人教A版高中数学必修三课件用样本估计总体.pptx
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人教版高中数学必修3(A版) 用样本的频率分布估计总体分布 PPT课件
0.16
0.08 0.12 0.08 0.04 0.3 0.5 0.44
有数无形欠直观, 在频率直 有形无数难入微 方图中，
0.28
12%
3.5 4 4.5
0 .1
0
各小矩形 的面积的 总和等于1
0.5
1
1.5
2
2 .5
3
88%
月均用水量/t
探究：
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位 不同，得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不 同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断。观 察分别以1和0.1为组距的图象，谈谈你对图的印象。
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 90 100 110 120 130 140 150
次数
频率＝ 频数
第二小组频数 12 样本容量 150 样本容量 第二小组频率 0.08
频率分布折线图.
频率/组距 (取各小长方形上端中点, 并连线 )
0.6 0.5 0.4 0.3
0.3
0.16 0.12 0.08 0.04 0.28 0.5 0.44
0.2
0.1 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
利用样本频分布对总体分布进行相应估计 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， （1）样本容量越大，这种估计越精确。 一般样本容量越大，频率分布直方图就会越接 （2）当样本容量无限增大,组距无限缩小,那么相应的 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分 频率折线图会无限接近于一条光滑曲线 ———总体密度曲线 布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内 取值百分比。 （3）总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百
0.08 0.12 0.08 0.04 0.3 0.5 0.44
有数无形欠直观, 在频率直 有形无数难入微 方图中，
0.28
12%
3.5 4 4.5
0 .1
0
各小矩形 的面积的 总和等于1
0.5
1
1.5
2
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月均用水量/t
探究：
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位 不同，得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不 同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断。观 察分别以1和0.1为组距的图象，谈谈你对图的印象。
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 90 100 110 120 130 140 150
次数
频率＝ 频数
第二小组频数 12 样本容量 150 样本容量 第二小组频率 0.08
频率分布折线图.
频率/组距 (取各小长方形上端中点, 并连线 )
0.6 0.5 0.4 0.3
0.3
0.16 0.12 0.08 0.04 0.28 0.5 0.44
0.2
0.1 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
利用样本频分布对总体分布进行相应估计 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， （1）样本容量越大，这种估计越精确。 一般样本容量越大，频率分布直方图就会越接 （2）当样本容量无限增大,组距无限缩小,那么相应的 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分 频率折线图会无限接近于一条光滑曲线 ———总体密度曲线 布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内 取值百分比。 （3）总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百
高中数学人教A版必修三第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件
（1）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 （2）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3
2、求下列各组数据的中位数
（1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
2.已知样本数据 x1，x2，…，xn 的均值 x ＝5，则样本数据
学徒 100 1 100
合计
23 6900
如何在频率散布直方图中估计平均数
频率/组距
0.08
0.16 0.30 0.50
0.44 0.40 0.50 0.28 0.30
0.12 0.20 0.08 0.04 0.10
频率/组距 0.5 1 1.5 2 2.5
平均数的估计值等于频率 散布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和.
1.求出a、p、n； 2.补全频率散布直方图；
2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
众数、中位数、平均数
用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：一组数据中_出__现__次__数__最__多__的数．
按顺序排好
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_中__间__位置 的数．如果个数是偶数，则取_中__间__两个数据的平均数．
0.08 0.04
0.5 1 1.5 2 2.5
0.06 0.04
月均用水量/t
0.02
3 3.5 4 4.5
2.02
[典例] 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成 绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知 图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
2、求下列各组数据的中位数
（1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
2.已知样本数据 x1，x2，…，xn 的均值 x ＝5，则样本数据
学徒 100 1 100
合计
23 6900
如何在频率散布直方图中估计平均数
频率/组距
0.08
0.16 0.30 0.50
0.44 0.40 0.50 0.28 0.30
0.12 0.20 0.08 0.04 0.10
频率/组距 0.5 1 1.5 2 2.5
平均数的估计值等于频率 散布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和.
