第三章 确定隶属函数方法
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若按
A(uik ) = 1 − k − 1： ~
n
A = 1/ u1 + 0.75/ u2 +1/ u3 + 0.5/ u4 ~
三、相对比较法： 相对比较法： 通过二元相对比较来完成 1、建立比较关系矩阵 、
c = (cij ) n×n
其中，（1）ui与u j (i ≠ j ) 比较时，如果 u i 相对于 u j 具有 A 的程度为 ~
cij
（2） ii c
，则
u j 具有 A 的程度为 c ji ~
=1
∗
2、建立相及矩阵 c 、
∗
= (cij
∗
)
n× n
cij cij = max (cij , c ji )
3、确定U中元素具有 A 的顺序 、确定 中元素具有
~
c ∗ 中每一行取最小值，得各行的α i ，α i 的大小顺序即为 u i 的顺序。 将
0.0078
1 U
35.5-36.5
36
1
15.5
25.5
35.5
总结： 总结：反映社会一般意识，可大量重复表达个别意志的模糊概念，可用 F统计法，如“高个子”， “生产正常”，“安全生产”，“经济增长 快”……
3.2 相对选择法
有比较才有鉴别，认识事物往往从二元比较开始，如排队，从 高到低，但还有些概念不是有传递性，如“性格好”，针对这类问 题，可用相对选择法。 一、择优比较法 、 设U=｛u1，u2，u3，u4，u5｝，为五种乒乓球拍颜色组成的集 合，红、橙、黄、绿、蓝，问哪种颜色最受喜欢？即分别确定各 种颜色属于“好”的程度。
ω 要么 ω （2）每次事件中， 是确定，要么ω ∈ S IA，
∈ S IAC。
三、F统计方法 统计方法 1、F统计步骤 、 统计步骤 以“年轻人”F概念隶属函数求法为例来具体说明过程。 设U=[0，100]，取u0=27，求27岁对“年轻人”的隶属度。 步骤： ① 取129位专家，分别给出“年轻人”的年龄区间段，如表所 示 18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-25 18-35 20-30 18-30 16-30 20-35
4、定 A 方法同二） （方法同二） ~ 例：设U=｛u1，u2，u3｝为长子、次子、幼子集合。A “像父亲”， ~ 求
A(u)。 ~
1 0.8 0.5 c = 0.5 1 0.4 0.3 0.7 1
解：1、比较关系矩阵：
2、相及矩阵：
1 1 1 → α1 = 1 c ∗ = 5 / 8 1 4 / 7 → α 2 = 4 / 7 3 / 5 1 1 → α 3 = 3 / 5
1 2 3 4
ห้องสมุดไป่ตู้
5
二、优先关系法 设U=｛u1，u2，u3，u4，u5｝，先将U中元素具有 A 的程度排序， ~ 再依次建立U中元素隶属于 A的程度，从而得到 A ~ ~ 的优先关系矩阵： 1、建立 A 的优先关系矩阵： 、 ~
C = ( cij ) n×n
其中：
cii =0, cij ∈[0,1], cij +cji =1
− k ( x − a )2
, 其中k > 0
0
a
四、S型函数 型函数
A (u0)=
~
A∗覆盖u0的次数 当n→∞时，稳定值= A (u0)。 ~ 总试验次数n
4、图形表示概率统计与F统计的区别： 、图形表示概率统计与 统计的区别 统计的区别：
S
ω
A
Ω
概率统计
ω 变动
A 固定
A∗
A ~ u0
U
u 0固定
A∗变动
F统计
A→
即： Ω → U S：对ω 的限制
A ~
ω → u0
例3：设U=｛u1，u2，u3，u4｝，建立的关系矩阵为：
1 0.7 0.8 0.2 0.6 1 0.5 0.4 c= 0.3 0.6 1 0.5 0.7 0.2 0.4 1
设权重分配为：（0.2，0.4，0.3，0.1）
= 则：A（u） 0.54 / u1 + 1 / u 2 + 0.72 / u3 + 0.23 / u 4
