高一必修1指数与指数函数暑假预习学案

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高中数学暑期辅导高一第5讲指数与指数函数.目标班

高中数学暑期辅导高一第5讲指数与指数函数.目标班第5讲指数与指数函数指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．倍成倍地增大（如222⨯⨯⨯），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人. 那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.1．整数指数在初中我们就学过正整数指数幂，如2a ，3a 等，并且我们也知道235a a a ⋅=，32a a a =，那么在这些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =⋅⋅⋅个，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．⑵ 正整数指数幂的运算法则：【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们知识点睛 5.1指数与指数幂的运算遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有33303a a a a -==，33525a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02211a a a -==，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1(0,)n n a a n a -+=≠∈N ．【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等于0③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()081-=；()()01a b a b -=≠；我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：2．分数指数在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式：⑴根式① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根．② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n n aⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方n a n a (0)n a a ±>．③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是000n =．④ n a na n 叫做根指数，a 叫做被开方数．【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如n n a n n a 分别等于什么？下面我们来举几个例子说明一下： 1.)n n a 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n的奇偶性来决定：①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，)332727=，553232-=-，(7700=；②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.例如，442727=，233=，)6600=；若0a <，式子n n a 无意义，例如，22-，)4454-均无意义，也就不能说它们的值了. 因此只要)n n a 有意义，其值恒等于a ，即n n a a = n n a 是实数n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a n n a a =()3322-=-，556.1 6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为a n n a a .4433=，()2333--=. 由此当n n n a a =；当n 0||0n n a a a a a a ⎧=⎨-<⎩，≥，所以，我们得到根式具有如下的性质：⑤ 根式具有的性质：当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，0||0n na a a a a a ⎧==⎨-<，≥，．【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，()2233233a a a ⨯==.显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定133a a =，2323a a =的运算就能像整数指数幂那样运算了.为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0a >，于是分数指数幂定义为：⑵ 分数指数幂① 正分数指数幂：② 负分数指数幂：⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则：【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()k n kn a a =，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的．②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如，2212338824⎛⎫=== ⎪⎝⎭；55151123222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如25．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：由上表不难发现： 2222525 逼近25； 2222525的方向逼近25；所以我们得到如下的无理指数幂：3．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数．⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．⑶ 一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义．对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算【例1】 ⑴细心算一算① 33(5)-=_______；② 2(3)-=________； ③ 335=_______；④ 2()a b -=_________（其中a b <）；⑤ 4334(3π)(3π)---=__________；⑥ 238=_______；⑦ 1225-=________；⑧ 341681-⎛⎫= ⎪⎝⎭______________． ⑵计算下列各式经典精讲考点2：化简与求值问题【例2】 ⑴若1002x=，105y=，则2x y +的值为（）A ．3 B.2 C.1 D.0⑵已知11223a a -+=，求1a a -+，22a a -+，33a a -+的值.⑶化简：()111122221112333300a a b a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>>⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【解析】⑴C【备选】已知()()3232461x x x y ---=+-，则1yx 的值为．若62344112a a a -+=-，则实数a 的取值范围是（）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【点评】学生在做本题时最容易犯的错误就是认为()262364412121a a a a -+=-=-，所以老师在讲本题时，一定要给学生说明()2621a -不一定等于321a -，就跟2a 不一定等于a 一样.指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：我们先来看一下指数函数的定义：考点3：指数函数的定义5.2指数函数及其性质我们规定如下的函数为基本初等函数：⑴ 常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数） ⑵ 指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且 ⑶ 对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且⑷ 幂函数y x α=（α∈R ）⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：指数函数：一般地，函数xy a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.在指数函数中我们要注意以下3点：【注意】1.在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上.2.底数a 是一个大于0且不等于1的常量.知识点睛3.指数函数的形式必须是纯粹的.【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数0a >且1a ≠？①若0a <，则对于x 的某些数值，可使xa 无意义.如()2x-，当1124x =，，等等，在实数范围内函数无意义 ②若0a =，则当0x >时，0xa=；当0x ≤时，xa 无意义③若1a =，则对于任何x ∈R ，xa 是一个常量1，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠，这样对于任何x ∈R ，xa 都有意义2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为x qy bac+=+（其中q b c ，，是常数，0a >且紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数xy a=(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.则指数函数的解析式xy a =中xa 的系数是1且指数位置仅有自变量x ，而函数x qy bac+=+的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，121232xx x++⋅，，都不是指数函数，但2x-是指数函数，因为122xx-⎛⎫= ⎪⎝⎭【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数⑦()21xy a =-（12a >且1a ≠，a 为常数） ⑵①函数3x y m =⋅（m 是常数）是指数函数，则m = ．②函数12x y a +=（a 是常数）是指数函数，则a = ．③函数()243xy a a =-（a 是常数）是指数函数，则a的取值范围为．现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：考点4：指数函数的图象与性质指数函数图象与性质：经典精讲知识点睛图象定义域 R值域(0)+∞，性质⑴ 过定点()01，，即0x =时，1y = ⑵ 在R 上是减函数 ⑵ 在R 上是增函数【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：①先画()2xf x =，从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了632x3-2- 1- 0123()f x 18141212 48f x ()=2xOyxy =a x (0<a <1)(0,1)O yx y=a x (a >1)(0,1)O xy粒麦子，总共所有的格一共放了6419-≈⨯21 1.610粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为642这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有n片，移动次数是()f n.显然()11f=，()23f=，()37f =，.此后不难证明()21nf n=-.64n=时，()64642118446744073709551615f=-=，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1844674407370955161531556952584554049253.855=年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说642是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R，值域为()0+∞，，且过定点()01，.②让学生再画一个()3xg x=x3-2-1-0123() f x 1814121248g x()=3xf x()=2xOyx比较这两个图象.可以发现，当1a >时，a越大，第一象限图象离x 轴越远．③由②的结论老师可以提问，若01a <<，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭试试观察发现，2x与12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以13x⎛⎫ ⎪⎝⎭与3x的图象也关于y 轴对称，如图，所以当01a <<时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远.老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：练习1：如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数3x ，πx ，25x⎛⎫⎪⎝⎭，0.7x的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】由图象可以直接看出1:3xC ，2:πxC ，3:0.7xC ，42:5xC ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者也可以作直线1x =，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.()g x127191313927x3- 2- 1- 0123()f x 18 141212 48()h x 8 421121418h x ()=12()xf x ()=2xOyx13()x12()x3x2xOyxC 4C 3C 2C 1Oyx【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：①所有的指数函数分为两类：1a >和01a << ②指数函数的单调性：1a >时，是增函数；01a <<时，是减函数，而且a 越大，第一象限的图象离x 轴越远 ③指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了.【例4】 ⑴曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是指数函数1xy a =，2x y b =，3x y c =，4xy d =的图象，判断a ，b ，c ，d ，1 的大小关系是．⑵函数()xf x a =与()g x ax a =-的图象大致是（） ⑶用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210xf x x x =+-，，经典精讲(0)x ≥，则()f x 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 ⑵ C ⑶ C我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5：考点5：区间上的值域问题【例5】⑴已知函数()2xf x =，①当()0x ∈+∞，时，函数值域为____________；②当(]2x ∈-∞，时，函数值域为____________；③当(]13x ∈-，时，函数值域为____________.⑵已知函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①当(]1x ∈-∞，时，函数值域为_____________；②当()2x ∈+∞，时，函数值域为______________；③当[)21x ∈-，时，函数值域为______________；下面我们再来看一下幂的比较大小：考点6：幂的比较大小如果给咱们两个幂，比如13与23，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了. 【铺垫】比较下列各题中两个值的大小【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小.在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断． ⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小：⑵设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >> ⑵ A在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解.考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了.【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间．【解析】⑴ 定义域为R ；值域为()0+∞，；单调增区间为R⑵ 定义域为[)1+∞，；值域为(]01，；单调减区间为[)1+∞， ⑶ 定义域为R ；值域为[)3+∞，；单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为(]2-∞，⑷定义域为R ；值域为(]04，；单调增区间为(]1-∞，，单调减区间为[)1+∞，【例7】求下列函数的定义域、值域和单调区间．5.3 指数函数性质的应用经典精讲【解析】⑴ 定义域为{},1x x x ∈≠R 且；值域为{}0,1y y y >≠且；单调减区间为(1)-∞，和(1+)∞，⑵ 定义域为R ；值域为(]0,1；单调增区间为(]0-∞，，单调减区间为[)0+∞，⑶ 定义域为[]31-，；值域为114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；单调增区间为[]11-，，单调减区间为[]31--，⑷ 定义域为(][)24-∞+∞，∪，；值域为[)1+∞，；单调增区间为[)4+∞，，单调减区间为(]2-∞，【演练1】 ()223x -等于（）【演练2】下列函数：①23x y =；②6x y =；③23x y +=；④62xy =⋅；⑤81x y =+；⑥6xy =-.其中一定为指数函数的有（）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【演练3】设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）【演练4】如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数5x ，4.7x ，45x⎛⎫⎪⎝⎭，0.9x的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【演练5】函数228113x x y --+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________．实战演练C 4C 3C 2C 1Oyx⑴0(0)a a ≠=___ ；⑵(0,)na a n -+≠∈=N ____；⑶()()1nn a n n +>∈=N ，且_____；⑷n na =______________；⑸()10na a >=_______；⑹(0,,)m na a n m +>∈=N _____________； ⑺(0,,)=m na a n m -+>∈N ___________；⑻(0Q)r sa a a r s >∈=，，______________； ⑼()(0Q)rs a a r s >∈=，，______________；⑽()(00Q)rab a b r >>∈=，，______________．xy a = 1a > 01a <<图象定义域值域性质 ⑴过定点： ⑵单调性：答案：⑴1；⑵1na ；⑶a ；⑷当n 为奇数时，nn a a=；当n 为偶数时，||0nn a a a a a a ⎧==⎨-<⎩，≥，．xy a =1a >01a <<概念要点回顾图象定义域R值域(0)+∞，性质⑴过定点：()01，，⑵单调性：当1a>时，在R上是增函数；当01a<<时，在R上是减函数y=a x(0<a<1)(0,1)Oyxy=a x(a>1)(0,1)O xy。

