机过程论02非参数统计、应用统计张三国①1001英语一②2201概率论B③3172数理统计070104应用数学01非线性系统的符号计算陈玉福①1001英语一②2276计算机代数或2286微分方程③3235代数学B070105运筹学与控制论01信息和计算机科学中的最优化方法郭田德①1001英语一②2234概率论与数理统计A③3202最优化02网络最优化高随祥①1001英语一②2249概率论专注中国名校保（考）研考博辅导权威与数理统计B③3221图论与网络流03最优化与数据挖掘石勇①1001英语一②2263最优化理论与方法③3248模式识别或3261数据挖掘为中国科学院虚拟经济与数据科学研究中心代招田英杰同上同上六、中国科学院大学英语考博大纲考试对象报考中国科学院大学各单位（具体指中国科学院所属各研究院、所、中心、园、台、站及校部各直属院系）相关专业拟攻读博士学位的考生。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607, -i 的共轭复数为 i 选 A . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.4.设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线.5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(xg是R上的减函数，由符号函数1,0s g n0,01,0xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0s g n[()]0,0s g n1,0xg x x xx->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“1||2x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A．123p p p<<B．231p p p<<C．312p p p<< D．321p p p<<【答案】B（1）（2）（3）考点：几何概型.8．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b a b≠同时增加(0)m m>个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）A．对任意的,a b，12e e> B．当a b>时，12e e>；当a b<时，12e e<C．对任意的,a b，12e e< D．当a b>时，12e e<；当a b<时，12e e>【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在A B C ∆中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③所以11)2NB MA NA MB -==-=，11NB MA NAMB+=+=正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
华中科技大学2015年硕士研究生各院系复试分数线
华中科技大学2015年硕士研究生各院系复试分数线2015年华中科技大学硕士生入学考试复试分数线(不含专项计划)院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分011 数学学院070100 数学50 50 90 90 330 071400 统计学50 50 90 90 330 025200 应用统计60 60 95 95 360012 物理学院0702 物理学50 40 80 100 310 0805 工学50 40 90 110 330013 化学学院0703 化学50 50 90 90 330 0817（除08104外）化学与工程技术50 50 90 90 340 081704 应用化学50 50 90 90 335 085216 化学工程(专硕) 50 50 90 90 340 085235 制药工程(专硕) 50 50 90 90 340100 机械学院080201 机械制造及其自动化50 50 90 90 350 080202 机械电子工程50 50 90 90 350 080203 机械设计及理论50 50 90 90 350 080204 车辆工程50 50 90 90 350 0802Z1 工业工程50 50 90 90 350 080401 精密仪器及机械50 50 90 90 350 080402 测试计量技术及仪器50 50 90 90 350 085201 机械工程50 50 90 90 370 085203 仪器仪表工程50 50 90 90 370 085234 车辆工程50 50 90 90 370 085236 工业工程50 50 90 90 370 130500 设计学40 40 90 90 350110 材料学院080502 材料学50 50 90 90 376 0805Z1纳米科学与技术080503 材料加工工程50 5090 90 380 0805Z2 数字化材料成形院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分0852Z3 电子封装085204 材料工程50 50 90 90 345121 能源学院0807 动力工程及工程热物理50 50 90 90 350 085206 动力工程50 50 90 90 350122 中欧能源0807Z2 ★新能源科学与工程50 45 80 80 320131 电气学院080800 电气工程55 55 90 90 380 085207 电气工程55 55 90 90 360140 船海学院082401船舶与海洋结构物设计制造50 50 75 90 325 082402 轮机工程085223 船舶与海洋工程170 生命学院08 工科45 45 80 80 310 07 理科45 45 90 90 320 09 农学55 45 80 80 310 0852 工程硕士45 45 80 80 310181 电信学院081000 信息与通信工程50 50 90 90 380 080902 电路与系统080904 电磁场与微波技术085208 电子与通信工程50 50 90 90 350182 光电学院08 工学50 50 85 85 335 0852 工程硕士50 50 85 85 335184 自动化学院085210 控制工程50 50 90 90 370 0812Z1 信息安全50 50 80 80 330 081105 导航、制导与控制081104 模式识别与智能系统081103 系统工程081102 检测技术与自动化装置081101 