稳定性设计
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首先计算柔度，判断属于 哪一类压杆： a=20/d ＝20/0.16=125,
b=18/d ＝18/0.16=112.5 Q235钢 p=132
二者都属于中长杆，采用抛物线公式。
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
二者都属于中长杆， 采用抛物线公式。
FPcr＝ (0－k 2a) A
结论与讨论
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
关于临界应力公式 稳定与强度、刚度问题的比较 影响压杆承载能力的因素 稳定临界力分析方法的扩展
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
关于欧拉临界力公式
FP cr =
( l)2
2EI
I 如何确定 ？
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
关于欧拉临界力公式 I 如何确定 ？
FP cr =
( l)2
2EI
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
稳定与强度、刚度问题的比较
分析小孔对 图示压杆的强度 和稳定临界力的 影响
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
影响压杆承载能力的因素
比较四根 压杆的欧 拉临界力
sinkl =0
1 =0 coskl
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 sinkl =0
由此得到两个重要结果 临界载荷 屈曲位移函数 最小临界载荷
FP cr
l2 w(x)=Asin nx l
n22EI =
FP cr
2EI =
l2
—欧拉公式
弹性稳定的基本概念
弹性稳定与不稳定的 静力学 准则
直 平衡构形—压杆的两种平衡构形： 线 平 衡 构 FP<FPcr : 直线平衡构形 形 弯 曲 平 衡 构 形
FP>FPcr :
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
弹性稳定与不稳定的 静力学 准则
FPcr＝ (0－k 2b) A
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 二
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm, Q235钢E＝205 GPa, FP＝150 kN, [n]st=1.8 校核:稳定性是否安全。
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
弹性稳定的 基本概念
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
弹性稳定与不稳定的静力学 准则
平衡路径与平衡路径分叉
分叉屈曲与分叉载荷（临界载荷）
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
稳定设计准则
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
安全因数法 临界应力计算 算 例
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
安全因数法
nw =
cr — w
FPcr Fw A
nw nst
— 工作安全因数 — 临界应力
—截面的惯性半径
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
临界应力总图
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长杆
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
临界应力总图
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服 (< s)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
平衡路径与平衡路径分叉
FP>FPcr FP<FPcr
一 种 平 衡 路 径
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
平衡路径与平衡路径分叉
平衡路径的分叉点— 平衡路径开始出现分叉 的那一点。 分叉载荷（临界载荷） —分叉点对应的载荷。 用FPcr 表示
FP<FPcr :在扰动作用下，直线平衡 构形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形是稳定的。 弯 曲 平 衡 构 形
FP>FPcr :在扰动作用下，直线平衡 构形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形是不稳定 的。。
稳定设计准则
算 例 二
y=y l / iy , iy=
z=z l / iz ,
iz=
A
Iz
Iz=bh3/12
A
Iy
Iy=hb3/12
z=132.6 , y=99.48
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
工作安全因数 ： cr
2E (d2/4)=276.2kN FPcr(z) =crA＝ — 2
- b
s (b)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
1.分析哪一根 压杆的临界载荷 比较大； 2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的 临界载荷
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
1.分析哪一根压杆的 临界载荷比较大：
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
影响压杆承载能力的因素
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
影响压杆承载能力的因素
分析有几种屈曲可能；
每种情形下的欧拉临 界力如何计算？
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
稳定临界力分析方法的扩展
有没有平 衡稳定问题？ 临界力怎 样确定？
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
紧凑型超高压输电线路相间绝缘间隔棒
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
nw =
算 例 二
FPcr —＝— ＝276.5/150=1.843 w FP
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
工作安全因数 ： cr
nw =
nw> [n] =1.8
st
算 例 二
FPcr —＝— ＝276.5/150=1.843 w FP
稳定性是安全的。
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
平衡路径与平衡路径分叉 屈曲（Buckling) 与失稳
在扰动作用下，直线
平衡构形转变为弯曲平衡构 形，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡构形的过程，称 为屈曲或失稳。
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
确定临界载荷 的平衡方法
能不能应用 欧拉公式计算 四根压杆的临 界载荷？ 四根压杆是 不是都会发生 弹性屈曲？
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
三类不同的压杆
细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲 粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
