杆件应力及强度计算
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FN1
Q
FN1 FN 2
3 5 Q F Q 45kN 27 kN 解： N2 4 4 27 10 3 FN1 1 238.7Mpa []1 A1 122 10 6 4 3 F 27 10 N1 4 2 A1 1 . 92857 10 m [ ]1 140 106
圣维南（Saint-Venant)原理
力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的范围内 受到影响。 ４、杆件必须是等截面直杆。若 P 杆截面变化时，横截面上的应力 P / 2 将不再是均匀的。如果截面变化 比较缓慢时，可以近似应用公式。
P/2 P A
FN ( x) ( x) A( x)
拉伸、压缩与剪切
2 2
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
•高温长期静载
当温度低于某一值时，（低碳钢300o~350oC）无变化。 当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增长。 即发生蠕变。
拉伸、压缩与剪切
•极限应力 •许用应力 •强度条件
塑性材料
失效、安全系数和强度计算
脆性材料
s b
0
0
0 0 n
ns n nb
1.2 ~ 2.5
d T dx GIp
A
2dA
令：Ip 2dA
T Ip
扭转
T Ip max max T Wp TR Ip
圆轴扭转时的应力
令：WP Ip R
称为抗扭截面系数
强度条件
D
D 3 WP 16
max
Tmax [] Wp
D 3 WP (1 4 ) 16
1 2 qL 8
1 qL 2
yb 0.05 m
yc 0.09 m
Mya 6.08 Mpa Iz My b b 3.38 Mpa Iz My c c 6.08 Mpa Iz
弯曲应力
•正应力公式的使用条件
•平面弯曲
横力弯曲时的正应力
•材料处于弹性范围内
•具有纵向对称平面
加载方式 材料 常温静载试验 低碳钢（A3钢） (含碳量<0.3%) 三个极限 p(e)，s， b 四个阶段 弹性阶段， 屈服阶段， 强化阶段， 颈缩阶段 延伸率
上屈服点
材料的力学性能
下屈服点
b
二个指标
截面收缩率
e p
o
s
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段
拉伸、压缩与剪切
c
180
O
max
M Wz
Wz：抗弯截面系数
例：计算图示简支梁跨中截面上a、b、c三点处的正应力。
q 3.5 kN / m
解：
z
M
1 qL 2
L 3m
50
b
y 120
a
ya 0.09 m
bh 3 Iz 58.32 10 6 m 4 12
a
1 2 qL 3.94 kN m 8
m
圆轴扭转时的应力
m
一、变形几何关系
dx
a
a
dx
aa dx d d d max R dx dx
二、物理关系
d
T
A
三、静力关系
d G G dx
d 2 d dA G dx dx
A
dA A G
拉伸、压缩与剪切
应力集中的概念
集中应力：由于杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应 力急剧增加，而离开该区域应力又趋于缓和。这种现象称为应力集 中。 max 最大应力与平均应力之比称为理 论应力集中系数。 塑性材料在静载作用下 可以不考虑应力集中。 脆塑性材料在静载作用 下要考虑应力集中。
拉伸、压缩与剪切
剪切和挤压的实用计算
例：高为h，宽为b=100mm的齿形接头如图示。承受轴向拉力 P=30kN作用。试求齿的尺寸a、c、d、h。已知木材的顺纹许用拉 应力［］=6Mpa，许用挤压应力[bs]=10Mpa，许用剪切应力 []=1.2Mpa。
d d
P
a c a
P
b
h
扭转
•薄壁圆筒扭转时的切应力
2、选择截面
1、强度校核
3、计算许用载荷
弯曲应力
A
横力弯曲时的正应力
P
解：Mmax PL 25 1.5 37.5 kN m
例1、一工字钢的悬臂梁长L=1.5m，自由端受集中力P=25kN作用，材料的许用应 力[]=160Mpa。试选择工字钢截面的型号。
B
L
37.5 10 3 3 234 cm Wz 160 10 6 [ ]
纯剪切
t r
m
t
m
m t 2r r m 2r 2 t
•切应力互等定理（双生定理）
r
(tdy)dx (tdx)dy
m
•剪切胡克定律
G
E 2(1 )
G:切变模量
G
•剪切变形能
1 2 u 2 2G
扭转
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2 ~ 3.5 or 3 ~ 9
F N A
n0选取的因素 1、材料的素质 （均匀性、质地） 2、载荷情况 （估计的准确性、静载、动载） 3、简化及计算方法的精确度 4、构件的重要性、后果的严重性、制造修配的难易度 5、自重、机动性
拉伸、压缩与剪切
3m
失效、安全系数和强度计算
例：如图示，Q=36kN，a=8cm，d=12mm ，[]1=140Mpa ， []2=4.5Mpa，试校核其强度并合理选择其杆件截面尺寸。
Ｃ、静力平衡：
拉压的内力和应力
dFN dA
F N dA dA A
F N A
A
A
P
P
Y
dA
Z
拉伸、压缩与剪切
拉压的内力和应力