1.求出a、p、n； 2.补全频率散布直方图；
2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
众数、中位数、平均数
用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：一组数据中_出__现__次__数__最__多__的数．
按顺序排好
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_中__间__位置 的数．如果个数是偶数，则取_中__间__两个数据的平均数．
0.08 0.04
0.5 1 1.5 2 2.5
0.06 0.04
月均用水量/t
0.02
3 3.5 4 4.5
2.02
[典例] 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成 绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知 图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
高中数学人教A版必修3第二章2.用样本的数字特征估计总体的数字特征ppt课件
S9
4 4.5
月均用水量/t
如何利用频率分布直方图求平均数：
平均数的估值 = 频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
频率/组距
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22 +2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.0 4+4.25×0.02=2.02（t）.
这个公司员
2x1-6，2x2-6，…，2x8-6的平均数为_____，方差为_____. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
工收入到底
两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有
怎样？
技术员D 在上一节抽样调查的100位居民的月均用水量的数据中，我们来求一下这一组样本数据的
极差越大，数据越分散，越不稳定
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
如何利用频率分布直方图求众数:
频率
组距
频率分布直方图
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2.25
3.5
4 4.5（平均数：每个频来自乘以中点的横坐标之和）注：利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值， 与实际数据可能不一致．
例题讲解
例：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理
后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右
数学2.2《用样本估计总体》课件(新人教A版必修3)
【规律小结】 (1)解决频率分布直方图问题，应注意 某一组的频率＝某样一本组容频量数＝某一组对应小长方形的 面积这一关系的灵活运用．(2)利用样本的频率分布， 可近似地估计总体的分布，利用样本在某一范围内的 频率，可近似地的方法是：将所有两位数的十 位数字作“茎”，个位数字作“叶”，茎相同 者共用一个茎，茎按从小到大顺序由上到下列 出，共茎的叶按从大到小(或从小到大)的顺序 同行列出．
例1(2010年高考安徽卷)某市2010年4月1日—4 月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染 物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,7 7,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶 图．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生 长出来的数． 4．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均__距__离________．
(2)标准差与方差的计算公式
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]；
(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方 图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的 ____横__坐__标__之．和 (3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的 矩形的中点的______横__坐__标_．
课前热身
1．已知一个样本中的数据为
0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，
则该样本的众数、中位数分别是( )
A．0.14,0.15
B．0.15,0.14
C．0.15,0.15
人教a版高中数学必修3课件：第二章 统计a夯实基础第二节用样本估计总体(共47张ppt)
答案
11.【解析】 (1)因为间隔时间相同,所以是系统抽样. (2)茎叶图如下:
知识点2 茎叶图
12.某市各地中小学每年都要进行学生体质健康测试,测试总成绩满分为100分,规定测试成绩在[85,100]之间为体质 优秀;在[75,85)之间为体质良好;在[60,75)之间为体质合格;在[0,60)之间为体质不合格.现从某校高三年级的300名学 生中随机抽取30名学生的体质健康测试成绩,绘制茎叶图如下: (1)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数;
1.[2019山东济南长清区高一期末考试]某市高一数学抽样考试中,对90分及以上的成绩情况进行统计,其频率分 布直方图如图所示,若(130,140]分数段的人数为20,则(90,110]分数段的人数为 A.18 B.180 C.28 D.280
答案
1.D 【解析】 由频率分布直方图,得(130,140]分数段的频率为0.005×10=0.05,∵(130,140]分数段的人数为20,∴总 人数为n=02.005=400,∵(90,110]分数段的频率为(0.045+0.025)×10=0.7,∴(90,110]分数段的人数为0.7×400=280.故选D.
知识点2 茎叶图
8.数据8,51,33,39,38,23,26,28,13,16,14的茎叶图是（ ）
A
B
C
D
答案
8.C 【解析】 茎叶图C中的数据为8,51,33,39,38,23,26,28,13,16,14,与题目中对应.