人教A版数学必修一学案：2.1指数函数第3课时预习导航学案

2.1 指数函数
预习导航
指数函数
名师点拨对指数函数中底数取值范围的理解
(1)若a<0，则对于x的某些数值，可使a x无意义．如，(－2)x，当x＝1
2
时无意义．
(2)若a＝0，则当x>0时，a x＝0；当x≤0时，a x无意义．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，a x是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1，这样对于任何x∈R，a x都有意义．
自主思考函数y＝a x与y＝
1
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
x(a>0，且a≠1)的图象有怎样的对称关系？
提示：观察课本第56页图2.14知，两函数的图象关于y轴对称．事实上，函数y＝
a x图象上任一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数y＝
1
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
x的图象上，所以
这两个函数的图象关于y轴对称．。

预习提纲指数函数(高中数学优质课课件及教案1)

指数函数（一）一、引例：问题1：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是：___________.问题2：某种机器设备每年按%6的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x年后，机器的价值为原来的y倍，则y与x的关系为:______________. 思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：不同点：二、探索研究:(一)指数函数的概念：函数________)1>aa且叫做指数函数.其中x是自变量.函数的(≠,0定义域为______.思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若0a，=若0a,<若1a，=（二）指数函数的图象与性质：思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：研究内容：思考2：如何来画指数函数的图象呢?思考3：画出指数函数x y 2=、x y )21(=的图象并观察图象有什么特征？y图象特征：图象特征：y- - ------------x0 - - - -----------x思考4：选取底数a 的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象。

观察图象，并回答以下几个问题：问题一：图象分别在哪几个象限？问题二：图象的上升、下降与底数a 有联系吗？问题三：图象中有哪些特殊的点？思考5：通过你画的图象，能发现怎样的规律呢？底数分_______和__________两种情况．思考7：归纳指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质：1a >01a <<图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点：（4）在(,)-∞+∞上是___函数（4）在(,)-∞+∞上是____函数三、应用举例：利用单调性比较大小．例1. 比较下列各组数中各个值的大小：（1）5.27.1 ，37.1 ；（2） 1.08.0-，2.08.0-；（3）)1,0(,2131≠>a a a a 且；（4） 3.07.1，1.39.0，1．练习：比较下列各组数中各个值的大小：；，）（3.25.01.31.31；）（）（）（24.03.032,322--.2.03.231.05.0--，）（。

