《圆的参数方程》教学设计
高中数学 第二章 参数方程 一 2 圆的参数方程教学案
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωty ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
高二数学教案：圆的参数方程学案
高二数学教案：圆的参数方程学案2.1.2圆的参数方程学习目标1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程一、学前准备1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么?二、新课导学◆探究新知(预习教材P12～P16，找出疑惑之处)如图：设圆的半径是，点从初始位置 ( 时的位置)出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点绕点转动的角速度为，以圆心为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。
显然，点的位置由时刻惟一确定，因此可以取为参数。
如果在时刻，点转过的角度是，坐标是，那么。
设，那么由三角函数定义，有即这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中参数有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)。
考虑到，也可以取为参数，于是有◆应用示例例1.圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点，当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程.(教材P24例2)解：◆反馈练习1.下列参数方程中，表示圆心在，半径为1的圆的参数方程为( )A、 B、C、 D、2、如图，设ABM为一钢体直杆，，A点沿轴滑动， B点沿轴滑动，则端点M的运动轨迹的参数方程为( )(提示：取为参数)A、 B、C、 D、三、总结提升◆本节小结1.本节学习了哪些内容?答：熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为( )A.很好B.较好C. 一般D.较差课后作业1.曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)A. B. C.1 D.2、动点M作匀速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，直角坐标系的单位长度是，点M的起始位置在点处，求点M的轨迹的参数方程。
3、已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证为定值。
4.(选做题)已知是圆心在，半径为2的圆上任意一点，求的最大值和最小值。
圆的参数方程教案 人教课标版(优秀教案)
《圆的参数方程》教案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．教学内容分析教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。
本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。
教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。
本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。
另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。
在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标（一）知识技能目标.理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心原点,半径为r的圆的参数方程..明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程..能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标.引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤..通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维.．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．教学重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教学辅助工具几何画板.五.教学方法讨论、探究、讲练结合六.教学过程教学环节情境设计和学习任务师生活动设计意图创设情境回忆曲线的参数方程的定义及如何求曲线的参数方程。
圆的参数方程微课教案
圆的极坐标方程
教学标题：圆的极坐标方程
教学目标：掌握圆的极坐标方程及其应用。
教学手段：ppt 演示
教学重难点：如何根据题目特征画出示意图，根据三角函数关系写出圆的极坐标方程。
教学时长：微课9分钟
授课方式：网络授课（B 站小武数学2021.5.25发布）
教学过程：
【新知导入】：通过极坐标和三角函数的知识推导出圆的极坐标方程，为以下3道例题的求解方法做铺垫。
问题1：在极坐标系中，求：
(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
(2)圆心为C (2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．
【设计意图】第1问是圆的圆心在极点上，第2问是圆经过极点，考察这2种题型圆的极坐标的应用。
问题2：在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹．
【设计意图】第1问是加强圆经过极点这种题型的应用，第2问是考察极坐标的定义理解程度。
旨在让学生深刻理解圆的极坐标的本质，从而能灵活应用。
圆的参数方程 教案
圆的参数方程教案
教案标题：圆的参数方程
教学目标：
1. 理解圆的参数方程的概念和基本原理；
2. 掌握圆的参数方程的推导方法；
3. 能够利用参数方程描述圆的性质和特点；
4. 能够应用参数方程解决与圆相关的问题。
教学步骤：
引入活动：
1. 引导学生回顾直角坐标系中圆的方程及性质，如半径、圆心等。
知识讲解：
2. 介绍参数方程的概念和作用，与直角坐标系中的关系。
3. 讲解圆的参数方程的推导方法，包括参数的选择和代入。
示例演练：
4. 给出一个具体的圆的例子，如圆心为(1, 2)，半径为3，引导学生利用参数方程的方法求解。
练习与巩固：
5. 提供一些练习题，让学生运用参数方程解决与圆相关的问题。
6. 分组讨论和解答，鼓励学生互相交流和分享解题思路。
拓展应用：
7. 引导学生思考参数方程在其他几何图形中的应用，如椭圆、双曲线等。
总结与评价：
8. 总结圆的参数方程的要点和关键步骤。
9. 针对本节课的教学效果，进行评价和反馈。
教学资源：
- PPT或白板
- 圆的参数方程示例题
- 圆的参数方程练习题
- 学生讨论与合作的机会
评估方式：
1. 在课堂上观察学生的参与程度和理解情况；
2. 布置课后作业，检验学生对参数方程的掌握情况；
3. 通过小组讨论和解答，了解学生的合作能力和解题思路。
教学提示：
1. 引导学生理解参数方程与直角坐标系中的关系，帮助他们建立联系；
2. 鼓励学生提出问题和思考，激发他们的学习兴趣；
3. 注重学生的实际操作和应用能力，培养他们解决实际问题的能力。
高二数学教案：圆的参数方程学案
高二数学教案：圆的参数方程学案
【摘要】欢迎来高二数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律, 培养学生自主学习习惯和能力。
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本文题目：高二数学教案：圆的参数方程学案
2.1.2 圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什幺?