知识点2 茎叶图
9.[2019河北秦皇岛期末考试]某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在中午12:00至13:00间的销售金 额,并用茎叶图表示,如图所示,则有（ ） A.甲城销售额多,乙城不够稳定 B.甲城销售额多,乙城稳定 C.乙城销售额多,甲城稳定 D.乙城销售额多,甲城不够稳定
11.【解析】 (1)因为间隔时间相同,所以是系统抽样. (2)茎叶图如下:
知识点2 茎叶图
12.某市各地中小学每年都要进行学生体质健康测试,测试总成绩满分为100分,规定测试成绩在[85,100]之间为体质 优秀;在[75,85)之间为体质良好;在[60,75)之间为体质合格;在[0,60)之间为体质不合格.现从某校高三年级的300名学 生中随机抽取30名学生的体质健康测试成绩,绘制茎叶图如下: (1)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数;
1.[2019山东济南长清区高一期末考试]某市高一数学抽样考试中,对90分及以上的成绩情况进行统计,其频率分 布直方图如图所示,若(130,140]分数段的人数为20,则(90,110]分数段的人数为 A.18 B.180 C.28 D.280
答案
1.D 【解析】 由频率分布直方图,得(130,140]分数段的频率为0.005×10=0.05,∵(130,140]分数段的人数为20,∴总 人数为n=02.005=400,∵(90,110]分数段的频率为(0.045+0.025)×10=0.7,∴(90,110]分数段的人数为0.7×400=280.故选D.
知识点2 茎叶图
8.数据8,51,33,39,38,23,26,28,13,16,14的茎叶图是（ ）
A
B
C
D
答案
8.C 【解析】 茎叶图C中的数据为8,51,33,39,38,23,26,28,13,16,14,与题目中对应.
知识点2 茎叶图
9.[2019河北秦皇岛期末考试]某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在中午12:00至13:00间的销售金 额,并用茎叶图表示,如图所示,则有（ ） A.甲城销售额多,乙城不够稳定 B.甲城销售额多,乙城稳定 C.乙城销售额多,甲城稳定 D.乙城销售额多,甲城不够稳定
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解的时候，给自己一个微 的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微笑奔跑
=2.02 平均数是2.02.
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.25
0.1
0.22 0.15
0.14
0.04 0.08
0.06 0.04 0.02
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识应用
例1.已知 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频 率分布直方图如右图所示，试利用频率分布直方 图求： (1)这200辆汽车时速的众数与中位数； (2)这200辆汽车的平均时速．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
问题2.我们能否根据频率分布直方图估计这三个 数字特征(众数、中位数、平均数）呢？
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题3.在城市居民月均用水量样本数据的频率分
知识应用
例 2. 某工厂人员及工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
日工资 2200 250
220 200 100
人数 1
6
5
10 1 23
合计 2200 1500
=2.02 平均数是2.02.
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.25
0.1
0.22 0.15
0.14
0.04 0.08
0.06 0.04 0.02
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识应用
例1.已知 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频 率分布直方图如右图所示，试利用频率分布直方 图求： (1)这200辆汽车时速的众数与中位数； (2)这200辆汽车的平均时速．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
问题2.我们能否根据频率分布直方图估计这三个 数字特征(众数、中位数、平均数）呢？
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题3.在城市居民月均用水量样本数据的频率分
知识应用
例 2. 某工厂人员及工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
日工资 2200 250
220 200 100
人数 1
6
5
10 1 23
合计 2200 1500
人教版高中数学必修3A版用样本的频率分布估计总体分布课件
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2)
复习：一、画频率分布直方图的步骤：
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 它 反映一组数据的变化范围。 2、决定组距与组数（将数据分组） ①组距与组数的确定没有固定的标准，需要尝试与选择。 ②组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越 极差 多。当样本容量在100个以内时，常分5-12组。 组数= 组距 注意区间的开闭（先闭后开） 3、 将数据分组： 4、列出频率分布表.（频数：落在各小组内的数据的个 数，频率：每小组的频数与数据总数的比值） 第几组频数 第几组频率 样本容量 5、画出频率分布直方图。
我们可以画出茎叶图，也就是中间的数表示十位数， 旁边的数表示两个人得分的个位数，就象一棵树的茎 与叶子一样，能更直观地看出这两个人的得分情况。
1、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录 如下： (1)甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 (2)乙运动员得分： 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39
茎叶图
甲
8 4ห้องสมุดไป่ตู้6 3 3 6 8 0 1 2 5 5 4
乙
2
3
3 8 9
1 6 1 6 7 9
4 9
4 1
5
0
1、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录 如下： (1)甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 (2)乙运动员得分： 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39 甲 12, 15, 24, 25, 31, 31, 36, 36, 37, 39, 44, 49, 50.
