初中数学——中考数学专题突破篇

专题一┃中考选择题压轴题分析与预测
热考二 动点与函数图象结合
(一)动点生成函数图象
图 Z1－5 例 4 [2014·西城一模] 如图 Z1－5，在平面直角坐标 系 xOy 中，以点 A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别 与 x 轴、y 轴的正半轴交于点 P，Q.连接 PQ，过点 A 作 AH⊥PQ
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②若 0<x<2，则23＝q2－－x3，
化简可得，q＝13－3 2x.
同理，y＝
2 13
x2－4x＋13
＝Βιβλιοθήκη Baidu
2 13 13
（x－2）2＋9.
则在 0<x<2 范围内，y 随 x 的增大而减小． 综上所述，只有 D 选项符合题意． 故选 D.
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③当 x＝2，即 AP∥y 轴时，∵AH⊥PQ， ∴AH<AQ＝2，即 y<2.故可排除 B 选项． 故选 D.
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解法二：常规解法：如图．
设 Q(0，q)． ∵∠BAQ＋∠QAC＝∠CAP＋∠QAC＝90°， ∴∠BAQ＝∠CAP. 又∠ABQ＝∠ACP， ∴△ABQ∽△ACP. ∴AACB＝BCQP. ①若 x≥2，则23＝3x－－q2， 化简可得，q＝13－3 2x. ∵S△APQ＝12(2＋x)×3－12(3－q)×2－12x×q S△APQ＝12× x2＋q2×y， 则12(2＋x)×3－12(3－q)×2－12x×q＝12× x2＋q2×y， 整理，得 y x2＋q2＝(3－q)x＋2q，
16a＋4b＋c＝19， a＝1， 解得b＝1， c＝－1， ∴yn＝n2＋n－1.令 yn＝71，解得 n＝8.
专题二┃中考填空题压轴题分析与预测
方法点析
解决规律探究型问题，需要我们在平时的练习中积 累一些常识性知识．
(1) 符号：如果一列数(式)每一项的符号为正负交替 出现，那么
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例 3 [2014·昌平二模] 如图 Z2－2，在平面直角坐 标系中，已知点 A(－3，0)，B(0，4)，对△AOB 连续 作旋转变化，依次得到三角形①②③④…，则第⑦个 三角形的直角顶点的坐标是_(_2_4_，_0_)__；第⑰个三角形 的直角顶点的坐标是_(_67_15，__152_) __．
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[解析] 根据题意画出图形，再找出点 B 的横坐标与△AOB 内部(不包括边界)的整点 m 之间 的关系．
当点 B 在(3，0)或(4，0)处时，△AOB 内部(不包括边界)的整点为(1，1)，(1，2)，(2，1)， 共三个点，
∴当 m＝3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4. 学生通过在试卷上精确作图，能够发现当 n＝1 时，点 B 的横坐标为 4，此时 m＝3；当 n＝ 2 时，点 B 的横坐标为 8，此时 m＝9；当 n＝3 时，点 B 的横坐标为 12，此时 m＝15.我们能够 发现 3，9，15 中每相邻两个数之间依次多 6，很容易能够得到当点 B 的横坐标为 4n 时，m＝6n －3.
(二)几何体上两点之间线路最短问题
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例题精讲
(二)几何体上两点之间线路最短问 题
例 2 [2012·平谷二模] 如图 Z1－3 是一个长方体，AB＝3，BC＝5，AF＝6， 要在长方体上系一根绳子连接 AG，绳子 与 DE 交于点 P，当所用绳子的长度最短
时，AP 的长为( D )
专题一 中考选择题压轴题 分析与预测
例题精讲 考点分析
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函数图像与性质和立体图形的展开折 叠式初中数学和高中数学的重要接轨 点之一，也是中考数学选择压轴题的 热点。
3
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热考一 几何体的折叠与展开
(一)几何体的展开图 例 1 [2013·西城二模] 如图 Z1－1，三点所在的平面 将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能 是( D )
③如果一组数为循环数列，即几个数按一定的次序循环出现，找出循环节，判断第 n 个数位于 环节的位置即可．
专题二┃中考填空题压轴题分析与预测 (二)与图形有关的规律探究
例 2 [2014·平谷二模] 如图 Z2－1，▱ABCD 的面积为 16，
对角线交于点 O；以 AB，AO 为邻边作▱AOC1B，对角线交
①如果奇数项为负，偶数项为正，则第 n 个式子的 符号为(－1)n；
②如果奇数项为正，偶数项为负，则第 n 个式子的 符号为(－1)n＋1.
