C1-3 函数的连续性
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C1-3函数的连续性
− −
f (x)在 x=0 处右连续但不左连续 , 在
. 故函数 f ( x)在点x = 0处不连续
8
在区间[ （二）函数y = f (x)在区间[a ,b]上的连续性 函数 在区间 ]
在区间内每一点都连续的函数, 在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区 间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续. 间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续. 连续函数 该区间内连续
第三节 函数的连续性
一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质 五、内容小结
1
一、函数的连续性
函数的增量的定义： 函数的增量的定义：
设函数 f ( x)在N( x0 ,δ )内有定义, ∀ x ∈ N( x0 ,δ ),
∆x = x − x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
x→1
∴lim f ( x) = 2 ≠ f (1),
x →1
lim+ f ( x ) = lim+ (1 + x ) = 2,
x →1
x→1
∴x = 1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断 处函数的定义,则可使其变为连续点. 处函数的定义,则可使其变为连续点.
u
α
(0, ∴ y = x 在 + ∞)内连续;
均在其定义域内连续. 讨论α不同值, y = x 均在其定义域内连续. 定理5 定理5 定理6 定理6 基本初等函数在定义域内是连续的. 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的
x→x0
那末就称函数 f ( x)在点 x0连续. 连续. 那末就称函数
f (x)在 x=0 处右连续但不左连续 , 在
. 故函数 f ( x)在点x = 0处不连续
8
在区间[ （二）函数y = f (x)在区间[a ,b]上的连续性 函数 在区间 ]
在区间内每一点都连续的函数, 在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区 间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续. 间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续. 连续函数 该区间内连续
第三节 函数的连续性
一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质 五、内容小结
1
一、函数的连续性
函数的增量的定义： 函数的增量的定义：
设函数 f ( x)在N( x0 ,δ )内有定义, ∀ x ∈ N( x0 ,δ ),
∆x = x − x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
x→1
∴lim f ( x) = 2 ≠ f (1),
x →1
lim+ f ( x ) = lim+ (1 + x ) = 2,
x →1
x→1
∴x = 1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断 处函数的定义,则可使其变为连续点. 处函数的定义,则可使其变为连续点.
u
α
(0, ∴ y = x 在 + ∞)内连续;
均在其定义域内连续. 讨论α不同值, y = x 均在其定义域内连续. 定理5 定理5 定理6 定理6 基本初等函数在定义域内是连续的. 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的
x→x0
那末就称函数 f ( x)在点 x0连续. 连续. 那末就称函数
高等数学的教学课件1-8函数的连续性
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例4中, 令 f (1) 2,
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
值 M 与最小值 m之间的任何值.
例8 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
定义: 如果 x0使 f (x0 ) 0, 则 x0称为函数 f (x)的零点.
定理 6(零值定理) 设函数 f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数 f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
证 lim f ( x)存在，设为A。取 1， x 则存在一个X 0，使得当x X时， 有 f ( x) A 1.
故在( X ,)上，f ( x) A 1. f ( x)在( X ,)上有界。
又函数f ( x)在[a, X ]上连续, 函数f ( x)在[a, X ]上有界. 故f ( x)在[a,)上有界。
y f ( x1 ) f ( x0 )或 y f ( x0 x) f ( x0 )
2.连续的定义
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例4中, 令 f (1) 2,
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
值 M 与最小值 m之间的任何值.
例8 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
定义: 如果 x0使 f (x0 ) 0, 则 x0称为函数 f (x)的零点.
定理 6(零值定理) 设函数 f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数 f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
证 lim f ( x)存在，设为A。取 1， x 则存在一个X 0，使得当x X时， 有 f ( x) A 1.
故在( X ,)上，f ( x) A 1. f ( x)在( X ,)上有界。
又函数f ( x)在[a, X ]上连续, 函数f ( x)在[a, X ]上有界. 故f ( x)在[a,)上有界。
y f ( x1 ) f ( x0 )或 y f ( x0 x) f ( x0 )
2.连续的定义
第3讲 函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是高等数学研究对象的一个基本特征它往往是讨论函数问题的一个先决条件连续函数性质经常是解决数学问题的有力工具
第 3 讲 函数的连续性
函数的连续性是高等数学研究对象的一个基本特征，它往往是讨论函数问题的一个先决条件，连续函 数性质经常是解决数学问题的有力工具.