① 随机抽取500位乒乓球爱好者，按表顺序对两两颜色比较，每位 试验者试验10次后再依次顺序重复一遍，即每位试验20次。 红 橙 黄 绿 蓝 1 5 8 10 2 6 9 3 7 4 橙 黄 绿
② 两两比较打分，记于表中 若 ui与u j
(i ≠ j ) 相比，u 比u“优” (i，j ) =1，若 u与uj优劣相同， 则 i
i j
( 则表中 (i，j ) =0.5， j，i ) =0.5
红 红 橙 黄 绿 蓝 483 475 455 339
橙 517
黄 525 841
绿 545 477 534
蓝 661 576 614 643
∑ 2248 2377 1782 2082 1506
P 0.562 0.594 0.446 0.502 0.377
1, µ ( x ) = −k ( x−a ) , e
2
x≤a x > a, k > 0
1
二、偏大型 升半正态分布：
0
a
x
0, µ ( x ) = −k ( x−a ) , e
2
x≤a x > a, k > 0
1
0
a
三、中间型（对称型） 中间型（对称型） 正态分布：
µ (x ) = e
ui 排在第1 位， （未必唯一，可以并列），然后c中去除第一位已排的
1
那些对象所在行、列，对新矩阵重复上述做法，可选出第2、3、…… 直至全排完。
3、根据2中排的顺序确定 A 、根据 中排的顺序确定
~
A = ∑ A(u i ) / u i ~
A 式中， (ui ) 依赖于 u i 所排位置，位置越前，越优先，越接近于1。
3.3
集值统计迭代法
3.2中两两比较麻烦，或对象较多时无法比较。本节提供的方法 便可克服这种困难。
一、步骤： 步骤： 设U=｛x1,……,xn｝，参与评定人员P=｛p1,……,pm｝ 初定 1 ≤ r ≤ n 1、参与者第k步必须从U中选出k个隶属 A 程度最高的元素。 ~ 2、当k满足n=kr+t。
S：对 → A∗划分的限制（主观、客观）
5、求U上年轻人的 A (u) ~ 由上述统计试验知，最小年龄为14岁，最大为36岁，按此区间 将年龄段分组，以每组中值为u0求 A (u0)。 ~
A (u ) ~
如： 区间 13.5-14.5
M M
组中值 14
频数 2
相对频率
2 / 129 = 0.0155
u i比 u j 更优越的成分。
c ij 表示 u i 与 u j 相比较时，
2、确定U中元素具有模糊概念 A的顺序 、确定 中元素具有模糊概念
~
∀λ ∈ [0，，令cλ = (cij (λ ))n×n 其中 1]
1，cij ≥ λ cij (λ ) = 0，cij < λ
当 λ = 1 → 0，若首次出现 cλ1 ，它的第 i1行元素除对角线外全为1，则
10 4 1 9 7 F( u2 )= ，F(u3)= ，F( u4 )= F( u)= (9) = ， 1 12 12 3×4 12 12
∴ A(u)= 0.3 / u + 0.23/ u + 0.33/ u + 0.13/ u
~
1
2
3
4
3.4 建立隶属函数的参考函数法
根据问题性质，参考一些典型的函数分布，直接借鉴。 一、偏小型函数 很多，这里只列举其中一种，其余请参考相关书籍。 如降半正态分布型：
t = 0 时，进行到第 k 步 1 ≤ t ≤ r 时，进行到 k + 1 步 U k +1 = U
3、计算 u i被覆盖的频率F（u）和 i F( ui ) = 。 A (ui)。 ~
1 (被选中次数总合 ) 人数× 步数
A (ui) =
~
∑ F (u )
n i 1
F (ui )
i = 1,2, ……，n
如排序为：
ui1 , ui 2 , ……, uik , ……, uin
则可取：
A (uik ) = 1 , (k =1,……, n) ~
k
——（1） ——（2）
或
A (uik ) = 1− k −1, (k = 1,……, n) ~
n
例1：设U=｛u1，u2，u3，u4｝，根据某模糊概念A得到优先关系矩阵：
∴ 排序为：u1 → u3 → u 2
按（2）式求
A (ui)： ~
1 2 A(u)= 1/ u1 + / u2 + / u3 ~ 3 3