关于公式的几点说明
１、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 ２、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 ３、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。
A
拉压的内力和应力
解： FX 0
例：已知 P=15kN，d=16mm，a=10cm。求各杆的应力。
d
C
30
O
FNBC
FNAB
B
P
B
AB
F
F NAB 2P 30kN
Y
0
2 d 201mm 2 4
FNBC 3P 26kN
AAB
a
ABC a 100cm
挤压的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
P
P
bs
F bs Abs
挤压的强度条件：
bs
F bs [ bs ] Abs
1.5 ~ 2.5 ） [1 ] （塑性材料） （ [ bs ] （ 0.9 ~ 1.5） [1 ] （脆性材料）
计算挤压面
[1 ] 为材料的许用拉应力
Mmax
PL
查表选No:20a工字钢，Wz=237cm3。
例2、No40a工字钢简支梁跨度L=8m，跨中点受集中力P作用。已知[]=140Mpa， 考虑梁的自重，求许用荷载。
P
4m
q
No 40 a
查表得 q=67.6kgf/m=662.5N/m 解：
4m
1 ( 2 P qL ) L N m 8
4m
Q
d 1.567 10 2 m
FN 2
d 16mm
45 10 3 FN 2 []2 2 4 7Mpa 64 10 A2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
45 10 3 2 2 A2 10 m [ ]2 4.5 106
a A2 101m 10cm
P
A P 取k-k斜截面，夹角为， 则A A / cos ， 而F P， F P P p cos cos A A A 2 p cos cos (1 cos 2) 2 p sin sin cos sin 2 2
弯曲应力
•内力与应力的关系
纯弯曲
弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；M
。 剪力是切于横截面的内力系的合力；Fs 。
•纯弯曲
剪力为零的弯曲。
P
a
P
a
中性层
P
Pa
P
中性轴
弯曲应力
•纯弯曲时的正应力
M
y y
dx
纯弯曲时的正应力
•变形几何关系 d y (y )d dx z dx d •物理关系 y x E E dA •静力关系 F dA N dA 0
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
D d
问题：
扭转的切应力公式 在什么情况下才能成立？
d D
扭转
圆轴扭转时的应力
例１：在扭转工况相同的情况下，相同材料的实心轴与=0.9的空心轴相比，哪 个更省材料？省多少？ 2.583
例２：有一外径D=100mm、内径d=80mm的空心圆轴与直径D1=80mm的实心圆轴 用键相连，轴的两端作用外力偶M=6kN.m，轴的许用切应力[]=80Mpa，键的尺 寸为101030mm，键的许用切应力[]=100Mpa，许用挤压应力[bs]=280Mpa。 试校核轴的强度并计算所需键的个数n。
则
P
k k
k k k
p
F
p
1 、 When 0 达到最大 max 2、 When 45o 达到最大 max 2 3、 When 90o 0 即纵截面上无任何应力 。
拉伸、压缩与剪切
•材料在拉伸时的力学性能
•材料在拉伸时的力学性能
卸载定律 冷作硬化
材料的力学性能
•其他塑性材料的拉伸力学性能
象中碳钢、某些高碳钢以及合 金钢、铝合金、青铜等，除16Mn 钢之外，几乎都没有明显的四阶段。
•铸铁拉伸力学性能
属于典型的脆性材料。
o
o
残余变形
拉伸、压缩与剪切
•材料在压缩时的力学性能
低碳钢
材料的力学性能
铸 铁
My zdA 0
A
M
M
y
d
M
Mz M
A
Sz 0 I yz 0
y
ydA A
1
M EI z
弯曲应力
•纯弯曲时的正应力 1 M M
纯弯曲时的正应力
2
EI z
I z y dA
A
My Iz
My max max Iz
令Wz
Iz y max
•正应力公式的推广使用条件
1、在剪力弯曲时，截面发生翘曲，不再满足平截面假设。但当 L/h>5时，剪力对正应力的影响可以忽略。 2、截面没有纵向对称面时，若外力作用在截面的形心主轴平面 内，公式仍然可以使用。 3、曲梁的曲率半径与截面高度h之比大于10时，可以近似应用。
•弯曲正应力的强度计算
Mmaxy max max [ ] Iz
结论：同一横截面上只有线应变，且大小相等。
PP
PP
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ｂ、物理方面：
拉压的内力和应力
设想杆件是由无数根纵向纤维组成的。由于材料是 均匀的，那么它们的变形和力学性能相同，可以推想各 纵向纤维的受力也应该是一样的。即横截面上各点的正 应力相等。
P
P
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 250o ~ 300o C t t