3.1 基本概念、内容、定理、公式
54
是 f ( x) 的可去间断点？ 3-7 若对 ∀x ∈ R ， f ( x) = f (2 x) ，又 f ( x) 在 x = 0 处连续，则 f ( x) 是常数. 3-8 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上非负连续，且 f (0) = f (1) = 0 ，试证：对任意实数 l (0 < l < 1) ，必存在一点
x
3-11 设函数 f ( x) 在整个实数轴上连续，且 f [ f ( x)] = x ，试证： ∃x0 ，使得 f ( x 0 ) = x0 . 3-12 证明：连续函数在有理点处为 0，则此函数恒为 0. 3-13 已知函数 ϕ ( x) 在 ( −∞,+∞) 上连续，且有 lim
n
ϕ ( x)
x
b−a ). 2
−x
f ( x) 在 (0,1) 上都是单调递增的， 求证：f ( x)
3.4 答案与提示
3-1 f (1) = lim f ( x) =
x →1−
1
π
.
3-2 f ( x) = e
x x −1
， x = 1 是第二类间断点.
3-3 x = 0 是可去间断点属第一类间断点； x = nπ (n = ±1,±2 ") 第二类间断点.
例 3-6 试证： （1）奇次多项式 p ( x) = a 0 x
第 3 讲 函数的连续性
函数的连续性是高等数学研究对象的一个基本特征，它往往是讨论函数问题的一个先决条件，连续函 数性质经常是解决数学问题的有力工具.
3.1 基本概念、内容、定理、公式
54
是 f ( x) 的可去间断点？ 3-7 若对 ∀x ∈ R ， f ( x) = f (2 x) ，又 f ( x) 在 x = 0 处连续，则 f ( x) 是常数. 3-8 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上非负连续，且 f (0) = f (1) = 0 ，试证：对任意实数 l (0 < l < 1) ，必存在一点
x
3-11 设函数 f ( x) 在整个实数轴上连续，且 f [ f ( x)] = x ，试证： ∃x0 ，使得 f ( x 0 ) = x0 . 3-12 证明：连续函数在有理点处为 0，则此函数恒为 0. 3-13 已知函数 ϕ ( x) 在 ( −∞,+∞) 上连续，且有 lim
n
ϕ ( x)
x
b−a ). 2
−x
f ( x) 在 (0,1) 上都是单调递增的， 求证：f ( x)
3.4 答案与提示
3-1 f (1) = lim f ( x) =
x →1−
1
π
.
3-2 f ( x) = e
x x −1
， x = 1 是第二类间断点.
3-3 x = 0 是可去间断点属第一类间断点； x = nπ (n = ±1,±2 ") 第二类间断点.
例 3-6 试证： （1）奇次多项式 p ( x) = a 0 x
函数的连续性(126)
性质
应用
一致连续性在数学分析中非常重要， 是研究函数的重要性质之一。
一致连续的函数在区间$I$上的极限值 等于函数值。
半连续
定义
如果对于任意给定的$x_0 in I$，存在一个正数$delta$，使得当$x in (x_0 - delta, x_0 + delta)$时，有$f(x) geq f(x_0)$（或$f(x) leq f(x_0)$），则称函数$f(x)$在点$x_0$处右 （或左）半连续。
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利用导数证明连续性
总结词
导数可以反映函数在某点的切线斜率，通过研究导数的性质，可以证明函数的连续性。
详细描述
如果一个函数在某点的导数存在且为零，则该函数在该点可能不连续。因此，如果一个函数在某点的导数存在且 不为零，则该函数在该点连续。
利用级数证明连续性
总结词
级数是研究函数的一种方法，通过级数的收敛性可以证明函数的连续性。
一致连续性
在数学分析中，一致连续性是函 数的一种重要性质，它描述了函 数在不同区间上的连续性行为。
在微积分中的应用
1 2
积分的应用
连续函数的积分具有很好的性质，如牛顿-莱布 尼茨公式和积分中值定理等，这些性质在解决实 际问题中具有广泛的应用。
微分方程的求解
许多微分方程的解都是连续函数，研究这些函数 的连续性有助于理解和求解微分方程。
详细描述
如果一个函数可以表示为一个无穷级数，并且该级数收敛，则该函数在该点连续。这是因为级数的收 敛性意味着函数在该点的极限存在，从而证明了函数的连续性。
05 连续性的反例
不一致连续的例子
总结词
不一致连续是指函数在某点的极限值与其左右极限值不一致。
1-8函数的连续性
2 故| f ( x ) |、 f ( x ) 在x0 都连续.
