江苏省南通市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省南通2020-2021学年第一学期期中考试

高一数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

一、单选题

1．已知命题p:?x ∈R ，2x 2+1>0，则命题p 的否定是（ D ）． A ．x ?∈R ，2210x +≤ B ．x ?∈R ，2210x +> C ．x ?∈R ，2210x +< D ．x ?∈R ，2210x +≤

2．函数()1

23

f x x x =

--的定义域是（ C ） A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．[)()2,33,+∞ D ．()()2,33,+∞

3．已知p:?1

D ．既不充分又不必要条件

4．已知幂函数y =k ?x α的图象过点()4,2，则k +α等于（ A ） A ．

32

B ．3

C ．

12

D ．2

5．若正实数x ，y 满足2x +y =1，则xy 的最大值为（ B ） A ．

14

B ．

18

C ．

19

D ．

116

6．若关于x 的不等式ax +b <0的解集为(2，+∞)，则bx +a <0的解集为（ C ） A ．1,2??+∞

???B ．1,2??-+∞ ???C ．1,2?

?-∞ ???D ．1,2??-∞- ??

?

7．函数f (x )=2√?x 2+4x?3的单调减区间为（ D ） A ．(－∞，2] B ．[1，2]

C ．[2，＋∞)

D ．[2，3]

8．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则△AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ A ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．下列命题中,真命题的是（AB ） A ．lg (lg 10)=0 B ．?ln π=π C ．若ln e x =，则2x e =

D ．ln (lg 1)=0

10．若a ，b ，R c ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是（BD ） A ．

11

a b

< B ．2ab b > C ．a c b c > D ．(

)(

)

2

2

11a c b c +<+

11.下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ BCD ） A ．当0x <时，x +1x

=?[(?x )+

1?x

]≤?2√(?x )?(?1

x )=?2，故0x <时，x +1

x 的最大值是2-.

B ．当1x >时，x +

2

x?1

≥2√x ?2

x?1，当且仅当2

1

x x =-取等，解得1x =-或2， 又由1x >，所以取2x =，故1x >时，x +2

x?1的最小值为22421

+

=- C

．由于222299442444x x x x +=+-≥=+++， 故2

2

9

4

x x +

+的最小值是2 D ．当,0x y >，且42x y +=

时，由于24x y =+≥=

，12

≤

，

又112412

x y +≥=≥=，故当,0x y >，且42x y +=时，11x y

+的最小值为4

12．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >??

==??-

，下列说法正确的是（ABD ）

A ．函数sgn()y x =是奇函数

B ．对任意的x?R,sgn (?x )=1

C ．函数sgn()x y e x ?-＝的值域为(,1)-∞

D ．对任意的,sgn()x R x x x ∈?＝

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知函数

2

()2f x x x =+(21),x x Z -≤≤∈且则()f x 的值域是__________. 【答案】{}0,1,3-

14．设m =，n =p =，则m ，n ，p 的大小顺序为

__________. 【答案】m n p >>

15．若函数()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ??

-=+ ???

，

则12f ??

= ???

__________. 【答案】3

16．已知二次函数()2

1f x ax x =-+，若任意1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有

()()1212

1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是_______.

【答案】[

)1

+∞， 四、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本题满分10分）

已知集合{}

13A x

x =-<<∣，集合{

}

2

2+(52)50,B x x k x k k R =--<∈∣． （1）若1k =时，求C R B ，A

B ；

（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）C R B =(?∞,?5

2]∪[1,+∞) A ∪B =(?5

2,3)

（2）∵“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A ?B ，

B ={x |(x ?k )(2x +5)<0}

若k

2，则B =(k,?5

2)，不满足题意； 若k =?52，则B =?，不满足题意；

若k >?52，则B =(?5

2,k)，得k ≥3 ∴k 的取值范围是[3,+∞).

18．（本题满分12分） 已知定义在()1,1-的函数()21ax b

f x x +=+满足：()00f =，且1225

f ??= ???， （1）求函数()f x 的解析式；

（2）用定义法证明()f x 在()1,1-上是增函数. 【答案】

（1）由()00010

11242252554

b

f b a b a b f +?=

==?+??

?

++???==

= ????

??得：10a b =??=?，()2

1x f x x ∴=+； （2）设1211x x -<<<，

()()()()()()

22211221

212222

2112111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()

22

212112221211x x x x x x x x +--=++()()

()()

12122

21

2

111x x x x x x --=

++，

1211x x -<<<，121x x ∴<，即1210x x -<，

又120x x -<，21

10x +>，22

10x +>，()()()()

1212221210

11x x x x x x --∴

>++，

即()()210f x f x ->，

()f x ∴在()1,1-上是增函数.

19．（本题满分12分）

已知P =8

0.25

×√24

+(2764)

?1

3

?(?2020)

0，

33

332

2log 2log log 89

Q =-+. （1）分别求P 和Q . （2）若25a b m ==，且

11

Q a b

+=，求m .

