杆件应力及强度计算
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建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
《工程力学》第四章 杆件的应力与强度计算
3.内力的分布(The distribution of internal force)
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
2、挤压强度条件
挤压应力：由挤压力产生的应力。 设挤压力为Fjy，挤压面积为Ajy，则挤压应力为：
式中：σiy——平均挤应力，单位MPa；
Fjy——受压处的挤压力，单位N；
Ajy——挤压面积，单位mm2。 为了保证联接件具有足够的挤压强度而正常工作，其强度条件为 ：
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
（2）强度条件校核：
FN 4 A
p( D 2 d 2 )
4 32.7(MPa)
d2
p( D 2 d 2 ) 2 (752 182 ) 2 d 182
32.7MPa
所以，活塞杆的强度足够。
思 考 题 P.76
3
（二）剪切与挤压强度计算 1、剪切强度
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
复习提问
1、轴向拉压时的内力是轴力，轴力的正负是如何规定的？
FN F
轴力离开截面为正，反之为负。计算时先以正向假设。
复习提问
2、轴扭转时的内力是什么？内力的正负号如何确定？ 扭转轴的内力称为扭矩，用T表示。 正负用右手螺旋定则确定。
T
_
指向截面
计算时先以正向假设。
建筑力学大纲 知识点第六章 杆件的应力与强度计算
第6章 杆件的应力与强度计算6.1 轴向拉压杆的应力与强度计算6.1.1 应力的概念为了分析内力在截面上的分布情况，从而对杆件的强度进行计算，必须引入应力的概念。
图6-1（a ）所示的受力体代表任一受力构件。
pc)F图6-1由于截面上内力的分布一般不是均匀的，所以平均应力m p 与所取小面积A ∆的大小有关。
令A ∆趋于零，取极限0limA Fp A∆→∆=∆ (b)6.1.2轴向拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的内力为轴力N F ，与轴力N F 对应的应力为正应力σ。
NF Aσ=(6-1) 式（6-1）就是轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
6.1.3轴向拉压杆的强度条件 1.强度条件材料所能承受的应力值有限，它所能承受的最大应力称为该材料的极限应力，用u σ表示。
材料在拉压时的极限应力由试验确定。
为了使材料具有一定的安全储备，将极限应力除以大于1的系数n ，作为材料允许承受的最大应力值，称为材料的许用应力，以符号[]σ表示，即u []nσσ=(6-2)式中n 称为安全系数。
为了确保拉压杆不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max σ不超过材料的许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (6-3) 2.强度条件的三方面应用(1) 强度校核：杆件的最大工作应力不应超过许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (2) 选择截面尺寸 ： 由强度条件式（6-3），可得A ≥N[]F σ 式中A 为实际选用的横截面积，(3) 确定许用荷载： 由强度条件可知，杆件允许承受的最大轴力N []F 的范围为N F ≤[]A σ6.2材料在轴向拉压时的力学性质在计算拉压杆的强度与变形时，要涉及材料的极限应力u σ和弹性模量E 等，这些反映材料在受力过程中所表现出的有关性质，统称为材料的力学性质。
6.2.1低碳钢在拉伸时的力学性质1．拉伸图与应力-应变曲线将试件装入试验机的夹头后启动机器，使试件受到从零开始缓慢增加的拉力F 作用，试件在标距l 长度内产生相应的变形l ∆。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
杆件的应力和强度设计(2)
强度计算
等截面杆： FN，max s
A
smax—拉(压)杆的最大工作应力， [s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
强度条件的应用
三类常见的强度问题
•校核强度：已知外力，s ，A，判断
s max＝
FN A
max
？
s
是否能安全工作？
•截面设计：已知外力，s ，确定
F 4.25 kN
三、圆轴扭转应力
m
m
通过试验、观察变形、
作出假设（平面假设）
t
T
I
t max
T Wt
1）纵向线都倾斜了一个夹角， 且仍为直线 （有切应力）
2）圆周线间的间距没有改变 （无正应力）
3）圆周线的大小和形状均未改 变（切应力方向垂直于径向）
