第二章 单纯形法
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运筹学
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学
16
华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
① 选取换入变量：
因为max{3,4}=4, 按最大增加原则，取x3为换入变量 ② 选取换出变量 2 1 因为： B 1b 8 B P
7
3
1
所以取θ＝min(8/2,7/1)=4 , 由最小取值原则选取x4为换出变量
23
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
12
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤 3：判无界
3、判断是否无界 在j >0, j=m+1,…,n 中，若有某个k 对应 xk 的系数列 向量 Pk≤0 ，则此问题无界，停止计算；否则转入下 一步。 即在单纯形表中的某 xk 检验数k >0 ，而该列系数全 小于0，则无界。
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
9
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
定理（最优解判别准则） 对于可行基B ,若 CB B-1A - C >= 0 则对应于基B的基础可行解x就是基础最优解， 此时的可行基就是最优基。 CB B-1A - C为检验数。 由于基变量的检验数： CB B-1B - CB = 0 CB B-1A - C =（0， CB B-1N - CN）
1 / 2 1 1 / 2 N 5 / 2 3 1 / 2
4 b 3
' T
CB (3,1), CN (5,2,1) 基本可行解 X (0, ,0,4,0,3)
4 目标函数Z C B B b (3,1) 15 3
' 1
• 令XN=0,XB=B-1b=b= • 基本可行解X=(0,0,0,8,7)T • 目标函数值：
8 7
8 Z Cb B b (1,1) 8 7 1 7
1
21
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X=(0,0,0,8,7)T是否最优：
8 1 2 2 1 0 b 其中 A 7 3 4 1 0 1
c (5,2,3,1,1)
在系数矩阵A中存在一个单位矩阵B＝（p4,p5）
19
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
（1）确定初始基本可行解
• 取x4,x5为基变量，x1,x2,x3为非基变量，在这一情况下：
3
1
5 / 2
所以取θ＝min(4/(1/2), 3/(5/2))=6/5 , 由最小取值原则选取x5为换出变量
27
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
（4）求改进的基本可行解X’’：
0 4 1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 第二行乘 2 / 5 1 / 2 1 1 1 / 2 5 / 2 3 0 1 / 2 1 3 1 6 / 5 0 1 / 5 2 / 5 6 / 5 0 2 / 5 1 3 / 5 1 / 5 17 / 5 I－1/ 2 II 1 6 / 5 0 1 / 5 2 / 5 6 / 5
检验向量 N CN CB B1N
1 2 2 N (5,2,3) (1,1) (3,0,4) 3 4 1
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝3>0， σ3＝4>0,所以X=(0,0,0,8,7)T不是最优解
22
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
（3）基本可行解X=(0,0,0,8,7)T的改进
5
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
确定初始的基本可行解
• 确定初始的基本可行解＝确定初始的可行基 • 初始的可行基确定——对应初始基本可行解确定
6
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
最优解判别
不妨假设 A=（B , N）（B为一个基） 相应地有 Xt= C= 由式 (XB , XN) (CB , CN) max Z＝CX AX＝b X≥0
运筹学
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华东交通大学工业工程与物流管理系
对公式Z=CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN 若满足 CN- CB B-1N 或 <= 0 CB B-1N - CN >= 0 Z = CX <= CB B-1b
（2.2）
则对任意的 x >= 0 有
即对应可行基B的可行解x为最优解。 σN＝(CN- CB B-1N )为非基变量XN的检验向量
基变量 X B
x3 x5
非基变量X N
x1 x 2 x3
24
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 由增广矩阵 得： 5 / 2 3 0 1 / 2 1 3
1 0 B 0 1
13
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤 4：换基
4、确定换入变量和换出变量 换入变量=进基变量=Entering Variable 根据 max(j >0)=k ，确定 xk 为换入变量 换出变量=出基变量=Leaving Variable 按 规则计算，可确定 xl 为换出变量。
3
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的一般原理
• 考虑线形规划问题：
max Z＝CX AX＝b X≥0
如果有可行域D＝{X∈Rn|AX=b, X≥0}非空有界，则D上的 最优目标函数值Z＝CX一定可以在D的顶点达到。
4
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的基本思路
• 根据线性规划问题的标准型，从可行域中某个基可 行解一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶 点），并且使目标函数达到最大值时，问题就得到 最优解。 • 因此得到5个步骤： • 初始解判优判无界换基迭代
（4）求改进的基本可行解X’：
1 2 2 1 0 8 第一行除 2 1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 3 4 1 0 1 7 3 4 1 0 1 7 1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 II－I 5 / 2 3 0 1 / 2 1 3
x4 Xb x5
x1 Xn x 2 x3
1 0 B 0 1
1 2 2 N 3 4 1
8 b 7
Cb (1,1), Cn (5,2,3)
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运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
Z=CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN 令XN＝0，则基变量XB＝B-1b
X = (XB , XN) =（B-1b , 0）T为基础解，其目标函 数值为 Z = CB B-1b 只要XB = B-1b >= 0, Xt =（ B-1b , 0） >=0
X为基础可行解, B就是可行基。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
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运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
（3）基本可行解X’=(0,0,4,0,3)T的改进