温度、时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
Q
FN1 FN 2
3 5 Q F Q 45kN 27 kN 解： N2 4 4 27 10 3 FN1 1 238.7Mpa []1 A1 122 10 6 4 3 F 27 10 N1 4 2 A1 1 . 92857 10 m [ ]1 140 106
圣维南（Saint-Venant)原理
力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的范围内 受到影响。 ４、杆件必须是等截面直杆。若 P 杆截面变化时，横截面上的应力 P / 2 将不再是均匀的。如果截面变化 比较缓慢时，可以近似应用公式。
P/2 P A
FN ( x) ( x) A( x)
拉伸、压缩与剪切
2 2
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
•高温长期静载
当温度低于某一值时，（低碳钢300o~350oC）无变化。 当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增长。 即发生蠕变。
拉伸、压缩与剪切
•极限应力 •许用应力 •强度条件
塑性材料
失效、安全系数和强度计算
脆性材料
s b
0
0
0 0 n
ns n nb
1.2 ~ 2.5
d T dx GIp
A
2dA
令：Ip 2dA
T Ip
扭转
T Ip max max T Wp TR Ip
圆轴扭转时的应力
令：WP Ip R
称为抗扭截面系数
强度条件
D
D 3 WP 16
max
Tmax [] Wp
D 3 WP (1 4 ) 16
1 2 qL 8
1 qL 2
yb 0.05 m
yc 0.09 m
Mya 6.08 Mpa Iz My b b 3.38 Mpa Iz My c c 6.08 Mpa Iz
弯曲应力
•正应力公式的使用条件
•平面弯曲
横力弯曲时的正应力
•材料处于弹性范围内
•具有纵向对称平面
加载方式 材料 常温静载试验 低碳钢（A3钢） (含碳量<0.3%) 三个极限 p(e)，s， b 四个阶段 弹性阶段， 屈服阶段， 强化阶段， 颈缩阶段 延伸率
上屈服点
材料的力学性能
下屈服点
b
二个指标
截面收缩率
e p
o
s
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段
拉伸、压缩与剪切
c
180
O
max
M Wz
Wz：抗弯截面系数
例：计算图示简支梁跨中截面上a、b、c三点处的正应力。
q 3.5 kN / m
解：
z
M
1 qL 2
L 3m
50
b
y 120
a
ya 0.09 m
bh 3 Iz 58.32 10 6 m 4 12
a
1 2 qL 3.94 kN m 8
m
圆轴扭转时的应力
m
一、变形几何关系
dx
a
a
dx
aa dx d d d max R dx dx
二、物理关系
d
T
A
三、静力关系
d G G dx
d 2 d dA G dx dx
A
dA A G
拉伸、压缩与剪切
应力集中的概念
集中应力：由于杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应 力急剧增加，而离开该区域应力又趋于缓和。这种现象称为应力集 中。 max 最大应力与平均应力之比称为理 论应力集中系数。 塑性材料在静载作用下 可以不考虑应力集中。 脆塑性材料在静载作用 下要考虑应力集中。
拉伸、压缩与剪切
剪切和挤压的实用计算
例：高为h，宽为b=100mm的齿形接头如图示。承受轴向拉力 P=30kN作用。试求齿的尺寸a、c、d、h。已知木材的顺纹许用拉 应力［］=6Mpa，许用挤压应力[bs]=10Mpa，许用剪切应力 []=1.2Mpa。
d d
P
a c a
P
b
h
扭转
•薄壁圆筒扭转时的切应力
2、选择截面
1、强度校核
3、计算许用载荷
弯曲应力
A
横力弯曲时的正应力
P
解：Mmax PL 25 1.5 37.5 kN m
例1、一工字钢的悬臂梁长L=1.5m，自由端受集中力P=25kN作用，材料的许用应 力[]=160Mpa。试选择工字钢截面的型号。
B
L
37.5 10 3 3 234 cm Wz 160 10 6 [ ]
纯剪切
t r
m
t
m
m t 2r r m 2r 2 t
•切应力互等定理（双生定理）
r
(tdy)dx (tdx)dy
m
•剪切胡克定律
G
E 2(1 )
G:切变模量
G
•剪切变形能
1 2 u 2 2G
扭转
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2 ~ 3.5 or 3 ~ 9
F N A
n0选取的因素 1、材料的素质 （均匀性、质地） 2、载荷情况 （估计的准确性、静载、动载） 3、简化及计算方法的精确度 4、构件的重要性、后果的严重性、制造修配的难易度 5、自重、机动性
拉伸、压缩与剪切
3m
失效、安全系数和强度计算
例：如图示，Q=36kN，a=8cm，d=12mm ，[]1=140Mpa ， []2=4.5Mpa，试校核其强度并合理选择其杆件截面尺寸。
Ｃ、静力平衡：
拉压的内力和应力
dFN dA
F N dA dA A
F N A
A
A
P
P
Y
dA
Z
拉伸、压缩与剪切
拉压的内力和应力
关于公式的几点说明