结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
合理安排梁的载荷
P
L
5L
6
6
Mmax
5 PL 36
q
L
Mmax
1 2
qL2
合理安排梁的约束
q
L
Mmax
1 8
qL2
P/ L
L
1 Mmax 8 PL
q
L 5
3 5
L
L 5
Mmax
1 qL2 40
3. 合理设计梁的外形
等强度梁：梁的每个横 截面上的最大正应力都 等于许用应力的梁。
smaxW Mzxxs
A FN，max
s
•确定承载能力：已知A，s ，确定
FN ＝As
例 一空心圆截面杆, 外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受
拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 (2)
＝l AD
l DE
l EB
l BC
＝ FNADlAD ＋ FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.857 106 m
＝1.22810－6 m＝1.22810－3 mm
在上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然 都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。
拉、压杆件的变形分析
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
l
n
Nili
i1 EA
1 EA
n
i 1
N
i
li
n
3
Δ l FNili
i EA i
Page 3
材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
x
Δ
l
l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图 拉、压杆件横截面上的应力 拉、压杆件的强度设计 拉、压杆件的变形分析 拉伸与压缩时材料的力学性能 结论与讨论
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
试求：直杆的总变形量。
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
例题6
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
第五章杆件的应力与强度计算
FN ,m a x A
例5.3.1
一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面 面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2， A3=900 mm2，试画出轴力图，并求出此杆的 最大工作应力。
解: （1）求各段轴力
FN1=F1=120 kN FN2=F1－F2=120 kN－220 kN = －100 kN FN3=F4=160 kN （2）作轴力图 由各横截面上的轴力值，作出 轴力图（图6-3b）。
（1）弹性阶段（图5-2-2中ob段）
b点相对应的应力–应变的弹性极限，以 表示。
e
在弹性阶段，拉伸的初始阶段oa为直线， 表明与成正比。
a点对应的应力–应变的比例极限，用 P
表示。
根据虎克定律可知，图中直线oa与横坐标ε 的夹角正切就是材料的弹性模量，即
E tg
弹性极限与比例极限二者意义不同，但由
5-3-2斜截面上的应力
图5-3-2a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作
用 显然。，由截横面截法面知的F正N应=F力，若为杆的横截面面积 为 AFN，
A
由图5-3-2(b)求得斜截面m-m上的内力（图 6-5b）为
FN=FN
(b)
由几何关系可知，斜截面m-m的面积为
A A / cos ，可得斜截面上各点的应力为
p dp p lim
A0 A dA
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该 点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直， 也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂 直的法向分量和与截面相切的切向分量（图5-
1b），法向分量称为正应力，用 表示；切向 分量称为切应力，用表示。
5-1-2、关于应力注意的几点
（3）求最大应力
杆件的强度计算公式
杆件的强度计算公式1.应力：应力是杆件内部单位面积上的力，通常以帕斯卡（Pa）为单位。
应力被定义为负载除以横截面积。
在强度计算中，应力是一个重要的参数，用于评估杆件是否能够承受给定的负载。
2.截面形状：截面形状指的是杆件横截面的形状，如圆形、矩形、梯形等。