第11讲指数与指数函数(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第11讲指数与指数函数【学习目标】1.通过对有理数指数幂()0,1,,0m naa a m n n >≠>为整数，、实数指数幂()0,1,xa a a x >≠∈R 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点【基础知识】一、根式的定义1.a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *.2.a 的n 次方根的表示①当n 是奇数时，a 的n 次方根表示为na ，a ∈R ；②当n 是偶数时，a 的n 次方根表示为±n a ，其中－na 表示a 的负的n 次方根，a ∈[0，＋∞)．3.根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．二、根式的性质1.(na )n ＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n ＞1)．2.na n(n 为奇数，且n ＞1)，|(n 为偶数，且n ＞1).三、分数指数幂1.a m n＝na m ，a－m n＝1am n ＝1n a m (其中a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．2.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．四、有理数指数幂的运算性质1.a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．2.(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．3.(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．五、无理数指数幂1.对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．2.定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．六、实数指数幂的运算性质1.a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈R)．2.(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈R)．3.(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈R)．七、条件求值对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：八、指数函数的定义图象及性质1.函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2.指数函数的图象和性质【解读】1.由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)1只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象．2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．九、识别指数函数图象问题的注意点1.根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1；2．在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；3．根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·a x＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．十、函数图象的对称和变换规律一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y 轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．【考点剖析】考点一：根式的化简例1=()A．B．-C．2D．2-【答案】D)112==-=-，故选D．考点二：利用指数幂的运算性质化简例2．(2022学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中)化简111123224(0,0)a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为()A ．aB ．bC ．a bD ．b a【答案】A【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得：1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A.考点三：条件求值例3．(1)已知,a b 是方程2640x x -+=的两个根，且0a b >>(2)已知11223a a -+=，求下列各式的值：①1a a -+；②22a a -+．【解析】(1)因为,a b 是方程2640x x -+=的两个根，所以64a b ab +=⎧⎨=⎩，所以221105====．因为0a b >>>=(2)①将11223a a -+=两边平方，得129a a -++=．即17a a -+=．②将17a a -+=两边平方，得22249a a -++=，即2247a a -+=．考点四：指数函数的图象例4．(2022学年浙江省杭州地区重点中学高一下学期期中)若函数()()()11xf x a x b =--+的图象如图所示，则()A ．01,1a b <<C ．1,1a b ><D ．1,1a b >>【答案】D【解析】由题意，函数()()()11xf x a x b =--+，令()0f x =，即()()110xa xb --+=，解得10x a -=或10x b -+=，可得0x =或1x b =-，结合图象，可得10b ->，解得1b >；又由函数()f x 的图象得，当0x <时，()0f x >，当0x <时，因为1b >，可得10x b -+<，所以10x a -<，即1x a <，解得1a >.故选D.考点五：求指数型函数的定义域与值域例5函数113()934x xf x --⎛⎫=++⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦考点六：求指数函数的单调区间例6．(2020-2021学年河南省登封市一高高一上学期段考)函数2435xx y -+-=的单调递减区间是()A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435xx y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选A.考点七：利用指数函数的单调性比较大小例7．(2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中)已知，0.60.6a =，0.10.3b -=，0.50.6c =，则()A ．a b c <=，所以a c b <<.故选D考点八：利用指数函数的单调性求参数范围例8．(2022学年云南昭通市第一中学高一下学期考试)已知函数()22e 1x f x =-+，若不等式()222x f ax f x ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭对()1,2x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()22e 2e 1e 1x x xf x =-=++ ，()2e 2e 11e x x xf x ---==++，()()2f x f x ∴+-=，则22222x x f x f x ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222x f ax f x ⎛⎫∴+--> ⎪⎝⎭可化为()22x f ax f x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；e 1x y =+ 为R 上的增函数，()22e 1x f x ∴=-+为R 上的增函数，22xax x ∴>+对()1,2x ∀∈恒成立，即12a x >+，315222x <+< ，52a ∴≥，即实数a 的取值范围是5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选D.【真题演练】1.(2022学年陕西省咸阳市高一上学期期末)若函数()11x f x a -=-(0a >且1a ≠)的图像经过定点P ，则点P的坐标是()A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-【答案】B【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由xy a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选B2.(2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中)若01,0a b <<>，且2b b a a -=--，则b b a a -+的值为()A ．B ．±C ．-D 【答案】A【解析】由题设，222()42b b b b a a a a ----+==，即226b b a a -+=，又222()82b b b b a a a a --+++==，且0b b a a -+>，所以b b a a -+=.故选A.3.(2022学年安徽省池州市青阳县第一中学高一下学期3月月考)已知函数()21xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是()A ．0,0,0a b c <<C ．22a c -<D ．222a c +<【答案】D【解析】由图示可知0a <时，b 的符号不确定，01c <<，故AB 错；()|21|,()|21|a c f a f c =-=- ,|21||21|a c ∴->-,即1221a c ->-，故222a c +<，故D 正确，又22a c +>2<，即21a c +<,所以0a c +<，即c a <-，所以22c a -<，故C 不正确.故选D4.(多选)(2022学年江苏省盐城市滨海中学高一上学期期中)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A ．21()x =-B 13y =C ．当0x ≠时，13x -D ．当0x >时，1234x ⎤=【答案】CD【解析】对于A 选项，12x =-，所以A 选项错误.对于B 13y =，所以B 选项错误.对于C 选项，0x ≠，13x-=C 选项正确.对于D 选项，0x >，3312144232x x x ⎛⎫=⎤== ⎪⎝⎭，所以D 选项正确.故选CD5．(多选)(2022学年山东省聊城市高一上学期期末)已知函数()()01xf x a a =<<，()()()g x f x f x =--，对任意12x x ≠，则()A ．()()()1212f x f x f x x =B ．()()0g x g x +-=C ．()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +<+D ．()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R 【答案】BCD【解析】对选项A ，()()1212x x f x f x a +=，()1212x xf x x a =，故选项A 错误；对选项B ，()x x g x a a -=-，()x xg x a a --=-，则()()0g x g x +-=，故选项B 正确；对选项C ，()()()()()()()12121212112212211xx x x x x x x a a ax g x x g x x g x x g x a ++--++--=不妨设12x x <，则120x x a a ->，故()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +<+，故选项C 正确；对选项D ，因为()g x 是奇函数，()g x 在(),-∞+∞上递减则要使()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R 恒成立只需：()233144g t t g g ⎛⎫⎛⎫-+-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需：2314t t -+-≤-只需：24410t t -+≥而0∆=，故()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R ，故选项D 正确故选BCD6.(2020-2021学年安徽省合肥市第十中学高一上学期期中)())121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____________．【答案】45-【解析】原式＝1113322535105(0.3)49()149149145910333--⎛⎫-+-=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭．7．(2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中)(1)求值：013263290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；(2)已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.【解析】(1)原式136631()128-=-++ 21872=-++81=；(2)由11223(0)a a a -+=>，而111222()27a a a a --+=+-=，则2212()247a a a a --+=+-=，故22114716171a a a a --+++==+++.8.(2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中)已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明.【解析】(1)由()f x 为定义在R 上奇函数可知()00f =，解得1a =.经检验，此时对任意的x 都有()1112122212222212x xx x x x xf x ---=-+=-+=-++⨯++()()12111111111212212212221xx x x xf x +-⎛⎫=-+=-+-=-=--+= ⎪++++⎝⎭故1a =.(2)由21x y =+递增，可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，证明如下：对于任意实数1x ，2x ，不妨设12x x <，则()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++.∵2x y =单调递增，且12x x <，∴12022x x <<即21220x x ->，1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.【过关检测】1.(2022学年陕西省咸阳市武功县高一上学期期中)已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过()．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【解析】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到，所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选B2.(2022学年广东省广州市六中高一下学期期中)已知m ，n 1=，则下列不等式一定成．．．立．的是()A ．n mm n ≥B ．n m m n <C ．12m n m n +<D ．12m n m n +>【答案】D【解析】m ，n 1=，即11221m n +=01,0 1.m n ∴<<<<,x x m n y y ∴==在(,)-∞+∞上均为减函数，,m n y x y x ==在(0,)+∞上为增函数.当m n <时，n m m m m n <<，故A 错误；当m n >时，n m m m m n >>，故B 错误；取41m n ==，此时12m n m n +=>，故C 错误；m n +≥ 22()m n ∴+≥，2124m n +∴≥=，12m n ∴+≥，11,m n m m n n m n >=>= ，12m n n n m m +>+≥∴，故D 正确.故选D3.(2022学年陕西省渭南市临渭区高一上学期期末)函数y x a =+与x y a -=(0a >且1a ≠)在同一坐标系中的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为一次函数y x a =+为直线，且函数y x a =+单调递增，排除AD 选项.对于B 选项，指数函数1xx a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，则101a <<，可得1a >，此时，一次函数y x a =+单调递增，且直线y x a =+与y 轴的交点()0,a 位于点()0,1的上方，合乎题意；对于C 选项，指数函数1x xa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，则101a <<，可得1a >，此时，一次函数y x a =+单调递增，且直线y x a =+与y 轴的交点()0,a 位于点()0,1的下方，不合乎题意.故选B.4.(2022学年广东省汕尾市高一上学期期末)若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()A ．c a b>>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A 【解析】13231142b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且112433<<，所以112433111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c a b >>，故选A 5.(多选)(2022学年河北省沧州市沧县中学高一上学期测试)已知函数()33x x f x -=-，则()A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC 【解析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0x h x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误；因为()3x g x =是递增函数，而()3x h x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x x f x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选ABC6.(多选)(2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一上学期期中)已知函数,1()(12)3,1x a x f x a x a x -⎧<-=⎨-+-⎩是R 上的增函数，则实数a 的值可以是()A ．4B ．3C ．13D ．14【答案】CD 【解析】因为,1()(12)3,1x a x f x a x a x -⎧<-=⎨-+-⎩是R 上的增函数，所以11120213a a a a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪-+⎪⎩，解得1142a <.故选CD.7．(多选)(2022学年吉林省松原市重点高中高一3月联考)设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则下列叙述中正确的是()A ．()f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()f x ⎡⎤⎣⎦的值域是{}1,0,1-【答案】BC 【解析】根据题意知，()e 11e 112111e 1e 221e x x x x xf x +-=-=-=-+++，()e 1101e 2f ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()1111e 12f ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，所以，()()11f f ≠-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦且()()11f f ≠--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数，也不是偶函数，A 错；()()()e 111111e 221e 2e 1e x x x x x f x f x ----=-=-=-=-+++ ，所以，函数()f x 为奇函数，B 对；因为函数1e x y =+为R 上的增函数，则函数11e xy =+为R 上的减函数，故函数()1121e x f x =-+上的增函数，C 对；因为e 0x >，则1e 1x +>，所以，1011e x<<+，故()1122f x -<<，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，D 错.故选BC.8.(2022学年河北省沧州市沧县中学高一上学期测试)已知104m =，10n =34210m n-=______．【答案】83【解析】因为104m =，10n =()()()332343222210428103310m m nn -====．9.已知正整数()a b c a b c <<，，和非零实数x y z w ，，，，若70x y z w a b c ===，且1111w x y z =++，求a b c ，，的值．【解析】由已知70x y z w a b c ===，得1170w x a =，同理1170y w b =，1170w z c =，三式相乘，得()111170x y z w abc ++=，又1111w x y z=++，所以70abc =，又因为,,a b c 为正整数，故70257=⨯⨯，又a b c <<则257a b c ===，，．10.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)已知函数()4141x x f x -=+.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 的单调性并证明；(3)若不等式()4x m f x ≥在[]0,1x ∈上有解，求m 的最大值.【解析】(1)由题意知：()f x 定义域为R ，()()14411441441144xx x x x x xxf x f x ------====-+++ ，()f x ∴为R 上的奇函数.(2)()f x 是R 上的增函数，证明如下：令12x x <，则()()()()()2121212121244414141414141x x x x x x x x f x f x ----=-=++++；21440x x -> ，2410x +>，1410x +>，()()210f x f x ∴->，()f x ∴是R 上的增函数.(3)由()4x m f x ≥得：()()()()224134124424413414141x x x x x x x x x m f x +-++-≤⋅===++-+++；当[]0,1x ∈时，[]412,5x +∈，令[]412,5x t =+∈，2y t t =+ 在[]2,5上单调递增，max 21235t t ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，即()max 1245x f x ⎡⎤⋅=⎣⎦，125m ∴≤，则m 的最大值为125.。