四、对比平均法 1、建立对比关系矩阵（同三） 2、U中元素有权重分配
n
3 A (ui)= min ~
{α ∑ c ,1}
i j =1 ij
α 1， …，α n …
0 0.9 u 2 C = 0. 1 0 u 4
∗
重复上述做法，得排序 u 2 , u 4 ,
故有总排序
(1)u1 , u3
若按 A ~
( 2)u 2
(3)u 4
(u ) = 1 k
ik
，得：
A = 1 / u1 + 0.5 / u 2 + 1 / u 3 + 0.33 / u 4 ~
0 0.8 0.7 0.3 0.2 0 0.4 0.9 C= 0.3 0.6 0 0.5 0.7 0.1 0.5 0
当 λ = 1 → 0, 逐渐减小取
cλ
时，可首次得到
c0.3的第1行，第3行
除对角线外全为1，因此，首先并列排序 u1 , u 3 , 划去第1行、1列； 第3行、第3列，得到新矩阵：
第三章 隶属函数确定方法
隶属函数是模糊集合论中的一个基本概念，是模糊集合的 理论与方法具体应用的基石。 隶属函数确定合理与否直接关系到应用效果。 值得指出的是，确定u(x)时，会因人而异带有一定的主 观性，但绝非因人而异具有随意性。 3.1 F统计方法 统计方法 一、概率统计回顾 、 F统计与概率统计有许多相似与对偶之处，为此作一回顾。以 “掷骰子，求点数为偶数且大于3的概率”为例：
159 523 424 466 386
357
③ 因 u i与其余4种颜色相比较，得“优”的次数最多为4000次，故每种 pi ： 颜色隶属于“优”的程度分别为 （如上表） 于是U中模糊集颜色“优”
A=0.562/ u + 0.594/ u + 0.446/ u + 0.502/ u + 0.377/ u ~
A发生次数n A 当n→ ∞ 时，fn→Pn 总事件数 1.它有四个基本要素：
1 … 6点 ① 样本空间 Ω： { 点， …， }
事件发生的频率fn ∆
② 事件A： “出现偶数且大于3”即｛4，6｝
1 2， 6} ③ Ω 中变元ω ：ω ∈{ ， ……，
④ 条件S：对 ω 活动的一个限制，只能再1~6点之间。 2、特点： （1）用确定手段研究不确定性
M M
15-25 18-35 15-30 15-25 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28 ②统计区间覆盖u0=27的次数。列成如下表所示：
试验 10 20 次数 隶属 6 14 次数
30 23
40 31
50 39
60 47
70 53
80 62
90 100 110 120 129 68 76 85 95 101
二、实例： 实例： 设U=｛u1，u2，u3，u4｝，有 A ，P=｛P1，P2，P3｝ ~ 解：取 r =1，P1，P2，P3各步选取过程如表所示： r P1 P2 P3 求：F(u i )： (u3) (u2) (u3) 2r (u1,u3) (u1,u2) (u1,u3) 3r (u1,u3,u4) (u1,u2,u3) (u1,u2,u3) 4r U U U
隶属 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.78 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 频率 ③ (绘出图形) 随着试验次数的增多，f稳定的数值即为u0对A的隶属度。 ~
隶属 频率
0.78
•
• •
•
•
•
•
10 20 30 40 50
129
统计四要素： 2、F 统计四要素： ① 论域U： U=[0，100]； ② U中的一个确定元素u0=27； ③ U中随机的普通集合 A∗，对应着一个模糊集A， ∗ 的每次确定都对应于 A ~ A 的模糊概念的一个确定划分。 ~ ④ 条件S：对确定 A∗ 时的全部客观或心理因素。 基本要求： 基本要求：每次试验中，对u0是否∈ A作出确切判断，即A∗ 必须确定 ~ 3、特点： 、特点： 试验中u0固定， A∗ 变动，这与概率统计不一样。