复习：一、画频率分布直方图的步骤：
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 它 反映一组数据的变化范围。 2、决定组距与组数（将数据分组） ①组距与组数的确定没有固定的标准，需要尝试与选择。 ②组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越 极差 多。当样本容量在100个以内时，常分5-12组。 组数= 组距 注意区间的开闭（先闭后开） 3、 将数据分组： 4、列出频率分布表.（频数：落在各小组内的数据的个 数，频率：每小组的频数与数据总数的比值） 第几组频数 第几组频率 样本容量 5、画出频率分布直方图。
我们可以画出茎叶图，也就是中间的数表示十位数， 旁边的数表示两个人得分的个位数，就象一棵树的茎 与叶子一样，能更直观地看出这两个人的得分情况。
1、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录 如下： (1)甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 (2)乙运动员得分： 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39
茎叶图
甲
8 4ห้องสมุดไป่ตู้6 3 3 6 8 0 1 2 5 5 4
乙
2
3
3 8 9
1 6 1 6 7 9
4 9
4 1
5
0
1、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录 如下： (1)甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 (2)乙运动员得分： 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39 甲 12, 15, 24, 25, 31, 31, 36, 36, 37, 39, 44, 49, 50.
人教A版高中数学必修三课件用样本估计总体练习课.pptx
(1)求第四小组的频率； (2)问参加这次测试的学生人数是多少？ (3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
解：(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2;
(2)参加这次测试的学生人数为 5/0.1=50;
(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方 图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相 等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方 图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直 线所对应的成绩即为所求．故这次测试中学生跳绳次数的 中位数落在第3小组内．
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是80分,其中,甲组 成绩在80分及以上的有33人,乙组成绩在80分及以上的有26 人,从这一角度来看甲组的成绩总体较好.
分数
50 60
70
80
90
100
甲组 2
5
人数
乙组 4
4
10
13
14
6
16
2
12
12
(3)
S甲2
1 50
250 - 802
560 - 802
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)； ②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；
解：(2)①∵平均数相同，S甲2 S乙2
∴甲的成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，甲的中位数< 乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好些．
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成 绩好些)； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
A.588 C.450
B.480 D.120
2.（2013年辽宁卷高考）某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为
解：(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2;
(2)参加这次测试的学生人数为 5/0.1=50;
(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方 图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相 等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方 图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直 线所对应的成绩即为所求．故这次测试中学生跳绳次数的 中位数落在第3小组内．
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是80分,其中,甲组 成绩在80分及以上的有33人,乙组成绩在80分及以上的有26 人,从这一角度来看甲组的成绩总体较好.
分数
50 60
70
80
90
100
甲组 2
5
人数
乙组 4
4
10
13
14
6
16
2
12
12
(3)
S甲2
1 50
250 - 802
560 - 802
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)； ②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；
解：(2)①∵平均数相同，S甲2 S乙2
∴甲的成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，甲的中位数< 乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好些．
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成 绩好些)； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
A.588 C.450
B.480 D.120
2.（2013年辽宁卷高考）某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为
人教A版高中数学必修三.2用样本数字特征估计总体数字特征课件
例2
某工厂人员及工资构成如下：
人员 周工资 人数 合计
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
2200 250
220
200 100
16
5
10 1 23
2200 1500
1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数
（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水 平吗？为什么？
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平 人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数
据不敏感。这里更好的方法是同时用平均工资 和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且 中位数较大的公司就业.
