《群论基础》习题

《群论基础》习题

1．讨论以下集合是否构成群：

（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法；

（2）1的任何次根（n k i n e π

21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法；

（3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法；

（4）m ⨯n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）；

2．回答问题：

（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。

（2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。

（3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。

（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？

（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有

何特点？

3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？

(1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i

(5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i

4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于

哪一个点群。

5．确定以下分子所属点群：

（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇

（3）8-羟基喹啉 （4）肼

（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯

（7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°）

（8）环戊二烯 （9）环丁烷

（10）六氯乙烷 （11）丁二烯

6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。

7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。

8．利用C 2h 的特征标表说明：

（1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。

（2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。

9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。

11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示：

A 1g ⊗

B 1g A 1u ⊗ A 1u B 2u ⊗ E 1g

E 1g ⊗ E 2u E 1g ⊗ B 2g A 2u ⊗ E 1u

12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。（D 2点群）