A(uik ) = 1 − k − 1： ~
n
A = 1/ u1 + 0.75/ u2 +1/ u3 + 0.5/ u4 ~
三、相对比较法： 相对比较法： 通过二元相对比较来完成 1、建立比较关系矩阵 、
c = (cij ) n×n
其中，（1）ui与u j (i ≠ j ) 比较时，如果 u i 相对于 u j 具有 A 的程度为 ~
cij
（2） ii c
，则
u j 具有 A 的程度为 c ji ~
=1
∗
2、建立相及矩阵 c 、
∗
= (cij
∗
)
n× n
cij cij = max (cij , c ji )
3、确定U中元素具有 A 的顺序 、确定 中元素具有
~
c ∗ 中每一行取最小值，得各行的α i ，α i 的大小顺序即为 u i 的顺序。 将
0.0078
1 U
35.5-36.5
36
1
15.5
25.5
35.5
总结： 总结：反映社会一般意识，可大量重复表达个别意志的模糊概念，可用 F统计法，如“高个子”， “生产正常”，“安全生产”，“经济增长 快”……
3.2 相对选择法
有比较才有鉴别，认识事物往往从二元比较开始，如排队，从 高到低，但还有些概念不是有传递性，如“性格好”，针对这类问 题，可用相对选择法。 一、择优比较法 、 设U=｛u1，u2，u3，u4，u5｝，为五种乒乓球拍颜色组成的集 合，红、橙、黄、绿、蓝，问哪种颜色最受喜欢？即分别确定各 种颜色属于“好”的程度。
ω 要么 ω （2）每次事件中， 是确定，要么ω ∈ S IA，
∈ S IAC。
三、F统计方法 统计方法 1、F统计步骤 、 统计步骤 以“年轻人”F概念隶属函数求法为例来具体说明过程。 设U=[0，100]，取u0=27，求27岁对“年轻人”的隶属度。 步骤： ① 取129位专家，分别给出“年轻人”的年龄区间段，如表所 示 18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-25 18-35 20-30 18-30 16-30 20-35
4、定 A 方法同二） （方法同二） ~ 例：设U=｛u1，u2，u3｝为长子、次子、幼子集合。A “像父亲”， ~ 求
A(u)。 ~
1 0.8 0.5 c = 0.5 1 0.4 0.3 0.7 1
解：1、比较关系矩阵：
2、相及矩阵：
1 1 1 → α1 = 1 c ∗ = 5 / 8 1 4 / 7 → α 2 = 4 / 7 3 / 5 1 1 → α 3 = 3 / 5
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二、优先关系法 设U=｛u1，u2，u3，u4，u5｝，先将U中元素具有 A 的程度排序， ~ 再依次建立U中元素隶属于 A的程度，从而得到 A ~ ~ 的优先关系矩阵： 1、建立 A 的优先关系矩阵： 、 ~
C = ( cij ) n×n
其中：
cii =0, cij ∈[0,1], cij +cji =1
− k ( x − a )2
, 其中k > 0
0
a
四、S型函数 型函数
A (u0)=
~
A∗覆盖u0的次数 当n→∞时，稳定值= A (u0)。 ~ 总试验次数n
4、图形表示概率统计与F统计的区别： 、图形表示概率统计与 统计的区别 统计的区别：
S
ω
A
Ω
概率统计
ω 变动
A 固定
A∗
A ~ u0
U
u 0固定
A∗变动
F统计
A→
即： Ω → U S：对ω 的限制
A ~
ω → u0
例3：设U=｛u1，u2，u3，u4｝，建立的关系矩阵为：
1 0.7 0.8 0.2 0.6 1 0.5 0.4 c= 0.3 0.6 1 0.5 0.7 0.2 0.4 1
设权重分配为：（0.2，0.4，0.3，0.1）
= 则：A（u） 0.54 / u1 + 1 / u 2 + 0.72 / u3 + 0.23 / u 4
① 随机抽取500位乒乓球爱好者，按表顺序对两两颜色比较，每位 试验者试验10次后再依次顺序重复一遍，即每位试验20次。 红 橙 黄 绿 蓝 1 5 8 10 2 6 9 3 7 4 橙 黄 绿