截面形状对杆件的强度计算有很大影响，因为不同的形状在承载能力方面具有不同的特点。
3.材料性质：杆件的材料性质包括弹性模量、屈服强度、抗拉强度等。
这些参数用于计算杆件在受力情况下的应力和应变，并评估其强度。
根据杆件的受力类型和计算方法的不同，强度计算公式可以有很多种形式。
以下是几个常见的强度计算公式示例：1.杆件的拉伸强度计算公式：拉伸强度=屈服强度/安全系数这个公式适用于纯拉伸情况下的杆件强度计算。
通常，设计中会采用一个安全系数，以确保杆件在实际应用中不会超过其屈服强度。
2.杆件的压缩强度计算公式：压缩强度=屈服强度/安全系数这个公式适用于纯压缩情况下的杆件强度计算。
与拉伸情况类似，设计中也会采用一个安全系数。
3.杆件的弯曲强度计算公式：弯曲强度=弯矩/抗弯矩弯曲强度计算涉及到杆件的几何形状和截面惯性矩等参数，以及杆件的材料性质。
通过计算弯矩和抗弯矩的比值，可以评估杆件在受弯应力作用下的强度。
此外，还有一些特殊情况下的杆件强度计算公式，如扭转、剪切、冲击等。
这些公式通常相对复杂，需要更详细的材料性质和截面形状参数。
需要注意的是，强度计算公式只是一种初步评估杆件承载能力的方法，它没有考虑杆件的缺陷、损伤和非均匀加载等因素。
因此，在实际工程中，还需要进行更为详细的强度分析和安全性评估，以确保杆件的可靠性和安全性。
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2 2
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
1、强度校核
3、计算许用载荷
弯曲应力
A
横力弯曲时的正应力
P
解：Mmax PL 25 1.5 37.5 kN m
例1、一工字钢的悬臂梁长L=1.5m，自由端受集中力P=25kN作用，材料的许用应 力[]=160Mpa。试选择工字钢截面的型号。
B
L
37.5 10 3 3 234 cm Wz 160 10 6 [ ]
•高温长期静载
当温度低于某一值时，（低碳钢300o~350oC）无变化。 当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增长。 即发生蠕变。
拉伸、压缩与剪切
•极限应力 •许用应力 •强度条件
塑性材料
失效、安全系数和强度计算
脆性材料
s b
0
0
0 0 n
ns n nb
1.2 ~ 2.5
My zdA 0
A
M
M
y
d
M
Mz M
A
Sz 0 I yz 0
y
ydA A
1
M EI z
弯曲应力
•纯弯曲时的正应力 1 M M
纯弯曲时的正应力
2
EI z
I z y dA
A
My Iz
My max max Iz
令Wz
Iz y max
Mmax
PL
查表选No:20a工字钢，Wz=237cm3。
例2、No40a工字钢简支梁跨度L=8m，跨中点受集中力P作用。已知[]=140Mpa， 考虑梁的自重，求许用荷载。
P
4m
q
No 40 a
查表得 q=67.6kgf/m=662.5N/m 解：
4m
1 ( 2 P qL ) L N m 8
A
拉压的内力和应力
解： FX 0
例：已知 P=15kN，d=16mm，a=10cm。求各杆的应力。
d
C
30
O
FNBC
FNAB
B
P
B
AB
F
F NAB 2P 30kN
Y
0
2 d 201mm 2 4
FNBC 3P 26kN
AAB
a
ABC a 100cm
1 2 qL 8
1 qL 2
yb 0.05 m
yc 0.09 m
Mya 6.08 Mpa Iz My b b 3.38 Mpa Iz My c c 6.08 Mpa Iz
弯曲应力
•正应力公式的使用条件
•平面弯曲
横力弯曲时的正应力
•材料处于弹性范围内
•具有纵向对称平面
挤压的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
P
P
bs
F bs Abs
挤压的强度条件：
bs
F bs [ bs ] Abs
1.5 ~ 2.5 ） [1 ] （塑性材料） （ [ bs ] （ 0.9 ~ 1.5） [1 ] （脆性材料）
计算挤压面
[1 ] 为材料的许用拉应力
m
圆轴扭转时的应力
m
一、变形几何关系
dx
a
a
dx
aa dx d d d max R dx dx
二、物理关系
d
T
A
三、静力关系
d G G dx
d 2 d dA G dx dx
A
dA A G
•材料在拉伸时的力学性能
卸载定律 冷作硬化
材料的力学性能
•其他塑性材料的拉伸力学性能
象中碳钢、某些高碳钢以及合 金钢、铝合金、青铜等，除16Mn 钢之外，几乎都没有明显的四阶段。
•铸铁拉伸力学性能
属于典型的脆性材料。
o
o
残余变形
拉伸、压缩与剪切
•材料在压缩时的力学性能
低碳钢
材料的力学性能
铸 铁
加载方式 材料 常温静载试验 低碳钢（A3钢） (含碳量<0.3%) 三个极限 p(e)，s， b 四个阶段 弹性阶段， 屈服阶段， 强化阶段， 颈缩阶段 延伸率
上屈服点
材料的力学性能
下屈服点
b
二个指标
截面收缩率
e p