控制理论与控制工程071102 系统分析与集成187 国光实验室080300/080900光学工程/电子科学与技术50 50 85 85 355 081201 计算机系统结构50 50 90 90 330 083100/0831生物医学工程/生物医学55 45 90 90 310院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分Z2 光子学085202/085208光学工程/电子通信与工程50 50 85 85 355085211 计算机技术50 50 90 90 330085230 生物医学工程55 45 90 90 310210 计算机学院0812 计算机科学与技术55 50 90 90 340 085211 计算机技术55 50 90 90 340220 建规学院085100 建筑学硕士45 45 90 95 308 083300 城乡规划学50 50 90 90 355 085300 城市规划硕士50 50 90 90 338 095300 风景园林硕士50 50 90 90 367 130500 设计学50 50 90 90 355 135108 艺术硕士50 50 80 90 347240土木学院0814 土木工程50 50 90 90 355 0823 交通运输工程50 50 90 90 365 0871 管理科学与工程（工学）60 55 90 90 340 085213 建筑与土木工程50 50 90 90 370 085222 交通运输工程50 50 90 90 350 085239 项目管理60 60 80 80 320 125600 工程管理硕士100 60 185 0801 力学55 40 90 90 305261 环境学院071300 生态学50 55 90 90 330 083001 环境科学60 50 90 90 330 083002 环境工程60 50 85 85 330 081403 市政工程50 55 90 90 330 081404供热、供燃气、通风及空调工程55 55 105 105 330 085213 建筑与土木60 60 80 85 330 085229 环境工程60 50 85 85 330271 水电学院081500 水利工程（科硕) 55 45 60 90 275 071102 系统分析与集成55 45 85 100 330 085214 水利工程（专硕) 50 50 60 90 275921 软件学院085212 软件工程50 50 80 80 325院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分300 管理学院120100 管理科学与工程55 55 90 90 360 120201 会计学55 55 90 90 360 120202 企业管理55 55 90 90 360 120204 技术经济及管理55 55 90 90 360 025300 税务60 60 90 90 350 1202Z1 知识产权管理55 55 90 90 360 030107 经济法学60 55 90 90 355 025600 资产评估60 60 90 90 350 085240 物流工程60 60 90 90 380 085236 工业工程60 60 90 90 370 125100 MBA（聚英计划）82 41 150 125100 MBA（跃升计划） 90 43 160 125300 会计硕士（非定向）120 60 219 125300 会计硕士（定向）100 50 160 025700 审计硕士120 60 216310 经济学院0201/0202 理论经济学/应用经济学55 55 90 90 368 025400/025100国际商务专业硕士/金融专业学位硕士（专业学位）401 中文系050101 文艺学60 55 100 100 355 050102 语言学及应用语言学050103 汉语言文字学050105 中国古代文学050106 中国现当代文学050108 比较文学与世界文学045300 汉语国际教育60 55 100 100 340403 法学院0301 法学50 50 90 903500351 法律硕士50 44 75 75 315404 社会学系0303 社会学60 50 90 90 360 120404 社会保障60 50 90 90 370院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分035200 社会工作60 60 90 90 360406 哲学系01 哲学60 48 90 90 320407 公管学院120401 行政管理60 60 100 100 360 120405 土地资源管理60 60 100 100 360 1204Z2 非传统安全60 60 100 100 360 1204Z3 电子政务60 60 100 100 360 125200 MPA 82 40 158408 马院0305 马原一级学科50 50 90 90 330 040202 发展与教育心理学55 55 180 335409 历史所060200 中国史60 50 240 0 360411 外国语学院050201/050211英语语言文学、外国语语言学及应用语言学55 60 95 95 355 050205 日语语言文学55 60 95 95 355 050204 德语语言文学55 60 95 95 355 055101/055102英语笔译/英语口译55 60 115 100 355420 教科院040101 教育学原理55 55 200 335 040102 课程与教学论55 55 200 335 040106 高等教育学55 55 200 335 040202 发展与教育心理学55 55 200 350 120403 教育经济与管理55 55 100 100 350 045101 教育管理（专业型）55 55 90 90 340 045114 现代教育技术（专业型）45 45 90 90 320431 体育部040301 体育人文社会学50 45 175 0 295 040303 体育人文训练学50 45 175 0 295450 新闻学院050301 新闻学60 60 90 90 360 050302 传播学60 60 90 90 360 0503Z2 广播电视与数字媒体60 60 90 90 350 0503Z3 广告与媒介经济60 60 90 90 350 055200 新闻与传播专业硕士60 60 90 90 370 055300 出版硕士60 60 90 90 375510 基础医学院10 医学50 45 160 295 07 理学50 45 80 80 295院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分513 