二、新课导学。
圆的参数方程参考教案
圆的参数方程教学目的；1.理解圆的参数方程.2.熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程.3.理解参数θ的意义教学重点；理解圆心不在原点的圆的参数方程教学难点：可将圆的参数方程化为圆的普通方程教学方法：引导学生用创新思维去寻求新规律学法指导：能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程教学过程：一、 复习回顾：1、圆的标准方程：若以(a ,b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：(x -a )2+(y -b )2=r 22、圆的一般方程：若D 2+E 2-4F ＞0，则方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，（1） （2）二、讲授新课.点在圆O 上从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，设∠P 0OP =θ.若设点P 的坐标是(x ,y )，不难发现，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数， 即⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x ① 并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P （x ,y ）都在圆O 上.这一方程也可表示圆.那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程.其中θ是参数.若圆心为O （a ,b ）、半径为r 的圆可以看成由圆心为原点O ，半径为r 的圆按向量ν=(a ,b )平移得到的（如上图（2））.不难求出，圆心在（a ,b ）、半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos θθr b y r a x (θ为参数）② 若将方程组②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：（x -a )2+(y -b )2=r 2.进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即： x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2-r 2=0.其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程.对于参数方程⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x ③ 并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点M （x ,y )都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.练习：1、参数方程⎩⎨⎧+=+=θθ2sin 512cos 52y x 表示的曲线是( ) A.圆心为(2，1)，半径为5的圆 B.圆心为(2，1)，半径为25的圆C.圆心为(2，1)，半径为5的圆D.不是圆2、.两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是( ) A.内切 B.外切 C.相离 D.内含3、点(1，2)在圆⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 的( )A.内部B.外部C.圆上D.与θ的值有关［例1］如图所示，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0）.点P 在圆上运动时，线段P A 的中点M 的轨迹是什么？三、课堂练习：1.填空：已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧==.sin 5,cos 5θθy x (0≤θ＜2π） (1)如果圆上点P 所对应的参数θ=35π，则点P 的坐标是 . （2）如果圆上点Q 的坐标是（-235,25），则点Q 所对应的参数θ等于 . 2.把圆的参数方程化成普通方程：（1）⎩⎨⎧+-=+=;sin 23,cos 21θθy x (2)⎩⎨⎧+=+=θθsin 2,cos 2y x 3.经过圆x 2+y 2=4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程.四、课后作业：五、板书设计。
高二数学选修4-4教案06圆的参数方程
高二数学选修4-4教案06圆的参数方程教学目的：学习圆的参数方程，理解参数θ的几何意义；会用圆的参数方程解题。
教学重点：圆的参数方程的推导及应用。
教学难点：参数θ的几何意义及应用。
教学方法：师生互动，培养创新思维。
教学过程：一、问题情景：【1】已知1y x 22=+，怎样求22y xy 2x -+的最大与最小值？【2】函数ϑϑcos 2sin 2y --=的值域怎么求？你知道有哪几种方法？二、数学构建.从上面的问题可以看到：圆的方程1y x 22=+与方程组⎩⎨⎧==θθsin y cos x 之间有着一定的对应关系，那么我们怎样来认识和理解它们的这种关系呢？事实上：1．设点P 在圆O ：222r y x =+上，从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，且设∠P 0OP=θ.若设点P 的坐标是(x,y)，由三角函数的定义不难发现，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数，即⎩⎨⎧==θθsin r y ,cos r x ① 另一方面，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P （x,y ）都在圆O 上.这表明，方程①也可用来表示圆。
那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程。
其中θ是参数.注意：根据点与θ角的一一对应性质，我们一般设定)2,0[πθ∈。
