图形地相似与位似练习题
图形的位似--巩固练习
图形的位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（ ）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（ ） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015•营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C （2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，OA′10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.（2015•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点. (1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？ (2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】设点B 的坐标为（x ，y ），∵△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，∴=，=，解得x=5，y=2，所以，点B 的坐标为（5，2）．故选C ．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC ，∴AC 是较长的线段，AB AC AC≈0.618AB．故选D ．7.【答案】B.二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个； 全等.10.【答案】1：2． 【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm ，OA′=20cm， ∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA ：OA′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2． 故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC∥DE 可得△ADE∽△ABC，所以，故.13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D 点是AC 的黄金分割点，三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是： DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以. 又因为 点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形. (2)DE∥BC.理由是： 因为△ADE 和△ABC 是位似图形， 所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．。
中考数学复习第30课时 图形的相似与位似
1. 定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的 相似比．
2. 性质：(1)相似多边形的对应边_成__比__例___； (2)相似多边形的对应角__相__等__； (3)相似多边形周长的比__等__于__相似比，相似多边形面积
的比等于___相__似__比__的__平__方___．
(三) 中考题型突破
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为
1, 3
∴
AD 1 . BG 3
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，
∴ OA AD 1 , ∴ OA 1 , OB BG 3 2 OA 3
解得：OA＝1，
∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．
依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC 的周长之比为2∶3，所以 AD 2 . 由AD＝4，得AB
AB 3 ＝6，所以DB＝6－4＝2.
(三) 中考题型突破
4. (中考南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD . CD BD
(1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小． 证明：(1)∵CD是边AB上的高，
(三) 中考题型突破
2. (中考连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大 一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点 为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A ) A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)
(三) 中考题型突破
3．(中考咸宁)如图, 以点O为位似中心，将△ABC放 大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为( B ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
图形的相似与位似
图形的相似与位似一．选择题．（湖北孝感，，分）在平面直角坐标系中，已知点（﹣，），（﹣，﹣），以原点为位（），，解得：，．以，，为顶点的三角形与△相似，则点的坐标不可能是（ ）. .[湖南邵阳，，分] 如图(四)所示，在△中，点、分别是、的中点，连结，若，则．知识考点：三角形中位线定理. 审题要津：满分解答：解：∵点、分别是、的中点，∴是△的中位线.又，则.故答案为.名师点评：本题考查了三角形中位线的性质，解题时注意数形结合思想的运用. A E D．（·聊城，，分）如图，是△的边上一点，已知＝，＝．∠＝∠，若△的面积为，则△的面积为（）．．．．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△∽△，由相似三角形的性质可得：△的面积：△的面积为：，因为△的面积为，进而求出△的面积．解答：解：∵∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△，∴△的面积：△的面积为：，∴△的面积：△的面积＝：，∵△的面积为，∴△的面积为，故选．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．．（•东营，，分）如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形边长分别是、及，那么的值（）．只有个．可以有个．可以有个．有无数个答案：解析：当直角边为，时，且另一个与它相似的直角三角形，也为直角边时，的值为，当，．（·济宁，，分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为．考点：相似三角形的应用．分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．解答：解：∵∥，∴△∽△∴设屏幕上的小树高是，则解得．故答案为：．点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．. （•新疆（分）如图，△中，∥，，，，则的长是（ ）【解析】∵∥，∴△∽△，则， ∵，，，∴，∴．【方法指导】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△∽△ .（四川绵阳，，分）如图，四边形是菱形，对角线，，⊥于点，且与交于，则（ ） ．2825cm ．2120cm ．2815cm ．2521cm ［解析］，，，△∽△， ，，， ，△∽△，， ，。
图形的相似与位似试题及答案
图形的相似与位似一、选择题1．（2016·湖北十堰）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 【考点】位似变换．【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：∵OB=3OB′， ∴，∵以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴=．∴=，故选D【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．2. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①BC DE =21； ②S S COBDOE △△=21； ③AB AD=OB OE ； ④S S ADE ODE △△=31.其中正确的个数有（ ）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个（第2题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定． 【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=21BC ，即BC DE=21； 故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB∴S S COBDOE△△=（BC DE ）2=(21）2=41,故②错误； ③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD=BC DE△DOE ∽△COB ∴OB OE=BC DE∴AB AD=OB OE， 故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。
图形的相似与位似
图形的相似与位似1. (2010年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ） Ａ、(2)a b --，Ｂ、(2)a b --， Ｃ、(22)a b --，Ｄ、(22)b a --，2．（2010江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种3.(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A.9:16B. 3:4C.9：4D.3:164. (2010年兰州市) 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.5.（2010辽宁省丹东市）如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且位似比是1:2，若AB =2cm ，则A B ''= cm ，并在图中画出位似中心O ．7．(2010重庆市)已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为_____________.解析：由相似三角形的对应线段比等于相似比知，△ABC 与△DEF 的周长比为2:3 答案：2:3.8．（2010山东德州）如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，′AB C A B C′′第11题图若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.9.（2010重庆潼南县）12. △ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为 .11.(2010年浙江省金华). 如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点，以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若3 BMBG ，则BK ﹦13.. (2010浙江衢州)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2) P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．ACBF E D P 1P 2P 3P 4P 5 AODBFKE (第16题GMC第14题图A 时B 时14．（2010江西）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当三慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到达点B 时，伞张得最开。
图形的相似与位似
图形的相似与位似一、选择题将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BcE：S △BDE等于A.2：5B.14:25c.16:25D.4:21第2题第4题第6题若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为A.1:2B.1:4c.1:5D.1:16如图，边长为4的等边△ABc中，DE为中位线，则四边形BcED的面积为现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。
