近世代数复习提纲

近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

１、群的定义(四个等价定义）

2、基本性质

（1)单位元的唯一性；

（2）逆元的唯一性；

(3)11111(),()ab b a a a -----==;

（4）ab ac b c =⇒=；

(５）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。

3、元素的阶

使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的,记作||a =∞。

(1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。

（２）若m a e =,则

①||a m ≤;

②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。

（3)当群G 是有限群时，a G ∀∈,有||a <∞且||||a G 。 (4)||||r n a n a d =⇒=

,其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d

。 另一方面，因为()r k rk a a e ==,所以n rk ,从而

n r k d d ,又(,)1r n d d

=,所以n k d ，故n k d =。

注：1︒ ||||||ab a b ≠,但若ab ba =,且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P7０．３)。

２︒ ||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞;但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=,则G 关于普通乘法作成群。显然,１是G 的单位元，所以a G ∀∈,有||a <∞,但||G =∞。

二、群的几种基本类型

1、有限群:元素个数（即阶）有限的群,叫做有限群。

2、无限群：元素个数（即阶)无限的群,叫做无限群。

3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。

(1）变换群的单位元是A 的恒等变换。

(２)A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （３）一般地，变换群不是交换群。

(４)任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群:有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。

解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(1)n 元集合A 的所有置换作成的置换群,叫做n 次对称群,记作n S 。

(2)||!n S n =。

(3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。

（4）11221()()k k i i i i i i -=。

（5)任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群:若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈,则称G 是循环群。

(１）循环群是交换群(P61.1)。

(２)素数阶群是循环群（Ｐ７0.1）。

(3）循环群的子群是循环群（P65.4)。

(4)当||G =∞时,2102{,,,,,,}G Z G a a e a a a --≅⇒==; 当||G n =时,021{,,,

,}n n G Z G e a a a a -≅⇒==。

(5)||||G a =

(６）当||G =∞时,G 有且仅有两个生成元1,a a -； 当||G n =时，G 有且仅有()n ϕ个生成元,这里()n ϕ表示小于n 且与n 互素的正整数个数。且当(,)1m n =时，m a 是G 的生成元。 （７)若G 与G 同态，则

1︒ G 也是循环群;

2︒ 当()a a ϕ=时,()G a =;

３︒ G 的阶整除G 的阶。

例3(P79、3)

三、子群

1、定义:设H 是群G 的非空子集,若H 关于G 的于是也构成群,则称H 是G 的子群，记作H G ≤。

2、等价条件

(1）群G 的非空子集H 是子群⇔,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈ ⇔,a b H ∀∈,有1ab H -∈ (２）群G 的非空有限子集H 是子群⇔,a b H ∀∈，有ab H ∈。

3、运算

(１）若12,H H G ≤,则1

2H H G ≤（可推广到任意多个情形)。 (2）若12,H H G ≤,则12H H 未必是G 的子群。

（3）若12,H H G ≤，则12121122{|,}H H h h h H h H =∈∈未必是G 的子群。

（４）若12,H H G ≤，则12H H -不是G 的子群。 ４、陪集

设H G ≤,则G 的子集{|}aH ah h H =∈叫做H 的包含a 的左陪集;G 的子集{|}Ha ha h H =∈叫做H 的包含a 的右陪集。

(1)一般地，aH Ha ≠。

（2)1aH bH b a H -=⇔∈;1Ha Hb ab H -=⇔∈;()aH Ha H a H =⇔∈。 （3)()aH Ha G a H ≤⇔∈。

(４）()()()[()()]aH bH Ha Hb aH bH Ha Hb φφ≠≠⇔==。

(5){|}aH a G ∈是G 的一个分类,{|}Ha a G ∈也是G 的一个分类。即

a G G aH ∈=

,且()()aH bH φ=(当aH bH ≠时)

或

a G G Ha ∈=

，且()()Ha Hb φ=（当Ha Hb ≠时)

5、指数：

群G 的子群H 的左陪集(右陪集）个数叫做H 的指数，记作[:]G H 。 当||G <∞时，有||||[:]G H G H =。

6、不变子群

设H 是群G 的子群,若a G ∀∈，都有aH Ha =,则称H 是G 的不变子群,记作H G 。

群G 的子群H 是不变子群⇔a G ∀∈,有1a Ha H -= ⇔,a G h H ∀∈∀∈，有1a ha H -∈。 例4(Ｐ74、1）

例５（P ７4、3）

１〫不变子群的交是不变子群。

2〫交换群的子群是不变子群。