公卫学院1004 预防医学科学学位55 54 200 340 105300 公共卫生专业学位55 54 200 340 120402社会医学与卫生事业管理60 60 90 90 360 077103 应用心理学60 60 90 90 340514 药学院1007 药学55 50 190 325 100800 中药学55 50 190 325 105600 中药学硕士55 50 190 325515 法医学系100105 法医学60 50 180 295516 医管学院1204 公共管理60 60 90 90 360 1205 图书情报（学术）54 54 90 90 360 1255 图书情报（专业）82 41 160517 护理学系101100 护理学65 50 210 340 519 计生所100211 妇产科学50 50 180 295530 协和医院0710 生物学50 50 90 90 320 0831 生物医学工程50 50 90 90 320 1001 基础医学50 50 180 320 1002 临床医学50 55 180 335 1003 口腔临床医学50 60 180 320 1006 中西医结合50 60 180 340 1007 药剂学50 55 180 330 1011 护理学50 55 180 340 1051临床医学硕士（不含中西医结合临床）50 55 180 335 105126 中西医结合临床50 60 180 340 1052 口腔医学硕士50 60 180 320 1054 护理硕士50 55 180 340540 同济医院0710 生物学55 55 90 90 300 1001 基础医学55 55 180 300 1002 临床医学55 55 180 310 1003 口腔医学55 55 180 320 1006 中西医结合55 55 180 320 1007(含100药理学（含中药学）55 55 180 310院系代码院系名称专业代码专业名称政治外国语业务一业务二总分8)1011 护理学60 60 180 3101051 临床医学硕士60 60 180 3201052 口腔医学硕士55 55 180 3201054 护理硕士55 55 180 310550 梨园医院10 医学50 50 180 290 1051 临床医学硕士50 50 180 2902015年华中科技大学硕士生入学考试专项计划复试分数线少骨考生定向单位省份类别总分要求内蒙/ 240辽宁/ 240吉林/ 240黑龙江/ 240湖南理工农院系240医科院系280文管院系（考三或四门）300广西理工农院系240医科院系240文管院系（考三或四门）290海南/ 240重庆/ 240四川/ 240贵州理工农院系240医科院系240文管院系（考四门）320文管院系（考二门）150 云南考三或四门240考二门150 西藏/ 240 陕西/ 240 甘肃/ 240 青海/ 240 宁夏/ 240 新疆/ 240 江西/湖北理工农院系300 医科院系300 文管院系（考三或四门）340 文管院系（考二门）220合计强军计划总分：240单考管理学院单科：40，总分：290法学院单科：40，总分：278。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607, -i 的共轭复数为 i 选 A . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.4.设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】 C考点：正态分布密度曲线.5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(xg是R上的减函数，由符号函数1,0s g n0,01,0xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0s g n[()]0,0s g n1,0xg x x xx->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“1||2x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A．123p p p<<B．231p p p<<C．312p p p<< D．321p p p<<【答案】B（1）（2）（3）考点：几何概型.8．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b a b≠同时增加(0)m m>个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）A．对任意的,a b，12e e> B．当a b>时，12e e>；当a b<时，12e e<C．对任意的,a b，12e e< D．当a b>时，12e e<；当a b<时，12e e>【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在A B C ∆中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③所以11)2NB MA NA MB -==-=，11NB MA NAMB+=+=正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年华中科技大学硕士生入学考试分数线
2015年华中科技大学硕士生入学考试分数线复试分数线 (不含专项计划)80503材料加工工程0805Z2数字化材料成形90903800852Z3电子封装85204材料工程50509090345807动力工程及工程热物理5050909035085206动力工程50509090350122中欧能源0807Z2★新能源科学与工程5045808032080800电气工程5555909038085207电气工程5555909036082401船舶与海洋结构物设计制造82402轮机工程85223船舶与海洋工程8工科454580803107理科454590903209农学55458080310852工程硕士4545808031081000信息与通信工程80902电路与系统80904电磁场与微波技术85208电子与通信工程505090903508工学50508585335852工程硕士5050858533585210控制工程505090903700812Z1信息安全81105导航、制导与控制81104模式识别与智能系统81103系统工程110材料学院5050121能源学院131电气学院140船海学院50507590325170生命学院181电信学院50509090380182光电学院184自动化学院81102检测技术与自动化装置81101控制理论与控制工程71102系统分析与集成080300/ 