人教B版数学高一版必修1学案指数函数(1)

数学人教B 必修1第三章3.1.2 指数函数1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象． 2．探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质． 3．利用计算工具，比较指数函数增长的差异．1．指数函数的定义函数______________叫做指数函数，其中________是自变量．对指数函数定义的理解应注意以下两点：(1)定义域：因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a ＞0的前提下，x 可以是任意实数．(2)规定底数a 大于零且不等于1的理由是：如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x >0时，a x 恒等于零；当x ≤0时，a x 无意义.如果a ＜0，比如y ＝(－4)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…y ＝(－4)x 都无意义．如果a ＝1，对于任何实数x ，y ＝1x ＝1是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了．【做一做1】指数函数y ＝(a －1)x 中，实数a 满足的条件是__________． 2．定义域：______值域：______ 图象过定点______ 在______上是增函数在______上是减函数指数函数y ＝a x (a ＞1)在R 上为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .【做一做2－1】函数y ＝2－x 的图象是( )【做一做2－2】函数y＝a x－1＋2 011(a＞0且a≠1)中，无论a取何值恒经过一个定点，则这个定点的坐标为________．【做一做2－3】(1)已知3x≥9，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x＋1＜5，求实数x的取值范围．一、指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的函数值的变化规律剖析：先从具体函数入手：列表：从上表中很容易发现：①当x＜0时，总有2x＞3x；②当x＞0时，总有2x＜3x；③当x 从1增加到3，y＝2x的函数值从2增加到8，y＝3x的函数值从3增加到27，说明当x＞0时，函数y＝3x的函数值比y＝2x的函数值增长得要快．又对于指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)，当将底数a由2变为3，发现它们的图象发生了显著变化，在第一象限内，底数a越小，函数的图象越接近x轴．再类似地列表分析函数y＝⎝⎛⎭⎫12x和y＝⎝⎛⎭⎫13x的函数值的变化．a＞b＞10＜a＜b＜1性质Ⅰ．当x＜0时总有a x＜b x＜1总有a x＞b x＞1Ⅱ．当x＝0时总有a x＝b x＝1总有a x＝b x＝1Ⅲ．当x＞0时总有a x＞b x＞1总有a x＜b x＜1Ⅳ．指数函数的底数越大当x＞0时，其函数值增长得越快当x＞0时，其函数值减少得越慢指数幂a x和1的比较：当x＜0，a＜1或x＞0，a＞1时，a x＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，a x大于1，简称为“同大”．当x＜0，a＞1或x＞0，a＜1时，a x＜1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相反(异)时，a x小于1，简称为“异小”．因此简称为“同大异小”．二、指数函数的图象分布规律剖析：先从特例入手：在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③y＝⎝⎛⎭⎫15x；④y＝⎝⎛⎭⎫12x.观察四个函数图象，它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)恒过两个点(0,1)和(1，a )．这四个函数都经过点(0,1)，又分别经过点(1,2)，(1,5)，⎝⎛⎭⎫1，15，⎝⎛⎭⎫1，12.再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图)．(2)从上图中总结出一般性结论为： ①观察指数函数的图象，既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以是非奇非偶函数．②y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x的图象关于y 轴对称，分析指数函数y ＝a x的图象时，需找三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . ③指数函数的图象永远在x 轴的上方．当a ＞1时，图象越接近于y 轴，底数a 越大；当0＜a ＜1时，图象越接近于y 轴，底数a 越小．①当底数a 大小不定时，必须分“a ＞1”和“0＜a ＜1”两种情形讨论．②当0＜a ＜1时，x →＋∞，y →0；当a ＞1时，x →－∞，y →0.当a ＞1时，a 的值越大，图象随x 增大递增的速度越快；当0＜a ＜1时，a 的值越小，图象随x 增大递减的速度越快．(其中“x →＋∞”的意义是：“x 趋向于正无穷大”)三、教材中的“？”指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，a ＞1时，x 取何值，y ＞1？x 取何值，0＜y ＜1？0＜a ＜1呢？剖析：a ＞1时，若x ＞0，则y ＞1；若x ＜0，则0＜y ＜1. 0＜a ＜1时，若x ＜0，则y ＞1；若x ＞0，则0＜y ＜1.题型一求指数型函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)132x y -=； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |； (3)y =反思：本题是求定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x 的取值范围(集合)；求值域的问题主要是借助指数函数的性质，先求出指数位置上的表达式的取值范围，再转化为原函数的值域．题型二比较大小【例2】将三个数1.5－0.2,1.30.7，1323⎛⎫⎪⎝⎭按从小到大的顺序排列．分析：当两个幂指数底数相同时，要比较这两个数的大小，可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．反思：处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比较大小，比如和0比较，和1比较，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x 取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系．题型三指数函数的图象变换【例3】先作出函数y ＝2x 的图象，再通过图象变换作出下列函数的图象．(1)y ＝2x －2，y ＝2x ＋1； (2)y ＝2x ＋1，y ＝2x －2；(3)y ＝－2x ，y ＝2－x ，y ＝－2－x .分析：先作出y ＝2x 的图象，再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象；由y ＝2x 的图象作关于x 轴，y 轴，原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象．反思：从本题中我们可以得到如下规律： (1)平移变换． ①上下平移(b ＞0)．y ＝f (x )的图象―-----―→向上平移b 个单位y ＝f (x )＋b 的图象． y ＝f (x )的图象――-----→向下平移b 个单位y ＝f (x )－b 的图象． ②左右平移(b ＞0)．y ＝f (x )的图象―----―→向左平移b 个单位y ＝f (x ＋b )的图象． y ＝f (x )的图象――----→向右平移b 个单位y ＝f (x －b )的图象． (2)对称变换．y ＝f (x )的图象――------→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象． y ＝f (x )的图象―-----―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象． y ＝f (x )的图象―-----------→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象． (3)翻折变换．y ＝f (x )的图象――-----------------→保留y 轴右边图象将y 轴右边图象翻折到左边y ＝f (|x |)的图象． y ＝f (x )的图象――---------------------→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折到上方y ＝|f (x )|的图象．