人教A版高中数学必修三.2用样本数字 特征估 计总体 数字特 征课件 （公开 课课件 ）
人教A版高中数学必修三.2用样本数字 特征估 计总体 数字特 征课件 （公开 课课件 ）
X1 n(x1x2xn)
问题1：众数、中位数、平均数这三个数 一般都会来自于同一个总体或样本，它们 能表明总体或样本的什么性质？
众数:反映的往往是局部较集中的数据信息 中位数:是位置型数，反映处于中间部位的
数据信息
平均数:反映所有数据的平均水平
1、求下列各组数据的众数和中位数
（1）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 中位数是：5
试问二人谁发挥的水平较稳定?
分析:甲的平均成绩是9环.乙的平均成绩也是9环.
情境二:
某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取
了10株，分别测得它们的株高如下：(单位cm)
甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29
乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62
人教A版高中数学必修用样本估计总体课件
频数
频数 4 8 15 22 25 14 6 4 2
100
频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
(4.3－0.2)÷0.5=8.2
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
知识探究(一):频率分布表
思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个 数据共分为9组，各组数据的取值范围可以 如何设定？
频数
频数
频率
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
知识探究(一):频率分布表
分组
[0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5) [2.5，3) [3，3.5) [3.5，4) [4，4.5] 合计
人教A版高中数学必修3第二章2.2用样 本估计 总体第 1课时 课件(共 60张PP T)
知识探究(一):频率分布表
思考1：上述100个数据中的最大值和最小 值分别是什么？由此说明样本数据的变化 范围是什么？
0.2～4.3 思考2：样本数据中的最大值和最小值的 差称为极差.如果将上述100个数据按组距 为0.5进行分组，那么这些数据共分为多 少组？
高中数学(人教版A版必修三)配套课件：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)
知识点二 中位数 定义 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或 最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 特点 (1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组 数据中的数.(4)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个 体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值.(5)中位数是样本数据 所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，能更好地反映一组数 据的中等水平， 当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该 组数据的集中趋势比较合适.
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数
都不具有的性质.也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反
映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响
较大，使平均数在估计时可靠性降低.
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 众数、中位数和平均数的计算
例 1 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为 x ，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为
人教A版高中数学必修三222用样本的数字特征估计总体的数字特征课件1共30张
上面表里的 17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的，其中第 9个数据1.70 是最中间的一个数据，即这 组数据的中位数是 1.70 ；
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 （米）、 1.70 （米）、1.69 （米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
2、在样本中，有 50％的个体小于或等于中 位数，也有 50％的个体大于或等于中位数 ，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等 ，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为 2.02t.
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值 =频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25 ×0.04+0.75 ×0.08+1.25 ×0.15+1.75 ×0.22+2.25 × 思考0.255：+2平.75均数×是0.1频4+率3.分25布×直方图的“重心”，在城市居 0民.0月6+均3.用75水×量0样.04本+4数.2据5 的×频0.率02分=2布.02直（方图t ）中. ，各个小矩形 的重平心均在数哪是里2.0？2.从直方图估计总体在各组数据内的平均数 分别为多少？
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位 数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从
左至右各个小矩形的面积分别是 0.04 ，0.08 ，0.15 ，0.22 ， 0.25 ，0.14 ，0.06 ，0.04 ，0.02. 由此估计总体的中位数 是什么？
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 （米）、 1.70 （米）、1.69 （米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
2、在样本中，有 50％的个体小于或等于中 位数，也有 50％的个体大于或等于中位数 ，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等 ，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为 2.02t.
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值 =频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25 ×0.04+0.75 ×0.08+1.25 ×0.15+1.75 ×0.22+2.25 × 思考0.255：+2平.75均数×是0.1频4+率3.分25布×直方图的“重心”，在城市居 0民.0月6+均3.用75水×量0样.04本+4数.2据5 的×频0.率02分=2布.02直（方图t ）中. ，各个小矩形 的重平心均在数哪是里2.0？2.从直方图估计总体在各组数据内的平均数 分别为多少？
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位 数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从
左至右各个小矩形的面积分别是 0.04 ，0.08 ，0.15 ，0.22 ， 0.25 ，0.14 ，0.06 ，0.04 ，0.02. 由此估计总体的中位数 是什么？
最新新课标人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件教学讲义ppt课件
想一想：某次数学期中考试，毛毛同学得了78分。
全班共30人，其他同学的成绩为1个100分， 4个90 分， 22个80分, 以及一个2分和一个10分。毛毛计 算出全班的平均分为77分，所以毛毛回家告诉妈妈 说，他这次成绩处于班级“中上水平”。这种说法 对吗？
探究：课本 P73
你认为“我们单位的收入水平比别的 单位高”这句话应当怎么解释？
如何从频率分布直方图中估计平均数 ？
频率 /组距
0.50 0.40
0.25 0.22
0.30 0.20
0.15
0.14
0.08
0.10
0.06
. . 0.04
.