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(2)探究的数式规律，多数是函数的解析式．函数的解析式里常常包含着数学运算，将变量和序 号放在一起，做一些计算，是解答与数、式有关的规律探究型问题的好途径．
因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题 的热点．
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专题二┃中考填空题压轴题分析与预测
热考一 规律探究型问题
(一)与数与式有关的规律探究 例 1 [2012·海淀二模] 小东玩一种“挪珠子”游戏， 根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子 的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：
专题二┃中考填空题压轴题分析与预测
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(三)平面直角坐标系中的规律探究 Ⅰ.关于封闭图形内特殊点(图形)个数的探究 例 4 [2012·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，我 们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 A(0， 4)，点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部(不包 括边界)的整点个数为 m.当 m＝3 时，点 B 的横坐标的 所有可能值是___3_或__4__；当点 B 的横坐标为 4n(n 为正 整数)时，m＝__6_n_－__3__(用含 n 的代数式表示)．
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[解析] 选项 A，B，C 折叠后都不符合题意，只有选项 D 折叠后两个剪去的三角形与另一个剪去的三角形交于一 个顶点，与正方体三个剪去的三角形交于一个顶点符合．
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思想方法
理解并记忆几种常见几何体的展开图：圆柱、圆锥、正方 体、长方体、三棱柱．解决此类问题，要充分考虑带有各种符 号面的特点及位置，这是解决此类问题的关键．
专题二 中考填空题压轴题 分析与预测
专题二┃中考填空题压轴题分析与预测
考情分析
规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分 析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对 学生的“数感”提出较高要求．
新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新概 念、新规则、新材料来创设新情境，提出新问题，要 求学生运用它去解决新问题，并以此考查学生自学能 力和阅读理解能力、知识迁移能力等综合素质．
于示点y 与H.若x 的点函P数的关横系坐的标图为象x大，致AH是D的( 长为) y，则下列图象中，能表
专题一┃中考选择题压轴题分析与预测
[解析] 解法一：特殊值解法：①当点 P 与点 O 重合时，x＝0，y＝2.故可排除 C 选项；
②当点 Q 与点 O 重合时，x＝6.5，y＝3. 故可排除 A 选项；
例题解析
[解析] 由图①可得，“中”和“的” 相对；“国”和“我”相对；“梦”和 “梦”相对．由图②可得，小正方体从 图②的位置依次翻到第 5 格时，“国”在 下面，则这时小正方体朝上一面的字是 “我”．故选 A.
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方法点析
折叠和展开是认识、研究立体图形的一个重 要方法．折叠和展开是一个互逆的操作过程，解 决这类问题可以直接操作，也可以通过头脑想象 操作的过程(思维实验)，从而解决问题．
(二)由函数图象判断运动情况 例 5 [2014·北京] 已知点 A 为某封闭图形边界 上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀 速运动一周，设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长 为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 Z1－7 所示，则该封闭图形可能是( A )
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于点 O1；以 AB，AO1 为邻边作▱AO1C2B，对角线交于点 O2……
依 为此__类_12_推__，__；则▱▱AAOOnCC1Bn＋
的面积为__8______；▱AO4C5B
1B 的面积为___28_n_(_或 __2_1n_6＋ _1_)__．
的面积
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[解析] ∵▱ ABCD 的面积为 16， ∴S△ AOB＝14S▱ ABCD＝4， S▱ AOC1B＝2S△ AOB＝2×4＝8， 同理：▱ AO1C2B 的面积是 4， ▱ AO2C3B 的面积是 2， ▱ AO3C4B 的面积是 1， ▱ AO4C5B 的面积是12， ▱ AO5C6B 的面积是14， …… ▱ AOnCn＋1B 的面积是28n.