o
s
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段
拉伸、压缩与剪切
圣维南（Saint-Venant)原理
力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的范围内 受到影响。 ４、杆件必须是等截面直杆。若 P 杆截面变化时，横截面上的应力 P / 2 将不再是均匀的。如果截面变化 比较缓慢时，可以近似应用公式。
P/2 P A
FN ( x) ( x) A( x)
拉伸、压缩与剪切
•正应力公式的推广使用条件
1、在剪力弯曲时，截面发生翘曲，不再满足平截面假设。但当 L/h>5时，剪力对正应力的影响可以忽略。 2、截面没有纵向对称面时，若外力作用在截面的形心主轴平面 内，公式仍然可以使用。 3、曲梁的曲率半径与截面高度h之比大于10时，可以近似应用。
•弯曲正应力的强度计算
Mmaxy max max [ ] Iz
d T dx GIp
A
2dA
令：Ip 2dA
T Ip
扭转
T Ip max max T Wp TR Ip
圆轴扭转时的应力
令：WP Ip R
称为抗扭截面系数
强度条件
D
D 3 WP 16
max
Tmax [] Wp
D 3 WP (1 4 ) 16
4m
Q
d 1.567 10 2 m
FN 2
d 16mm
45 10 3 FN 2 []2 2 4 7Mpa 64 10 A2
45 10 3 2 2 A2 10 m [ ]2 4.5 106
a A2 101m 10cm
D d
问题：
扭转的切应力公式 在什么情况下才能成立？
d D
扭转
圆轴扭转时的应力
例１：在扭转工况相同的情况下，相同材料的实心轴与=0.9的空心轴相比，哪 个更省材料？省多少？ 2.583
例２：有一外径D=100mm、内径d=80mm的空心圆轴与直径D1=80mm的实心圆轴 用键相连，轴的两端作用外力偶M=6kN.m，轴的许用切应力[]=80Mpa，键的尺 寸为101030mm，键的许用切应力[]=100Mpa，许用挤压应力[bs]=280Mpa。 试校核轴的强度并计算所需键的个数n。
Ｃ、静力平衡：
拉压的内力和应力
dFN dA
F N dA dA A
F N A
A
A
P
P
Y
dA
Z
拉伸、压缩与剪切
拉压的内力和应力
关于公式的几点说明
１、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 ２、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 ３、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。
FN1
Q
FN1 FN 2
3 5 Q F Q 45kN 27 kN 解： N2 4 4 27 10 3 FN1 1 238.7Mpa []1 A1 122 10 6 4 3 F 27 10 N1 4 2 A1 1 . 92857 10 m [ ]1 140 106
c
180
O
max
M Wz
Wz：抗弯截面系数
例：计算图示简支梁跨中截面上a、b、c三点处的正应力。
q 3.5 kN / m
解：
z
M
1 qL 2
L 3m
50
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
1、强度校核
3、计算许用载荷
弯曲应力
A
横力弯曲时的正应力
P
解：Mmax PL 25 1.5 37.5 kN m
例1、一工字钢的悬臂梁长L=1.5m，自由端受集中力P=25kN作用，材料的许用应 力[]=160Mpa。试选择工字钢截面的型号。
B
L
37.5 10 3 3 234 cm Wz 160 10 6 [ ]
•高温长期静载
当温度低于某一值时，（低碳钢300o~350oC）无变化。 当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增长。 即发生蠕变。
拉伸、压缩与剪切
•极限应力 •许用应力 •强度条件
塑性材料
失效、安全系数和强度计算
脆性材料
s b
0
0
0 0 n
ns n nb
1.2 ~ 2.5
My zdA 0
A
M
M
y
d
M
Mz M
A
Sz 0 I yz 0
y
ydA A
1
M EI z
弯曲应力
•纯弯曲时的正应力 1 M M
纯弯曲时的正应力
2
EI z
I z y dA
A
My Iz
My max max Iz
令Wz
Iz y max
Mmax
PL
查表选No:20a工字钢，Wz=237cm3。
例2、No40a工字钢简支梁跨度L=8m，跨中点受集中力P作用。已知[]=140Mpa， 考虑梁的自重，求许用荷载。
P
4m
q
No 40 a
查表得 q=67.6kgf/m=662.5N/m 解：
4m
1 ( 2 P qL ) L N m 8
A
拉压的内力和应力
解： FX 0
例：已知 P=15kN，d=16mm，a=10cm。求各杆的应力。
d
C
30
O
FNBC
FNAB
B
P
B
