高中数学必修四教案-2.3.3 平面向量的坐标运算(3)-人教A版

平面向量的坐标运算

【教学目标】

（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。

【教学重点】

平面向量的坐标运算

【教学难点】

向量的坐标表示的理解及运算的准确性

【课时安排】

1课时

【教具】

多媒体、实物投影仪

【教学过程】

一、复习引入：

1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 2．向量加法的交换律：a +b =b +a

3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )

4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b) 5．差向量的意义： OA = a ， OB = b ， 则BA = a - b

即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量

6．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a

|；

（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=0

7．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa

+λb

8．向量共线定理 向量b 与非零向量a

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa

9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e

（1）我们把不共线向量e 1.e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； （2）基底不惟一,关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量a 在给出基底e 1.e 2的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量 10．平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j

作为基底任作

一个向量a

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

j y i x a

+=

把),(y x 叫做向量a

的（直角）坐标，记作),(y x a =

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a

在y 轴上的坐标， 特别地，

)0,1(=i

，)1,0(=j ，)0,0(0=

11．平面向量的坐标运算

若),(11y x a =

，),(22y x b = ，

则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，

),(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：

a ∥

b (b

≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

设a

=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a

由a

=λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0

探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0，

∵b

≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0

（2）充要条件不能写成2

2

11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 （3）从而向量共线的充要条件有两种形式：

a ∥

b (b

≠0)0

1221=-=⇔

y x y x b a λ

三、讲解范例：

例1若向量a

=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x

解：∵a

=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x)=0

∴x=±2 ∵a 与b

方向相同 ∴x=2

例2 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？

解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD

又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) AB =(2， 4) 2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行

∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD 四、课堂练习：

1．若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a ∥b ，则y=（ ） A ．6

B ．5

C ．7

D ．8

2．若A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为（ ）

A ．-3

B ．-1

C ．1

D ．3

3．若AB =i+2j ， DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量) AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）

A ．1，2

B ．2，2

C ．3，2

D ．2，4

4．已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a ∥b ，则y=_____

5．已知a=(1，2)，b=(x ，1)，若a+2b 与2a-b 平行，则x 的值为____

6．已知□ABCD 四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=____ 参考答案：1C 2B 3B 4 3 5 2

1

6 5

五、小结

向量平行的充要条件（坐标表示） 六、课后作业：

1．若a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),且a∥b,则坐标满足的条件为( ) A.x 1x 2-y 1y 2=0

B.x 1y 1-x 2y 2=0