① 选取换入变量：
因为σ1＝1>0, 按最大增加原则，取x1为换入变量 ② 选取换出变量 1 / 2 1 因为： B 1b 4 B P
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 基变量X B x1
非基变量X N
x2 x 4 x5
28
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
0 2 / 5 1 3 / 5 1 / 5 17 / 5 由增广矩阵 得： 1 6 / 5 0 1 / 5 2 / 5 6 / 5
Z= (CB , CN) (XB , XN) t= CB XB + CN XN AX＝（ B , N) (XB , XN)
7
t
= B X B+ N X N = b
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
因为B为一个基, det(B)>0 有 XB = B-1b- B-1N XN （2.1） （2.2）
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运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤 2：判优
2、检验数判别 得到初始基可行解后，要检验其是否为最优解： 若是，问题解决；否则继续下一步。 最优性判别定理：若所有检验数都j≤0，则找到最优解。
j c j z j c j ci aij
i 1
m
j 1,2,..., n
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
10
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
1、 确定初始基可行解
basic feasible solution
•
•
•
先找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单 纯形表 initial simplex tableau。 若能从列向量中直接观察到存在个线性无关的单位 向量，经过重新安排次序便可得到一个可行基。 对约束条件都是≤，则加入的松驰变量就构成初始 基。 对约束条件都是≥，且不存在单位矩阵的等式约束， 就要采用人造基的方法：大M法、对偶单纯法。
17
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换出变量的确定——最小比值原则
bi bl min a 0 ik a a lk ik
18
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
用初等变换求改进了的基本可行解
例： maxZ=5x1+2x2+3x3-x4+x5 x1+2x2+2x3+x4 =8 3x1+4x2+ x3 +x5=7 x1,x2,x3,x4,x5≥0
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
第二章
单纯形法
华东交通大学工业工程与物流管理系
线性规划单纯形法
• 单纯形法(Simplex Method)是美国人丹捷格 (G.Dantzig)1947年创建的 • 这种方法简捷、规范，是举世公认的解决线性规划问 题行之有效的方法。 • 单纯形法的表现形式：
– 代数法 – 表格法 – 矩阵法
2
运筹学
bi bl min a 0 ik a a lk ik
14
运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤 5：迭代
5、迭代 以 alk 为主元素 （pivot number） 进行迭代， 得到新的单纯形表。 迭代又称旋转运算， 或高斯消去法。
a1k 0 a2 k 0 变换为 Pk alk 1 0 a mk
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单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学
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华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
① 选取换入变量：
因为max{3,4}=4, 按最大增加原则，取x3为换入变量 ② 选取换出变量 2 1 因为： B 1b 8 B P
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3
1
所以取θ＝min(8/2,7/1)=4 , 由最小取值原则选取x4为换出变量
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运筹学
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤 3：判无界
3、判断是否无界 在j >0, j=m+1,…,n 中，若有某个k 对应 xk 的系数列 向量 Pk≤0 ，则此问题无界，停止计算；否则转入下 一步。 即在单纯形表中的某 xk 检验数k >0 ，而该列系数全 小于0，则无界。
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单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
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定理（最优解判别准则） 对于可行基B ,若 CB B-1A - C >= 0 则对应于基B的基础可行解x就是基础最优解， 此时的可行基就是最优基。 CB B-1A - C为检验数。 由于基变量的检验数： CB B-1B - CB = 0 CB B-1A - C =（0， CB B-1N - CN）
1 / 2 1 1 / 2 N 5 / 2 3 1 / 2
4 b 3
' T
CB (3,1), CN (5,2,1) 基本可行解 X (0, ,0,4,0,3)
4 目标函数Z C B B b (3,1) 15 3
' 1
• 令XN=0,XB=B-1b=b= • 基本可行解X=(0,0,0,8,7)T • 目标函数值：
8 7
8 Z Cb B b (1,1) 8 7 1 7
1
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（2）检验X=(0,0,0,8,7)T是否最优：
8 1 2 2 1 0 b 其中 A 7 3 4 1 0 1
c (5,2,3,1,1)
在系数矩阵A中存在一个单位矩阵B＝（p4,p5）
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（1）确定初始基本可行解
• 取x4,x5为基变量，x1,x2,x3为非基变量，在这一情况下：
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1
5 / 2
所以取θ＝min(4/(1/2), 3/(5/2))=6/5 , 由最小取值原则选取x5为换出变量
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（4）求改进的基本可行解X’’：
0 4 1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 第二行乘 2 / 5 1 / 2 1 1 1 / 2 5 / 2 3 0 1 / 2 1 3 1 6 / 5 0 1 / 5 2 / 5 6 / 5 0 2 / 5 1 3 / 5 1 / 5 17 / 5 I－1/ 2 II 1 6 / 5 0 1 / 5 2 / 5 6 / 5
检验向量 N CN CB B1N
1 2 2 N (5,2,3) (1,1) (3,0,4) 3 4 1
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝3>0， σ3＝4>0,所以X=(0,0,0,8,7)T不是最优解
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（3）基本可行解X=(0,0,0,8,7)T的改进