..
. . . . 0.04 0.02
o
0.25
0.5
0.75
1 1.5 2
1.25 1.75
2.5
2.25 2.75
3
3.25
3.5
3.75
况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点，你能举例说明吗？
对极端值不敏感有利的例子:
考察100位居民的月均用水量表中的数据，如果把 最后一个数据错写成22，并不会对样本中位数产生影 响也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防 错误数据的影响，而在实际应用中人为操作的失误经 常造成错误数据。
0.04
0.04
0.02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小2把于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
于个或面等积于相中位等数的，分因界此线，在与频x轴率分交布点直的方横图坐中，标中称位为数中左位边和数右。边的直方图
全班共30人，其他同学的成绩为1个100分， 4个90 分， 22个80分, 以及一个2分和一个10分。毛毛计 算出全班的平均分为77分，所以毛毛回家告诉妈妈 说，他这次成绩处于班级“中上水平”。这种说法 对吗？
探究：课本 P73
你认为“我们单位的收入水平比别的 单位高”这句话应当怎么解释？
如何从频率分布直方图中估计平均数 ？
频率 /组距
0.50 0.40
0.25 0.22
0.30 0.20
0.15
0.14
0.08
0.10
0.06
. . 0.04
.
..
. . . . 0.04 0.02
o
0.25
0.5
0.75
1 1.5 2
1.25 1.75
2.5
2.25 2.75
3
3.25
3.5
3.75
况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点，你能举例说明吗？
对极端值不敏感有利的例子:
考察100位居民的月均用水量表中的数据，如果把 最后一个数据错写成22，并不会对样本中位数产生影 响也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防 错误数据的影响，而在实际应用中人为操作的失误经 常造成错误数据。
0.04
0.04
0.02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小2把于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
于个或面等积于相中位等数的，分因界此线，在与频x轴率分交布点直的方横图坐中，标中称位为数中左位边和数右。边的直方图
人教A版高中数学必修三课件《2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字》.pptx
(3) x 甲＝ x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． 又s2甲>s乙2 ，说明甲战士射击情况波动大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性 考虑，应选择乙参加比赛．
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
成才之路·数学
人教A版·必修3
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章
统计
第二章
2.2 用样本估计总体
第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
方随法堂警应示用探练究习 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
1 n
[(x1－
x
)2＋(x2－
x
)2＋…＋
(xn－ x )2]，得s2甲＝3，s乙2 ＝1.2.
解法二：由方差公式s2＝
1 n
[(x′
2 1
＋x′
2 2
＋…＋x′
2 n
)－n
x
′2]，计算s2甲，s乙2 ，其中s′i＝xi－a， x ′＝1ni＝n1x′i.由于两组
原始数据都在数字7附近且平均数都是7，所以选取a＝7.
(1)一组数据：－2，－1,3,1，－7,0的平均数是______ __．
[答案] －1
[解析] 平均数 x ＝－2－1＋36＋1－7＋0＝－1.
(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4 次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为 ________．
[答案] 5.4
课件_人教版高中数学必修三用样本的数字特征估计总体的数字特征PPT课件_优秀版
2021/11/23
18
方差 s2 n 1 [x ( 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2]
标准差 sn 1[x (1x )2(x2x )2 (xnx )2]
标准差（方差）越大，数据的离散程度大 标准差（方差）越小，数据的离散程度越小
2021/11/23
19
例1：画出下列四组样本数据的直方图，说明它们 的异同点.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。 2021/11/23
12
（2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
因平均数为300，由表格中所列出的数据 可见，只有经理在平均数以上，其余的人 都在平均数以下，故用平均数不能客观真 实地反映该工厂的工资水平。
2021/11/23
0.3 0.2 0.1
2021/11/23
9
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
3 平均数 平均数的估计值等于每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25频×率 0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22 +2.2组5距×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.