② 两两比较打分，记于表中 若 ui与u j
(i ≠ j ) 相比，u 比u“优” (i，j ) =1，若 u与uj优劣相同， 则 i
i j
( 则表中 (i，j ) =0.5， j，i ) =0.5
红 红 橙 黄 绿 蓝 483 475 455 339
橙 517
黄 525 841
绿 545 477 534
蓝 661 576 614 643
∑ 2248 2377 1782 2082 1506
P 0.562 0.594 0.446 0.502 0.377
1, µ ( x ) = −k ( x−a ) , e
2
x≤a x > a, k > 0
1
二、偏大型 升半正态分布：
0
a
x
0, µ ( x ) = −k ( x−a ) , e
2
x≤a x > a, k > 0
1
0
a
三、中间型（对称型） 中间型（对称型） 正态分布：
µ (x ) = e
ui 排在第1 位， （未必唯一，可以并列），然后c中去除第一位已排的
1
那些对象所在行、列，对新矩阵重复上述做法，可选出第2、3、…… 直至全排完。
3、根据2中排的顺序确定 A 、根据 中排的顺序确定
~
A = ∑ A(u i ) / u i ~
A 式中， (ui ) 依赖于 u i 所排位置，位置越前，越优先，越接近于1。
3.3
集值统计迭代法
3.2中两两比较麻烦，或对象较多时无法比较。本节提供的方法 便可克服这种困难。
一、步骤： 步骤： 设U=｛x1,……,xn｝，参与评定人员P=｛p1,……,pm｝ 初定 1 ≤ r ≤ n 1、参与者第k步必须从U中选出k个隶属 A 程度最高的元素。 ~ 2、当k满足n=kr+t。
S：对 → A∗划分的限制（主观、客观）
5、求U上年轻人的 A (u) ~ 由上述统计试验知，最小年龄为14岁，最大为36岁，按此区间 将年龄段分组，以每组中值为u0求 A (u0)。 ~
A (u ) ~
如： 区间 13.5-14.5
M M
组中值 14
频数 2
相对频率
2 / 129 = 0.0155
u i比 u j 更优越的成分。
c ij 表示 u i 与 u j 相比较时，
2、确定U中元素具有模糊概念 A的顺序 、确定 中元素具有模糊概念
~
∀λ ∈ [0，，令cλ = (cij (λ ))n×n 其中 1]
1，cij ≥ λ cij (λ ) = 0，cij < λ
当 λ = 1 → 0，若首次出现 cλ1 ，它的第 i1行元素除对角线外全为1，则
10 4 1 9 7 F( u2 )= ，F(u3)= ，F( u4 )= F( u)= (9) = ， 1 12 12 3×4 12 12
∴ A(u)= 0.3 / u + 0.23/ u + 0.33/ u + 0.13/ u
~
1
2
3
4
3.4 建立隶属函数的参考函数法
根据问题性质，参考一些典型的函数分布，直接借鉴。 一、偏小型函数 很多，这里只列举其中一种，其余请参考相关书籍。 如降半正态分布型：
t = 0 时，进行到第 k 步 1 ≤ t ≤ r 时，进行到 k + 1 步 U k +1 = U
3、计算 u i被覆盖的频率F（u）和 i F( ui ) = 。 A (ui)。 ~
1 (被选中次数总合 ) 人数× 步数
A (ui) =
~
∑ F (u )
n i 1
F (ui )
i = 1,2, ……，n
如排序为：
ui1 , ui 2 , ……, uik , ……, uin
则可取：
A (uik ) = 1 , (k =1,……, n) ~
k
——（1） ——（2）
或
A (uik ) = 1− k −1, (k = 1,……, n) ~
n
例1：设U=｛u1，u2，u3，u4｝，根据某模糊概念A得到优先关系矩阵：
∴ 排序为：u1 → u3 → u 2
按（2）式求
A (ui)： ~
1 2 A(u)= 1/ u1 + / u2 + / u3 ~ 3 3
四、对比平均法 1、建立对比关系矩阵（同三） 2、U中元素有权重分配
n