2．对于圆心为O （a,b ）、半径为r 的圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，可以看成由圆心为原点O ，半径为r 的圆222r y x =+按向量ν=(a,b)平移得到的（如右图）.不难求出，圆心在（a,b ）、半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=.sin r b y ,cos r a x θθ (θ为参数且)2,0[πθ∈）② 注意：若将方程组①、②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：222r y x =+和（x-a)2+(y-b)2=r 2。
反之，由圆的标准方程也可直接采用三角换元的方法得到圆的参数方程。
圆参数方程教案人教课标版(教案)
《圆的参数方程》授课方案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．授课内容解析教科书是在学习了曲线的参数方程此后，以匀速圆周运动为引子，此后依照三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。
在介绍了圆的参数方程今后，经过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题 . 在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程此后，由学生研究获得圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完满。
本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。
教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的研究过程比较简单。
本节是我们研究的第一类参数方程，故在授课中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。
别的，参数方程中参数多数都拥有几何意义或物理意义，授课中要让学生领悟怎样依照详尽问题的几何特点或物理意义选择合适的参数比较有益。
在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得简单 . 因为参数方程把曲线上点的坐标经过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点 . 教科书中的例，就是把曲线的一般方程转变成参数方程后加以解决的 . 好多问题能够作这样的转变，自然有时也把给定参数方程的问题转变成一般方程来解决 . 教科书中的例也可以直接用一般方程来解决.二．授课目的（一）知识技术目标. 理解圆心在原点 , 半径为r的圆的参数方程 , 能较熟练地求出圆心原点 , 半径为r的圆的参数方程 .. 明确参数的意义,能说明参数与圆上一点坐标变量x, y 之间的联系. . 理解圆心不在原点的圆的参数方程, 能依照圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程 .. 能将圆的参数方程与一般方程进行相互转变, 会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标. 引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生领悟求参数方程的方法和步骤 .. 经过学生谈论研究圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思想 .．例题的授课中增加变式，增强对问题的理解，获得一般性的结论.（三）感神态度价值观. 经过本节的授课互动 , 进一步培养学生观察、猜想、考据、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．授课重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、考据、证明”能力的培养 .四．授课辅助工具几何画板.五. 授课方法谈论、研究、讲练结合六. 授课过程授课情境设计和学习任务环节回忆曲线的参数方程创立的定义及怎样求曲线情境的参数方程。
圆的参数方程学案
圆的参数方程学案一、参数方程的定义参数方程是通过引入参数t来表示曲线上各点的坐标。
对于平面上的点P，其坐标可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)都是关于参数t 的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上不同的点的坐标。
二、圆的参数方程的推导对于一个圆，我们可以确定其圆心坐标和半径来描述它。
假设圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，则我们可以通过参数方程来表示圆上任意一点的坐标。
1.圆的参数方程的x坐标对于圆上的任意一点P(x,y)，可以得到如下关系：-圆心到点P的距离等于半径r，即√((x-h)²+(y-k)²)=r根据该关系，我们可以得到：(x-h)²+(y-k)²=r²展开后得到：x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²再整理一下，得到：x² - 2hx + y² - 2ky = r² - h² - k²2.圆的参数方程的y坐标根据关系式(x-h)²+(y-k)²=r²，同样展开并整理，可以得到：y² - 2ky + k² + x² - 2hx = r² - h² - k²再整理一下，得到：y² - 2ky + x² - 2hx = r² - h² - k²因此，我们可以得到圆的参数方程：x = rcos(t) + hy = rsin(t) + k其中，t为参数，h为圆心的横坐标，k为圆心的纵坐标，r为半径。
三、参数方程的应用1.参数方程可以方便地描述复杂的曲线，如椭圆、抛物线和双曲线等。
通过引入参数t，可以将曲线表达为简单的函数关系，便于进行分析和计算。
2.参数方程可以用于描述运动的轨迹。
圆的参数方程学案
圆的参数方程学案【学习目标】1、分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
2、能选取适当的参数，求圆的参数方程3、利用圆的几何性质求最值。