材料力学课程
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
江苏科技大学
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
工程背景 弹性稳定的基本概念 确定临界载荷的平衡方法 柔度 非弹性屈曲 稳定设计准则 结论与讨论
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
两端铰支压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) = FP w (x)
d 2w M (x) = –EI d x2 FP d2w + k2w =0 k2= EI d x2
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 FP d2w 2w =0 k2= 2+k EI dx
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 w(0)=0 w (l)=0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
0 sinkl
cr＝ — A
w ＝ —
— 工作应力
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
临界应力计算
cr＝ — A
FPcr
— 临界应力
2 E 细长杆： cr＝ — 2
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
临 界 应 力 计 算
对 于 结 构 钢
cr＝ 0－k 2
－中长杆与粗短杆都适用
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
临 界 应 力 计 算
对 于 铸 铁 、 铝 合 金 、 木 材
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
对于铸铁、铝合金、木材
临 界 应 力 计 算
2 E 细长杆： cr＝ — 2
中长杆： cr＝ a 粗短杆： cr＝
FP cr =
2EI ( l)
2
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
问题的提出 三类不同的压杆 柔 度 临界应力总图
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
材料和直
径均相同
柔度 非弹性屈曲
问 题 的 提 出
柔 度
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。
从弹性屈曲出发
FPcr cr p A
p—比例极
限
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
2
柔度 非弹性屈曲
柔 度
π EI 2 2 FPcr ( l ) πE cr 2 p A A
定义
i
l
i I A
—柔度（长细比） (Slenderness)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 支承对压杆临界载荷的影响
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
cr 1 / 2 F = crA , = l / i , i= I =d /4
Pcr
A
a=20/d , b=18/d .
FPcr(a)< FPcr(b)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
支承对压杆临界载荷的影响
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
支承对压杆临界载荷的影响
各种支承压杆临界载荷的通用公式
一端自由，一端固定 ＝2.0 一端铰支，一端固定 ＝0.7 两端固定 ＝0.5 两端铰支 ＝1.0
b=18/d ＝18/0.16=112.5 Q235钢 p=132
二者都属于中长杆，采用抛物线公式。
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
二者都属于中长杆， 采用抛物线公式。
FPcr＝ (0－k 2a) A
结论与讨论
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
关于临界应力公式 稳定与强度、刚度问题的比较 影响压杆承载能力的因素 稳定临界力分析方法的扩展
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
关于欧拉临界力公式
FP cr =
( l)2
2EI
I 如何确定 ？
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
关于欧拉临界力公式 I 如何确定 ？
FP cr =
( l)2
2EI
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
稳定与强度、刚度问题的比较
分析小孔对 图示压杆的强度 和稳定临界力的 影响
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
影响压杆承载能力的因素
比较四根 压杆的欧 拉临界力
sinkl =0
1 =0 coskl
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 sinkl =0
由此得到两个重要结果 临界载荷 屈曲位移函数 最小临界载荷
FP cr
l2 w(x)=Asin nx l
n22EI =
FP cr
2EI =
l2
—欧拉公式
弹性稳定的基本概念
弹性稳定与不稳定的 静力学 准则
直 平衡构形—压杆的两种平衡构形： 线 平 衡 构 FP<FPcr : 直线平衡构形 形 弯 曲 平 衡 构 形
FP>FPcr :
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
弹性稳定与不稳定的 静力学 准则
FPcr＝ (0－k 2b) A
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 二
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm, Q235钢E＝205 GPa, FP＝150 kN, [n]st=1.8 校核:稳定性是否安全。
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
弹性稳定的 基本概念
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
弹性稳定与不稳定的静力学 准则
平衡路径与平衡路径分叉
分叉屈曲与分叉载荷（临界载荷）
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
稳定设计准则
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
安全因数法 临界应力计算 算 例
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
安全因数法
nw =
cr — w
FPcr Fw A
nw nst
— 工作安全因数 — 临界应力
—截面的惯性半径
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
临界应力总图
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长杆
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
临界应力总图
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服 (< s)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
平衡路径与平衡路径分叉
FP>FPcr FP<FPcr
一 种 平 衡 路 径
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