080900光学工程/电子科学与技术5050858535581201计算机系统结构50509090330083100/ 0831Z2生物医学工程/生物医学光子学55459090310085202/ 085208光学工程/电子通信与工程5050858535585211计算机技术5050909033085230生物医学工程55459090310812计算机科学与技术5550909034085211计算机技术5550909034085100建筑学硕士4545909530883300城乡规划学5050909035585300城市规划硕士5050909033895300风景园林硕士50509090367130500设计学50509090355 135108艺术硕士50508090347 814土木工程50509090355823交通运输工程50509090365184自动化学院50508080330187国光实验室210计算机学院220建规学院871管理科学与工程（工学）6055909034085213建筑与土木工程5050909037085222交通运输工程5050909035085239项目管理60608080320125600工程管理硕士10060185801力学5540909030571300生态学5055909033083001环境科学6050909033083002环境工程6050858533081403市政工程5055909033081404供热、供燃气、通风及空调工程555510510533085213建筑与土木6060808533085229环境工程6050858533081500水利工程（科硕)5545609027571102系统分析与集成55458510033085214水利工程（专硕)50506090275921软件学院85212软件工程50508080325120100管理科学与工程55559090360120201会计学55559090360120202企业管理55559090360120204技术经济及管理5555909036025300税务606090903501202Z1知识产权管理5555909036030107经济法学6055909035525600资产评估6060909035085240物流工程6060909038085236工业工程60609090370240土木学院261环境学院271水电学院300管理学院125100MBA（聚英计划）8241150125100MBA（跃升计划） 9043160125300会计硕士（非定向）12060219125300会计硕士（定向）1005016025700审计硕士120602160201/0202理论经济学/应用经济学国际商务专业硕士/金融专业学位硕士（专业学位）50101文艺学50102语言学及应用语言学50103汉语言文字学50105中国古代文学50106中国现当代文学50108比较文学与世界文学45300汉语国际教育6055100100340350301法学351法律硕士50447575315303社会学60509090360120404社会保障60509090370310经济学院55559090368025400/025100401中文系6055100100355403法学院50509090404社会学系35200社会工作60609090360 406哲学系1哲学60489090320 120401行政管理6060100100360120405土地资源管理60601001003601204Z2非传统安全60601001003601204Z3电子政务6060100100360 125200MPA8240158305马原一级学科5050909033040202发展与教育心理学5555180335409历史所60200中国史60502400360050201/ 050211英语语言文学、外国语语言学及应用语言学5560959535550205日语语言文学5560959535550204德语语言文学55609595355055101/ 055102英语笔译/英语口译556011510035540101教育学原理555520033540102课程与教学论555520033540106高等教育学555520033540202发展与教育心理学5555200350120403教育经济与管理555510010035045101教育管理（专业型）5555909034045114现代教育技术（专业型）45459090320404社会学系407公管学院408马院411外国语学院420教科院40301体育人文社会学5045175029540303体育人文训练学5045175029550301新闻学6060909036050302传播学606090903600503Z2广播电视与数字媒体606090903500503Z3广告与媒介经济6060909035055200新闻与传播专业硕士6060909037055300出版硕士6060909037510医学50451602957理学504580802951004预防医学科学学位5554200340105300公共卫生专业学位5554200340120402社会医学与卫生事业管理6060909036077103应用心理学606090903401007药学5550190325100800中药学5550190325105600中药学硕士5550190325515法医学系100105法医学60501802951204公共管理606090903601205图书情报（学术）545490903601255图书情报（专业）8241160517护理学系101100护理学6550210340519计生所100211妇产科学5050180295710生物学50509090320831生物医学工程505090903201001基础医学50501803201002临床医学5055180335431体育部450新闻学院510基础医学院513公卫学院514药学院516医管学院1003口腔临床医学50601803201006中西医结合50601803401007药剂学5055180330 1011护理学50551803401051临床医学硕士（不含中西医结合临床）5055180335105126中西医结合临床50601803401052口腔医学硕士50601803201054护理硕士5055180340 710生物学55559090300 1001基础医学5555180300 1002临床医学5555180310 1003口腔医学55551803201006中西医结合55551803201007(含1008)药理学（含中药学）55551803101011护理学60601803101051临床医学硕士60601803201052口腔医学硕士55551803201054护理硕士5555180310 10医学50501802901051临床医学硕士5050180290530协和医院540同济医院550梨园医院。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
