结构动力学习题答案

π
注意：①椭 圆 平行于纸 面放置 ②此题 不须 考虑 椭 圆 板的重力做功。因为 列方程时 ，u 时 以静 平衡位置为 零点，重力一 直被弹 簧力所抵消。 （参 见 教 材 P32 重力影响 的解释 ） 由虚 功原理： δ Ws + δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
4 1 i 149 2 ii ku + C u + πl r u = p 9 9 1152 149 2 广义 质 量 M = πl r 1152
−δ Ws = kuδ u −δ WD = C u δ u
ii ii ⎛ ii ⎞ −δ WI = m1 u δ u + m2 ⎜ u + L θ ⎟ δ ( u + Lθ ) ⎝ ⎠ i
= m1 u δ u + m2 u δ u + m2 L θ δ u + m2 L u δθ + m2 L2 θ δθ
2 2 n n
1 + [2ξ (w wn )]
2 2
ξ =0
TR =
[1 − (2π × 25 w ) ]
n
1
2 2
w
wn , 解得： wn = 47.36rad / s
2 K = mwn = 908 × 47.36 2 = 2036 .6 KN / m
3.7 解：对于任意简支梁跨中 F − δ 关系：
解：以 m1 − k 体系静平衡位置作为原点 则 m1 , m2 共同作用的静平衡位置 u st = 碰撞之前 m2 的速度 v2 = m2 2 gh 碰撞之后：动量守恒
3.4
m2 g k
( m1 + m2 ) u (0) = m2 2 gh
即 u (0) =
i
i
m2 2 gh m1 + m2
动力方程： ( m1 + m2 )( u − ust )′′ + K ( u − ust ) = 0
2.3 解：
2 2 4 −δ Ws = k uδ ( u ) = kuδ u 3 3 9 i 1 ⎛1 ⎞ 1 i −δ WD = C u δ ⎜ u ⎟ = C u δ u 3 ⎝3 ⎠ 9 l l ⎛ ⎞ ii 2 2 r⎡ ⎤ ⎜ u ⎟ 149 2 ii l l u l l ii ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ πl r uδu −δ WI = 2 4 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ δ ⎜ ⎟ + π r uδu = 4 ⎣ 24 1152 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎥ 3l ⎜ 3l ⎟ 2 ⎝2 ⎠ δ Wp = p ( t ) δ u
k 3500 ×10 3 = = 2rad / s m 875 ×10 3
设 u (t ) = A cos wn t + B sin wn t 将 u (0 ) = 4.6 及 u (1.2) = 4.6 代入解得：
A = 4.6
B = 11.8
⇒ u (t ) = 4.6 cos 2t + 11.8 sin 2t ⇒ u (2.4) = −11.4cm
ii 1 ⎫ ⎡ m2 L ⎤ ⎧ ⎪u ⎪ ⎢C1 + C2 4 ⎨ ii ⎬ + m2 L2 ⎥ ⎦ ⎪θ ⎪ ⎢ 0 ⎩ ⎭ ⎣
⎤⎧i ⎫ 0 ⎥ ⎪u ⎪ ⎡ k1 + k2 +⎢ i ⎬ ⎥⎨ ⎣ 0 0⎦ ⎪ ⎩θ ⎪ ⎭
0 0 ⎤ ⎧u ⎫ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ 0 ⎦ ⎩θ ⎭ ⎩−m2 g sin θ i L ⎭
3.1
解：由题可知：
TD = 0.64 s ，即 TD = 1.28s 2 T u (0) = 3.1cm u ( D ) = −2.2cm 2
由 得：
⎡ ⎤ u (0) + ξwn u (0) u (t ) = e −ξwnt ⎢u (0) cos wD t + ( sin wD t )⎥ wD ⎣ ⎦
i i ⎤ 1 ⎤ ⎧ ii ⎫ ⎡ ⎧ ⎫ 0 ⎥ ⎪ q1 ⎪ ⎢ 0 2m2 q1 q2 ⎥ ⎧ q1 ⎫ ⎪− m2 g sin q 1 iq2 − m1 gL sin q1 ⎪ 2 ⎨ ii ⎬ + ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ i 2⎥ q ⎥⎪ ⎩ ⎭ 2 ⎪ ⎪ ⎪ q + m g cos q kb m2 ⎦ ⎥⎩ 2⎭ ⎣ ⎢ 0 k − m2 q1 ⎦ ⎥ ⎩ ⎭ 2 1