AB
F
F NAB 2P 30kN
Y
0
2 d 201mm 2 4
FNBC 3P 26kN
AAB
a
ABC a 100cm
1 2 qL 8
1 qL 2
yb 0.05 m
yc 0.09 m
Mya 6.08 Mpa Iz My b b 3.38 Mpa Iz My c c 6.08 Mpa Iz
弯曲应力
•正应力公式的使用条件
•平面弯曲
横力弯曲时的正应力
•材料处于弹性范围内
•具有纵向对称平面
挤压的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
P
P
bs
F bs Abs
挤压的强度条件：
bs
F bs [ bs ] Abs
1.5 ~ 2.5 ） [1 ] （塑性材料） （ [ bs ] （ 0.9 ~ 1.5） [1 ] （脆性材料）
计算挤压面
[1 ] 为材料的许用拉应力
m
圆轴扭转时的应力
m
一、变形几何关系
dx
a
a
dx
aa dx d d d max R dx dx
二、物理关系
d
T
A
三、静力关系
d G G dx
d 2 d dA G dx dx
A
dA A G
•材料在拉伸时的力学性能
卸载定律 冷作硬化
材料的力学性能
•其他塑性材料的拉伸力学性能
象中碳钢、某些高碳钢以及合 金钢、铝合金、青铜等，除16Mn 钢之外，几乎都没有明显的四阶段。
•铸铁拉伸力学性能
属于典型的脆性材料。
o
o
残余变形
拉伸、压缩与剪切
•材料在压缩时的力学性能
低碳钢
材料的力学性能
铸 铁
加载方式 材料 常温静载试验 低碳钢（A3钢） (含碳量<0.3%) 三个极限 p(e)，s， b 四个阶段 弹性阶段， 屈服阶段， 强化阶段， 颈缩阶段 延伸率
上屈服点
材料的力学性能
下屈服点
b
二个指标
截面收缩率
e p
o
s
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段
拉伸、压缩与剪切
圣维南（Saint-Venant)原理
力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的范围内 受到影响。 ４、杆件必须是等截面直杆。若 P 杆截面变化时，横截面上的应力 P / 2 将不再是均匀的。如果截面变化 比较缓慢时，可以近似应用公式。
P/2 P A
FN ( x) ( x) A( x)
拉伸、压缩与剪切
•正应力公式的推广使用条件
1、在剪力弯曲时，截面发生翘曲，不再满足平截面假设。但当 L/h>5时，剪力对正应力的影响可以忽略。 2、截面没有纵向对称面时，若外力作用在截面的形心主轴平面 内，公式仍然可以使用。 3、曲梁的曲率半径与截面高度h之比大于10时，可以近似应用。
•弯曲正应力的强度计算
Mmaxy max max [ ] Iz
d T dx GIp
A
2dA
令：Ip 2dA
T Ip
扭转
T Ip max max T Wp TR Ip
圆轴扭转时的应力
令：WP Ip R
称为抗扭截面系数
强度条件
D
D 3 WP 16
max
Tmax [] Wp
D 3 WP (1 4 ) 16
4m
Q
d 1.567 10 2 m
FN 2
d 16mm
45 10 3 FN 2 []2 2 4 7Mpa 64 10 A2
45 10 3 2 2 A2 10 m [ ]2 4.5 106
a A2 101m 10cm
D d
问题：
扭转的切应力公式 在什么情况下才能成立？
d D
扭转
圆轴扭转时的应力
例１：在扭转工况相同的情况下，相同材料的实心轴与=0.9的空心轴相比，哪 个更省材料？省多少？ 2.583
例２：有一外径D=100mm、内径d=80mm的空心圆轴与直径D1=80mm的实心圆轴 用键相连，轴的两端作用外力偶M=6kN.m，轴的许用切应力[]=80Mpa，键的尺 寸为101030mm，键的许用切应力[]=100Mpa，许用挤压应力[bs]=280Mpa。 试校核轴的强度并计算所需键的个数n。
Ｃ、静力平衡：
拉压的内力和应力
dFN dA
F N dA dA A
F N A
A
A
P
P
Y
dA
Z
拉伸、压缩与剪切
拉压的内力和应力
关于公式的几点说明
１、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 ２、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 ３、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。
FN1
Q
FN1 FN 2
3 5 Q F Q 45kN 27 kN 解： N2 4 4 27 10 3 FN1 1 238.7Mpa []1 A1 122 10 6 4 3 F 27 10 N1 4 2 A1 1 . 92857 10 m [ ]1 140 106
c
180
O
max
M Wz
Wz：抗弯截面系数
例：计算图示简支梁跨中截面上a、b、c三点处的正应力。
q 3.5 kN / m
解：
z
M
1 qL 2
L 3m
50