题型四指数函数性质的综合应用【例4】若函数y ＝f (x )＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．分析：本题可通过奇函数的定义，得f (－x )＋f (x )＝0，推导出a 的值；而求函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x 的取值范围；值域求解通常可利用单调性逐步求解．反思：把握函数的定义域、值域、奇偶性及单调性的定义是解决本题的关键．由于高中淡化了对复合函数单调性的讨论，因此我们还是根据定义解题．题型五易错辨析【例5】函数y ＝2－x ＋1的图象是由y ＝2－x 的图象怎样变化得到的？错解：由“左加右减”法则，把y ＝2－x 的图象向左平移一个单位，得到y ＝2－x ＋1的图象．【例6】求函数y ＝4x －2x ＋1＋3，x ∈(－∞，1]的值域．错解：(换元法)∵y ＝(2x )2－2·2x ＋3，∴令2x ＝t ，则原函数化为y ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2. ∴当t ＝1时，y min ＝2，即y ≥2，即函数y ＝4x －2x ＋1＋3，x ∈(－∞，1]的值域为[2，＋∞)．1(2011·浙江宁波高一联考)已知集合A ＝{y |y ＝31－x ，x ∈R }，B ＝{x |1≤x ≤4}，则( ) A ．A ∩B ＝ B ．A ∩B ＝[1,3] C ．A ∪B ＝(0，＋∞) D ．A ∩B ＝(0,4]2函数f (x )＝2x －12x ＋1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3如图所示的四条曲线分别是y ＝a x 1，y ＝a x 2，y ＝a x 3，y ＝a x4在同一坐标系中的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．0＜a 3＜a 4＜1＜a 1＜a 2B ．0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1C ．0＜a 3＜a 4＜1＜a 2＜a 1D ．0＜a 4＜a 3＜1＜a 1＜a 24若a π＜a 3.1，则a 的取值范围是__________．5已知函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、三、四象限，试确定a ，b 的取值范围．答案：基础知识·梳理1．y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈R ) x 【做一做1】a ＞1且a ≠22．R (0，＋∞) (0,1) (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 【做一做2－1】B【做一做2－2】(1,2 012) 函数y ＝a x 的图象经过一个定点(0,1)，在函数y ＝a x －1＋2 011中，令x －1＝0，即x ＝1，得y ＝2 012，则定点坐标为(1,2 012)．【做一做2－3】解：(1)∵3＞1，∴指数函数y ＝3x 在R 上为增函数．由3x ≥9＝32，可得x ≥2，即x 的取值范围是[2，＋∞)． (2)∵0＜0.2＜1，∴指数函数y ＝0.2x 在R 上为减函数．∵5＝⎝⎛⎭⎫15－1＝0.2－1，∴0.2x ＋1＜0.2－1. ∴x ＋1＞－1.∴x ＞－2，即x 的取值范围是(－2，＋∞)．典型例题·领悟【例1】解：(1)要使函数132x y -=有意义，则有x －3≠0，即x ≠3；由于1x －3≠0，所以1321x y -=≠.所以所求函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠3}，值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |中的|x |≥0，所以x ∈R,0＜y ≤1.所以所求函数的定义域为R ，值域为{y |0＜y ≤1}．(3)已知函数可化为y =，由1x －1≥0，得x ＞1.又由1x －1＞0，得1y =>.所以定义域为{x |x ＞1}，值域为{y |y ＞1}．【例2】解：先比较1.5－0.2⎝⎛⎭⎫即⎝⎛⎭⎫230.2和1323⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，考查指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x ，由于底数23在区间(0,1)内，所以指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在(－∞，＋∞)上是减函数．由0.2＝15＜13，得1＞⎝⎛⎭⎫230.2＞1323⎛⎫ ⎪⎝⎭. 另一方面，由于1.3＞1，0.7＞0，所以1.30.7＞1. 所以1323⎛⎫⎪⎝⎭＜1.5－0.2＜1.30.7. 【例根据上表中x ，y 的对应值在直角坐标系中描点作图如下图所示．(1)函数y ＝2x －2的图象可以由y ＝2x的图象向右平移2个单位得到，函数y ＝2x ＋1的图象可以由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．图象如上图所示．(2)函数y =2x +1的图象可以由y =2x 的图象向上平移1个单位得到，函数y =2x －2的图象可以由y =2x 的图象向下平移2个单位得到．图象如下图所示．(3)函数y =2－x 的图象由y =2x 的图象关于y 轴对称后得到；函数y =－2x 的图象由y =2x 的图象关于x 轴对称后得到；函数y =－2－x 的图象由y =2x 的图象关于原点对称后得到．图象如下图所示．【例4】解：先将函数y ＝a ·2x－1－a 2x－1化简为y ＝a －12x －1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x 1－2x＝0.∴a ＝－12.(2)由a ＝－12，得y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0.∴x ≠0. ∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x －1≠0. 又∵2x －1＞－1，∴0＞2x －1＞－1或2x －1＞0.∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12，即函数的值域为{y |y ＞12，或y ＜－12}．(4)当x ＞0时，设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝12212111112222(21)(21)x x x x x x ----=--. ∵0＜x 1＜x 2，∴12122xx <<.∴12220xx-<,1210x->,2210x->. ∴y 1－y 2＜0.因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上递增．同理可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上递增．【例5】错因分析：图象的左右平移是对于自变量x 来说的，因此平移只对自变量x 起作用，与自变量的函数无关．正解：∵y ＝2－x ＋1＝2－(x －1)，从而把y ＝2－x 的图象向右平移一个单位后，得到y ＝2－x ＋1的图象．【例6】错因分析：忽视了新的自变量t 的取值范围，而使y 的取值范围扩大．正解：原函数即为y ＝22x －2·2x ＋3，令t ＝2x ，x ∈(－∞，1]， ∴t ∈(0,2]．∴y ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2. 当t ＝1时，y min ＝2；当t ＝2时，y max ＝22－2×2＋3＝3. ∴函数的值域为[2,3]．随堂练习·巩固1．C 由题意知，A ＝(0，＋∞)，又B ＝[1,4]， ∴A ∩B ＝[1,4]，A ∪B ＝(0，＋∞)．2．A ∵函数的定义域为R ，且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，∴函数为奇函数．3．B 图象在y 轴右边的部分，离x 轴由近到远的顺序依次为a 4，a 3，a 2，a 1，按此顺序底数由小到大，∴0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1.4．0＜a ＜1 根据指数函数的性质易知y ＝a x 在定义域内定为减函数，才有a π＜a 3.1成立，因此0＜a ＜1.5．分析：函数y ＝a x ＋b 的图象是由y ＝a x 的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b |个单位得到的，其形状与y ＝a x 的图象相同．解：如图所示，由图象经过第一、三、四象限，可知a ＞1.当x =0时，y ＜0， ∴a 0+b ＜0. ∴b ＜－1.故a ，b 的取值范围是a ∈(1，+∞)，b ∈(－∞，－1)．。

