高中数学必修四教案-2.3.3 平面向量的坐标运算(3)-人教A版
高中数学人教A必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
即ACDB,ACBD,ADCB.而错解中只考虑了ACDB一种情形,而遗漏
了另两种情况.
-16-
2.3.3
题型一
平面向量的坐标运算
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
正解:设第四个顶点坐标为 D(x,y).
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 (1)已知 a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用 b,c 表
示 a.
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以 ,
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 1,
2 − 1)
-3-
2.3.3
平面向量的坐标运算
M 目标导航
UBIAODAOHANG
人教A版数学必修4第二章2.3.3 平面向量的坐标运算教案
《平面向量的坐标运算》教学设计一、教学目标1、知识与技能①会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；②能根据表示向量有向线段的终点和始点，写出向量的坐标；③能综合应用平面向量的加、减与数乘运算解决相关问题．2、过程与方法①通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力；②通过例二的一题多解，训练思维的发散性．3、情感、态度与价值观①感受成功探究得到成果的喜悦；②深刻体会向量在解决几何问题时的作用，感受数与形的统一．二、教学重点平面向量的坐标运算.三、教学难点平面向量的坐标运算的应用.四、教学方法引导探究式讲授法.五、教学用具PPT、希沃教学白板，希沃授课助手六、教学过程1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的单位向量i⃗、j⃗作为基底，那么平面内的任意向量a⃗，都可以表示为a⃗=xi⃗+yj⃗的形式。
我们就把(x，y)叫向量a⃗的坐标。
即a⃗=xi⃗+yj⃗=(x，y)练习：分别说出向量i⃗、j⃗、b⃗⃗=−3i⃗+2j⃗的坐标。
【点评】一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
练习：已知A（-1，5），B（3，2），C（2，-2），求⃗⃗⃗⃗⃗⃗；①向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标。
②向量CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，3)，A（1，2），求点B的坐标。
变式：若AB例二：平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2,1），（-1,3），（3,4），试求顶点D的坐标。
【引导】①根据已知条件作平行四边形；②思考用哪些向量的运算可以求得点D的坐标？（多种方法引导）③你能说出解题思路吗？【点评】不同解法运用不同的思想，有用方程的思想，也有直接利用向量的加法等。
七、板书设计1、复习a⃗=xi⃗+yj⃗=(x，y)2、新知a⃗+b⃗⃗=(x1+x2，y1+y2)；a⃗−b⃗⃗=(x1−x2，y1−y2)；ka⃗=(kx1，ky1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.3 平面向量的坐标运算》4
平面向量的坐标运算教学设计一教材依据：普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社（A版）数学必修4二设计思想：1教材分析：本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2学情分析：高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题3设计理念：设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的自主学习的能力4教学指导思想：结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在获得新知识的同时又提高了能力 三教学目标：1知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．2过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化3情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．四教学准备：根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学五．教学过程:一复习回顾:1向量的加法、减法：师:已知向量a 、b,如何求向量ab 、a-b学生回答,教师指正2向量的数乘运算：师:已知向量ａ、ｂ,如何求向量３ａ，２ｂ？如何求向量３ａ＋２ｂ？学生回答,教师指正３向量的坐标表示:a b师:向量的坐标表示的定义是什么学生回答,教师指正,并强调:在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ、ｊ作为基底．对于平面内的任一向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数ｘ、ｙ,使a =ｘｉｙｊ这样，平面内的任一向量a 都可由ｘ、ｙ唯一确定，我们把有序数对（ｘ，ｙ）叫做向量a 的坐标．记作：a =（ｘ，ｙ）二自主探究:师：已知a =ｘ１，ｙ１，b =ｘ２，ｙ２，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标吗？请同学们自己探究一下学生自主探究,得出结论,然后讨论交流生:a ＋b =ｘ１i ＋ｙ１＋ｘ２i ＋ｙ２，由向量线性运算的结合律和分配律，可得ｘ１i ＋ｙ１＋ｘ２i ＋ｙ２＝ｘ１＋ｘ２i ＋ｙ１＋ｙ２即 同理 师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的积的运算法则吗？ 生：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标三尝试练习：1如图，已知A １，１，B ２，２，求AB 的坐标),(2121y y x x ++=+b a ),(),(112121y x y y x x λλλ=--=-a b a学生练习，教师指名回答生:=-=2 ,2-1 ,1=2-1 ,2- 1师:你能用语言描述一下吗？生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标师：你能在图中标出坐标为2-1 ,2-1的点P吗生：把AB平移到以原点O为起点，则终点即为所求的点P师:你能发现向量AB的坐标与向量OP的坐标之间的关系吗生:向量AB的坐标与向量OP的坐标是相等的师:这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,而点的坐标与有序实数对是一一对应的,所以向量的坐标与有序实数对也是一一对应的2已知ａ＝（２,１）,ｂ＝（－３,４）,求ａ＋ｂ,ａ－ｂ,３ａ＋４ｂ的坐标学生练习，教师指名回答3如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－２，１），（－１，３），（３，４），试求顶点D的坐标。
人教A版高中数学必修四导学案平面向量的坐标运算新