其中真命题的个数是A．1B．2c．3D．4．如图，在直角坐标系中，矩形oABc的顶点o在坐标原点，边oA在x轴上，oc在y轴上，如果矩形oA′B′c′与矩形oABc关于点o位似，且矩形oA′B′c′的面积等于矩形oABc面积的，那么点B′的坐标是A．B.c．或D．或下列命题中，正确的是A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B．对角线相等的四边形是矩形c．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D．位似图形一定是相似图形若相似△ABc与△DEF的相似比为1：3，则△ABc与△DEF的面积比为A．1：3B．1：9c．3：1D．1：如图，点F是□ABcD的边cD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是A.EDEA=DFABB.DEBc=EFFBc.BcDE=BFBED.BFBE=BcAE0.如图，△ABc中，Bc=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABc；⑶△ADE的面积与△ABc 的面积之比为1:4。
其中正确的有A.0个B.1个c.2个D.3个第9题第10题第11题第12题1.如图所示：△ABc中，DE∥Bc，AD=5，BD=10，AE=3，则cE的值为A.9B.6c.3D.4如图，四边形ABcD的对角线Ac、BD相交于o，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若oA∶oc=oB∶oD，则下列结论中一定正确的是A．①和②相似B．①和③相似c．①和④相似D．②和④相似3.如图，已知直线a∥b∥c，直线、n与a、b、c分别交于点A、c、E、B、D、F，Ac＝4，cE＝6，BD＝3，则BF＝A．7B．7.5c．8D．8.5第13题第15题第17题．下列说法正确的是A．等腰梯形的对角线互相平分．B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．c．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．如图，△ABc中，A，B两个顶点在x轴的上方，点c的坐标是．以点c为位似中心，在x轴的下方作△ABc的位似图形△A′B′c，并把△ABc的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是A．B．c．D．若△ABc～△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABc与△DEF的相似比为A．2：1B．1：2 c．4：1D．1：4 如图，P为线段AB上一点，AD与Bc交于E，∠cPD＝∠A＝∠B，Bc交PD于F，AD交Pc于G，则图中相似三角形有A．1对B．2对c．3对D．4对二、填空题如图，△ABc中，DE∥Bc，DE分别交边AB、Ac于D、E 两点，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABc的面积比为．如图，已知△ABc的面积是的等边三角形，△ABc∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，Ac与DE相交于点F，则△AEF 的面积等于__________.第1题第2题三、解答题如图8，△ABc,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边Bc 上的高，Bc=40c,AD=30c,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在Bc上，顶点G、H分别在Ac，AB上，AD与HG的交点为.求证：求这个矩形EFGH的周长.如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点o和△ABc的顶点均在小正方形的顶点.以o为位似中心，在网格图中作△A′B′c′和△ABc位似，且位似比为1︰2；连接中的AA′,求四边形AA′c′c的周长.如图1，在△ABc中，点D，E，Q分别在AB，Ac，Bc上，且DE∥Bc，AQ交DE于点P．求证：．如图，在△ABc中，∠BAc=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABc的边上，连接AG，AF分别交DE于，N两点．①如图2，若AB=Ac=1，直接写出N的长；②如图3，求证N2=D•EN．。
图形的相似与位似
图形的相似与位似一．选择题1．在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ）A ． （﹣2，1）B ． （﹣8，4）C ． （﹣8，4）或（8，﹣4）D ． （﹣2，1）或（2，﹣1） 2．如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠EDF=∠DCE ．则EF 等于（ ）3．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是4．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝4，AD ＝2．∠DAC ＝∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）A ．a B ．C ．D ．5．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个6．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm ．7.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ）A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm8.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ） 9． 如图，在△ABC 中，M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为( )．(A) 错误！未找到引用源。
限时训练21 图形的相似与位似
第六章 图形的相似与解直角三角形 限时训练21 图形的相似与位似 (时间：45分钟)1．(2019·兰州中考)已知△ABC ∽△A′B′C′，AB ＝8，A′B′＝6，则BC B′C′＝( B )A ．2B .43C ．3D .1692．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB ＝4FB ，则EG 与GC 的关系是( B )A ．EG ＝4GCB ．EG ＝3GCC ．EG ＝52GCD ．EG ＝2GC ,(第2题图)) ,(第3题图))3．(2019·杭州中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则( C )A .AD AN ＝AN AEB .BD MN ＝MN CEC .DN BM ＝NE MCD .DN MC ＝NE BM4．(2019·铜仁中考)如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且CE ＝13CD ，CF ＝13CB ，则S △CEF ＝( D ) A .32 B .33 C .34 D .39,(第4题图)) ,(第5题图))5．如图，AG ∶GD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则AE ∶EC 的值是( D )A .32B .43C .65D .856．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )7．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条,(第7题图)) ,(第8题图))8．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是( B )A ．9.3 mB ．10.5 mC ．12.4 mD ．14 m9．(2019·郴州中考)若x ＋y x ＝32，则y x ＝__12__. 10．(2019·淮安中考)如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB ＝3，DE ＝2，BC ＝6，则EF ＝__4__.,(第10题图)) ,(第11题图))11．(2019·通辽中考)已知三个边长分别为2 cm ，3 cm ，5 cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为__3.75__cm 2__．12．(2019·凌云中考二模)如图，已知，直角坐标系中，点E(－4，2)，F(－1，－1)，以O 为位似中心，按比例尺2∶1把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标为__(－2，1)或(2，－1)__．,(第12题图)) ,(第13题图))13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BE 交CD 于点O ，连接DE.有下列结论：①DE ＝12BC ；②△BOD ∽△COE ；③BO ＝2EO ；④AO 的延长线经过BC 的中点．其中正确的是__①③④__(填写所有正确结论的序号)．14．如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)在图中△ABC 的内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且位似中心为点O ，相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，则线段AA′的长度是______．解：(1)如图，△A′B′C′为所作；(2) 5.15．(2019·贵港中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，若AD ＝2BD ，BC ＝6，则线段CD 的长为( C )A ．2 3B ．3 2C ．2 6D ．5,(第15题图)) ,(第16题图))16．如图，在边长为10 cm 的正方形ABCD 中，P 为AB 边上任意一点(P 不与A ，B 两点重合)，连接DP ，过点P 作PE ⊥DP ，垂足为P ，交BC 于点E ，则BE 的最大长度为__52__cm .17．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点(点M 不与B ，C 重合)，CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN.下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的序号是__①②③④⑤__．18．(2019·梧州中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，AF 平分∠DAC ，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ；连接DF ，过点A 作AH ∥DF ，分别交BD ，BF 于点G ，H.(1)求DE 的长；(2)求证：∠1＝∠DFC.(1)解：∵矩形ABCD 中，AD ∥CF ，∴∠DAF ＝∠AFC.∵AF 平分∠DAC ，∴∠DAF ＝∠CAF.∴∠FAC ＝∠AFC.∴AC ＝CF.∵AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5.∴CF ＝5.∵AD ∥CF ，∴△ADE ∽△FCE.∴AD CF ＝DE CE. 设DE ＝x ，则35＝x 4－x ，得x ＝32.∴DE ＝32； (2)证明：∵AD ∥FH ，AH ∥DF ，∴四边形ADFH 是平行四边形．∴AD ＝FH ＝3.∴CH ＝2，BH ＝5.∵AD ∥BH ，∴△ADG ∽△HBG .∴DG BG ＝AD BH .∴DG 5－DG ＝35.∴DG ＝158. ∵DE DG ＝45，DC DB ＝45，∴△DEG ∽△DCB. ∴EG ∥BC.∴∠1＝∠AHC.又∵DF ∥AH ，∴∠AHC ＝∠DFC.∴∠1＝∠DFC.。
第27讲 图形的相似及位似
