中考数学压轴题专项汇编专题7旋转之求线段最值

专题7 旋转之求线段最值

破解策略

用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题

如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋O B．

最小值

常见的题型有：

1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑

动．

m

取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．

m

2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．

m

取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．

m

3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．

取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．

m

例题讲解

例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝1

2

．若BC＝6，点D在边AC的三等分

点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．

解：在Rt△ABC中，AC＝

tan BC

BAC

＝12，

AB＝

①如图1，当AD＝1

3

AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝

1

2

AB＝，

EF＝1

2

AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，

此时CE＝CF＋EF＝

2＋

图1

②如图2，当AD＝2

3

AC时，同理可得CE

的最大值为4＋．

综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE

的长度的最大值为4＋

图2

例2 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠

ABO ＝30°．如图，若BO

＝N 在线段OD 上，且NO ＝2，P 是线段AB 上的一个动点，

在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为________，最大值为________．

B

C

D

P

N

O A

－2

；2． 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则OE ＝

12

OB

．

故当点P 在点E 处时，OP

；当点P 在点B 处时，OP

长度取最大值

A O N

P

D

B

C

E

①当△AOB 绕点O 旋转到O ，E ，D 三点共线，且点E 在线段OD 上时，PN 取最小值，即OE －

ON

－2；

D

②当△AOB 绕点O 旋转到O ，B ，D 三点共线，且点B 在线段DO 的延长线上时，PN

取最大值，

OB ＋ON ＝

2．

所以线段PN

长度的最小值为

－2，最大值为2．

D

C

进阶训练

1． 已知△AOB 和△COD 是等腰三角形，其中BA ＝BO ＝2，CD ＝CO ＝3，∠ABO ＝∠DCO ．连结AD ，BC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点．若固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，求MN 的最大值．

N

M

A

B

C

D

O

【答案】

5

2

． 【提示】如图，取OB 的中点E ，连结EM ，EN ，则EM ，EN 为定值，当点E 在线段MN 上时，MN 取最大值．

E

O

D

C

B

A

M N

2． 已知：在R t △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，记直线BD 1与CE 1的交点为P ． （1）设BC 的中点为M ，求线段PM 的长； （2）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．

E 1

D 1

A B

C D

E

P

【答案】（1）

（2）1

【提示】（1）易证△E 1AC ≌△D 1AB ，所以∠E 1CA ＝∠D 1BA ，从而可得∠BPC ＝∠BAC ＝90°，所以PM ＝

1

2

BC

＝ M

P

E

D

C B

A D 1

E 1

（2）由题意知，点D 1，E 1在以A 为圆心、AD 为半径的圆上，而点P 在直线BD 1上，所以当直线BD 1与⊙A 相切时，点P 到AB 的距离最大．此时四边形AD 1PE 1是正方形，即PD 1＝AD 1＝2．如图，作PG ⊥AB 于点G ，解Rt △PGB 即可．

3． 已知：正方形ABCD 的边长为1，P 为正方形内的一个动点，若点M 在AB 延长线上，且满足△PBC ∽△PAM ，延长BP 交AD 的延长线于点N ，连结CM ，是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝

1

2

？请说明理由． A C

D

P

N

【答案】不存在满足条件的点P ，使得PC ＝

12

． 【提示】因为△PBC ∽△PAM ，可得∠ABP ＋∠PAM ＝∠ABP ＋∠PBC ＝90°，所以AP ⊥BN ．以

AB 为直径，作半圆O ，连结OC ，OP ，则OP

＋PC ≥OC ，从而PC 件的点P ，使得PC ＝

12

．