§2.3.3 平面向量的坐标运算【学习目标】1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。
【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴向量()122,0e e e ≠u r u u r u u r r是共线的两个向量，则12,e e u r u u r 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e u r u u r 是同一平面内两个不共线的向量，a r 为这个平面内任一向量，则向量a r可用12,e e u r u u r 表示为 。
（二）自主探究：（预习教材P96—P97） 探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r，能得出a b +r r ，a b -r r ，a λr 的坐标吗？1、已知：==v v1122(,),(,)a x y b x x ，λ为一实数+v v a b =__________________________ _。
-v va b =___________ 。
这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。
λva =_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。
问题2：如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，则怎样用坐标表示向量u u vAB 呢？2、若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则u u vAB =_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段 的________________________。
问题3：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？二、合作探究1、已知()2,8a b +=-r r ，()8,16a b -=-r r，求a r 和b r .2、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求： （1）顶点D 的坐标.（2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.3、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.三、交流展示1、已知向量,a b r r 的坐标，求a b +r r ，a b -r r的坐标. ⑴()()3,7,2,1a b ==-r r⑵()()3,4,4,3a b =--=r r⑶()()2,5,3,8a b =-=-r r⑷()()0,1,1,0a b =-=-r r2、已知A 、B 两点的坐标，求AB u u u r ，BA u u u r的坐标. ⑴()()1,3,2,5A B --⑵()()0,1,3,6A B -⑶()()4,7,2,1A B - ⑷()()0,0,4,5A B -3、已知(,),(,)M N ---3251，且=u u u vu u uv MP MN 12，求P 点的坐标。
人教A版数学必修四第二章2.3.3《平面向量的坐标运算》教学设计
2.3.3 平面向量的坐标运算教学设计一、教学目标1.知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．2.过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化.3.情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．二、学情分析高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题. 三、重点难点教学重点平面向量的坐标运算.教学难点理解向量坐标化的意义及坐标运算的运用五、教学过程(一)前置自学:1.向量的加法、减法：师:已知向量 、 , 如何求向量 、 ? 2.向量的数乘运算：师:已知向量 、 ,如何求向量３ ，２ ？如何求向量３ ＋２ ？ ３.向量的坐标表示:师:向量的坐标表示的定义是什么?学生回答,教师指正,并强调:在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底．对于平面内的任一向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ,使 =x +y .这样，平面内的任一向量都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对),(y x 叫做向量 的坐标． 记作： =),(y x(二)展示交流:师：已知 =),(11y x ， =),(22y x ，你能得出 ， ， a 的坐标吗？请同学们自己探究一下.(学生自主探究,得出结论,然后讨论交流)a rb r a b r r ab r r a r br a r b r a r b r i r j r a r a r ir j r a r a ra rb r a br r a b r r a r（三）合作探究生: =1(x i + 1y j )＋(j y i x 22 )， 由向量线性运算的结合律和分配律，可得1(x i + 1y j )＋(j y i x 22 )＝i x x )(21 ＋(j y y )(21 )即),(2121y y x x b a同理),(2121y y x x b a),(11y x a师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的积的运算法则吗？生：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(四).达标拓展：1.已知a ＝（２,１）,b ＝（－３,４）,求b a ,b a ,b a 43 的坐标.学生练习，教师指名回答.a b r r1.如图，已知A ),(11y x ，B ),(22y x ，求 的坐标.学生练习，教师指名回答.生: = =),(22y x -),(11y x =),(1212y y x x师:你能用语言描述一下吗？生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标.3.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是 （－２，１），（－１，３），（３，４），试求顶点D 的坐标。
高中数学必修4(人教A版)教案—2.3.3平面向量的坐标运算(教＼学案)
2. 3.3平面向量的坐标运算【教学目标】1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解． 【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。
向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。
因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。