第27讲 图形的相似及位似基础过关一、精心选一选1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( ) A ．1∶25 B ．1∶5 C ．1∶2.5 D ．1∶ 52．(2014·玉林)△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．123．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对 4．(2014·武汉)如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1) 5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D .2∶ 36．(2013·上海)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶57．(2014·南通)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )A ．1B ．2C ．122－6D ．62－68．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB ＝90°，AC⊥BC ，AC ＝BC ，∠ABC 的平分线分别交AD ，AC 于点E ，F ，则BF EF 的值是( )A .2－1B ．2＋ 2C .2＋1D . 2 二、细心填一填9．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__ __．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为__ __m .11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__ __．,第11题图) ,第12题图)12．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC 的值是__ __． 13．如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S1表示PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽为PB 的矩形的面积，则S 1_ __S 2.(填“＞”“＜”或“＝”)14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB ′O′是△ABO 关于A 的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__ _．15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__ __里．三、用心做一做16．(2013·南宁)如图，△ABC三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．17．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD的长．(精确到0.1 m)18．(2013·广东)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3, 则S1__ _S2＋S3；(用“>”“<”或“＝”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．19．(2013·莆田)定义：如图①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．20．(2013·泰安)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB·AD ；(2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF 的值．21．(2014·自贡)阅读理解：如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E(点E 不与A ，B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”． 解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 与BC 的数量关系．挑战技能22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x ，那么x 的值( )A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个 23．(2014·泰州)如图，A ，B ，C ，D 依次为一条直线上4个点，BC＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A ，D ，E 三点，且∠AOD ＝120°.设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为_ __．24．(2014·咸宁)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252；④0＜CE ≤6.4.其中正确的是__ __.(把你认为正确结论的序号都填上)25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP ，BP.(1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．26．(2014·黄石)AD 是△ABC 的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM ＝xAB ，AN ＝yAC(x ，y ≠0)．(1)如图①，当△ABC 为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN ∽△DMA ；(2)如图②，证明：1x ＋1y＝2.27．(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．。
第28讲 图形的相似与位似(原卷版)
第28讲图形的相似与位似1．比例线段(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有ab＝bc，则b叫做a，c的比例中项．(2)比例的基本性质及定理①ab＝cd⇒ad＝bc；②ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；③ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.4．相似三角形的性质及判定(1)相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(2)相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；②两角对应相等，两三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；④三边对应成比例，两三角形相似；⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．5．射影定理如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.6．相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似；④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高影长＝建筑物的高度建筑物的影长.7．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或－k.(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形考点1： 相似三角形的性质【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26考点2：相似三角形的判定【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．考点3：相似三角形的综合应用【例题3】(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．一、选择题：1. （2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：272. （2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m3. （2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：94. （2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm25. （2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题：6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B （1，0），则点C的坐标为．7. （2019•山东省滨州市•5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是．8. （2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为．9. （2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD 为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为.三、解答题：10. (2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．11. (2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．12. (2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求∠BDF的大小；(2)求CG的长．13.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝14S△ABC时，求线段EF的长．14. (2019•湖南常德•10分)在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC 于点N．(1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF ＝BM；(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。
第18章 图形的相似与位似
第十八章 图形的相似与位似15．（2012北京，15，5）已知023a b =≠，求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值． 【解析】【答案】设a =2k ,b =3k ，原式=525210641(2)(2)(2)22682a b a b k k k a b a b a b a b k k k ----====+-++【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。
28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△AB E 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A ．215- B ．215+ C ． 3 D ．2 考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF 为正方形。
因为四边形EFDC 与矩形ABCD 相似 所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：012=--AD AD ,解得251±=AD 由于AD 为正，得到AD=215+，本题正确答案是B. 点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。
28.3 相似三角形的判定（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC.ACABAE AD =D. ADE ABC S S ∆∆=3 解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE ；因DE//BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ：AB=AE ：AC ，即AD ：AE=AB ：AC ，ADE ABC S S ∆∆=4.所以选项D 错误. 答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC＝MABN 的面积是A．B ．．D ．【解析】由MC ＝6，NC ＝∠C ＝90°得S △CMN=CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN ∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。
2023中考数学复习：图形的相似与位似
∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
2
3
4
C.(5,6)
5
6
7
8
9
D.(6,5)
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
16
17
18
基础全练
挑战高分
中考创新练
∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.
∴ = = .∴ = .∴ = ;
[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.
∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.