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
o x
x 0称 为 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
1 例4 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x
解 当x 0时f ( x )在 1与 1
之间变动无限多次 ,
y sin
1 x
x 0称 为 函 数 的 振 荡 间 断 点 .
第一类间断点： 左、右极限都存在的间断点.
练习
证明函数y cos x在区间 ( , )内连续.
二 函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x 0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
x x0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f 2 ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f 2 ( x0 ) x x0 x x0 x x0
sin x , x0 f ( x) x . 1 , x0
解：1)
lim f ( x ) f (0), x 0是连续点.
x 0
2) lim f ( x ) lim sin x lim siபைடு நூலகம் x 1
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
o x
x 0称 为 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
1 例4 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x
解 当x 0时f ( x )在 1与 1
之间变动无限多次 ,
y sin
1 x
x 0称 为 函 数 的 振 荡 间 断 点 .
第一类间断点： 左、右极限都存在的间断点.
练习
证明函数y cos x在区间 ( , )内连续.
二 函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x 0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
x x0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f 2 ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f 2 ( x0 ) x x0 x x0 x x0
sin x , x0 f ( x) x . 1 , x0
解：1)
lim f ( x ) f (0), x 0是连续点.
x 0
2) lim f ( x ) lim sin x lim siபைடு நூலகம் x 1
1-3连续
那末， 那末，对于 A与 B之间的任意一个数C， 在开区间 (a, b)内 至少有一点 ξ，使得
f (ξ ) = C (a < ξ < b).
y
几何解释:连续曲线弧 y = f ( x )与水平直线 y = C 至少 几何解释:
有一个交点 .
y = f (x)
o
x
1. 若f ( x)在[0, a ](a > 0)上连续且f (0) = f (a )，则方程 a f ( x) = f ( x + )在(0, a )内至少有一个实根. 2
例如, 例如, sin x , cos x在 ( −∞ ,+∞ )内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
四、初等函数的连续性
★ ★
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.
指数函数 y = a x
2.若区间内有间断点, 2.若区间内有间断点, 若区间内有间断点
2、零点定理与介值定理 、
零点定理) 定理 (零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b ] 上连 异号( ),那末在开 且 续， f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f ( a ) ⋅ f (b ) < 0 ),那末在开 的一个零点, 区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零点,即至少有一 点 ξ ( a < ξ < b ) ，使 f ( ξ ) = 0 .
由定义可知 : f ( x)在x0处连续必须满足三个条件 : (1) f ( x0 )存在; (2) lim f ( x)存在;
x → x0
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
f (ξ ) = C (a < ξ < b).
y
几何解释:连续曲线弧 y = f ( x )与水平直线 y = C 至少 几何解释:
有一个交点 .
y = f (x)
o
x
1. 若f ( x)在[0, a ](a > 0)上连续且f (0) = f (a )，则方程 a f ( x) = f ( x + )在(0, a )内至少有一个实根. 2
例如, 例如, sin x , cos x在 ( −∞ ,+∞ )内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
四、初等函数的连续性
★ ★
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.
指数函数 y = a x
2.若区间内有间断点, 2.若区间内有间断点, 若区间内有间断点
2、零点定理与介值定理 、
零点定理) 定理 (零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b ] 上连 异号( ),那末在开 且 续， f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f ( a ) ⋅ f (b ) < 0 ),那末在开 的一个零点, 区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零点,即至少有一 点 ξ ( a < ξ < b ) ，使 f ( ξ ) = 0 .