二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa（λ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？a ＋b＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa＝λx 1i ＋λy 1j .思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa的坐标分别如何？ a ＋b＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a －b＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa＝(λx 1，λy 1).两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？结论：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
高一数学人教A版必修四教案：平面向量的坐标运算
2.3.3 平面向量的座標運算1.前面學習了平面向量的座標表示,實際是平面向量的代數表示.在引入了平面向量的座標表示後可使向量完全代數化,將數與形緊密結合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運算.2.本小節主要是運用向量線性運算的交換律、結合律、分配律,推導兩個向量的和的座標、差的座標以及數乘的座標運算.推導的關鍵是靈活運用向量線性運算的交換律、結合律和分配律.3.引進向量的座標表示後,向量的線性運算可以通過座標運算來實現,一個自然的想法是向量的某些關係,特別是向量的平行、垂直,是否也能通過座標來研究呢?前面已經找出兩個向量共線的條件(如果存在實數λ,使得a=λb,那麼a與b共線),本節則進一步地把向量共線的條件轉化為座標表示.這種轉化是比較容易的,只要將向量用座標表示出來,再運用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的座標表示.要注意的是,向量的共線與向量的平行是一致的.二、教學目標1、知識與技能：掌握平面向量的座標運算；2、過程與方法：通過對共線向量座標關係的探究，提高分析問題、解決問題的能力。
3情感態度與價值觀：學會用座標進行向量的相關運算，理解數學內容之間的內在聯繫。
三、教學重點與難點教學重點：平面向量的座標運算。
教學難點：向量的座標表示的理解及運算的準確.四、教學設想（一）導入新課思路1.向量具有代數特徵,與平面直角坐標系緊密相聯.那麼我們在學習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關係時,直線與直線的平行是一種重要的關係.關於x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現的兩條直線平行？向量的共線用代數運算如何體現？思路2.對於平面內的任意向量a,過定點O作向量OA=a,則點A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點O為原點建立平面直角坐標系,那麼點A的位置可通過其座標來反映,從而向量a也可以用座標來表示,這樣我就可以通過座標來研究向量問題了.事實上,向量的座標表示,實際是向量的代數表示.引入向量的座標表示可使向量運算完全代數化,將數與形緊密結合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運算.引進向量的座標表示後,向量的線性運算可以通過座標運算來實現,那麼向量的平行、垂直,是否也能通過座標來研究呢？（二）推進新課、新知探究、提出問題①我們研究了平面向量的座標表示,現在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的座標表示嗎?②如圖1,已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎樣表示AB 的座標？你能在圖中標出座標為(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 點嗎?標出點P 後,你能總結出什麼結論?活動:教師讓學生通過向量的座標表示來進行兩個向量的加、減運算,教師可以讓學生到黑板去板書步驟.可得:圖1a +b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j ,即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).又λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).教師和學生一起總結,把上述結論用文字敘述分別為: 兩個向量和(差)的座標分別等於這兩個向量相應座標的和(差);實數與向量的積的座標等於用這個實數乘原來向量的相應座標.教師再引導學生找出點與向量的關係:將向量AB 平移,使得點A 與座標原點O 重合,則平移後的B 點位置就是P 點.向量AB 的座標與以原點為始點,點P 為終點的向量座標是相同的,這樣就建立了向量的座標與點的座標之間的聯繫. 學生通過平移也可以發現:向量AB 的模與向量OP 的模是相等的.由此,我們可以得出平面內兩點間的距離公式:|AB |=|OP |=221221)()(y y x x -+-.教師對總結完全的同學進行表揚,並鼓勵學生,只要善於開動腦筋,勇於創新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收穫.討論結果:①能.②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).結論:一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點的座標減去始點的座標.提出問題①如何用座標表示兩個共線向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那麼2211x y x y =是向量a 、b 共線的什麼條件? 活動:教師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關係.此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我們知道,a 、b 共線,當且僅當存在實數λ,使a =λb .如果用座標表示,可寫為(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ後得x 1y 2-x 2y 1=0. 這就是說,當且僅當x 1y 2-x 2y 1=0時向量a 、b (b ≠0)共線.又我們知道x 1y 2-x 2y 1=0與x 1y 2=x 2y 1是等價的,但這與2211x y x y =是不等價的.因為當x 1=x 2=0時,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均無意義.因此2211x y x y =是向量a 、b 共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應用更具一般性,更簡捷、實用,讓學生仔細體會這點.討論結果:①x 1y 2-x 2y 1=0時,向量a 、b (b ≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題a 與非零向量b 為共線向量的充要條件是有且只有一個實數λ使得a =λb ,那麼這個充要條件如何用座標來表示呢？活動:教師引導推證:設a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 討論結果:a ∥b (b ≠0)的充要條件是x 1y 2-x 2y 1=0.教師應向學生特別提醒感悟:1°消去λ時不能兩式相除,∵y 1、y 2有可能為0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一個不為0. 2°充要條件不能寫成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能為0). 