【学习重点】能选取适当的参数，求圆的参数方程 【学习难点】圆的参数方程的应用 一、【新知探究】 1、 圆心为(0,0),半径为r 的圆的参数方程 （1）根据右图如何建立圆的参数方程？ （2）若取∠MOY=θ，如何建立圆的参数方程？2、圆心为(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么？3、你能总结求曲线参数方程的步骤吗？（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（2） ；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立 ；（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。
二、【典型例题】【例1】指出参数方程2cos 5()32sin x y ααα=-⎧⎨=+⎩为参数所表示的圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
【例2】已知两条曲线的参数方程125cos 4cos 45:(:(5sin 3sin 45x x t C C t y y t θθθ⎧==+⎧⎪⎨⎨==+⎪⎩⎩ 为参数）和为参数） （1）判断这两条曲线的形状；（2）求这两条曲线的交点坐标。
最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）【例3】已知点P （x ，y ）是圆x 2+y 2- 6x- 4y+12=0上动点，求：（1） x 2+y 2 的最值，（2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+ y - 1=0的距离d 的最值。
【变式1】若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，求x-2y 的最大值。
三、【当堂检测】1、参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （-22πθπ≤≤）表示的图形是以原点为圆心，半径为3的 （ ） A ．左半圆 B.上半圆 C. 下半圆 D.右半圆2、点（1，2）在圆⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 的 （ ） A.内部 B.外部 C.圆上 D.与θ值有关3、圆为参数）θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 上的点到（3，4）的最小距离为 .4、若点（x ，y ）在圆为参数）θθθ(sin 24cos 23⎩⎨⎧+=+=y x 上，则x 2+y 2+3x 的最小值为 .5、已知圆的参数方程是5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（1）圆心坐标为________ ，半径为_______，圆的标准方程为__________________。
圆的参数方程公开课教案（通用6篇）
圆的参数方程公开课教案圆的参数方程公开课教案（通用6篇）圆的参数方程公开课教案1㈠课时目标1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2．待定系数法之应用。
㈡问题导学问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。
—2ax—2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？① ；② 1③ 0；④ —2x+4y+4=0⑤ —2x+4y+5=0；⑥ —2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得—2ax—2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？[探索研究]将①配方得：将方程②与圆的标准方程对照。
⑴当＞0时，方程②表示圆心在（—），半径为的圆。
⑵当 =0时，方程①只表示一个点（—）。
⑶当＜0时，方程①无实数解，因此它不表示任何图形。
结论：当＞0时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的特点：⑴ 和的系数相同，不等于0；⑵没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标。
⑴ —6x=0；⑵ +2by=0（b≠0）[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为+Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
圆的参数方程教案
圆的参数方程教案圆的参数方程教学目标:1.分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程，并能进行简单应用。
2.能选取适当的参数，求圆的参数方程，体会由一般到特殊的思想。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点:能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点:选择圆的参数方程求最值问题.教学方式:启发、引导、探究、交流.教学过程:一、创设情境圆周运动史生产生活中常见的。
当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动。
那么。
怎样刻画运动中点的位置呢,二、探究圆的参数方程r 1. 圆心在原点O，半径为的圆的参数方程r如图，设?的半径为，点M从初始位置(的位置)出发，按MOt,00逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为。
以圆,心O 为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。
显然，点M的位置OMx0由时刻唯一确定，因此可以取为参数。
tt如果在时刻，点M转过的角度为，坐标是，那么。
设Mxy(,)t,,,,t，那么由三角函数的定义，有 ||OMr,yx，。
cos,t,sin,t,rr,x,rcost,即为参数 ? tt,[0,，,),,y,rsint,1这就是圆心在原点O，半径为的圆的参数方程。