(2)求 的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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15
挑战高分
基础全练
中考创新练
(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,
最新 图形的相似与位似 练习试卷
第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似年份题型题号考查点考查内容分值总分2016选择7 相似三角形的判定与性质由相似三角形的性质求对应边的长3 32015选择 6 相似三角形的性质已知相似三角形对应边的比，求面积的比3解答25 与相似三角形有关的综合问题以矩形折叠为背景，利用相似求：(1)线段的长；(2)三角形周长的最小值；(3)四边形周长的最小值12 152014选择7 相似三角形的判定以正方形网格为背景，找出满足条件的相似点3 32013选择8 相似三角形的判定以直角三角形的斜边上的点为背景，找满足相似条件的直线3 32012 未考命题规律纵观贵阳市5年中考，本节内容共考查了5次，题型有选择题4次，分值3分，解答题1次，分值12分，较难，综合性强．命题预测预计2017年贵阳市中考对本节内容仍会作重点考查.贵阳五年中考真题及模拟)相似三角形的性质(2次)1．(2016贵阳7题3分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AB AD ＝31，BC ＝12，则DE 的长是( B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．(2015贵阳6题3分)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( C ) A ．2∶3 B .∶C ．4∶9D ．8∶27相似三角形的判定(2次)3．(2014贵阳7题3分)如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( C )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4(第3题图)(第4题图)4．(2013贵阳8题3分)如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条相似三角形的综合应用(1次)5．(2015贵阳考试说明)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，△DEF 的面积为1，则△BCF 的面积为( D )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2016贵阳考试说明)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝8，AD ＝6，AF ＝4，求AE 的长．解：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC ，∵∠B ＋∠C ＝180°，∠AF E ＋∠AFD ＝180°且∠B ＝∠AFE ，∴∠C＝∠AFD ，∴△ADF ∽△DEC ；(2)由(1)知：△ADF ∽△DEC ，得DE AD ＝CD AF，∵AB ＝8，AD ＝6，AF ＝4，∴DE ＝12，∴AE ＝＝6.7．(2015贵阳25题12分)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD ＝3.(1)求MP 的值；(2)在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合，当AF 等于多少时，△ME F 的周长最小？(3)若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ ＝2，当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．(计算结果保留根号)解：(1)MP ＝5；(2)如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E 交AB 于点F ，则点F 即为所求，∵AM ＝AD －MP －PD ＝4，∴AM ＝AM′＝4，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则M E ＝MP ＝5，在Rt △ENM 中，MN ＝＝3，∴NM ′＝11，∵AF ∥ME ，∴△AFM ′∽△NEM ′，∴NM ′AM ′＝NE AF ，∴AF ＝1116，∴当AF ＝1116时，△MEF 的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER ＝2，连接M′R 交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，则MG ＋EQ 最小，∴四边形MEQG 的周长最小，∵ER ＝GQ ，ER ∥GQ ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE ＝GR ，QE ＋GM ＝GR ＋GM′＝M′R ，M ′R ＝＝5，∵ME ＝5，GQ ＝2，∵MG ＋QE ＝M′R ，∴四边形MEQG 的最小周长值是7＋5.,图1),图2)中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果b a ＝c b，即b 2＝__ac __，我们就把b 叫做a 、c 的比例中项． 3．比例的性质性质1 b a ＝d c ⇔__ad __＝bc(a 、b 、c 、d ≠0)性质2 如果b a ＝d c ，那么b a±b ＝d c±d性质3 如果b a ＝d c ＝…＝n m (b ＋d ＋…＋n ≠0)，则b ＋d ＋…＋n a ＋c ＋…＋m ＝__n m (不唯一)__4.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AB AC ＝__AC BC__，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质(高频考点)5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k 或－k __；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤： (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．中考重难点突破)比例的性质【例1】(2016杭州中考)如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F.若BC AB ＝21，则EF DE＝( )A .31B .21C .32D ．1【解析】根据平行线分线段成比例定理可解． 【学生解答】B1．(2015贵州中考)已知4c ＝5b ＝6a ≠0，则a b ＋c 的值为__23__．相似三角形的判定与性质 【例2】(2016兰州中考)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为43，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( )A .43B .34C .169D .916【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为43，即对应的中线的比为43.【学生解答】A2．(2016白银中考)如果两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比是( D ) A ．1∶16 B ．1∶4 C ．1∶6 D ．1∶23．(2016安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( B ) A ．4 B ．4 C ．6 D ．44．(2016上海中考)在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，那么△ADE 的面积与△ABC 的面积比是__41__．位似图形【例3】对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q ′，保持PQ ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是( )A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．位似【解析】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”； 旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换．【学生解答】D5．(2015宜宾中考)如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( B )A ．(1，2)B ．(1，1)C ．(，)D ．(2，1)6．(2015贵阳模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OAB C 的面积的41，那么点B′的坐标是( D )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)。
第二十四讲 图形的相似与位似