4.938rad / s
2 K = mwn = 90 × 10 3 × 4.938 2 = 2194 .5 × 10 3 N / m = 2194 .5 KN / m
阻尼系数：
C = 2ξmwn = 2 × 10.9% × 90 × 10 3 × 4.938 = 96.9 KN • s / m
3.2 解： wn =
⇒ ( m1 + m2 ) u + Ku = m2 g
解得： u = A cos wn t + B sin wn t +
i
ii
m2 g ⎛ K ⎜ wn = ⎜ m1 + m2 K ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
将 u (0) = 0 及 u (0) =
m2 2 gh 代入解得： m1 + m2
A=−
m2 g 2 gh , B = m2 k k (m1 + m2 )
广义 刚 度 K: 4/9 K 广义 阻尼 C：1/9 C 广义 荷载 ：P 2.4 解：
−δ Ws = k ( q2 − b ) δ q2 −δ WI = m1 L q1 δ q1 − m2 q2 q1 δ q2 + m2 q 2 δ q2 + m2 q2 2 q1 δ q1 + 2m2 q1 q 2 q2δ q1
联 立解得： k
=
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k3 ( k1 + k2 ) k1 + k 2 + k3
ii k3 ( k1 + k2 ) iu + m u = p ( t ) k1 + k2 + k3
与 a）同理，得：
2.2 解：a）先求框架刚 度，用单 位荷载 法求δ11
12
h
12
12
h
h
12
h
所以， δ11 =
1 1 ⎞ ⎛1 2⎞ h3 ⎛1 （其中 EIb＝∝，故 1/ EIb＝0） × 2×⎜ h× h⎟×⎜ h× ⎟ = EI c 2 ⎠ ⎝2 3 ⎠ 6 EI c ⎝2
2.1 解： a）刚 度即是使质 点产 生单 位位移所需施加的力，设 为 k，则 ：当 质 点产 生位移Δ时 ， 有：KΔ＝K1Δ+K2Δ；所以，等效刚 度K＝K1+K2
−δ Ws = kuδ u = ( k1 + k2 ) uδ u
δ Wp = p ( t ) δ u
由虚 功原理得： ( k1 + k2 ) u + mu = p ( t ) b） ⎨
振幅： u 0 = 3.3
A 2 + B 2 = 12.7cm
解：总刚度 K =
1120 = 56 KN / m 0.02
(1)
wn =
k 56000 = 22.36rad / s m 112
(2)
ξ=
u 1 1 In i I n 8 = 16.5% 2πj u 2+ j 4π
(3)
wD = wn 1 − ξ 2 = 22.36 × 1 − 0.165 2 = 22.06 rad / s
−δ Ws = k1uδ u + k2uδ u
i i i 1 ⎛1 i ⎞ ⎛1 ⎞ −δ WD = C1 u δ u + C2 × ⎜ u ⎟ δ ⎜ u ⎟ = C1 u δ u + C2 u δ u 4 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ii ii ⎛ ii ⎞ −δ WI = m1 u δ u + m2 ⎜ u + L θ ⎟ δ ( u + Lθ ) ⎝ ⎠
5 .0 1 = u st 2ξ
(1)
当 w wn = 1 时，发生共振有： Rd 1 =
当 w wn = 1 10 时， Rd 1 =
0 .5 = u st
(1 − 0.1 ) + (2ξ × 0.1)
2 2
1
(2)
2
由式(1),(2)可以解得 ξ = 4.95%
3.6 解：
TR =
[1 − (w w ) ] + [2ξ w w ]
w=
k 5951.1×10 3 = = 104.5rad / s m 545
300 × 2π = 10πrad / s 60 10π w = = 0.301 wn 104.5
β=
ξ = 0.01
Rd =
u0 1 = = 2 u st ⎡ ⎛ w ⎞2 ⎤ 2 ⎢1 − ⎜ w ⎟ ⎥ + [2ξ (w wn )] n⎠ ⎣ ⎝ ⎦
a0 = u0 w2 = 5.0 ×10 −5 × (10π ) = 4.9 ×10 −2 m / s 2
2
3.8 解：(1)从图中可以看出： u 0 = 0.38cm
Ku 0 = 1730 N
ii
ii
ii
ii
ii
δ Wp = −m2 g sin θ i Lδθ