其中参数有明确的物理意义rr(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到，也可以取为参数，于是有 ,,,t,xr,,cos, 为参数 ? ,,,[0,，,),yr,sin,,这也是圆心在原点O，半径为的圆的参数方程。
其中参数的几何意义是r, 绕点O逆时针旋转到OM的位置时，转过的角度。
OMOM00说明:(1)参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。
(2)随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
(3)在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
2.圆心不在原点的圆的参数方程O(a,b)1 问:怎样得到圆心在,半径为r的圆的参数方程呢?v,(a,b)可将圆心在原点、半径为r的圆按向量平行移动后得到,所以圆心在O(a,b)1,半径为r的圆的参数方程为,,，xarcos,,,，ybrsin,, (θ 为参数)三、例题讲解x,,2cos5,,例1、指出参数方程为参数所表示圆的圆心坐标、半径，(),, y,，32sin,,并化为普通方程。
圆的参数方程教学设计
选做题：
2 2
6、 已知点P（x, y）是圆x y2y上的动点，（1）求2x y的取值范围;
（2）若x y a0恒成立，求实数a的取值范围。（用两种解法）
思考题：
7、 一动点在圆x2+y2=1上移动，求它与定点（3,0）连线的中点的轨迹方程。（用两种解法）
8、 已知点A（2,0）,P是x2+y2=1上任一点，AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹•
练习：1、写出下列圆的参数方程
（1）圆心在原点，半径为运；（2）圆心在（-2，-3），半径为1.
2、写出下列圆的圆心和半径
x
(1)(2)
y
【设计意图：】得到圆的参数方程的结论后马上进行两个相应的练习，学生即学即用，有助 于记忆方程。
问题二：怎样把圆的普通方程和参数方程互化？
2 2
x y
2r
x
y
r cos
3•圆的参数方程在求简单最值问题中的应用。
【设计意图：】简单的归纳小结可以再次加强学生对本节所学知识点的掌握。
五、作业布置：练习卷
【设计意图：】本课时课本中的习题较少，因此通过练习卷的形式选择与本课时相应的习题，
针对学生水平的不同，设置必做题，选择题以及思考题，题目由易到难，既包括与本节例题 类似的题目，也包括不同的题目，有益于通过学生的作业情况了解学生对本节知识的掌握情 况，并在下一课时进行补缺补漏。
r sin
2
2
2
x
a
r cos
(x a)
(y b)
r
y
b
r si n
例1、已知圆的一般方程x2+y2—6x—4y+12=0，将它化为参数方程
x25cos2
《圆的参数方程》教学案1
1.10《曲线的参数方程(1)(2)》教学案教学目的：知识目标：弄清曲线参数方程的概念；能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程.教学重点：曲线参数方程的定义及方法.教学难点：求简单曲线的参数方程.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m /s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机？二、讲解新课：1、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.2、关于参数几点说明：(1) 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义.(2) 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样.(3) 在实际问题中要确定参数的取值范围.3、参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标.4、参数方程求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.5、关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间t 做参数与旋转的有关问题选取角θ做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等.二．典型例题：例1．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，(1)求子弹弹道典线的参数方程(不计空气阻力)；(2)若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时.①求炮弹高度 ；②求出炮弹的射程.例2．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数) (1) 判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系；(2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.例3．把圆0622=-+x y x 化为参数方程(1)用圆上任一点过原点的弦和x 轴正半轴夹角θ为参数(2)用圆中过原点的弦长t 为参数三、巩固与练习1.已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin cos 23y x (θ为参数) 求 (1)6πθ=时对应的点P 的坐标(2)直线OP 的倾斜角2.A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围.四、小 结：本节课学习了以下内容：1．参数方程的定义；2．参数方程求法.五、课后作业：。
《圆的参数方程》 说课稿
《圆的参数方程》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《圆的参数方程》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程中的内容。
圆的参数方程是参数方程这一章节的重要组成部分，它为解决与圆有关的问题提供了新的方法和思路，同时也为后续学习圆锥曲线的参数方程奠定了基础。
通过本节课的学习，学生将进一步理解参数方程的概念，掌握圆的参数方程的推导过程和应用，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