第二十四讲图形的相似与位似1．(2021·温州中考)如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为(B)A．8 B．9 C．10 D．152．(2021·遂宁中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为(B)A．12 cm2 B．9 cm2 C．6 cm2 D．3 cm23．(2021·重庆中考)如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是(A)A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶94．(2021·绍兴中考)如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高PO ＝5 m ，树影AC ＝3 m ，树AB 与路灯O 的水平距离AP ＝4.5 m ，则树的高度AB 长是(A)A ．2 mB ．3 mC ．32 mD ．103 m 5．(2020·玉林中考)一个三角形木架三边长分别是75 cm ，100 cm ，120 cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm 和120 cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(B)A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种6．(2021·大庆中考)已知x 2 ＝y 3 ＝z 4 ，则x 2＋xy yz ＝__56__． 7．(2021·包头中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点B 作BD ⊥CB ，垂足为B ，且BD ＝3，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN ⊥CB ，垂足为N.若AC ＝2，则MN 的长为__65__．8.(2021·菏泽中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝5，BC ＝10，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E ，F ，G ，N ，M 都在△ABC 的边上，那么△AEM 与四边形BCME 的面积比为__1∶3__．9.(2021·黄冈中考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．【解析】(1)∵∠BCE＝∠ACD.∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；(2)∵△ABC∽△DEC；∴S△ABCS△DEC＝⎝⎛⎭⎪⎫CBCE2＝49，又∵BC＝6，∴CE＝9.10．(2021·东营中考)如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是(A)A ．－2a ＋3B ．－2a ＋1C ．－2a ＋2D ．－2a －211．(2020·遂宁中考)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG 的值为(C)A ．12B ．13C ．23D ．3412．(2021·资阳中考)如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E.连接AE 交BD 于点F ，交CD 于点G.FH ⊥CD 于点H ，连接CF.有下列结论：①AF ＝CF ；②AF 2＝EF·FG；③FG ∶EG ＝4∶5；④cos ∠GFH ＝32114.其中所有正确结论的序号为__①②③④__．13．(2021·武汉中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，C 是BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，垂足是E.连接AC 交BD 于点F.(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若DC DF＝ 6 ，求cos ∠ABD 的值． 【解析】(1)连接OC 交BD 于点G ，∵点C 是BD 的中点，∴由圆的对称性得OC 垂直平分BD ，∴∠DGC ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠EDB ＝90°，∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，∴四边形EDGC 是矩形，∴∠ECG ＝90°，∴CE ⊥OC ，∴CE 是⊙O 的切线；(2)连接BC ，设FG ＝x ，OB ＝r ，∵DC DF＝ 6 ， 设DF ＝t ，DC ＝ 6 t ，由(1)得，BC ＝CD ＝ 6 t ，BG ＝GD ＝x ＋t ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BCG ＋∠FCG ＝90°，∵∠DGC ＝90°，∴∠CFB ＋∠FCG ＝90°，∴∠BCG ＝∠CFB ，∴Rt △BCG ∽Rt △BFC ，∴BC 2＝BG·BF，∴( 6 t)2＝(x ＋t)(2x ＋t) 解得x1＝t ，x 2＝－52t(不符合题意，舍去)， ∴CG ＝BC 2－BG 2 ＝（6t ）2－（2t ）2 ＝ 2 t ，∴OG ＝r － 2 t ，在Rt △OBG 中，由勾股定理得OG 2＋BG 2＝OB 2，∴(r － 2 t)2＋(2t)2＝r 2，解得r ＝322t ， ∴cos ∠ABD ＝BG OB ＝2t 322t ＝223 .14．(2021·山西中考)阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F ＝95C ＋32得出，当C ＝10时，F ＝50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式1R ＝1R 1 ＋1R 2求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性． 任务：(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R ＝1R 1 ＋1R 2计算：当R 1＝7.5，R 2＝5时，R 的值为多少； ②如图，在△AOB 中，∠AOB ＝120°，OC 是△AOB 的角平分线，OA ＝7.5，OB ＝5，用你所学的几何知识求线段OC 的长．【解析】(1)图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；(答案不唯一).(2)①当R 1＝7.5，R 2＝5时，1R ＝1R 1 ＋1R 2 ＝17.5 ＋15 ＝5＋7.57.5×5 ＝13， ∴R ＝3.②过点A 作AM ∥CO ，交BO 的延长线于点M ，如图∵OC 是∠AOB 的角平分线，∴∠COB ＝∠COA ＝12 ∠AOB ＝12×120°＝60°. ∵AM ∥CO ，∴∠MAO ＝∠AOC ＝60°，∠M ＝∠COB ＝60°.∴∠MAO ＝∠M ＝60°.∴OA ＝OM.∴△OAM 为等边三角形．∴OM ＝OA ＝AM ＝7.5.∵AM ∥CO ，∴△BCO ∽△BAM.∴OC AM ＝BO BM.∴OC 7.5 ＝57.5＋5. ∴OC ＝3.综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．1．(2021·邯郸模拟)下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是(D)A ．三角形B ．平行四边形C ．抛物线D ．圆2．(2021·杭州模拟)已知x －2y y ＝25 ，则x y的值为(D) A ．54 B ．45 C ．512 D ．1253．(2021·恩施州模拟)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AE ∶EC ＝5∶3，BF ＝10，则CF 的长为(D)A ．16B ．8C ．4D ．64．(2021·许昌一模)如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法错误的是(A)A ．S △ABC ∶S △A′B′C′＝1∶2B ．AB ∶A′B′＝1∶2C．点A，O，A′三点在同一条直线上D．BC∥B′C′5．(2021·唐山模拟)如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB ＝4，CD＝1，BC＝4.在边BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与以C，D，P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则(B)A．甲的说法正确B．乙的说法正确C．甲、乙的说法都正确D．甲、乙的说法都不正确6．(2021·绍兴模拟)如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4 m，横梁AC＝12 m，则支架DF长为(C)A．210 m B．2 5 m C．13 m D．213 m7．(2021·南平模拟)如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN∶NC＝__1∶2__．8．(2021·杭州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ，若△DAC ∽△ABC ，则∠B ＝__30__度．9．(2021·上海模拟)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α＝2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为__22 或5＋12__． 10．(2021·苏州模拟)如图①，△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 从点A 出发沿A→C 方向匀速运动，速度为1 cm/s.点E 是AC 上位于点D 右侧的动点，点M 是AB 上的动点，在运动过程中始终保持MD ＝ME ，DE ＝2 cm.过M 作MN ∥AC 交BC 于N ，当点E 与点C 重合时点D 停止运动．设△MDE 的面积为Scm 2，点D 的运动时间为t s ，S 与t 的函数关系如图②所示．(1)AC ＝________ cm ，BC ＝________ cm ；(2)设四边形MDEN 的面积为y cm 2，求y 的最大值；(3)是否存在t 的值，使得以M ，E ，N 为顶点的三角形与△MDE 相似？如果存在，求t 的值；如果不存在，说明理由．【解析】(1)由函数图象知，当t ＝4时，AD ＝4 cm ，点E 与点C 重合， ∵DE ＝2 cm ，∴AC ＝4＋2＝6(cm)，当t ＝0时，S ＝2，点A 与点D 重合，如图1，过M 作MH ⊥AC 于H ，∵DE ＝2 cm ，∴MH ＝2 cm ，∵MD ＝ME ，∴AH ＝EH ＝1 cm ，∵∠C ＝90°，∴MH ∥BC ，∴△AHM ∽△ACB ，∴AH AC ＝MH BC， ∴16 ＝2CB， ∴BC ＝12 cm.答案：6 12(2)如图2，过M 作MH ⊥AC 于H ，∵MD ＝ME ，DE ＝2 cm ，∴DH ＝12DE ＝1 cm ， ∴AH ＝(t ＋1) cm ，∵tan A ＝MH AH ＝BC AC＝2， ∴MH ＝(2t ＋2) cm ，∵MN ∥AC ，∠ACB ＝90°，∴∠MNC ＝90°，∵MH ⊥DE ，∴∠MNC ＝∠C ＝∠MHC ＝90°，∴四边形MHCN 是矩形，∴MN ＝HC ＝AC －AH ＝6－(t ＋1)＝5－t(cm)，∴y ＝S △MDE ＋S △MNE ＝12 ×2×(2t＋2)＋12(5－t)(2t ＋2) ＝－t 2＋6t ＋7＝－(t －3)2＋16，由题意得，0≤t≤4，∴当t ＝3时，y 有最大值16.(3)假设存在t 的值，使得以M ，E ，N 为顶点的三角形与△MDE 相似， ∵MN ∥AC ，∴∠MED ＝∠EMN.①当∠MNE ＝∠EDM 时，△ENM ∽△MDE ，∴MN ED ＝EM ME＝1， ∴MN ＝ED ，∴5－t ＝2，∴t ＝3；②当∠MEN ＝∠EDM 时，△NEM ∽△MDE ，此时，NE ＝NM ＝(5－t) cm ，∵∠ACB ＝90°，∴EC 2＋NC 2＝EN 2，∴(4－t)2＋(2t ＋2)2＝(5－t)2，解得：t ＝－5＋354(负值舍去). ∴存在t 的值，使得以M ，E ，N 为顶点的三角形与△MDE 相似，此时t ＝3或－5＋354.。