（）
A． sgn[g(x)] sgn x
B． sgn[g(x)] sgn x
C． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 f (x) 是 R 上的增函数，令 f (x) x ，所以 g(x) (1 a)x ，因为 a 1 ，
x,
y
，记
p1 为事件“
x
y
1 2
”的概率，p2
为事件“ |
x
y
|
1 2
”
的概率，
p3
为事件“
xy
1 2
”的概率，则
（
A． p1 p2 p3
B． p2 p3 p1
【答案】B
） C． p3 p1 p2
D． p3 p2 p1
（1）
（2）
考点：几何概型.
（3）
8．将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m 0) 个单位长
度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则（ ）
A．对任意的 a, b ， e1 e2
B．当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
C．对任意的 a, b ， e1 e2
D．当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
【答案】D
3
考点：1.双曲线的性质，2.离心率.
9．已知集合 A {(x, y) x2 y2 1, x, y Z}， B {(x, y) | x | 2 , | y | 2, x, y Z}，定义集合
A B {(x1 x2 , y1 y2 ) (x1, y1) A, (x2 , y2 ) B} ，则 A B 中元素的个数为（ ）
2015高考真题——数学理科(湖北卷)Word版含答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类） 本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
在试题卷、草稿纸无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
在试题卷、草稿纸无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑答题卡上对应的答题区域内在试题卷、草稿纸上效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ．的共轭复数为 A． B． C．D．2．我国古代数学名著《数书》有米谷粒分题：粮开仓收粮，有人送来米1534石，谷，抽样取米一把254粒内谷28粒，则这批米内谷约为 A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相，则奇数项的二项式系数和为A．B．C．D．4．，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A．B．C．， D．， 5．设，. 若p：成等比数列，则 A．．．．6．符号函数是增函数， A． B．C． D．7．上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 A．B． C．D． 8．将离心率为双曲线的实半轴长和虚半轴长增加长度，得到离心率为双曲线，则A．，B．当时，；当时，C．，D．当时，；当时，．，，定义集合 ，则中元素的个数为 A．B．C．D．10．，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， 同时成立，则正整数的最大值是 A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题） 11．，，则． 12．的零点个数为13．如图，处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则 m. 14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点且． （Ⅰ）圆的方程为； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于；②；③．（）选题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请在答题卡指定位置将你所选的题目序号用2B铅笔涂黑．如果全，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲） 如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线且，则 16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xy中以为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知，曲线 ( t为参数) 相交于B两点则三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分1分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： 0 0 50 （Ⅰ）请将上表数据，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图 象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.18．（本小题满分12分） 设等差数列的公差为d，前n项和为等比数列的公比为q．已知，，，． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）时，记，数列的前n项和． 19．（本小题满分12分） 如图在中，底面，，的中点作交于点 （）．试判断四面体鳖臑；（）面所成二面角的大小为， 求的值．20．（本小题满分12分） 两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量． （）的分布列和均值； （）21．（本小题满分1分） 是滑槽的中点，短杆ON可绕转动，通过处铰链与连接，上的可沿，，．