高中数学人教A版高一必修一预习案专题一指数运算与指数函数(总第课时)

③写出有理数指数幂三条运算性质.
（2）指数函数
1
①写出指数函数定义. ②列表总结指数函数的图象与性质.
③通过图象，总结不同底数的指数函数的函数值随底数的变化情况.
【自主检测】
1.
27 9
0.5
0.1 2
2
7 48 =____ ______.
2.不等式
1 x2 8 3
2x 的解集是__________________________．
3
3. 若函数 f (x) 1 a m 1 是奇函数，则 m 为__________
x
【组内互检】
互查知识要点
2
专题一：指数运算与指数函数(总第32课时)
【教学目标】
1．知识与技能
复习指数运算与指数函数图像性质，能利用所学有关知识，解决与指数、指数函数有关的问
题. 2．过程与方法
通过学生复习整理,让学生更加熟悉指数幂的运算以及指数函数的图象性质. 3. 情感、态度、价值观
(1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.
(2)培养学生数形结合的思想观念以及抽象思维的能力.
【预习任务】
1. 指数运算与指数函数知识结构:
义义义义义
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2. 指数运算与指数函数知识要点（1）指数及指数运算 ①写出 n 次方根的定义及有关的重要公式.
②写出根式与分数指数幂转化公式.

指数运算与指数函数(学案)

指数运算与指数函数高考要求知识梳理知识点一：有理数指数幂1. n 次方根概念与表示一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ．n2.根式概念式子a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．3.根式的性质①n a =.②||,a n a n ⎧=⎨⎩，为奇数为偶数； 4.分数指数幂正分数指数幂：a mn=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,n >1) 负分数指数幂：a − m n =1a m n=√a mna >0,m,n ∈N ∗,n >1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (ab )r =a r b r (a >0,s ∈Q )知识点二：指数函数的图像和性质1.指数函数概念：形如0(>=a a y x且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质R知识点三：指数函数性质的运用（比较大小）指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大考点解析典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算例2、已知 01x <<，且13x x -+=，求1122x x --的值.典型习题二：指数函数的图像问题例1、已知函数2()x f x m-=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图象为（）)65)(41(561312112132-----y x y x yx例2、函数221()2x xy -+=的值域是（）A.RB.1[,)2+∞ C.(2,)+∞ D.(0,)+∞例3、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间是．例4、若21212()4xx +-≤，则函数2x y =的值域是（） A.1[,2)8 B.1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1(,]8-∞D.[2,)+∞例5、函数()()23201xx f x aa a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是．典型习题三：指数函数性质的运用（比较大小）例1、已知3116=a，542=b ，325=c ，则（）A.c a b >>B.b c a >>C.a b c >>D.b a c >>达标训练1．若0a >，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是（） A ．m mnnaa a÷= B ．mn mn aa a ⋅= C ．()nm m n a a +=D ．01n n a a -÷=2．化简1260[()]()21---的结果为（）A ．9-B ．7C ．10-D ．93 A ．0B ．2()a b -C ．0或2()a b -D ．a b -4．下列函数中：①23xy =⋅；②13x y +=；③3x y =；④3y x =.其中，指数函数的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数xa y )1(-=在实数集R 上为减函数，则a 满足（） A ．1＜aB ．10＜＜aC ．21＜＜aD ．21＜＜a6．函数12+=x y 的大致图象是（）7．若102,104mn==，则3210m n-= ．8．化简并求值：（1）252008.0)949(827325.032⨯+--）（；（2）413322338(14a a b a b-÷-+9．已知函数()131xf x a =++为奇函数，则a 的值为 . 10．求下列函数的定义域与值域：（1）y =（2）2121x x y -=+；（3）y =11．已知函数)(x f 的定义域是)2,1(，则函数)2(xf 的定义域是（） A ．)1,0(B ．)4,2(C ．)1,21(D ．)2,1(12．化简625625++-=___________13．已知0a >，0b >，且baa b =，9b a =，求a 的值.14．已知13x x-+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+15．设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞16．函数xak x f -⋅=)((a k ,为常数，10≠a a ，且＞)的图象过点)1,0(A ，)8,3(B ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数()1()()1f xg x f x -=+，试判断函数)(x g 的奇偶性，并给出证明．课后训练1．若21025x-=，则10x 的值为（）A ．15±B ．15 C ．15- D ．16252．已知22x x-+=，且1x >，则22x x --的值为（）A ．2或2-B ．2-C ．6D ．23．化简：10.5233277(0.027)2______1259-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．设 1.20.80.4614,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 5．已知xa x f -=)((10≠a a ，且＞)，且)3()2(f f ＞-，则a 的取值范围是（） A ．0＞aB ．1＞aC ．1＜aD ．10＜＜a6．当10≠a a ，且＞时，函数3)(2-=-x a x f 的图象必过定点 .7.= ． 8.已知函数12log )(2--=x xx f 的定义域为集合A ，关于的不等式x a a --22＜的解集为B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．9.（11421()0.25(2-+⨯；（2）已知11223x x -+=，求22112x x x x --++++的值.10.是否存在实数a ，使得函数()()22101x x f x a a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为14？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.11.12．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数13.求函数11()()142xxy =++的值域.14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .16．已知函数)10()(≠+=a a b a x f x，＞的定义域和值域都是]0,1[-，则ba += .。

北师大版高中数学必修一学案指数函数概念与性质

（3）；（4） .
练1.已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（1）；（2） .
练2.比较大小：
（1）；
（2） , .
三巩固练习
1.函数是指数函数，则的(x)= (a>0,a≠1)的图象恒过定点（）.
A. B.
C. D.
3.指数函数① ，② 满足不等式，则它们的图象是（）.
4.比较大小： .
5.函数的定义域为.
四课后反思
五课后巩固练习
1.求函数y= 的定义域.
2.探究：在[m，n]上，值域？
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
指数函数概念与性质
授课时间
撰写人
学习重点
指数函数的概念和性质及其应用
学习难点
指数函数性质的归纳，概括及其应用
学习目标
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
教学过程
一自主学习
1.一般地，函数（＞0且 ≠1）叫做，其中是自变量，函数的定义域为。
2
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域：
(2)值域：
(3)过点（），即x=0时，y=1
(4)在R上是
(4)在R上是
二师生互动
例1函数（）的图象过点，求 , , 的值.
例2比较下列各组中两个值的大小：
（1）；（2）；

人教A版高中数学必修一全册导学案指数与指数幂的运算(1)

§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.4850复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x 年后GDP 为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2t P . 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 .依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 ( n th root )，其中1n >,n *∈N .例如：328=2=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？3=3=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a =，则a 的4次方根为；3b a =，则a 的3次方根为 .新知根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当n a =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1）；（2）；（3；（4） a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1 （2.推广：（a ≥0）.※ 动手试试练1. -.练2. 化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若1a >，则1n a >； 01n a <<. 其中n ∈N *.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 的值是（）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（）.A. b -B. bC. b ±D.1b4. = .5. 计算：3= ；1. 计算：（1 （2）2. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n n ab a b =与()nn n a a b b=，你能把后者归入前者吗？。

指数函数学案

2.2.2指数函数(第一课时)（学案）教材：苏教版高中数学必修一一、教学目标1、了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性。

2、理解指数函数的含义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图像，探索并理解指数函数的性质；能运用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小。