3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ（三）應用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的座標.活動:本例是向量代數運算的簡單應用,讓學生根據向量的線性運算進行向量的和、差及數乘的座標運算,再根據向量的線性運算律和向量的座標概念得出的結論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點座標,那麼終點的座標減去始點的座標就是此向量的座標,從而使得向量的座標與點的座標可以相互轉化.可由學生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評:本例是平面向量座標運算的常規題,目的是熟悉平面向量的座標運算公式.變式訓練1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),則向量21a 23-b 等於( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 答案:D2.(2007全國高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),則a 與b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A圖2 例2 如圖2,已知ABCD 的三個頂點A 、B 、C 的座標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的座標.活動:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的座標運算.這裏給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的座標相等”,解題過程中應用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD 的座標,進而得到點D 的座標.解題過程中,關鍵是充分利用圖形中各線段的位置關係(主要是平行關係),數形結合地思考,將頂點D 的座標表示為已知點的座標.解:方法一:如圖2,設頂點D 的座標為(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ∴⎩⎨⎧==.2,2y x ∴頂點D 的座標為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴頂點D 的座標為(2,2).點評:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的座標運算.變式訓練圖3如圖3,已知平面上三點的座標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D 的座標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解:當平行四邊形為ABCD 時,仿例二得:D 1=(2,2);當平行四邊形為ACDB 時,仿例二得:D 2=(4,6);當平行四邊形為DACB 時,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A 、B 、C 三點之間的位置關係.活動:教師引導學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然後根據兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線.教師引導學生進一步理解並熟練地運用向量共線的座標形式來判斷向量之間的關係.讓學生通過觀察圖象領悟先猜後證的思維方式.解:在平面直角坐標系中作出A 、B 、C 三點,觀察圖形,我們猜想A 、B 、C 三點共線.下麵給出證明. ∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直線AB 、直線AC 有公共點A,∴A 、B 、C 三點共線.點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法,其實質是從同一點出發的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的. 變式訓練已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求y.解:∵a ∥b ,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2例2 設點P 是線段P 1P 2上的一點,P 1、P 2的座標分別是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)當點P 是線段P 1P 2的中點時,求點P 的座標;(2)當點P 是線段P 1P 2的一個三等分點時,求點P 的座標.活動:教師充分讓學生思考,並提出這一結論可以推廣嗎?即當21PP P P =λ時,點P 的座標是什麼?師生共同討論,一起探究,可按照求中點座標的解題思路類比推廣,有學生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y),即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 這就是線段的定比分點公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學生的這種積極探索,這是學習數學的重要品質.時間允許的話,可以探索λ的取值符號對P 點位置的影響,也可鼓勵學生課後探索.圖4解:(1)如圖4,由向量的線性運算可知 OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以點P 的座標是(.2,22121y y x x ++) (2)如圖5,當點P 是線段P 1P 2的一個三等分點時,有兩種情況,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那麼圖5 OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即點P 的座標是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那麼點P 的座標是.32,322121y y x x ++ 點評:本例實際上給出了線段的中點座標公式和線段的三等分點座標公式.變式訓練在△ABC 中,已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC 、BC 的中點都在坐標軸上,求點C 的座標.解:(1)若AC 的中點在y 軸上,則BC 的中點在x 軸上,設點C 的座標為(x,y),由中點座標公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 點座標為(-3,-5).(2)若AC 的中點在x 軸上,則BC 的中點在y 軸上,則同理可得C 點座標為(2,-7).綜合(1)(2),知C 點座標為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點A(1,2),B(4,5),O 為座標原點,OP =OA +t AB .若點P 在第二象限,求實數t 的取值範圍.活動:教師引導學生利用向量的座標運算以及向量的相等,把已知條件轉化為含參數的方程(組)或不等式(組)再進行求解.教師以提問的方式來瞭解學生組織步驟的能力,或者讓學生到黑板上去板書解題過程,並對思路清晰過程正確的同學進行表揚,同時也要對組織步驟不完全的同學給與提示和鼓勵.教師要讓學生明白“化歸”思想的利用.不等式求變數取值範圍的基本觀點是,將已知條件轉化為關於變數的不等式(組),那麼變數的取值範圍就是這個不等式(組)的解集.