图形的相似与位似
《图形的相似与位似》专题训练4．(2011中考预测题)如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是( )A ．1∶6B ．1∶5C ．1∶4D ．1∶26．(2009中考变式题)如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°7．(2011中考预测题)图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N8．(2011中考预测题)如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是( )A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F9．(2011中考预测题)如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,2)，B(6,0)，以原点为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB 缩小，则过A 点对应点的反比例函数的解析式为( )A ．y ＝4xB ．y ＝43xC ．y ＝－43xD ．y ＝18x10．(2011中考预测题)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是( )①∠1＝∠A ；②CD AD ＝DB CD；③∠B ＋∠2＝90°；④BC ∶AC ∶AB ＝3∶4∶5；⑤AC·BD ＝AC·CD.A ．1B ．2C ．3D ．411．(2009中考变式题)如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝a ，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设k ＝5－12，则DE ＝______.( )A ．k 2aB ．k 3a C.a b 2 D.a k3 12．(2009中考变式题)已知a 5＝b 7＝c 8且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 的值为( ) A ．7 B ．42 C ．14 D.14313.。
4.8 图形的位似(分层练习)(解析版)
第四章图形的相似4.8 图形的位似精选练习一、单选题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（）A．（0，1.5）B．（0，2）C．（0，2.5）D．（0，3）故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识，熟练掌握位似中心的概念和位似图形的性质是解题的关键．2．（2022·江苏·西附初中八年级期末）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是位似图形，点O 是位似中心，点A ¢是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是（ ）A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ¢¢¢¢的相似比为1：1B ．四边形ABCD 与四边形A BCD ¢¢¢¢的相似比为1：2C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的周长比为3：1D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的面积比为4：1【答案】D【分析】根据题意可判断OA ¢：1OA =：2，即得出A B ¢¢：1AB =：2，从而可判断四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的相似比为2：1，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择．【详解】Q 四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是位似图形，点O 是位似中心，点A ¢是线段OA 的中点，∴OA ¢：1OA =：2，∴A B ¢¢：1AB =：2，\四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．故选D ．【点睛】本题考查由位似图形求相似比，周长比和面积比．掌握位似图形的定义和性质是解题关键．3．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）如图，在平面点角坐标系中V AOB 与V COD 是位似图形，以原点O 为位似中心，若2AC OA =，B 点坐标为(4，2)，则点D 的坐标为（ ）A ．( 8，4)B ．(8，6)C ．(12，4)D ．(12，6)4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2：3，点A ，B 的对应点分别为点A ′，B ′．若AB ＝6，则A ′B ′的长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．156AB =Q ，9A B ¢¢\=，故选：B ．【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）A ．（8，2）B ．（9，1）C ．（9，0）D ．（10，0）【答案】C 【分析】延长EB 、DA 交于点P ，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．【详解】解：延长EB 、DA 交于点P ，则点P 即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点B 的坐标为(2,3)，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为（ ）A ．(2,0)-B ．(0,2)-C ．3,02æö-ç÷D ．30,2æö-ç÷二、填空题7．（2022·广东·佛山市三水区三水中学附属初中九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将ABO V 扩大到原来的2倍，得到A B O ¢¢△，若点A 的坐标是()1,2，则点A ¢的坐标是______．【答案】()2,4--【分析】根据以原点O 为位似中心，将ABO V 扩大到原来的2倍，结合图形，可知将对应点的坐标应乘以2-，即可得出点A ¢的坐标．【详解】解：根据以原点O 为位似中心扩大到原来的2倍 ，A B O ¢¢△在第三象限，即对应点的坐标应乘以2-，∵点A 的坐标是()1,2，∴点A ¢的坐标是()2,4--，故答案为：()2,4--．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k 或k -是解题关键．8．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，ABC V 与△A B C ¢¢¢是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．【答案】（9，0）【分析】根据位似中心的概念解答即可．【详解】解：连接A A ¢和B B ¢并延长相交于点D ，则点D 即为位似中心，作图如下：点D 的坐标为（9，0），即位似中心的坐标为（9，0），故答案为：（9，0）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．9．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''A B CD E ，已知10cm OA =，'20cm OA =，则五边形ABCDE 的周长与五边形''''A B CD E 的周长比是______．【答案】1：2【分析】根据已知可得五边形ABCDE 的周长与五边形'''A B CD E 的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE 的周长与五边形'''A B CD E 的周长比．【详解】Q 以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''''A B C D E ，10OA cm =，'20OA cm =，\五边形ABCDE 的周长与五边形'''''A B C D E 的位似比为：10：201=：2，\五边形ABCDE 的周长与五边形'''''A B C D E 的周长比是：1：2．故答案为1:2．【点睛】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．10．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，ABC V 与111A B C △位似，位似中心是点O ，则1:1:2OA OA =，ABC V 的面积为3，则111A B C △的面积是___________．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：(1)以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到111A B C △，请画出111A B C △；(2)以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形222A B C △，使它与△ABC 的位似比为2：1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求．；（2）解：如图，222A B C △即为所求．【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．12．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，2），C （3，0）．(1)以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出将△ABC 放大为原来的2倍得到的△A 1B 1C 1，请写出点B 的对应点B 1的坐标；(2)画出将△ABC 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△A 2B 2C 2，写出点C 的对应点C 2的坐标；(3)请在图中标出△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的位似中心M ，并写出点M 的坐标．【答案】(1)图见解析，（4，4）(2)图见解析，（2，2）(3)图见解析，（﹣2，4）【分析】（1）把A ，B ，C 的横纵坐标都乘以2得到111,,A B C 的坐标，然后描点即可．（2）利用，点平移的坐标特征写出222,,A B C 的坐标，然后描点即可．（3）对应点连线的交点M 即为所求作．（1）如图△A 1B 1C 1即为所求作的三角形，点B 1的坐标（4，4）．