（3）正确理解样本数据标准差的意义和作
用，学会计算数据的标准差。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的
意识。
2021/11/23
2
复习： 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
课件_人教版高中数学必修三用样本的数字特征估计总体的数字特征课件PPT课件_优秀版
解：
董事长的工资提高以后，新的众数为：1500元， 中位数为：1500元，平均数为：2200元。
思考（3）有图表可知，第二家公司董事长的 工资提高前其众数为：1500元，中位数为： 1500元，平均数为：2100元。 而董事长的工资提高以后，新的众数为： 1500元，中位数为：1500元，平均数为： 2200元。 两者之间发生了什么变化，这一变化说明了 什么？
1思、考我（们4是）0如你.何认5得为到哪这个一 统组计数量据更的能频反率映分第布二直家方公图的？ 平数均叫数 做的这估组0计数.4值据等的于中频位率数分. 布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
取最高矩形下端中点的横坐标作为众数.
三司个职数 工字的特工0征资.3值水一平样？，结此合时此如问何题分谈析谈呢你？的想法？ 思中考位1数、：在将0频一.率2组分数布据直按方大图小中依众次数排是列什，么把，处为在什么？
如何在频率分布直方图中估计众数
频率 /组距
0 . 50 0 . 40 0 . 30 0 . 20 0 . 10
取最高矩形下端 中点的横坐标作 为众数.
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t
2.25
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
如何在频率分布直方图中估计中位数
后四个小矩形的 面积和=0.26
0 . 30
0 . 15
0 . 14
0 . 20
0 . 08
0 . 10
0 . 06
0 . 04
0 . 04
0 . 02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小把2于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
董事长的工资提高以后，新的众数为：1500元， 中位数为：1500元，平均数为：2200元。
思考（3）有图表可知，第二家公司董事长的 工资提高前其众数为：1500元，中位数为： 1500元，平均数为：2100元。 而董事长的工资提高以后，新的众数为： 1500元，中位数为：1500元，平均数为： 2200元。 两者之间发生了什么变化，这一变化说明了 什么？
1思、考我（们4是）0如你.何认5得为到哪这个一 统组计数量据更的能频反率映分第布二直家方公图的？ 平数均叫数 做的这估组0计数.4值据等的于中频位率数分. 布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
取最高矩形下端中点的横坐标作为众数.
三司个职数 工字的特工0征资.3值水一平样？，结此合时此如问何题分谈析谈呢你？的想法？ 思中考位1数、：在将0频一.率2组分数布据直按方大图小中依众次数排是列什，么把，处为在什么？
如何在频率分布直方图中估计众数
频率 /组距
0 . 50 0 . 40 0 . 30 0 . 20 0 . 10
取最高矩形下端 中点的横坐标作 为众数.
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t
2.25
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
如何在频率分布直方图中估计中位数
后四个小矩形的 面积和=0.26
0 . 30
0 . 15
0 . 14
0 . 20
0 . 08
0 . 10
0 . 06
0 . 04
0 . 04
0 . 02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小把2于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
高中数学人教A版必修3ppt课件-.2用样本的数字特征估计总体的数字特征优质课件
用样本的数字特征估计 总体的数字特征
课前练习
1、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000
人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下
图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面
的关系要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出200人作
进一步调查,则在［1500，3000］(元)月收入段应抽出
频率
组距
下图中虚线代表居民月均用水量的中位
数的估计值，此数据值为2.02t.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5
2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
说明:
2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0 不一样，这是因为样本数据的频率分布直方图，只是 直观地表明分布的形状，但是从直方图本身得不出原 始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的中位数 估计值往往与样本的实际中位数值不一致。
（四）标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时
也会使我们作出对总体的片面判断。因为这个平均数掩盖了一些
(1极) 5，端5，5的，5情，5，况5，，5，5而，5；这些极端情况显然是不能忽略的。因此，只有平
均数还难以概括样本数据的实际状态。 A、平均数不变，标准差不变
⑶由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。
标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示．
5 3 3有. 两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命
25.