１、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 ２、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 ３、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。
A
拉压的内力和应力
解： FX 0
例：已知 P=15kN，d=16mm，a=10cm。求各杆的应力。
d
C
30
O
FNBC
FNAB
B
P
B
AB
F
F NAB 2P 30kN
Y
0
2 d 201mm 2 4
FNBC 3P 26kN
AAB
a
ABC a 100cm
挤压的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
P
P
bs
F bs Abs
挤压的强度条件：
bs
F bs [ bs ] Abs
1.5 ~ 2.5 ） [1 ] （塑性材料） （ [ bs ] （ 0.9 ~ 1.5） [1 ] （脆性材料）
计算挤压面
[1 ] 为材料的许用拉应力
Mmax
PL
查表选No:20a工字钢，Wz=237cm3。
例2、No40a工字钢简支梁跨度L=8m，跨中点受集中力P作用。已知[]=140Mpa， 考虑梁的自重，求许用荷载。
P
4m
q
No 40 a
查表得 q=67.6kgf/m=662.5N/m 解：
4m
1 ( 2 P qL ) L N m 8
4m
Q
d 1.567 10 2 m
FN 2
d 16mm
45 10 3 FN 2 []2 2 4 7Mpa 64 10 A2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
45 10 3 2 2 A2 10 m [ ]2 4.5 106
a A2 101m 10cm
P
A P 取k-k斜截面，夹角为， 则A A / cos ， 而F P， F P P p cos cos A A A 2 p cos cos (1 cos 2) 2 p sin sin cos sin 2 2
弯曲应力
•内力与应力的关系
纯弯曲
弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；M
。 剪力是切于横截面的内力系的合力；Fs 。
•纯弯曲
剪力为零的弯曲。
P
a
P
a
中性层
P
Pa
P
中性轴
弯曲应力
•纯弯曲时的正应力
M
y y
dx
纯弯曲时的正应力
•变形几何关系 d y (y )d dx z dx d •物理关系 y x E E dA •静力关系 F dA N dA 0
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
D d
问题：
扭转的切应力公式 在什么情况下才能成立？
d D
扭转
圆轴扭转时的应力
例１：在扭转工况相同的情况下，相同材料的实心轴与=0.9的空心轴相比，哪 个更省材料？省多少？ 2.583
例２：有一外径D=100mm、内径d=80mm的空心圆轴与直径D1=80mm的实心圆轴 用键相连，轴的两端作用外力偶M=6kN.m，轴的许用切应力[]=80Mpa，键的尺 寸为101030mm，键的许用切应力[]=100Mpa，许用挤压应力[bs]=280Mpa。 试校核轴的强度并计算所需键的个数n。
则
P
k k
k k k
p
F
p
1 、 When 0 达到最大 max 2、 When 45o 达到最大 max 2 3、 When 90o 0 即纵截面上无任何应力 。
拉伸、压缩与剪切
•材料在拉伸时的力学性能
•材料在拉伸时的力学性能
卸载定律 冷作硬化
材料的力学性能
•其他塑性材料的拉伸力学性能
象中碳钢、某些高碳钢以及合 金钢、铝合金、青铜等，除16Mn 钢之外，几乎都没有明显的四阶段。
•铸铁拉伸力学性能
属于典型的脆性材料。
o
o
残余变形
拉伸、压缩与剪切
•材料在压缩时的力学性能
低碳钢
材料的力学性能
铸 铁
My zdA 0
A
M
M
y
d
M
Mz M
A
Sz 0 I yz 0
y
ydA A
1
M EI z
弯曲应力
•纯弯曲时的正应力 1 M M
纯弯曲时的正应力
2
EI z
I z y dA
A
My Iz
My max max Iz
令Wz
Iz y max
•正应力公式的推广使用条件
1、在剪力弯曲时，截面发生翘曲，不再满足平截面假设。但当 L/h>5时，剪力对正应力的影响可以忽略。 2、截面没有纵向对称面时，若外力作用在截面的形心主轴平面 内，公式仍然可以使用。 3、曲梁的曲率半径与截面高度h之比大于10时，可以近似应用。
•弯曲正应力的强度计算
Mmaxy max max [ ] Iz
结论：同一横截面上只有线应变，且大小相等。
PP
PP
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ｂ、物理方面：
拉压的内力和应力
设想杆件是由无数根纵向纤维组成的。由于材料是 均匀的，那么它们的变形和力学性能相同，可以推想各 纵向纤维的受力也应该是一样的。即横截面上各点的正 应力相等。
P
P
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 250o ~ 300o C t t
温度、时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。