当绕处的笔尖画出为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知的各项均为正数，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小； （Ⅱ）计算，，，由此的，并给证明； （Ⅲ），数列，的前项和分别记为,, 证明：. 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（类）试题参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分11．912．2 13． 14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ 15．16． 三、解答题本大题共6小题，共75分17．（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表： 0 0 5 00 且函数表达式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，得. 的对称中心为，. 令，解得， . 由于函数的图象关于点成中心对称，， 解得，. 可知，当时，取得最小值. 18．（Ⅰ）由题意有，即 解得或故或（Ⅱ）由，知，，，，. ② ①-②可得 ， 故. 19．（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，为长方形，有，而， 所以. 而，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以. 而，所以. 又，，所以. 由平面，平面，可知四面体四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. 又因为底面，所以. 而，所以. 故是面与面所成二面角的平面角设，，, 得, 则 , 解得. 所以面所成二面角的大小为时，. （解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，， 于是，即. 又已知，而，所以. , , 则, 所以. 由平面，平面，可知四面体即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量； 由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. 面与面所成二面角的大小为，则， 解得. 所以面所成二面角的大小为时，. 20．（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有 （1） 目标函数为． 当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．将变形为， 当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利． 当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为． 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利． 当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利． 故最大获利的分布列为 8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 因此， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为 21．（Ⅰ）设点，，依题意， ，且， 所以，且 即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0， 于是，故，代入，可得， 即所求的曲线的方程为 的斜率不存在时，直线为或，都有. （2）当直线的斜率存在时，设直线， 由消去，可得. 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即. ① 又由可得；同理可得. 由原点到直线的距离为和，可得 . ② 将①代入②得，. 当时，； 当时，. 因，则，，所以， 当且仅当时取等号. 所以当时，的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. 22．（Ⅰ）的定义域为，. 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，，即. 令，得，即. ①（Ⅱ）；； ② 下面用数学归纳法证明②（1）当时，左边右边，②成立. （2）假设当时，②成立，即. 时，，由归纳假设可得 . 时，②成立. （1）（2），可知②对一切正整数n成立. （Ⅲ）由的定义②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 . 即. 第题图 第题图 y N M O D x 第19题图 第15题图 B M A N C T y O x 第14题图 第13题图 第4题图 第19题解答图2 第19题解答图1 第20题解答图1 第20题解答图2 第20题解答图3 第21题解答图。
华中科技大学15年复试分数线
55
60
95
95
355
050205
日语语言文学
55
60
95
95
355
050204
德语语言文学
55
60
95
95
355
055101/055102
英语笔译/英语口译
55
60
115
100
355
420
教科院
040101
教育学原理
55
55
200
335
040102
课程与教学论
90
90
370
055300
出版硕士
60
60
90
90
375
510
基础医学院
10
医学
50
45
160
295
07
理学
50
45
80
80
295
513
公卫学院
1004
预防医学科学学位
55
54
200
340
105300
公共卫生专业学位
55
54
200
340
120402
社会医学与卫生事业管理
60
60
90
90
360
077103
360
1255
图书情报（专业）
82
41
160
517
护理学系
101100
护理学
65
50
210
340
519
计生所
100211
妇产科学
50
50
华中科技大学数学与统计学院
数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院始建于1953年，经历了由数学教研室、数学系到数学与统计学院的发展历程。
自1980年建系开始，我院开始走上了学科发展的艰辛旅途：1981年获得“应用数学”硕士点，1990年获得“计算数学”硕士点，1993年获得“概率论与数理统计”硕士点，1998年获得“概率论与数理统计”博士点。