3 A (ui)= min ~
{α ∑ c ,1}
i j =1 ij
α 1， …，α n …
0 0.9 u 2 C = 0. 1 0 u 4
∗
重复上述做法，得排序 u 2 , u 4 ,
故有总排序
(1)u1 , u3
若按 A ~
( 2)u 2
(3)u 4
(u ) = 1 k
ik
，得：
A = 1 / u1 + 0.5 / u 2 + 1 / u 3 + 0.33 / u 4 ~
0 0.8 0.7 0.3 0.2 0 0.4 0.9 C= 0.3 0.6 0 0.5 0.7 0.1 0.5 0
当 λ = 1 → 0, 逐渐减小取
cλ
时，可首次得到
c0.3的第1行，第3行
除对角线外全为1，因此，首先并列排序 u1 , u 3 , 划去第1行、1列； 第3行、第3列，得到新矩阵：
第三章 隶属函数确定方法
隶属函数是模糊集合论中的一个基本概念，是模糊集合的 理论与方法具体应用的基石。 隶属函数确定合理与否直接关系到应用效果。 值得指出的是，确定u(x)时，会因人而异带有一定的主 观性，但绝非因人而异具有随意性。 3.1 F统计方法 统计方法 一、概率统计回顾 、 F统计与概率统计有许多相似与对偶之处，为此作一回顾。以 “掷骰子，求点数为偶数且大于3的概率”为例：
159 523 424 466 386
357
③ 因 u i与其余4种颜色相比较，得“优”的次数最多为4000次，故每种 pi ： 颜色隶属于“优”的程度分别为 （如上表） 于是U中模糊集颜色“优”
A=0.562/ u + 0.594/ u + 0.446/ u + 0.502/ u + 0.377/ u ~
A发生次数n A 当n→ ∞ 时，fn→Pn 总事件数 1.它有四个基本要素：
1 … 6点 ① 样本空间 Ω： { 点， …， }
事件发生的频率fn ∆
② 事件A： “出现偶数且大于3”即｛4，6｝
1 2， 6} ③ Ω 中变元ω ：ω ∈{ ， ……，
④ 条件S：对 ω 活动的一个限制，只能再1~6点之间。 2、特点： （1）用确定手段研究不确定性
M M
15-25 18-35 15-30 15-25 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28 ②统计区间覆盖u0=27的次数。列成如下表所示：
试验 10 20 次数 隶属 6 14 次数
30 23
40 31
50 39
60 47
70 53
80 62
90 100 110 120 129 68 76 85 95 101
二、实例： 实例： 设U=｛u1，u2，u3，u4｝，有 A ，P=｛P1，P2，P3｝ ~ 解：取 r =1，P1，P2，P3各步选取过程如表所示： r P1 P2 P3 求：F(u i )： (u3) (u2) (u3) 2r (u1,u3) (u1,u2) (u1,u3) 3r (u1,u3,u4) (u1,u2,u3) (u1,u2,u3) 4r U U U
隶属 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.78 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 频率 ③ (绘出图形) 随着试验次数的增多，f稳定的数值即为u0对A的隶属度。 ~
隶属 频率
0.78
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10 20 30 40 50
129
统计四要素： 2、F 统计四要素： ① 论域U： U=[0，100]； ② U中的一个确定元素u0=27； ③ U中随机的普通集合 A∗，对应着一个模糊集A， ∗ 的每次确定都对应于 A ~ A 的模糊概念的一个确定划分。 ~ ④ 条件S：对确定 A∗ 时的全部客观或心理因素。 基本要求： 基本要求：每次试验中，对u0是否∈ A作出确切判断，即A∗ 必须确定 ~ 3、特点： 、特点： 试验中u0固定， A∗ 变动，这与概率统计不一样。