解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若點P 在第二象限,則3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值範圍是(32-,31-). 點評:此題通過向量的座標運算,將點P 的座標用t 表示,由點P 在第二象限可得到一個關於t 的不等式組,這個不等式組的解集就是t 的取值範圍.變式訓練已知OA =(cosθ,sinθ),OB =(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值範圍.解:∵AB =OB -OA =(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB |2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2=2+2(sinθ-cosθ)2=2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB |的取值範圍是［2,6］.（四）課堂小結1.先由學生回顧本節都學習了哪些數學知識:平面向量的和、差、數乘的座標運算,兩個向量共線的座標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強調在今後的學習中,要善於培養自己不斷探索、善於發現、勇於創新的科學態度和求實開拓的精神,為將來的發展打下良好基礎.（五）作業。
[精品]新人教A版高中数学必修42.3.3平面向量的坐标运算教学案
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2. 3.3平面向量的坐标运算【教学目标】1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算． 教学难点: 对平面向量坐标运算的理解． 【教学过程】 一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。
向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。
因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。
二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a=(x 1,y 1) b =(x 2, y 2)则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa（λ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？a＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a－b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa的坐标分别如何？a＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2);a－b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa＝(λx 1，λy 1).两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？结论：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
高中数学必修四《平面向量的坐标运算》优秀教学设计
平面向量的坐标运算（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解并掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法。
（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观: （1）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（2）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面坐标运算的应用.教学方法：“探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体演示教学过程设计：一、复习回顾（1）平面坐标的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量.（2）平面向量的坐标表示a xi yj （x,y）（i , j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量）（3）起点在原点的向量的坐标表示已知A=（ x, y）,则OA （x,y）二、创设问题情境，引入课题.我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的，因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐标的话，我们该如何来表示呢？这就是这节课我们要学习的平面向量的坐标运算。
三、探究，推导法则.探究一：( 1)已知a (x1, y1),b (x2,y2),求a b,a b，a的坐标.分析：a b= (x1i y1 j) (x2i y2 j) 由向量线性运算的结合律和分配律，可得(x1i y1 j) (x2i y2 j) = (x1 x2)i (y1 y2 )j 即a b =( x1 x2,y1 y2) 因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。
两个向量差的坐标让学生自己讨论推导，再将推导所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出a b (x1 x2,y1 y2 ) 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差。
新课标高中数学人教A版必修四全册教案2..3平面向量基本定理及坐标表示(二)
2．3．3平面向量地坐标运算教学目地：<1）理解平面向量地坐标地概念；<2）掌握平面向量地坐标运算；<3）会根据向量地坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量地坐标运算教学难点：向量地坐标表示地理解及运算地准确性.教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内地两个不共线向量，那么对于这一平面内地任一向量，有且只有一对实数λλ2使=λ1+λ2(1>我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量地一组基底；(2>基底不惟一，关键是不共线；(3>由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２地条件下进行分解；(4>基底给定时，分解形式惟一. λλ2是被，，唯一确定地数量二、讲解新课：1．平面向量地坐标运算思考1：已知：，，你能得出、、地坐标吗？设基底为、，则即，同理可得<1）若，，则，两个向量和与差地坐标分别等于这两个向量相应坐标地和与差. <2）若和实数，则.实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标.设基底为、，则，即实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标. 思考2：已知，，怎样求地坐标？<3）若，，则=-=( x2，y2> - (x1，y1>= (x2- x1， y2- y1> 一个向量地坐标等于表示此向量地有向线段地终点坐标减去始点地坐标.