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确定初始的基本可行解
• 确定初始的基本可行解＝确定初始的可行基 • 初始的可行基确定——对应初始基本可行解确定
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最优解判别
不妨假设 A=（B , N）（B为一个基） 相应地有 Xt= C= 由式 (XB , XN) (CB , CN) max Z＝CX AX＝b X≥0
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8
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对公式Z=CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN 若满足 CN- CB B-1N 或 <= 0 CB B-1N - CN >= 0 Z = CX <= CB B-1b
（2.2）
则对任意的 x >= 0 有
即对应可行基B的可行解x为最优解。 σN＝(CN- CB B-1N )为非基变量XN的检验向量
基变量 X B
x3 x5
非基变量X N
x1 x 2 x3
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运筹学
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1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 由增广矩阵 得： 5 / 2 3 0 1 / 2 1 3
1 0 B 0 1
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单纯形法的求解步骤 4：换基
4、确定换入变量和换出变量 换入变量=进基变量=Entering Variable 根据 max(j >0)=k ，确定 xk 为换入变量 换出变量=出基变量=Leaving Variable 按 规则计算，可确定 xl 为换出变量。
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单纯形法的一般原理
• 考虑线形规划问题：
max Z＝CX AX＝b X≥0
如果有可行域D＝{X∈Rn|AX=b, X≥0}非空有界，则D上的 最优目标函数值Z＝CX一定可以在D的顶点达到。
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单纯形法的基本思路
• 根据线性规划问题的标准型，从可行域中某个基可 行解一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶 点），并且使目标函数达到最大值时，问题就得到 最优解。 • 因此得到5个步骤： • 初始解判优判无界换基迭代
（4）求改进的基本可行解X’：
1 2 2 1 0 8 第一行除 2 1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 3 4 1 0 1 7 3 4 1 0 1 7 1 / 2 1 1 1 / 2 0 4 II－I 5 / 2 3 0 1 / 2 1 3
x4 Xb x5
x1 Xn x 2 x3
1 0 B 0 1
1 2 2 N 3 4 1
8 b 7
Cb (1,1), Cn (5,2,3)
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Z=CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN 令XN＝0，则基变量XB＝B-1b
X = (XB , XN) =（B-1b , 0）T为基础解，其目标函 数值为 Z = CB B-1b 只要XB = B-1b >= 0, Xt =（ B-1b , 0） >=0
X为基础可行解, B就是可行基。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
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（3）基本可行解X’=(0,0,4,0,3)T的改进
① 选取换入变量：
因为σ1＝1>0, 按最大增加原则，取x1为换入变量 ② 选取换出变量 1 / 2 1 因为： B 1b 4 B P
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x3 基变量X B x1
非基变量X N
x2 x 4 x5
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0 2 / 5 1 3 / 5 1 / 5 17 / 5 由增广矩阵 得： 1 6 / 5 0 1 / 5 2 / 5 6 / 5
Z= (CB , CN) (XB , XN) t= CB XB + CN XN AX＝（ B , N) (XB , XN)
7
t
= B X B+ N X N = b
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因为B为一个基, det(B)>0 有 XB = B-1b- B-1N XN （2.1） （2.2）
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单纯形法的求解步骤 2：判优
2、检验数判别 得到初始基可行解后，要检验其是否为最优解： 若是，问题解决；否则继续下一步。 最优性判别定理：若所有检验数都j≤0，则找到最优解。
j c j z j c j ci aij
i 1
m
j 1,2,..., n
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
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单纯形法的求解步骤
1、 确定初始基可行解
basic feasible solution
•
•
•
先找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单 纯形表 initial simplex tableau。 若能从列向量中直接观察到存在个线性无关的单位 向量，经过重新安排次序便可得到一个可行基。 对约束条件都是≤，则加入的松驰变量就构成初始 基。 对约束条件都是≥，且不存在单位矩阵的等式约束， 就要采用人造基的方法：大M法、对偶单纯法。
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基本可行解的改进
• 换出变量的确定——最小比值原则
bi bl min a 0 ik a a lk ik
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用初等变换求改进了的基本可行解
例： maxZ=5x1+2x2+3x3-x4+x5 x1+2x2+2x3+x4 =8 3x1+4x2+ x3 +x5=7 x1,x2,x3,x4,x5≥0
再转向步骤（2） 运筹学
25
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（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
第二章
单纯形法
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线性规划单纯形法
• 单纯形法(Simplex Method)是美国人丹捷格 (G.Dantzig)1947年创建的 • 这种方法简捷、规范，是举世公认的解决线性规划问 题行之有效的方法。 • 单纯形法的表现形式：
– 代数法 – 表格法 – 矩阵法
2
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bi bl min a 0 ik a a lk ik
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单纯形法的求解步骤 5：迭代
5、迭代 以 alk 为主元素 （pivot number） 进行迭代， 得到新的单纯形表。 迭代又称旋转运算， 或高斯消去法。
a1k 0 a2 k 0 变换为 Pk alk 1 0 a mk