首个博士点的取得，使我院的学科建设实现了一次质的飞跃。
继而，我们在1999年获得“基础数学”硕士点，2001年获得数学博士后流动站，2005年获得数学一级学科硕士点，其涵盖五个二级数学学科。
2008年，我院与计算机科学与技术学院共建“计算机软件与理论”博士点，并从2009年起招收博士生。
在学科授权点建设的同时，我们也先后建立了统计学、信息与计算科学、数学与应用数学三个本科专业。
我院现有在校学生600余人，其中本科生410人、硕士生190人、博士生27人。
至此，我院的学科建设已初具规模。
数学与统计学院下设：基础数学系、应用数学系、计算数学系、概率论与数理统计系和大学数学教学中心等二级单位。
目前，学院共有教职工93人，其中教授20人，副教授38人，博士生导师12人。
教师中有博士学位者占56%，有5人分别获批教育部“长江讲座教授”、“高校青年教师奖”、“新世纪优秀人才支持计划”和“跨世纪优秀人才资助计划”，1人入选人事部“新世纪百千万人才工程”，6人获得国务院政府特殊津贴。
近五年来，我院教师共获科研经费463．71万元，其中国家自然科学基金15项；发表SCI收录论文198篇，出版各类专著、教材30余本。
在专业研究方面，我院形成了随机分析、数理统计、动力系统、分形几何、微分方程理论、金融数学、应用泛函分析、微分方程数值解、复杂系统建模与仿真、小波分析与图像处理等学术团队。
在学校历届领导的支持和本院新老几代人的努力下，我们在学科建设、科学研究、人才培养等方面取得了长足进步，数学各二级学科得以均衡发展。
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【年，理1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密 （A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）（A q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 （6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） （A ）77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点， 所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶 在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______． 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． （16）【2015年，理16，5分】（选修4-4O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． （19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥． 而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ， 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．W 12 15 18 P0．30．50．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++． 由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
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1
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i) .
求 f 在 z0 = 1/2 处的 Taylor 级数的收敛半径.
1
3. 是否存在在开单位圆盘 U 内全纯的函数 f , 满足 | f (z)| = e|z|, ∀z ∈ U ?
面试问题
1. 什么是热传导方程? 写出它的解, 并在黑板上推算出来, 它的解有什么性质? 2. 柯西问题是什么? 3. 椭圆方程是什么? 4. 代数基本定理是什么? 在黑板上证明一下. 5. 有没有旁听量子力学的课? 6. 刘维尔定理是什么? 用刘维尔定理来证明代数基本定理. 另外一些同学的面试问题是求不定积分, 常微分方程等.
构的.
(
)
2. 设 V 为全体 2 阶对称复方阵构成的复线性空间, 设 A =
01 10
. 定义线性变换
A : V → V 使得 A(X) = AX + XA. 试求 A 的全部特征值以及相应的特征向量.
3. 考 虑 n 阶 对 称 方 阵 A, 其 元 素 由 整 数 组 成. 设 A 满 足 条 件 zAz′ > 0, 其 中 z = (z1, z2, · · · , zn) 为任意由 n 元非负整数组成的非零行向量, z′ 表示其转置. 试证明:
线性代数 (三选二)
1. 考虑实数域上的有限维线性空间 V, 以及 V 的两个线性子空间 U 和 W 满足 U ∩ W = 0.
任取 U 的补空间 U′, 即 V = U ⊕ U′. 定义投影映射 p : V → U′, p(v) = u′, 其中
v = u + u′ 使得 u ∈ U, u′ ∈ U′. 证明: 映射 p 是线性映射, 且线性空间 p(W) 与 W 是同
(1) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元非负实数组成的行向量; (2) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元 (非零) 正实数组成的行向量.
复变函数 (三选二)
1. 计算积分 ∫ 2π ee2it−3itdt ;
0
2. 设
f
(z)
=
(z2
1 + 1) (z
2
S
轴正方向夹角为锐角.
2.
已知
f ′(x)
连续,
f (0)
= 0,
f ′0∫101f
(x2
) t
dt
f (xt) dt
.
3. 设 f (x) 在区间 [0, +∞) 上有连续的导函数, f (0) = 0, 且 | f (x) − f ′(x)| ≤ 1. 求证: | f (x)| ≤ ex − 1, x ∈ [0, +∞) .
中国科学技术大学 数学科学学院 2015 ( HUST 版)
2015 年 5 月 17 日
数学分析 (三选二)
1. 计算下列积分
∫
(1) √
1√
dx;
∫∫ x + 1 + x − 1
(2) (2x + z) dydz + zdxdy, 其中 S 为有向曲面 z = x2 + y2(0 ≤ z ≤ 1), 其法向与 z