思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1>地P点吗？向量地坐标与以原点为始点、点P为终点地向量地坐标是相同地.三、讲解范例：例1 已知=(2，1>，=(-3，4>，求+，-，3+4地坐标. 例 2 已知平面上三点地坐标分别为A(-2， 1>， B(-1， 3>，C(3， 4>，求点D地坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2>当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6>，当平行四边形为DACB 时，得D3=(-6， 0>例3已知三个力 (3， 4>，(2，-5>，(x， y>地合力++=，求地坐标.解：由题设++=得：(3， 4>+ (2，-5>+(x， y>=(0，0>即：∴∴(-5，1>四、课堂练习：1．若M(3， -2> N(-5， -1> 且，求P点地坐标2．若A(0， 1>， B(1， 2>， C(3， 4> ，则-2=. 3．已知：四点A(5， 1>， B(3， 4>， C(1， 3>， D(5， -3> ，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量地坐标运算；六、课后作业：《习案》作业二十申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
新人教A版必修4高中数学2.3.3平面向量的坐标运算导学案
1高中数学 2.3.3平面向量的坐标运算导学案新人教A 版必修4【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 。
（二）自主探究：（预习教材P96—P97） 探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？1、已知：==1122(,),(,)a x y b x x ，λ为一实数+a b =__________________________ _。
-a b =___________。
这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。
λa =_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。
问题2：如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，则怎样用坐标表示向2量AB 呢？2、若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________ 即一个向量的坐标等于此向量的有向线段 的________________________。
问题3：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？二、合作探究1、已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .2、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求：（1）顶点D 的坐标.（2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.3、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.3三、目标检测（A 组必做，B 组选做）A 组1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A .1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ） A.()2,1x y -+ B.()2,1x y +- C.()2 1x y ---， D.()2,1x y ++3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1-4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB 3BC -，求D 点的坐标。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.3平面向量的坐标运算》教案(3)
2.3.3 平面向量的坐标运算教学目标：（1）掌握平面向量的坐标运算（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算（3）培养学生的探究能力、分析问题和解决问题的能力教学重点：平面向量的坐标运算和共线的坐标表示教学难点：探究平面向量的坐标表示教学过程：一、复习引入：二、新课：1．平面向量的坐标运算思考：思考：如何用文字语言描述上述向量的坐标运算？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.例1 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.练习：思考：已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 练习： (1)A(3,5) , B(6,9) （2）A(-3,4) , B(6,3)（3）A(0,3) , B(0,5) (4)A(3,0) , B(8,0)例2、 已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求顶点D 的坐标.问题:如果向量b ,a 共线（其中 ≠0），那么 b ,a 满足什么关系？的坐标吗？，，），你能得出，（），，（已知a b a b a y x b y x a λ-+==2211),(2121y y x x b a ++=+),(2121y y x x b a --=-),(11y x λλλ=).,(),(),,(12122211y y x x y x B y x A --=⇒两点的坐标，求、已知B A .2).4,0(),0,3()4();3,2(),3,2()3();8,3(),3,4()2();2,5(),4,2()1(:23,,.1==--==-===-=--+a 已知向量思考:设 )y ,(x ),y ,(x 2211==，若向量 b ,a 共线（其中 ≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？例3.例4已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.变式：已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？练习：三.小结： 1.若),(11y x =，),(22y x =，则+),(2121y y x x ++=，-),(2121y y x x --=，),(y x λλλ=.2.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3.向量共线的等价条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔y x y x λ 四.作业 ;),,6(),2,4(,//)1(的值求且已知y y ==;),,2(),0,3(,//)2(的值求且已知y y ==.),1,2(),2,(,//)3(的值求且已知x x ==0)0(//1221=-⇔≠y x y x b b a .,//,2,2),1,(),1,2(.3的值求且已知向量x x -=+=-==。
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平面向量的坐标运算
【教学目标】