平衡路径与平衡路径分叉
平衡路径的分叉点— 平衡路径开始出现分叉 的那一点。 分叉载荷（临界载荷） —分叉点对应的载荷。 用FPcr 表示
FP<FPcr :在扰动作用下，直线平衡 构形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形是稳定的。 弯 曲 平 衡 构 形
FP>FPcr :在扰动作用下，直线平衡 构形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形是不稳定 的。。
稳定设计准则
算 例 二
y=y l / iy , iy=
z=z l / iz ,
iz=
A
Iz
Iz=bh3/12
A
Iy
Iy=hb3/12
z=132.6 , y=99.48
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
工作安全因数 ： cr
2E (d2/4)=276.2kN FPcr(z) =crA＝ — 2
- b
s (b)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
1.分析哪一根 压杆的临界载荷 比较大； 2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的 临界载荷
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
1.分析哪一根压杆的 临界载荷比较大：
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
影响压杆承载能力的因素
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
影响压杆承载能力的因素
分析有几种屈曲可能；
每种情形下的欧拉临 界力如何计算？
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
结论与讨论
稳定临界力分析方法的扩展
有没有平 衡稳定问题？ 临界力怎 样确定？
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
工程背景
紧凑型超高压输电线路相间绝缘间隔棒
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
nw =
算 例 二
FPcr —＝— ＝276.5/150=1.843 w FP
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
工作安全因数 ： cr
nw =
nw> [n] =1.8
st
算 例 二
FPcr —＝— ＝276.5/150=1.843 w FP
稳定性是安全的。
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
弹性稳定的基本概念
平衡路径与平衡路径分叉 屈曲（Buckling) 与失稳
在扰动作用下，直线
平衡构形转变为弯曲平衡构 形，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡构形的过程，称 为屈曲或失稳。
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
确定临界载荷 的平衡方法
能不能应用 欧拉公式计算 四根压杆的临 界载荷？ 四根压杆是 不是都会发生 弹性屈曲？
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
三类不同的压杆
细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲 粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
材料力学课程
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
江苏科技大学
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
工程背景 弹性稳定的基本概念 确定临界载荷的平衡方法 柔度 非弹性屈曲 稳定设计准则 结论与讨论
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
工程背景
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
两端铰支压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) = FP w (x)
d 2w M (x) = –EI d x2 FP d2w + k2w =0 k2= EI d x2
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 FP d2w 2w =0 k2= 2+k EI dx
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 w(0)=0 w (l)=0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
0 sinkl
cr＝ — A
w ＝ —
— 工作应力
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
临界应力计算
cr＝ — A
FPcr
— 临界应力
2 E 细长杆： cr＝ — 2
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
临 界 应 力 计 算
对 于 结 构 钢
cr＝ 0－k 2
－中长杆与粗短杆都适用
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
临 界 应 力 计 算
对 于 铸 铁 、 铝 合 金 、 木 材
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
对于铸铁、铝合金、木材
临 界 应 力 计 算
2 E 细长杆： cr＝ — 2
中长杆： cr＝ a 粗短杆： cr＝
FP cr =
2EI ( l)
2
第9章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
柔度 非弹性屈曲
问题的提出 三类不同的压杆 柔 度 临界应力总图
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
材料和直
径均相同
柔度 非弹性屈曲
问 题 的 提 出
柔 度
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。
从弹性屈曲出发
FPcr cr p A
p—比例极
限
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
2
柔度 非弹性屈曲
柔 度
π EI 2 2 FPcr ( l ) πE cr 2 p A A
定义
i
l
i I A
—柔度（长细比） (Slenderness)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷 支承对压杆临界载荷的影响
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
两端铰支压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
cr 1 / 2 F = crA , = l / i , i= I =d /4
Pcr
A
a=20/d , b=18/d .
FPcr(a)< FPcr(b)
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
稳定设计准则
算 例 一
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
支承对压杆临界载荷的影响
第9章 压杆的弹性稳 定分析与稳定性设计
确定临界载荷的平衡方法
支承对压杆临界载荷的影响
各种支承压杆临界载荷的通用公式
一端自由，一端固定 ＝2.0 一端铰支，一端固定 ＝0.7 两端固定 ＝0.5 两端铰支 ＝1.0