函数与数列综合 专题

函数与数列综合 专题

1. 已知函数与函数的图像关于直线对称．

（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域； （2）数列中，，当时，．数列中，

，．点在函数的

图像上，求的值； （3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，

则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数学归纳法证明问题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。 转化（化归）思想，

解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，

，

（2）因为点在函数的图像上，所

()x f ()()01>-=a x a y x y =a ()x f {}n

a 11

=a

2≥n 1a a n >{}n b 21=b n n b b b S ++=21() ,3,2,1,=⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

n n S a P n n n ()x f a n P 4

π

n

l n l ()13

1

+n b () ,3,2,1=n {}n a ()x f ()()01>-=a x a y ()12

+=a

x x f ()0≥x () ,3,2,1,=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

n n S a P n n n ()x f

以， (*)

在上式中令可得：，又因为：

，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为：

① （3）直线的方程为：，， 在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以， =

，结合①式可得：

②

由①可知：当自然数时，

，，

两式作差得：．

结合②式得：

③

在③中，令，结合，可解得：，

又因为：当时，，所以，舍去，得．

同上，在③中，依次令，可解得：，．

猜想：．下用数学归纳法证明．

（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成

12

+=a a n S n

n () ,3,2,1=n 1=n 12

1

1+=a a S 11=a 211==b S 1=a ()12

+=x

x f 12

+=n n a n

S () ,3,2,1=n n l n n

a x n

S y -=-() ,3,2,1=n 0=x n n

a n

S y -=

n l ()13

1

+n b n n

a n

S -()13

1

+n b 2332

+-=n n n a a b 2≥n n na S n n

+=2

()112

11-+-=--n a n S n n ()112

12

+--=-n n n

a n na

b ()()11332

12+-=+--n n n a n a a n ()N n n ∈≥,22=n 11

=a 212或=a 2≥n 1a a n

>12=a 22=a 4,3==n n 33

=a

44=a n a

n

=()N n ∈3,2,1=n

立．

（2）假设时命题成立，即，则由③

式可得：

把代入上式并解方程得：

由于，所以，，所以， 符合题意，应舍去，故只有．

所以，时命题也成立． 综上可知：数列的通项公式为

2、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．

⑴求证：点的纵坐标是定值； ⑵若数列的通项公式为，求数列

的前m 项的和；

⑶若时，不等式恒成立，求实数的取值范

围．

解：⑴由题可知：

，所以，

点

的纵坐标

是定值，问题得证．

k n =k a

k

=()3,≥∈k N k 且()1322

121+=+-++k k k ka a a k k a

k

=12

1

21

+-+--=+k k k k a k 或3≥k 021)1(212<-+-=-+--k

k k k k k 21

21-+--=+k k k a k 11

+=+k a

k 1+=k n {}n

a n a

n

=()N n ∈()()R x x f x

∈+=2

4

1

()111,y x P ()222,y x P ()

x f 21P P P 2

1P {}n a ()m n N m m n f a

n

,,2,1, =∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛={}n a m S N m ∈1

1

++<

m m m m S a S a a 12

1221=⨯

=+x x ()()(

)()

(

)(

)

2

1

4442444444244442

4244

442412412

12

1

2

12

1

2

1

2

1

21

2

1

2121=++++=+++++=++++=

+++=+=++x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y P

4

1

221=+=

y y y P