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
【教学重点】
平面向量的坐标运算
【教学难点】
向量的坐标表示的理解及运算的准确性
【课时安排】
1课时
【教具】
多媒体、实物投影仪
【教学过程】
一、复习引入：
1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
2．向量加法的交换律：a +b =b +a
3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b) 5．差向量的意义： OA = a ， OB = b ， 则BA = a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量
6．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a
|；
（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0
7．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa
+λb
8．向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e
（1）我们把不共线向量e 1.e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； （2）基底不惟一,关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量a 在给出基底e 1.e 2的条件下进行分解；
（4）基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量 10．平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j
作为基底任作
一个向量a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
j y i x a
+=
把),(y x 叫做向量a
的（直角）坐标，记作),(y x a =
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a
在y 轴上的坐标， 特别地，
)0,1(=i
，)1,0(=j ，)0,0(0=
11．平面向量的坐标运算
若),(11y x a =
，),(22y x b = ，
则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，
),(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：
a ∥
b (b
≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
设a
=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a
由a
=λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0，
∵b
≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成2
2
11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 （3）从而向量共线的充要条件有两种形式：
a ∥
b (b
≠0)0
1221=-=⇔
y x y x b a λ
三、讲解范例：
例1若向量a
=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x
解：∵a
=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x)=0
∴x=±2 ∵a 与b
方向相同 ∴x=2
例2 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？
解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD
又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) AB =(2， 4) 2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行
∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD 四、课堂练习：
1．若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a ∥b ，则y=（ ） A ．6
B ．5
C ．7
D ．8
2．若A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
3．若AB =i+2j ， DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量) AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）
A ．1，2
B ．2，2
C ．3，2
D ．2，4
4．已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a ∥b ，则y=_____
5．已知a=(1，2)，b=(x ，1)，若a+2b 与2a-b 平行，则x 的值为____
6．已知□ABCD 四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=____ 参考答案：1C 2B 3B 4 3 5 2
1
6 5
五、小结
向量平行的充要条件（坐标表示） 六、课后作业：
1．若a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),且a∥b,则坐标满足的条件为( ) A.x 1x 2-y 1y 2=0
B.x 1y 1-x 2y 2=0
C.x 1y 2+x 2y 1=0
D. x 1y 2- x 2y 1=0
2．设a=(
23，sin α)，b=(ｃｏｓα，3
1
)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°
3．设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1，-1)一定不平行的向量是（ ）
A.(k,k)
B.(-k,-k)
C.(k 2+1,k 2+1)
D.(k 2-1,k 2-1) 4．若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x ，5)三点共线，则x= ______
5．已知a=(3，2)，b=(2，-1)，若λa+b 与a+λb (λ∈R)平行，则λ＝6若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x=_____
7．已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k 为何值时ka+b 与a-3b 平行？
8．已知A ．B ．C ．D 四点坐标分别为A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形
9．已知A ．B ．C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =BC BF AC 3
1
,31 ，求
证：EF ∥AB
参考答案：1．D 2．C 3．C 4．2 5．±1 6．2 7．- 3
1
8．(略) 9．(略)。