二、学情分析学生在之前已经学习了圆的标准方程和一般方程，对圆的几何性质有了一定的了解。
同时，在学习三角函数的过程中，也具备了一定的三角函数知识。
但是，参数方程对于学生来说是一个全新的概念，学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从已有的知识出发，通过类比、探究等方式，帮助学生理解圆的参数方程的概念和推导过程。
1、知识与技能目标（1）理解圆的参数方程的概念，掌握圆的参数方程的推导过程。
（2）能够根据圆的参数方程解决与圆有关的简单问题。
2、过程与方法目标（1）通过圆的参数方程的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
（2）通过运用圆的参数方程解决实际问题，提高学生的数学建模能力和应用意识。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。
（2）让学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
四、教学重难点1、教学重点圆的参数方程的推导过程和应用。
2、教学难点理解圆的参数方程中参数的几何意义。
1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）讲授法：讲解圆的参数方程的概念和推导过程，使学生系统地掌握知识。
（3）演示法：通过多媒体演示，让学生直观地感受圆的参数方程的形成过程，加深对知识的理解。
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一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
.
并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.
所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.
变：⑴在本题条件下，若点M分PA成定比2∶1，求点M的轨迹方程。
⑵在本题条件下，若PA被圆截得的弦为PB，点M为PB的中点，求点M的轨迹方程。
例2经过圆x2＋y2＝4上的任一点P作x的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。
解一：设M(x,y)为线段PQ的中点
2、把圆的参数方程化为普通方程
（θ为参数） （θ为参数）
变： （t为参数，且a≠0，b≠0） x2/a2－y2/b2＝1
4．题讲解
例1如图7—38，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
解一：设点M的坐标是（x,y）.因为圆x2+y2=16的参数方程为
所以可设点P的坐标为（4cosθ,4sinθ）.由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.
解二：设点M的坐标是（x,y），P(x0,y0)，
∵M是线段PA的中点，又点A(12,0)，∴ ，即
∵点P为x2+y2=16的动点，即x02+y02=16∴(2x－12)2＋(2y)2＝16，即(x－6)2＋y2＝4
《圆的参数方程》教学设计
●教学目标
1．了解参数方程的概念；
2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；
3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化.
●教学重点
圆的参数方程
●教学难点
圆的参数方程的理解和应用.
设置情境：
1．圆的标准方程与一般方程及其应用的回顾.
2．对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程.
所以 .
3．圆的参数方程化普通方程：
方程组
由①得x－a=rcosθ③
由②得y－b=rsinθ④
③2+④2得：（x－a）2+(y－b)2=r2
即圆的普通方程。
课堂练习：
1、已知圆O的参数方程是： （0≤θ＜2π）
⑴如果圆上点P所对应的参数θ＝5π/3，则点P的坐标是______；
⑵如果点 ,则点Q所对应的参数θ＝_______.
小结：解决此类问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，找出解题途径。
●课堂小结
通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.
●课后作业
习题7.79，10，11
即
②圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：
（θ为参数）
推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量 =（a,b）平移得到.
即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使
因为 ，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）
所以 ，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数θ，使
∵圆x2＋y2＝4的参数方程是
又P为圆上一点 ∴设P(2cosθ,2sinθ)，则Q(2cosθ,0)
由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程
消去参数θ得：x2/4＋y2＝1
解二：设M(x,y)为线段PQ的中点，则点Q(x,0)
由坐标中点公式得A(x,2y)，
又P为圆上任一点，∴x2＋(2y)2＝4，即x2/4＋y2＝1
说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.
2．圆的参数方程：
①圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：
推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图7—36）
设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，∠P0OP=θ，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得