3、引导学生观察、分析、抽象、概括，发展学生的思维能力。

二、教学重点、难点重点：指数函数图像、性质及简单运用难点：指数函数图像及性质的发现过程以及函数图像与底的关系。

三、教学过程1、模型准备（课前预习）阅读材料，回答问题：利息：是指一定资金在一定时期内的收益。

在现实生活中，银行计算利息的方法常见的有两种：单利与复利。

单利是指按照固定的本金计算利息；而复利是指对本金及其产生的利息一并计算，即把上一期的本利和作为下一期的本金( 俗称利滚利)。

若有本金1（万元），每期利率为%5，存x期，（1）若某银行储蓄按单利计算利息，请写出本利和y(万元)关于存期x变化的解析式。

（2）若某理财产品按复利计算利息，请写出本利和y(万元)关于存期x变化的解析式。

2、模型假设材料1：2011年中国某城市的日报用醒目标题刊登了“本市垃圾今年已达到1万立方米”，副标题是“垃圾的体积每年增加一倍”，请写出经过x年后，城市垃圾y（万立方米）关于x的函数关系式。

材料2：2010年6月环球在线消息：如果问澳大利亚人做过的最失策的一件事是什么？他们一定会说，那就是在1935年从昆士兰州引进了102只蔗蟾蜍。

如今，这些相貌奇丑、身带剧毒的蟾蜍已经成为这片大陆的梦魇，西澳大利亚州甚至向国防部求救，要求调集军队，背水一战。

此类蟾蜍繁殖力惊人，尽管人们采取多种措施来消灭蟾蜍，但效果都不理想。

澳大利亚境内的蟾蜍数量在“爆炸性增长”。

假设现有蟾蜍1（百万），数量每年增加两倍，请写出蟾蜍总数y(百万只）与年份x（年数）的函数关系式。

【思考】在现实生活中，你还能举出类似的增长模型吗？3、模型分析（1）画出）（R x y x ∈=2图像②描点、连线（2）根据图像，归纳x y 2=性质（3）再次阅读材料1，并回答：根据报纸所提供的信息，请写出x 年前，城市垃圾y （万立方米）关于x 的函数关系式。

人教A版数学必修1学案：2.1指数函数第4课时预习导航学案

2.1 指数函数
预习导航
指数函数的图象和性质
提示：(1)对指数函数变化趋势的影响． ①当底数a >1时，指数函数y ＝a x
是R 上的增函数，且当x >0时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快，如图(1)所示．
②当底数0<a <1时，指数函数y ＝a x
是R 上的减函数，且当x <0时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快，如图(2)所示．
(2)对函数值大小的影响．
①若a >b >1，当x <0时，总有0<a x 0时，总有a x >b x >1.
②若0a x >1；当x ＝0时，总有a x ＝b x
＝1；当x >0时，总有00，a>b>0时，a x>b x；当x<0，a>b>0时，a x<b x.。

指数运算与指数函数——必修一函数复习学案

八、指数运算与指数函数知识要点1、指数运算公式2、分数指数幂（1）tsa a ⋅=____________________ ； nm a =___________________________（2）ts a )(=_____________________ ； nm a-=_____________________________（3）=t saa _______________________；（4）()=sab ______________________。

3、根式运算:=n n a ______________；n n a )(=________________ 二、指数函数1、定义：一般的,)10(≠>=a a a y x 且叫做_____________2、指数函数的图像及性质在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y =，（2）x )21(y =（3）x 2y =，（4）x 3y =，（5）x 5y = 结论：基础自测1． (课本改编题)化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.3．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.答案3解析当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]．因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解．综上，a ＝ 3.4． (2012·四川)函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )答案 D解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B. 当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a <0，故选D. 5．设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.典型例题题型一：指数的化简与计算例1. 将下列各式用另一种形式表示出来 54a ，()345a 1-， ()4322ba +， 865-a 32b例2. 化简下列各式（1）()337-，()29-，()443π- （2）（232a 21b ）（-621a 31b ）÷（-361a 65b ）（3）()410001.0-+()3227-216449-⎪⎭⎫⎝⎛+5.191-⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）4332baa b b a练习：（1）5.0972⎪⎭⎫ ⎝⎛+21.0-+3127102-⎪⎭⎫ ⎝⎛+0π （2） 21211m m 2m m +++-- （3））（10a a 2a 3234<<+-a例3. 已知21a +21a-=3，求下列各值（1）1a -+a （2）2a +2a - （3）212123-23aa a a ---变式训练：2k )12k ()12k (222---+-+-等于 ( )A ．2k 2- B.)12k (2-- C.1)-(2k 2-+ D.2练习：244)(x x+=x f ，若10<<a ，求(1))1()()(a f a f x f -+=的值（2）)10011000(...)10013()10012()10011(f f f f ++++的值（二）指数函数题型一：判断指数函数例1. 若函数()x a a x f )12)(3(--=是指数函数，求a 的值。

数学北师大版高中必修1北师大版数学必修1第三章第三节《指数函数》学案

指数函数学案一、新课导航1.课时目标（1）了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的含义。

（2）理解函数图象的平移与对称，能运用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小。

（3）会求一类与指数有关的复合函数的定义域、值域、单调性。

2.自主预习（1）函数(0,1)x y a a a =>≠叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是，值是。

图象过定点。

（2）(0,1)x y a a a =>≠，当1a >时函数在区间上是函数；当a ∈ 时，函数在区间(,)-∞+∞是减函数。

（3）已知0a >，1a ≠，x y a =-与x y a =的图象关于对称；x y a -=与xy a =的图象关于对称。

（4）已知0a >，1a ≠，0h >，由x y a =的图象向平移个单位，得到x h y a +=的图象；向平移个单位，得到x h y a -=的图象。

二、新课导学【新知探究】若函数2(55)xy a a a =-+⋅是指数函数，则a 的值为（）A.1a =或4a =B.1a =C.4a =D.0a >且1a ≠ 【温馨提醒】解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：（1）指数里面只有x ，且次数为1，不能为2x ，（2）指数式x a 的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式。

【典例探究】知识点1：利用指数函数的单调性比较指数式的大小例1.比较下列各组数的大小：（1）0.1和0.2；（2）162011()2012和152012()2011-；（3）20.8-和125()3-；（4）13a 和12a ，（0a >，1a ≠）.思路分析：当两个幂形数底数相同时，要比较这两个数的大小，可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小。

解：（1）∵01<<，∴x y =在(,)-∞+∞上是减函数，又0.10.2<，故0.10.2>. （2）116620112012()()20122011-=，由2012()2011x y =在R 上为增函数， 116520122012()()20112011-->即116520112012()()20122011-> （3）由20.81->而125()13-<，可知12250.8()3--> （4）当1a >时，1132a a <，当01a <<时，1132a a >名师指引：此题中第（3）小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而（2）小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，构造指数函数来比较大小。

苏教版高中数学必修一指数函数学案(1)