中的环数如下： 下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
课前练习
1、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000
人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下
图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面
的关系要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出200人作
进一步调查,则在［1500，3000］(元)月收入段应抽出
频率
组距
下图中虚线代表居民月均用水量的中位
数的估计值，此数据值为2.02t.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5
2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
说明:
2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0 不一样，这是因为样本数据的频率分布直方图，只是 直观地表明分布的形状，但是从直方图本身得不出原 始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的中位数 估计值往往与样本的实际中位数值不一致。
（四）标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时
也会使我们作出对总体的片面判断。因为这个平均数掩盖了一些
(1极) 5，端5，5的，5情，5，况5，，5，5而，5；这些极端情况显然是不能忽略的。因此，只有平
均数还难以概括样本数据的实际状态。 A、平均数不变，标准差不变
⑶由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。
标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示．
5 3 3有. 两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命
25.
中的环数如下： 下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
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步骤：1.求极差（一组数据中最大值与最小值的 差）．
4.3－0.2=4 .1 ( t )
2.决定组距与组数（样本容量不超过100时，组数常
分成5～12组）．
组数＝
极差 组距
＝
4.1＝8.2 0.5
3.将数据分组（9组）． [0, 0.5) , [0.5, 1) ,~~,[4, 4.5)
4.列频率分布表． 5.画频率分布直方图．
空白演示
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用样本估计总体
用样本估计总体
❖ 用样本估计总体(两种）： 一种是：用样本的频率分布估计总体的分布。 另一种是：用样本的数字特征（平均数标准差
等）估计总体的数字特征。
用样本的频率分布估计总体分布
一 频率分布图和频率分布直方图
二 频率分布折线图和总体密度曲线
三 三 茎叶图（stem-and-leaf display)
只能处理样本
茎叶图
2）随时记录方便记录和表示 容量较小数据
总体密度曲线：含义见课本p59．
频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5月均用水量 /t
图2.2－2 100位居民的月均用水量的频率分 布折线图
频率 组距
0
ab
月均用水量/t
※总体密度曲线能够很好的反映总体在各个范围 内的百分比，能构提供更准确的信息．尽管有些 总体密度曲线是客观存在的，但是很难象函数图 象那样准确的地画出来．
探究:
我国是世界上严重缺水的 国家之一，城市 缺水问题较为突出。某市政府为了节约用 水，计划在 本市试行居民生活用水定额管 理，即确定一个居民月用水量标准a,用水 量不超过a的按平价收费，超过 a的按议价 收费。如果希望大部分居民的 日常生活不 受影响，那么标准a定为多少比较合理？你 认为，为了较为合理地确定出这个标准， 需要做什么工作？
表2－2 100位居民月均用水量的 频率分布表
分组
频数累计
频数 频率
[0 , 0.5)
4
0.04
[0.5 , 1)
8
0.08
[1 , 1.5)
15
0.15
[1.5 , 2)
22
0.22
[2 , 2.5)
25
0.25
[2.5 , 3)
14
0.14
[3 , 3.5)
6
0.06
[3.5 , 4)
4
0.04
[4 , 4.5) 合计
2 100
0.02 1.00
频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t
注：小长方形的面积＝组距×频率/组距＝频率 各长方形的面积总和等于1。
频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上 端 的中点，就得到频率分布折线图．
？思考一下图中阴影部分的面积表示什么？
甲
乙
80
463 1
368 2
389 3
4
15
25 54 1 61679 49 0
注：中间的 数字表示得分的十位数字．
旁边的数字分别表示两个人得分的个位 数．
小结
图形
优点
缺点
频率分布 1）易表示大量数据
丢失一些
Байду номын сангаас直方图
2）直观地表明分布地情况 信息
1）无信息损失
表2－1 100位居民的月均用水量 （单位 ：t )
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2