（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形点C 2的坐标（2，2）．（3）如图所示：点M 即为所求作．M （﹣2，4）．【点睛】本题考查了作图一位似变换:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -，也考查了平移变换．一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△AOB 缩小为原来的12，得到△COD ，若点A 的坐标为（4，2），则AC 的中点E 的坐标是 _____．2．（2022·全国·九年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （-4，2），B （-2，-2）．以坐标原点O 为位似中心把△AOB 缩小得到△A 1OB 1，△A 1OB 1与△AOB 的位似比为12，则点A 的对应点A 1的坐标为_______．3．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()2,1A -，()3,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO V 缩小，则点A 的对应点A ¢的坐标是______．【答案】11,2æö-ç÷或1(1,2-##1(1,)2-或1(1,2-4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等边ABC V 与等边BDE V 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A 、B 、D 在x 轴上，若等边BDE V 的边长为12，则点C 的坐标为_________．∵等边△ABC 与等边△BDE 是以原点为位似中心的位似图形，∴BC ∥DE ，∴△OBC ∽△ODE ，∴BC OB DE OD=，∵△ABC 与△BDE 的相似比为13，等边△BDE 5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知ABCD Y 的面积为24，以B 为位似中心，作ABCD Y 的位似图形EBFG Y ，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG 、DG ．则ADG V 的面积为________．故答案为：4．【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的位似比为1．2【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应7．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的111A B C △；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出222A B C △，使222A B C △与△ABC 位似，且222A B C △与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点2C 的坐标．【答案】(1)见解析(2)图见解析，2C 坐标为（2，-4）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案；（2）直接利用位似图形的性质以C 为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可．（1）如图所示：111A B C △即为所求；（2）如图所示：222A B C △即为所求，2C 坐标为：（2，-4）．【点睛】本题考查了平移的性质，位似的性质，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键．8．（2021·黑龙江绥化·期末）按要求完成下面各题：(1)三角形AOB 顶点B 的位置用数对表示是 ．(2)画出三角形AOB 绕点O 逆时针旋转90°后的图形．(3)按2∶1的比画出三角形AOB 放大后的图形．【答案】(1)（2，4）(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据网格即可得三角形AOB 顶点B 的位置；（2）根据旋转的性质即可画出三角形AOB 绕点O 逆时针旋转90°后的图形；（3）根据2：1的比即可画出三角形AOB 放大后的图形．（1）解：三角形AOB 顶点B 的位置用数对表示是（2，4）；故答案为：（2，4）；（2）如图三角形A OB ¢¢即为所求；（3）²²²即为所求．如图，三角形A O B【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．。
图形的相似与位似九年级精品复习讲义压轴题
图形的相似与位似九年级精品复习讲义压轴题一.选择题1. 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，那么△AEF与多边形BCDFE的面积之比为〔〕 A．B． C． D．CA 2．如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD ＝3，那么EF的长是 ( )1234A． B． C． D．3345EFyB 3. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为l：2，∠OCD=90°，CO=CD.假设B(1，0)，那么点C的坐标为( B )A.(1,2)B.(1,1)C.(2, 2)D.(2,1) O4.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF ∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于以下结论：①AD=DC；②△CBA ∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论是〔〕 A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④5．如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．假设点M、N分别是线段ACAB 上的两个动点，那么BM+MN的最小值为〔〕 A． 10 B． 8 C． 53 D． 6 D第7题图CA B Dx6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．假设四边形EGFH是菱形，那么AE的长是[〔〕] A．25 B．35 C．5 D．67.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②假设点D是AB的中点，那么AF=AB；③当B、，那么C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④假设．其中正确的结论序号是〔〕A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④第 1 页共 6 页二.填空题 1．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF 是△ABC的内接正方形〔点D、E、F在三角形的边上〕．那么此正方形的面积是． 2．在矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。
图形的相似与位似测试卷
图形的相似与位似测试卷姓名_________ 班级_________学号一、选择题（每小题3分，共30分）1、用幻灯机将一个三角形ABC 的面积放大为原来的16倍，下列说法中正确的是 （ ）A 、放大后∠A ，∠B ，∠C 是原来的16倍B 、放大后周长是原来的4倍C 、放大后对应边是原来的16倍D 、放大后对应中线是原来的16倍2.在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm ，这个零件的实际长是（ ）(A)64m (B)640cm (C)64cm (D)64mm3.已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）, 则AC ∶AB = ( ) (A)(5－1)∶2 (B)（5 +1）∶2 (C)（3－5）∶2 (D)（3+5）∶24.如图，E 是的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对(第4题图) (第5题图) (第6题图) (第 7题图)5.ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶1，那么DE ∶BC 等于（ ）(A)2∶1 (B)1∶2 (C)2∶3 (D)3∶26.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( )（A ）3.85m （B ）4.00m （C ）4.40m （D ）4.50m7. 如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a, AC=b, AB=c, 要使△ABC ∽△CAD,只要CD 等于( )（A ）c b 2 （B ）a b 2 （C ）c ab （D ）ca 2 8、已知△ABC 的三边长分别为2,6,2, △A ′B ′C ′的两边长分别是1和3, 如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似,那么△A ′B ′C ′的第三边长应该是( )（A ）2 （B ）22 （C ）26 （D ）33 9、下列命题中正确的是 ( )（A ）.所有等腰三角形都相似 （B ） 所有的直角三角形都相似（C ） 所有等边三角形都相似 （D ）所有的矩形都相似10、我们做物理实验时，如图所示，火焰上光线穿过小孔O ，在暗箱里形成倒立的像，蜡烛的长度AB 为9cm ，OB=24cm ，OD=8cm ，则蜡烛的像的长度CD 为（ ）（A ）3cm （B ）4cm （C ） 2cm （D ）1.5cm二、填空题（每小题3分，共30分）11. 已知43=y x , 则._____=-yy x 12、已知1，5，x ，5四个数成比例，则x 的值应该是 .13、若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a ； 14、如图, △ABC 中, D, E 分别是AB,AC 上的点(DE 与BC （14题图）不平行), 当 （写出一个条件）时, △ADE 与△ABC 相似.15、已知△ABC ∽△DEF ,且它们的面积之比为1：9，那么它们的周长之比为 。