2012高一数学指数函数（2）学案学习目标：1．进一步理解指数函数的性质；2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；课前预复习：1．复习指数函数的概念、图象和性质练习：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为．若a ＞1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．若0＜a ＜1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象恒过(0，1)，那么对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a2x 1的图象恒过哪一个定点呢？问题解决：例1 解不等式：（1）0.533x ≥；（2）0.225x <；（3）293x x ->；（4）34260x x ⨯-⨯>．小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．例2 说明下列函数的图象与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）22x y -=；（2）22x y +=；（3）22x y =-；（4）22xy =+．小结：指数函数的平移规律：y ＝f (x )左右平移⇒ y ＝f (x ＋k )(当k ＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移⇒ y ＝f (x )＋h (当h ＞0时，向上平移，反之向下平移)．练习反馈：（1）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数的图象．（2）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数的图象．（3）将函数2123x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是．（4）对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a2x 1的图象恒过的定点的坐标是．函数y ＝a 2x －1的图象恒过的定点的坐标是．小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．（5）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝2x 和y ＝2|x 2|的图象？（6）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝|2x －1|的图象？小结：函数图象的对称变换规律．例3 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＜0时，f (x )＝1－2x ，试画出此函数的图象．例4 求函数1421x x y -=-+的最小值以及取得最小值时的x 值．小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．练习：（1）函数y ＝a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于；（2）函数y ＝2x 的值域为；（3）设a ＞0且a ≠1，如果y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值；（4）当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，求实数a 的取值范围．课堂小结：1．指数函数的性质及应用；2．指数型函数的定点问题；3．指数型函数的草图及其变换规律．学生反思：课后巩固：1．已知0,1a a >≠，x y a =-与x y a =的图象关于对称；x y a -=与x y a =的图象关于对称.2.已知0,1;a a h o >≠>，由 x y a =的图象向左平移h 个单位得到x h y a +=的图象；向右平移h 个单位得到x h y a-=的图象；向上平移h 个单位得到x y a h =+的图象；向下平移h 个单位得到x y a h =-的图象.3. （1）函数21(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点为___ _________.（2）已知函数13x y a +=+的图象不经过第二象限，则a 的取值范围是_____________.4. 怎样由4x y =的图象，得到函数421()22x y -=-的图象？高&考%资(源#网 wxc5. 说出函数3x y -=与3x a y -+=(0)a ≠图象之间的关系：能力拓展： 6.说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）12x y +=；（2）22x y -= 7.说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）21x y =+；（2）22x y =-．8.画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：（1）|22|x y =-；（2）||2x y -=[9.（1）求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）；（2）求不等式24x x +≥的解集。

2021年高中数学第13课时指数函数的应用(1)自主预习案新人教A版必修1

2021年高中数学第13课时指数函数的应用（1）自主预习案新人教A版必修1课题：指数函数的应用（1）预习范围：P68-P69预习任务：一、看书P68-P69中，弄懂下列概念：1、熟练掌握指数函数的概念、图像及性质2、指数函数的概念、图像及性质的应用二、完成题目1、由大到小排顺序：（1）_________________________（2）_________________________2、函数的定义域是_________ 。

3、指数函数的图象经过点，则该函数的解析式为_________。

【B：课堂活动单】课题：指数函数的应用（1）学习目标：熟练掌握指数函数概念、图象、性质。

重点难点：1、指数函数概念、图象、性质.2、指数函数概念、图象、性质活动一：建构数学1．已知，与的图象关于对称；与的图象关于对称.2.说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系, 并画出它们的示意图.(1) y=2x－2 (2) y=2x+2 (3) y=2x+3归纳：y=f(x)的图象 y=f(x+a)的图象y=f(x)的图象 y=f(x)+h的图象活动二：方程、不等式问题(1)已知3x≥3 0.5求实数x的取值范围(2)已知0.2x <25 求实数x的取值范围。

（3） 2= ()（4）() > 32．比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2; (3)1.70.3,0.93.1.活动三：定点、图像问题1.函数恒过定点为__________.2.已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____________.3.（1）说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图。

（2）通过怎样的平移，由的图象得到函数的图象。

（3）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无解？有一解？有两解？活动四：复合函数问题1、（1）判断函数的奇偶性；（2）已知①若该函数是奇函数，求常数m的值；②试证明：对任意，函数在R上为减函数2.求函数y=()的定义域，值域，单调区间变：求函数y=的定义域，值域【C：检测巩固卷】一. 选择题：1. 已知，则的关系是（）A. B.C. D.2. 三个数，则的关系是（）A. B.C. D.3. 若指数函数在上是减函数，那么（）A. B. C. D.4. 已知，则这样的（）A. 存在且只有一个B. 存在且不只一个C. 存在且D. 根本不存在5 下列函数图象中，函数，与函数的图象只能（） y y y yO x O x O x O xA B C D11116. 函数，使成立的的值的集合是（）A. B. C. D.7 .函数使成立的的值的集合（）A. 是B. 有且只有一个元素C. 有两个元素D. 有无数个元素二. 填空题：1. 比大小c b a a a a c b c b a 11)1______()1(,)1_______()1(1>>> 2. 由大到小排顺序：（1）_________________________ （2）_________________________ （3） _________________________3. 函数)(_____324)(2x f y x x f y x x ==+-==+有最小值。

山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一数学人教A版必修一预习案：2.1.2 指数函数及其性质(二) (总第21

021 §2.1.2 指数函数及其性质(二) (总第21课时)
【教学目标】
1.知识与技能
进一步理解和掌握指数函数的图象与性质.
2.过程与方法
通过一组指数函数的图像进一步观察，加深对指数函数图象与性质的理解，斌能解决一些简单的问题；
3..情感、态度、价值观
通过解决具体事例，培养学生的建模意识. 培养学生的应用能力；
【预习任务】
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:y=2x ；y=(12)x ；y=3x ；y=(13)x ；y=5x ；y=(15)x .
①根据上述函数图象的特征归纳出指数函数y=a x (a>0,a≠1)的图象特征和性质 (列表)
②探究指数函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
2.回顾复合函数单调性的判定方法:
(1) 复合函数y=f[g(x)]的单调性可有内、外函数的单调性得出,具体如下表:
即: 若u=g(x)与y=f(u)的增减性相同,则y=f[g(x)]为增函数. 若u=g(x)与y=f(u)的增减性相反,则y=f[g(x)]为减函数
(2)讨论函数y=2
2x 的单调性
3.阅读课本57—58页:
总结例8解题步骤:
【自主检测】
1.指数函数x a y )2(-=在定义域内是减函数,则a 的范围是__________.
2.函数312
-=x y 的定义域是__________,值域___________.
【组内互检】
复合函数单调性的判定方法:。

第9讲_指数函数与幂函数(教师版)新人教版高中数学暑假衔接课必修一学案导学案讲义2021年新

第9讲_指数函数与幂函数知识图谱指数函数与幂函数知识精讲一．方根的定义及性质1. 定义：如果存在实数x ，使得()*,1,n x a a R n n N =∈>∈，则把x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称为开方运算. 2.性质（1）正数a 有两个偶次方根且互为相反数，记作(0)n a a ±>；（2）负数没有偶次方根；（3(n a n 为奇数，)a R ∈；（4）零的n 次方根都是0()*1,n n N >∈；（5）正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根()*1,n n N >∈.二．根式的定义及性质1. 定义：当n a n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2. 性质：（1）()n n a a =；（2）当n n n a a = ；（3）当n (0)||(0)n na a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩三．分数指数幂1()p pa p Q a -=∈；m n a =(,m n N +∈、且m n 、互质）-m na=四．实数指数幂n a a a ⋅⋅⋅个(n ∈01a =1n n a a-=m n m na a =,N +∈且m n 、互质）五．实数指数幂的运算性质1. r s r s a a a +⋅= (0,,)a r s R >∈；2. rr s s a a a-=(0,0,,)a b r s R >>∈3. ()r s r s a a ⋅= (0,,)a r s R >∈；4. () (0,0,)r r r a b a b a b r R ⋅=⋅>>∈；5. () (0,0,)rr r a a a b r R b b=>>∈.六. 指数函数的概念1. 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.（1）函数的定义域为R ；（2）函数的值域为),0(+∞；七. 指数函数的图象与性质1.图象及性质1a >2. 函数图象扩充：（1轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴；（2）对于相同的(0,1)a a a >≠且，函数1xxy a y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称．（3）指数函数在同一直角坐标系中的图象相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.（4）当01a <<时，,0x y →+∞→；a 值越小，图象随x 的增大，递减速度越慢；当1a >时，,x y →+∞→+∞；a 值越大，图象随x 的增大，递增速度越快。