由定义可知 : f ( x)在x0处连续必须满足三个条件 : (1) f ( x0 )存在; (2) lim f ( x)存在;
x → x0
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
高等数学第八节函数的连续性
这算定义吗？
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29
例6
讨论函数 f(x)1在x0处的连.续性 x
解 f (x) 1 在 x = 0 无定义, y
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又lim f(x)lim 1,
O
x
x 0
x 0x
故 x = 0为函数 f (x) 1 的第二类间断点. x
由于 limf(x)所以称它为无穷间断点.
x x 0
x x 0 x x 0
limf(x)xl ixm 0 f(x)a (b0)
xx0 g(x) lim g(x) b
xx0
编辑ppt
34
1、连续函数的四则运算
设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 即 xl ixm 0 f(x)f(x0),
xl ixm 0g(x)g(x0), x l x i0fim (x ) fi(x 0 ) (1 ,2 , ,n ) 则
将左、右极限存在但不相等的间断点,
称为函数的跳跃型间断点.
编辑ppt
24
例5 讨论 f(x)x21在x1处的连. 续 x1
解 函数在 x =1 无定义, x =1 为函数的间断点.
y
P(1,2) 1
而lim x21li(m x1)2 x 1x1 x 1
O 1x
故 x =1 为函数的第一类间断点.
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)lim f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 )
x x0
(3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
编辑ppt
18
高等数学(第三版)课件：函数的连续性
(x0 )
上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数 f (x)
在点x0处间断, x0称为函数 f (x)的间断点．
如果 x0是函数 f (x) 的间断点,可将其分成两类:
第一类间断点 f (x) 在点 x0 处的左右极限存在;
可去间断点 其它
第二类间断点
f (x) 在点 x0 处的左右极限至少有 一个不存在.
由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的 区间内是连续的．
计算初等函数 f (x) 在其定义区间内某点 x0 处的极限, 只要计算 f (x)在点x0 处的函数值 f (x)即可．
三、闭区间上连续函数的性质
定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有
最大值和最小值．
如函数 y x 在(a,b) 内既没有最大值，
x
且为可去间断点.
例3
如图,考察函数
f
(x)
1 x 1
在x
1
处的连续性.
解 该函数在点 x 1 处没有定义,所以函数在 x 1
处间断;又因为
,极限 lim 1
x1 x 1
不存在，趋于无穷，所以 x 1
是函数
f
(x)
1 x 1
的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
f
(x)
sin
3. f (x)在 x0 处左(右)连续:
lim
x x0
f (x) f (x0 )
( xx0 )
2．函数的间断点及其类型
函数f (x)在点x0 处连续,必须同时满足以下三个条件：
(1) f (x) 在 x0的某邻域内有定义；
(2) lim f (x) 存在； xx
大学数学函数的连续性
◆函数的间断点的类型
跳跃间断点——第一类
f (x)在x0有定义, 且左右极限存在但不相等
x 1 x 0
f
(x)
0
x0
x 1 x 0
lim f ( x) lim (x 1) 1
x0
x0
y
•o x
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x)不存在
x0
点 x =0是函数 f (x) 的跳跃间断点。
6
一般地, 对于形如u(x)v(x) (u(x) 0,u(x) 1)的函数
(通常称为幂指函数),如果lim u(x) a 0, lim v(a) b
则lim u(x)v(x) ab
◆闭区间连续函数的性质
如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续, 在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b] 上连续的
设
求函数的间断点，并判别其类型。
解 由 f (x)的定义可知，函数在 (1, 0] (0,1) (1, ) 内连续
而
所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)， x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。
求 a的值，使函数在点 x 0 处连续。
解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有
f (x0 ) .
sin(2 x)
3. 设有函数
f
(x)
x
a 1
(x
0)
,
问
a
为何值时,
函数
(x 0)
在 x 0 点连续?
解 因为lim f (x) lim sin(2x) 2 2
x0
x0 2x
函数的连续性与间断性
但
Hale Waihona Puke limx x0f
( x)不存在;
(3) 虽在x
x0有定义,
且
lim
x x0
f ( x)存在,但 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
则 函数 f ( x)在点 x0为不连续(或间断), 而点x0称为函数f ( x)的不连续点(或间断点).
2.间断点举例
例3
正切函数y tan x在x 处没有定义, 2
y
2 1
o1x
例6 函数
x, x 1
y
f
(
x)
1 2
,
x
1
y
1
这里lim f ( x) lim x 1,
x1
x1
但f (1) 1 ,所以 2
1
2o 1 x
lim f ( x) f (1).
x1
因此，点x=1是函数f(x)的间断点.但如果改变函
数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在x=1
x
0.2
0.4
-1
为函数sin 1 的振荡间断点. x
例5 函数y x2 1在点x 1没定义,所以函数在点
x1 x 1为不连续.但这里
lim x2 1 lim( x 1) 2. x1 x 1 x1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.