虚 功原理： δ Ws
+ δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
⎡ m1 + m2 ⎢ mL ⎣ 2
2.6 解：
ii ⎫ ⎧i⎫ m2 L ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎪ u ⎪ ⎡C 0 ⎤ ⎪ u ⎪ ⎡ k 0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧ +⎢ ⎨ i ⎬+ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎨ ii ⎬ m2 L ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩θ ⎭ ⎩−m2 g sin θ i L ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭
u ( 0)
ξ
3 .1 − u ( 0) T = = −ξwn D TD − 2.2 u( ) e 2u 2
所以： π
(0)
=−e
1−ξ 2
π
ξ
1− ξ 2 =
= 0.3429 ⇒ ξ = 0.109 = 10.9% 2π TD 1 − ξ
2
wn =
wD 1− ξ
2
=
2π 1.28 × 1 − 0.109 2
= m1 u δ u + m2 u δ u + m2 L θ δ u + m2 L u δθ + m2 L2 θ δθ
ii
ii
ii
ii
ii
δ W p = − m2 g sin θ i Lδθ
虚 功原理： δ Ws
+ δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
⎡ m1 + m2 ⎢ mL ⎣ 2
(1 − 0.301 ) + (2 × 0.01× 0.301)
2 2
1
2
= 1.10
u 0 = u st • Rd = 4.5 × 10 −5 × 1.1 = 5.0 × 10 −5 m
设 则
u = u 0 sin (wt − φ )
u ′′ = −u 0 w 2 sin (wt − φ )
所以： 加速度振幅
m2 g m g⎛ 2 gh wn = cos wnt + m2 sin wn t + 2 ⎜ k k (m1 + m2 ) K ⎜ ⎝
解： Rd =
于是：
u=−
3.5
K m1 + m2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
u0 1 = 2 u st ⎡ ⎛ w ⎞2 ⎤ 2 ⎢1 − ⎜ w ⎟ ⎥ + [2ξ (w wn )] n⎠ ⎣ ⎝ ⎦
∴k =
1
δ11
=
6 EI c h3
−δ Wk = kuδ u = −δ WI = m u δ u
ii
6 EI c uδ u h3
δ Wp = p ( t ) δ u
由虚 功原理： δ Wk + δ WI + δ W p = 0 得：
ii 6 EI c u + m u = p (t ) 3 h 24 EI c 3 × 1 4 + 1 168 EI c × = b） k = 3 h3 3 × 1 + 1 19h 4 ii 168 EI c ∴运 动 方程： u + m u = p (t ) 19h3
ii
−δ WI = mu δ u
ii
⎧k ∆ = k1∆1 = k2 ∆ 2 ⎩ ∆1 + ∆ 2 = ∆
k= k1k2 k1 + k 2
ii k1k2 iu + m u = p ( t ) k1 + k2
联 立解得：
与 a）同理，得：
⎧ k ∆ = k3 ∆ 3 ⎪ c） ⎨k ∆ = ( k 1 + k2 ) ∆1 ⎪ ∆ +∆ =∆ 1 3 ⎩
δ=
Fl 3 48 EI
⇒ K1 =
48 EI l3
96 EI 96 × 2.06 ×108 × 4.16 ×10 −6 所以体系的刚度： K = 2 K1 = = = 5951.1KN / m l3 2 .4 3
u st = P0 0.267 = = 4.5 × 10 −5 m K 5951.1
wn =
1 3 2 ii i 2 ii ii i i
δ W p = m2 g cos q1δ q2 − m2 g sin q1 iq2δ q1 − m1 gL sin q1δ q1
由 δ Ws + δ WI + δ W p = 0 得：
1 2
⎡1 2 2 ⎢ 3 m1 L + m2 q2 ⎢ 0 ⎢ ⎣
2.5 解：