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静中学中考数学试题分类汇编图形的相似与位似1. (省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ） Ａ、(2)a b --，Ｂ、(2)a b --， Ｃ、(22)a b --，Ｄ、(22)b a --，【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k, 则坐标之比同侧为k 异侧为-k) 【答案】C2．（2010，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）A.0种B. 1种C. 2种D. 3种 【答案】B【关键词】相似三角形的判定3.（市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．【答案4】1.（省）图(一)表示D 、E 、F 、G 四点在△ABC 三边上的位置，其中DG 与EF 交于H 点。
若∠ABC =∠EFC =70︒，∠ACB =60︒，∠DGB =40︒，则下列哪 一组三角形相似？(A) △BDG ，△CEF (B) △ABC ，△CEF(C) △ABC ，△BDG (D) △FGH ，△ABC 。
【关键词】相似【答案】B3.(2010市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A.9:16B. 3:4C.9：4D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B4. (市) 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似【答案】65.（2010省市）如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且位似比A B C D EH图(一)是1:2，若AB =2cm ，则A B ''= cm ， 并在图中画出位似中心O ． 【关键词】位似【答案】．4（填空2分，画图1分）6．(省市)如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是__________m ．【关键词】投影 相似三角形 【答案】8.17．(2010市)已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为_____________.解析：由相似三角形的对应线段比等于相似比知，△ABC 与△DEF 的周长比为2:3 答案：2:3.8．（2010）如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【关键词】三角形相似 【答案】49.（2010潼南县）12. △ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为 .答案：3：410. (2010市潼南县)△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为 .第14题图 A 时B 时第11题图O第11题图答案：3:4. 11.(省).如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点，以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连 结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若3=BMBG，则BK ﹦ . 【关键词】正方形、相似、切线定理【答案】31或 3512.一天，小青在校园发现：旁边一颗树在下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.313.. (2010)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2) P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．解：(1) △ABC 和△DEF 相似．……2分根据勾股定理，得AB =AC =，BC =5 ；DE =DF =EF =∵AB AC BC DE DF EF ===……3分 ∴ △ABC ∽△DEF ．……1分(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．……4分△P 2P 5D ，△P 4P 5F ，△P 2P 4D ， △P 4P 5D ，△P 2P 4 P 5，△P 1FD ．AC BFEDP 1 P 2 P 3P 4P 5ACBFE DP 1 P 2P 3P 4P 5AODBFKE (第16题GMC14．（2010）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到达点B 时，伞得最开。
已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN =6.0分米，CE=CF =18.0分米．BC =2.0分米。
设AP =ｘ分米.（1）求ｘ的取值围；（2）若∠CPN =60度，求ｘ的值；（3）设直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留π）【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等【答案】23.解（1）因为BC =2，AC =CN +PN =12，所以AB =12-2=10 所以ｘ的取值围是010x ≤≤ （2）因为CN=PN ，∠CPN =60°，所以三角形PCN 是等边三角形．所以C P=6所以AP=AC-PC =12-6=6 即当∠CPN =60°时，ｘ=6分米 （3）连接MN 、EF ，分别交AC 与0、H ，因为PM=PN=CM=CN ，所以四边形PNCM 是菱形。
所以MN 与PC 互相垂直平分，AC 是∠ECF 的平分线1260.522PC xPO x -===- 在Rt MOP 中，PM =6， 222226(60.5)60.25MO PM x x x ==--=-又因为CE=CF ，AC 是∠ECF 的平分线，所以EH=HF ，EF 垂直AC 。
因为∠ECH =∠MCO ，∠EHC =∠MOC =90°， 所以COMCEH ，所以MO/EH=CM/CE所以226()()18MO EM =所以22299(60.25)EH MO x x ==- 所以229(60.25)y EH x x ππ==-15.（2010）19.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD∵△ADF ∽△DEC ∴CDAFDE AD =∴4633AF = AF=32 16.(滨州)本题满分8分)如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ．(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； (2)请分别说明两对三角形相似的理由．解：(1) △ABC ∽△ADE, △ABD ∽△ACE (2)①证△ABC ∽△ADE ． ∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ， 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ． ②证△ABD ∽△ACE ．∵△ABC ∽△ADE ，∴AE ACAD AB = 又∵∠BAD=∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE(滨州)15．如图,A 、B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C,连结AC 、BC ，在AC 上取点M ，使AM=3MC ，作MN∥AB 交BC 于N ，量得MN=38cm,则AB 的长为【答案】15217.（2010日照市）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证： （1）D 是BC 的中点；（2）△BE C ∽△ADC ；（3）BC 2=2AB ·CE ．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90° ， 即AD 是底边BC 上的高．又∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰三角形， ∴D 是BC 的中点(2) 证明：∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE =∠CAD ． 又∵ ∠BCE =∠ACD ， ∴△BEC ∽△ADC ； （3）证明：由△BEC ∽△ADC ，知BCCEAC CD =， 即CD ·BC =AC ·CE ． ∵D 是BC 的中点，∴CD=21BC ． 又 ∵AB =AC ，∴CD ·BC =AC ·CE =21BC ·BC=AB ·CE 即BC 2=2AB ·CE ．18.（8分）（省东阳市）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.FECBAB'C'（1）求证: ABE ∆～ABD ∆；(2) 求tan ADB ∠的值； （3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于 求EDF ∠的度数.【关键词】图形相似 三角函数【答案】（１）∵点A 是弧BC 的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 （２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２3在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝33632=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 （３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝６°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．19.（省眉山市）．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定【答案】（1）证明：∵Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的， ∴AC =AC '，AB =AB '，∠CAB =∠C 'AB ' ∴∠CAC '=∠BAB '∴∠ACC '=∠ABB ' 又∠AEC =∠FEB ∴△ACE ∽△FBE（2）解：当2βα=时，△ACE ≌△FBE ． 在△ACC '中，∵AC =AC '， ∴180'180'9022CAC ACC βα︒-∠︒-∠===︒-在Rt △ABC 中，∠ACC '+∠BCE =90°，即9090BCE α︒-+∠=︒， ∴∠BCE =α． ∵∠ABC =α， ∴∠ABC =∠BCE ∴CE =BE由（1）知：△ACE ∽△FBE ， ∴△ACE ≌△FBE ．20. （中考）如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c（c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。