《圆的参数方程》教学设计
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以可设点P的坐标为（4cosθ,4sinθ）.由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.
解二：设点M的坐标是（x,y），P(x0,y0)，
∵M是线段PA的中点，又点A(12,0)，∴ ，即
∵点P为x2+y2=16的动点，即x02+y02=16∴(2x－12)2＋(2y)2＝16，即(x－6)2＋y2＝4
所以 .
3．圆的参数方程化普通方程：
方程组
由①得x－a=rcosθ③
由②得y－b=rsinθ④
③2+④2得：（x－a）2+(y－b)2=r2
即圆的普通方程。
课堂练习：
1、已知圆O的参数方程是： （0≤θ＜2π）
⑴如果圆上点P所对应的参数θ＝5π/3，则点P的坐标是______；
⑵如果点 ,则点Q所对应的参数θ＝_______.
《圆的参数方程》教学设计
●教学目标
1．了解参数方程的概念；
2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；
3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化.
●教学重点
圆的参数方程
●教学难点
圆的参数方程的理解和应用.
设置情境：
1．圆的标准方程与一般方程及其应用的回顾.
2．对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程.
所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.
变：⑴在本题条件下，若点M分PA成定比2∶1，求点M的轨迹方程。
⑵在本题条件下，若PA被圆截得的弦为PB，点M为PB的中点，求点M的轨迹方程。
例2经过圆x2＋y2＝4上的任一点P作x的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。
解一：设M(x,y)为线段PQ的中点
说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.
2．圆的参数方程：
①圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：
推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图7—36）
设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，∠P0OP=θ，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得
2、把圆的参数方程化为普通方程
（θ为参数） （θ为参数）
变： （t为参数，且a≠0，b≠0） x2/a2－y2/b2＝1
4．例题讲解
例1如图7—38，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
解一：设点M的坐标是（x,y）.因为圆x2+y2=16的参数方程为
∵圆x2＋y2＝4的参数方程是
又P为圆上一点 ∴设P(2cosθ,2sinθ)，则Q(2cosθ,0)
由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程
消去参数θ得：x2/4＋y2＝1
解二：设M(x,y)为线段PQ的中点，则点Q(x,0)
由坐标中点公式得A(x,2y)，
又P为圆上任一点，∴x2＋(2y)2＝4，即x2/4＋y2＝1
小结：解决此类问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，找出解题途径。
●课堂小结
通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.
●课后作业
习题7.79，10，11
Ⅱ.1．参数方程与普通方程：
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
.
并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫Βιβλιοθήκη Baidu条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.
即
②圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：
（θ为参数）
推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量 =（a,b）平移得到.
即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使
因为 ，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）
所以 ，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数θ，使
所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.
解二：设点M的坐标是（x,y），P(x0,y0)，
∵M是线段PA的中点，又点A(12,0)，∴ ，即
∵点P为x2+y2=16的动点，即x02+y02=16∴(2x－12)2＋(2y)2＝16，即(x－6)2＋y2＝4
所以 .
3．圆的参数方程化普通方程：
方程组
由①得x－a=rcosθ③
由②得y－b=rsinθ④
③2+④2得：（x－a）2+(y－b)2=r2
即圆的普通方程。
课堂练习：
1、已知圆O的参数方程是： （0≤θ＜2π）
⑴如果圆上点P所对应的参数θ＝5π/3，则点P的坐标是______；
⑵如果点 ,则点Q所对应的参数θ＝_______.
《圆的参数方程》教学设计
●教学目标
1．了解参数方程的概念；
2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；
3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化.
●教学重点
圆的参数方程
●教学难点
圆的参数方程的理解和应用.
设置情境：
1．圆的标准方程与一般方程及其应用的回顾.
2．对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程.
所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.
变：⑴在本题条件下，若点M分PA成定比2∶1，求点M的轨迹方程。
⑵在本题条件下，若PA被圆截得的弦为PB，点M为PB的中点，求点M的轨迹方程。
例2经过圆x2＋y2＝4上的任一点P作x的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。
解一：设M(x,y)为线段PQ的中点
说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.
2．圆的参数方程：
①圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：
推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图7—36）
设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，∠P0OP=θ，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得
2、把圆的参数方程化为普通方程
（θ为参数） （θ为参数）
变： （t为参数，且a≠0，b≠0） x2/a2－y2/b2＝1
4．例题讲解
例1如图7—38，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
解一：设点M的坐标是（x,y）.因为圆x2+y2=16的参数方程为
∵圆x2＋y2＝4的参数方程是
又P为圆上一点 ∴设P(2cosθ,2sinθ)，则Q(2cosθ,0)
由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程
消去参数θ得：x2/4＋y2＝1
解二：设M(x,y)为线段PQ的中点，则点Q(x,0)
由坐标中点公式得A(x,2y)，
又P为圆上任一点，∴x2＋(2y)2＝4，即x2/4＋y2＝1
小结：解决此类问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，找出解题途径。
●课堂小结
通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.
●课后作业
习题7.79，10，11
Ⅱ.1．参数方程与普通方程：
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
.
并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫Βιβλιοθήκη Baidu条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.
即
②圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：
（θ为参数）
推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量 =（a,b）平移得到.
即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使
因为 ，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）
所以 ，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数θ，使