电工电子技术上下册第2版肖志红

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以后在比较正弦量的相位关系时，默认为同频率信号。频率不同的正弦量相位关系的比较没有Leabharlann Baidu义。
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4.2正弦量的相量表示
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一、复数的知识
1. 复数的表示形式
（1）直角坐标形式（2）极坐标形式（3）指数形式
j
b
A r
0
a +1
三种形式之间的关系为：
A a jb r(cos j sin ) re j r
正弦量有效值和幅值之间的关系为：
I Im 2
U Um 2
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4.1正弦交流电的概念
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三、初相位和相位
设正弦电压表达式 u(t) Um sin(t )，其中(t )
称为相位或相位角。
在 t 0 时，相位的大小称为初相位。
设具有相同频率的两正弦电压分别为：
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以下利用相量计算两电流之和： I1m I2m 560 10 60
5(cos60 j sin 60) 10(cos60 j sin 60)
15 j 5 3 5 3 30 22
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4.2正弦量的相量表示
该相量对应的正弦量为：
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i1(t) i2 (t) 5 3 sin(314t 30)A
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4.2正弦量的相量表示
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例题：已知正弦电流为（i1 t） 5sin(314t 60) A，i（2 t） 10 cos(314t 30)A 写出代表这两个正弦电流的相量，并计算 i1(t) i2 (t) 。
解：i1(t)为标准形式，可以直接写出其幅值相量：
I1m 560 A i2 (t)为非标准形式，可以先通过三角公式将其转换成标准形式
i（2 t） 10 cos(314t 30) 10 sin(314t 30 90) 10 sin(314t 60)
其幅值相量：
I2m 10 60 A
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4.2正弦量的相量表示
常见的转换公式为：
cos sin( )
cos
sin(
2
)
2
sin sin( )
本章将引入相量以代表正弦量，将微分方程的求解问题转化成代数方程的求解，从而简化求解过程。
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4.1正弦交流电的概念
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一般正弦电压和电流等物理量，统称为正弦量。
正弦量的特征表现在变化的大小、快慢及初始值三
个方面。
ui
0
t
变化大小由正弦量的幅值（有效值）体现，快慢由正弦量的频率（周期）体现，初始值由正弦量的初相位（相位）体现。有时我们把正弦量的幅值、频率以及初相位也称为正弦量的三个特征（要素）。
第4章正弦交流电路
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4.1 正弦交流电的概念
4.2 正弦量的相量表示
4.3 元件伏安关系的相量形式
4.4 正弦交流电路分析
4.5 正弦交流电路功率
4.6 电路的谐振
4.7 三相交流电路
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引言
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正弦交流电是交流电的一种特殊形式，应用十分广泛。
本章我们主要研究正弦电源作用下电路的稳态响应，该响应与激励源具有相同的频率。
u1(t) U1m sin(t 1)
u2 (t) U2m sin(t 2 )
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4.1正弦交流电的概念
其波形图如下：
u
u2
u1
2
1
0
t
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相位上u2超前 u1 ，超前了 (2 1)弧度。
特殊地，当相位差(2 1) 0 时，称 u1 和 u2同相位；
当相位差 2 1 时，称u1 和 u2 反相位；
4.2正弦量的相量表示
S
1
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变量含义
变量
ui
UI
Um Im
U I
Um Im
变量含义表示正弦交流电压、电流瞬时值（变量）表示正弦交流电压、电流有效值（常量）表示正弦交流电压、电流幅值（常量）表示正弦交流电压、电流有效值相量（相量）表示正弦交流电压、电流幅值相量（相量）
根据变量的含义，可以推出它们之间的关系。
注意直角坐标形式转换称极坐标形式时注意辐角的计算！
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4.2正弦量的相量表示
2. 复数的四则运算
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（1）复数相等
（2）复数相加减
（3）复数相乘
（4）复数相除
为方便计算，一般加减运算采用直角坐标形式，乘除运算采用极坐标形式。
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4.2正弦量的相量表示
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4.1正弦交流电的概念
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一、频率和周期
正弦量变化一次所需的时间为周期，用 T 表示，单位为秒（s）。
正弦量每秒内变化的次数称为频率，用 f 表示，单
位为赫兹（Hz）。
周期与频率的关系为：
f 1 T
另外还可以用角频率来表示，标准单位为弧度/每秒（rad/s）。角频率与周期和频率的关系为：
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二、正弦量的相量表示
根据4.1节知识可知，正弦量可由幅值、初相位和频率三个特征来确定。复数可由模和辐角两个特征来确定。
设正弦电压为：
u(t) U m sin(t ) Im[U me j(t) ]
Im[U me jt e j ]
Im[Ume jt ] Im[Umt]
其中 I m 表示去虚部运算，Um U me j U m 。 Um称为正弦电压的幅值相量，可体现正弦量幅值和相位。
相量图为：
I1m
I1m I2m I2m
注意相量运算代替正弦量的运算，要求正弦量在计算前后频率一致（同一频率），不能产生新的频率成分。否则这种运算不等效！
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4.2正弦量的相量表示
2 2f
T
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4.1正弦交流电的概念
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二、幅值和有效值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值（瞬时电压u 、瞬
时电流 i ），其中瞬时值中最大的值称为幅值（幅值电压Um 、幅值电流 Im）。正弦量的有效值（电压有效值U 、电流有效值 I ）是利用电流的热效应定义的。
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4.2正弦量的相量表示
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当正弦量的频率已知时，正弦量和相量之间具有一一对 UuiI、mm 应的关系，可用相量（复数）的运算代替正弦量的运算。
相量（复数）可用有向线段来表示，称为相量图。如下
Um Im
在本章会遇到以下五组变量，使用中要加以区分。
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