A

C

D

N P

【答案】（1）7

3

P =

；2Q =. （2

）m =20.（本题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB =3米，AD =4米．

（1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？

（2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最 小值．

解：（1）设DN 的长为()0x x >米，则4AN x =+米

DN DC

AN AM =

()34x AM x

+∴= ()2

34AMPN

x S AN AM x

+∴=?=

由矩形AMPN 的面积大于50得：()2

3450x x

+>

又0x >，得：2326480x x -+>，解得：8

03

x <<或6x > 即DN 长的取值范围为：()80,6,3??+∞ ?

??

（2）由（1）知：矩形花坛AMPN 的面积为：

223(4)32448483242448x x x y x x x x +++===++≥=

当且仅当48

3x x

=

，即4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48 故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米.

21．（本题满分12分）

已知二次函数2

()f x ax bx c =++(,,a b c ∈R )满足：①对任意实数x ，都有()f x x ≥；

②当(1,3)∈x 时，21

()(2)8

f x x ≤+. （1）求证：(2)=2f ；

（2）若(2)=0f -，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，[0,+)x ?∈∞，1

()24

m f x x -

<成立，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2111

()822f x x x =++；（3）,12?-∞+ ??

. 【解析】 【分析】

（1）在已知条件令2x =代入后可得；

（2）设()()h x f x x =-，由（1）得()h x 在2x =时取得最小值0．结合(2)0f -=可求得,,a b c ，得()f x ，检验满足条件②即得；

（3）不等式变形为2

4(1)20x m x +-+≥，引入函数2

()4(1)2g x x m x =+-+，利用二次函数性质分类求得m 的范围． 【详解】

（1）∵f (2)=4a +2b +c 2≥，

取2x =时，f (2)=4a +2b +c 2

12+2=28

≤（） ∴f (2)=2.

（2）由（1）知2

()(1)f x x ax b c -=+-+在2x =时取得最小值2，

∴1

22b a --

=，42(1)0a b c +-+=，又(2)420f a b c -=-+=，联立可解得11,82a b c ===，2111

()822

f x x x =++，满足条件②，

∴2111

()822

f x x x =++

（3）不等式f (x )?

m

2x <14为18x 2+12x +12

?

m 2

x ?1

4

<0，

化简得x 2+4(1?m )x +2<0， ∴?x ≥0使x 2+4(1?m )x +2<0成立， 设g (x )=x 2+4(1m -)x +2(0x ≥) {Δ≥0?2(1?m )>0

或{Δ≥0

?2(?m )≤0g (0)<0

， 综上，m 的取值范围是(1+√2

2

,+∞).

22.（本题满分12分）

设函数()()21x x

a t f x a

--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.

（1）求t 的值；

（2）若()10f >，求使不等式(

)()2

10f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k

的取值范围；

（3）若函数()f x 的图象过点31,2??

???

，是否存在正数m （1m ≠）

，使函数 g (x )=m a

2x +a ?2x ?mf (x )

在[]21,log 3上的最大值为m ，若存在，求出m 的值；若不存在，

请说明理由. 【答案】（1）

()f x 是定义域为R 的奇函数，

()00f ∴=，

2t ∴=；经检验知符合题意.

（2）由（1）得()x x

f x a a -=-，

()10f >得1

0a a

-

>，又0a > 1a ∴>，

由(

)()2

10f kx x

f x -+-<得()()2

1f kx x f x -<--，

()f x 为奇函数，

()()21f kx x f x ∴-<-，

∵a >1，()x x

f x a a -∴=-为R 上的增函数，

21kx x x ∴-<-对一切x ∈R 恒成立，即()2

110x k x -++>对一切x ∈R 恒成立，

故()2

140k ?=+-<解得31k -<<. （3）函数()f x 的图象过点31,2??

???

，

2a ∴=，假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，

由a =2得 g (x )=m

(a 2x +a ?2x ?mf (x ))，

设22x x t -=-则()

()2

2222222x x

x x m t mt -----+=-+，

[]21,log 3x ∈，

38,23t ??

∴∈????

，记()22h t t mt =-+，

∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为m ，

∴（i ）若01m <<时，则函数()2

2h t t mt =-+在38,23

??????

有最小值为1，

由于对称轴1

22

m t =

<， ()min 3173

131242

6h t h m m ??∴==-=?= ???，不合题意.

（ii ）若1m 时，则函数?(t )=t 2?mt +2在38,23

??

????

上有最大值为1， ①()max

1252512212736

873241324m m m h t h m ??<≤<≤??????=??????===

???????， ②()max

25252126313126m m h t h m ??>>???????

?????=== ???????

m 无解， 综上所述：故存在正数m = 73

24，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为m .