例７
函数
f (x)
x 0,
1,
这里,当x 0时, x 1,
lim f ( x) lim ( x 1) 1,
x0
函数的连续性(128)
切线斜率
在连续函数图像上任取一 点，该点处的切线斜率等 于该点的导数值。
积分意义
连续函数图像下的面积可 以计算，即对函数进行积 分。
单调性
连续函数在其定义域内可 能存在单调区间。
连续函数图像的绘制方法
描点法
根据已知离散数据点，用平滑的曲线连接这些点。
参数方程法
通过参数方程表示函数的值，然后通过控制参数 的变化来绘制连续函数的图像。
局部连续性
局部左连续性
函数在某一点的某个邻域内左极限存在且等于该点的函数值。
局部右连续性
函数在某一点的某个邻域内右极限存在且等于该点的函数值。
局部连续性的定义
如果函数在某一点的某个邻域内既有局部左连续性又有局部右连续 性，则称函数在该点局部连续。
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03 连续函数的图像
连续函数的图像是连绵不断的
01
02
03
连续函数的定义
如果函数在某区间内的每 一点都连续，则称该函数 在该区间内连续。
图像表现
连续函数的图像是连绵不 断的，没有间断点或跳跃 点。
举例
正弦函数、余弦函数、指 数函数等都是连续函数， 它们的图像都是连续不断 的曲线。
连续函数图像的几何意义
函数在区间上的连续性
总结词
函数在区间上的连续性是指函数在区 间内的任意一点都连续。
详细描述
如果函数在区间内的每一点都连续， 则称函数在该区间上连续。这意味着 对于区间内的任意一点，函数的极限 值都等于该点的函数值。
连续函数的基本性质
总结词
连续函数具有一些基本的性质，如可导性、可积性等。
详细描述
连续函数具有一些重要的性质，如可导性和可积性。如果一个函数在某区间上连续，那么它在这个区间上一定是 可导的，并且可以计算该区间上的定积分。此外，连续函数还具有一些其他性质，如零点存在定理、介值定理等。
数学基本知识：函数的连续性
数学基本知识：函数的连续性函数的连续性由实数的性质我们已经知道其具备有连续性，即连续地布满整个数轴。
在此，我们需进一步将连续性具体落实到函数中去，即讨论函数的连续性问题。
一）函数的点连续定义若函数f(x)在点x0的某个领域内有定义，且成立lim[x→x0] f(x) = f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续，x0点被称为函数f(x)的一个连续点。
显然，所谓的函数点连续就是此点上的函数值等于函数在此点上的极限。
如果这个关系仅对于函数的左（右）极限成立（即lim[x→x0-] f(x) = f(x0)（lim[x→x0+] f(x) = f(x0)）），则称此为左（右）连续。
左右连续性在讨论闭区间的端点连续性和点的非连续特性时起着非常重要的作用。
如果函数f(x)在区间内各点连续，则称此函数在区间X上（点）连续。
注意，这里所谓的区间上（点）连续其实仅是此区间上的各点连续性而已。
若区间X含端点，则其端点的连续性将以其左或右连续性来定义。
二）函数的区间连续（一致连续）定义若函数f(x)在区间X上有定义，且∀ε>0,∃δ,∀x1∈X,∀x2∈X,|x1-x2|显然，一致性连续是整个区间内函数的连续特性，而非个别点的连续性。
三）不连续点（间断点）的类型不连续点虽然其上函数都是非连续的，但其不连续的类型有所不同，简单分类如下：1）第一类间断点函数在间断点上的左右极限存在，但此等式lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0+] f(x) = f(x0)不成立。
如果成立lim[x→x0-] f(x) =lim[x→x0+] f(x) ≠ f(x)，则此间断点称为可去间断点，即可以通过重新定义x0点上的函数f(x0)使之连续。
如果lim[x→x0-] f(x) ≠ lim[x→x0+] f(x)，则此间断点称为跳跃间断点。
2）第二类间断点凡是函数在间断点上的单侧极限不存在的，都属此类。
如果单侧极限趋于无穷，则称为无穷间断点。
高等数学C1-3.1.2函数的连续性(改)精品
例5 证明三角函数是连续函数． 证 我们只证cot x的连续性:
任意x0∈R, x0≠kπ(k∈Z), 由cos x、sin x 都在x0连续，且sin x0≠0，据定理2,
cot(x) cos x sin x
在 x0 处连续，从而cot x为连续函数．
2.复合函数的连续性
定理3 设函数 u=φ(x) 在 x0 处连续且 u0=φ(x0), 函数 y=f(u) 在 u0 处连续，则 复合函数y=f[φ(x)]在x0处连续．
一. 函数的连续性
定义
函数
f(x)
满足：lim xx0
f
(x)
f (x0 )
，
则称函数 f(x) 在 x0 处连续，并称 x0为函数
f(x) 的连续点．
增量 变量 u 从初值 u1 变化到终值 u2, 则
差值 u2-u1称为变量 u 在u1 处的增量, 记成 Δu, 即Δu=u2-u1． 变量 u 的增量可以是正数、负数或零．
xx0
f
(x)
f
(x0 )
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
极限，直接可用 lim xx0
f
(x)
f
(x0 )来求．
例8 计算 limarcsin（ln x） xe
例9 求lim 1 x2 1
§1.5.1-3函数的连续性
为函数 f ( x ) 在 点 x 的改变量(或增量)。
注意：增量可正、可负、也可为零。
2. 函数 y f ( x ) 在点 x 处的连续性
y
y f ( x)
y
y
N M
x
y ( x )
y
x
o
x x x
x 0 时y 0.
x
o
x
x x x
x 0 时y 0.
y a , u loga x.
u
在(0, )内连续
重要结论： 1.基本初等函数在其定义域内都是连续的；
2.一切初等函数在其定义区间内是连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注:
1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
D : x 0,2,4,
当 x 1 时， 根据初等函数在其定义区间上是连续 的结论，知 f ( x ) 在 ( , 1), ( 1, 1), (1, ) 内连续。 1 ∵ lim f ( x ) lim( x 1)arctan 0 ， f (1) 1 ， x1 x1 x 2 1
∴ lim f ( x ) f (1) ，
例 1．证明 f ( x )
1 x 1 , x0 在点 x 0 处连续。 x 0 , x0
证明： f (0 0) lim 0 0 ，
1 x 1 x 1 1 2 f (0 0) lim lim lim x 0, x x0 x0 x 2 x0
如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的第一类间断点 .
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
注意：增量可正、可负、也可为零。
2. 函数 y f ( x ) 在点 x 处的连续性
y
y f ( x)
y
y
N M
x
y ( x )
y
x
o
x x x
x 0 时y 0.
x
o
x
x x x
x 0 时y 0.
y a , u loga x.
u
在(0, )内连续
重要结论： 1.基本初等函数在其定义域内都是连续的；
2.一切初等函数在其定义区间内是连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注:
1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
D : x 0,2,4,
当 x 1 时， 根据初等函数在其定义区间上是连续 的结论，知 f ( x ) 在 ( , 1), ( 1, 1), (1, ) 内连续。 1 ∵ lim f ( x ) lim( x 1)arctan 0 ， f (1) 1 ， x1 x1 x 2 1
∴ lim f ( x ) f (1) ，
例 1．证明 f ( x )
1 x 1 , x0 在点 x 0 处连续。 x 0 , x0
证明： f (0 0) lim 0 0 ，
1 x 1 x 1 1 2 f (0 0) lim lim lim x 0, x x0 x0 x 2 x0
如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的第一类间断点 .
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
1_8函数的连续性
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),
,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(Px)(
x x0
x0
R) (
x0c)ontinue
例. 证明函数
在
内连续 .
证: x (, )
y sin(x x) sin x
y
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
x x 0 0
x 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
o
x
1
三、 连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如,
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调
例如,
y 1 x2 的连续区间为 y ln sin x 的连续区间为
(端点为单侧连续)
而 y cos x 1 的定义域为
因此它 无 连续点
内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在定 义区间内连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 右连续
在点 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: “反之” 不成立 .反例 x 为有理数 x 为无理数
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a x b
(证明略)
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
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例如, 无最大值和最小值
y 1
又如,
o
1
x
y
2
1
也无最大值和最小值
o
1
2
x
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推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
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第三节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
第一章
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一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
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若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )
o a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 必取得介于最小值与最 推论: 在闭区间上的连续函数 大值之间的任何值 .