[解析] 从表格中能看出所得分数为 5，11，19，29，41，…
从上图中，我们能看出这一组数的增幅不相等，但是增幅以 2 的幅度在增加，∴所得分 数是挪动珠子数的二次函数．设挪动 n 颗珠子时(n 为大于 1 的整数), 所得分数为 yn＝an2＋
4a＋2b＋c＝5， bn＋c，由题意，得9a＋3b＋c＝11，
①如果一组数对中的每个数和它的前一个数的增幅相等(即等差数列)，则第 n 个数 yn 是 n 的一 函数，表示为 yn＝a＋(n－1)b(其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅)；
②如果一组数的增幅不相等，但是增幅以相同的幅度在增加，那么 yn 是 n 的二次函数，可以 待定系数法确定函数解析式；(见例 1)
[解析] A．等边三角形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化， 在点 A 的对边上时，设等边三角形的边长为 a，则 y＝
（ 23a）2＋（32a－x）2(a<x<2a)，符合题干图象；B.菱形， 点 P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是 先变速减小，再变速增加，不符合题干图象；C.正方形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加 至∠A 的对角顶点，再变速减小至另一顶点，不符合题干图 象；D.圆，AP 的长度，先变速增加至 AP 为直径，然后再变 速减小至点 P 回到点 A，不符合题干图象．故选 A.
A．10
B. 34
C．8
25 D. 4
专题一┃中考选择题压轴题分析与预测
[解析] 如图是长方体的部分展开图．
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思想方法
几何体上两点之间线路最短问题，可先根据 展开图将两点置于同一平面内，问题就由几何体 转化为我们熟悉的平面图形，再根据两点之间线 段最短，问题迎刃而解．
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方法点析
在近几年的中考试题中，考查动点与函数图象结合问题逐渐成为一种趋势．无论是前两年 的动点生成函数图象，还是今年中考的由函数图象判断运动情况，解答此类问题的一个策略： ①认真观察几何图形，找出运动起点和终点，由动点移动范围确定自变量取值范围；②分清整 个运动过程分为几段，关注动点运动过程中的特殊位置(即拐点)时的函数值．常关注的拐点包 括运动起点和终点时的函数值，和最大(小)函数值；③关注每一段运动过程中函数值的变化规 律，与图象上升(或下降)的变化趋势相对比；④在前面排除法行不通的情况下，写出各段的函 数解析式．
专题二┃中考填空题压轴题分析与预测
[解析] ∵点 A(－3，0)，B(0，4)， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝ 32＋42＝5. ∵对△OAB 连续作如题图所示的旋转变换， ∴△OAB 每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了 3＋4＋5＝12(个)单位，而 7 ＋1， ∴第⑦个三角形和第①个三角形的状态一样，则三角形⑦与三角形⑥的直角顶点相同， ∴三角形⑦的直角顶点的横坐标为 2×12＝24，纵坐标为 0. 由题意可得：第 17 个三角形与第 2 个三角形状态相同，第 15 个三角形的直角顶点在 x 轴上的 (60，0)． ∴第 17 个三角形的直角顶点的横坐标为 60＋4＋156＝6715，纵坐标为152. ∴第 17 个直角三角形的直角顶点坐标为(6715，152)．
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例题精讲
(三)几何体的折叠 例 3 [2013·朝阳二模] 如图 Z1－4①是一个正方体的 展开图，该正方体从图②所示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 4 格、第 5 格，此时这个正方体朝．上．一
面的字是( A )
A．我 B．的
C．梦
D．中
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