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例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例. 设 讨论复合函数 的连续性 .
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
解:
2 ( x),
( x) 1
2 ( x) , ( x) 1
lim f [ ( x)] lim x 2 1
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调 递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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存在 ;
存在 ;机动ຫໍສະໝຸດ 目录上页下页
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
) 只要 Q( x0 ) 0 lim lim x ) x0 ( , ), , 都有 P( x)R( P)( x0 R( x0 continue
x R * 上连续 . 在
y
1 y sin x
o
x
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二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x x
0 , 0 , 当 x x0 x 时, 有 f ( x) f ( x0 ) y
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二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
第三节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
在区间 又 使
内至少有
即
x 1 , f (1) 1 0 , 2 2 8
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
取 的中点 x 3 , f ( 3 ) 0 , 4 4
二分法
1 2
0
1 x
3 4
则 ( 1 , 3 ) 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 2 4
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o 1
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x
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x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 即 于是 且 ( x0 ) u0 .
lim f (u )
uu0
f [ ( x0 )]
故复合函数
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
x x0 x x0
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对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f (x)
y
结束
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f (1 ) min f ( x)
a xb
y y f (x)
f ( 2 ) max f ( x)
证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x) y
M
y f (x)
上有界 .
m o a 1 2
y
y f (x)
b
x
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
机动
o
a
b x
内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在 定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
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第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、介值定理
第一章
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定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
y
证: 作辅助函数
y f (x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
(2) 函数
(3) 函数
在
在
x x0
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
不存在; 存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
称为间断点 .
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这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
兴趣题-- 9球称量
• 有9个大小相同的球，其中一个质量和其 他8个不相同，一架天平，怎么称3次才 能找到那个异常的球？
x 1
x2 ,
x 1
2 x , x 1
x 1 时 f [ ( x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
x 1
(证明略)
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
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例如, 无最大值和最小值
y 1
又如,
o
1
x
y
2
1
也无最大值和最小值
o
1
2
x
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推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
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第三节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
第一章
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一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
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若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )
o a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 必取得介于最小值与最 推论: 在闭区间上的连续函数 大值之间的任何值 .
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例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例. 设 讨论复合函数 的连续性 .
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
解:
2 ( x),
( x) 1
2 ( x) , ( x) 1
lim f [ ( x)] lim x 2 1
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调 递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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存在 ;
存在 ;机动ຫໍສະໝຸດ 目录上页下页
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
) 只要 Q( x0 ) 0 lim lim x ) x0 ( , ), , 都有 P( x)R( P)( x0 R( x0 continue
x R * 上连续 . 在
y
1 y sin x
o
x
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二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x x
0 , 0 , 当 x x0 x 时, 有 f ( x) f ( x0 ) y
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二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
第三节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
在区间 又 使
内至少有
即
x 1 , f (1) 1 0 , 2 2 8
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
取 的中点 x 3 , f ( 3 ) 0 , 4 4
二分法
1 2
0
1 x
3 4
则 ( 1 , 3 ) 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 2 4
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o 1
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x
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x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 即 于是 且 ( x0 ) u0 .
lim f (u )
uu0
f [ ( x0 )]
故复合函数
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
x x0 x x0
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对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f (x)
y
结束
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f (1 ) min f ( x)
a xb
y y f (x)
f ( 2 ) max f ( x)
证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x) y
M
y f (x)
上有界 .
m o a 1 2
y
y f (x)
b
x
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
机动
o
a
b x
内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在 定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
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第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、介值定理
第一章
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定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
y
证: 作辅助函数
y f (x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
(2) 函数
(3) 函数
在
在
x x0
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
不存在; 存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
称为间断点 .
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这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
兴趣题-- 9球称量
• 有9个大小相同的球，其中一个质量和其 他8个不相同，一架天平，怎么称3次才 能找到那个异常的球？
x 1
x2 ,
x 1
2 x , x 1
x 1 时 f [ ( x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
x 1