高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题三001
2023-2024学年北京高三三模数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
2023-2024学年山东省淄博市高三数学押题模拟试题(三模)含答案
2023-2024学年山东省淄博市高三数学押题模拟试题（三模）一、单选题1．设集合{}2100xA x =∈>Z ，{}lg 1B x x =∈<Z ，则A B = （）A ．{}5,6,7B ．{}6,7,8C ．{}7,8,9D ．{}8,9,10【正确答案】C【分析】求得指数不等式和对数不等式从而解得集合,A B ，再求A B ⋂即可.【详解】2x y =为R 上的单调增函数，又67264100,2128100==，故集合A 的元素为大于等于7的整数；lg 1x <，即lg lg10x <，解得010x <<，又x ∈Z ，故集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9B =；则{}7,8,9A B ⋂=.故选：C.2．已知复数z 是一元二次方程2220x x +=-的一个根，则z 的值为A ．1B C ．0D ．2【正确答案】B【分析】根据题意求得方程的两个复数根，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，方程2220x x +=-，可得20∆=-<，所以方程的两个复数根分别为1i z =+或1i z =-，所以z =.故选：B.3．甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A ．36B ．72C ．144D ．288【正确答案】B【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数.同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：第一步，从甲校选出2人，有23C 3=种选择方式；第二步，2人站在两边的站法种数有22A 2=；第三步，从乙校选出1人，有13C 3=种选择方式；第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有22A 2=.根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有323236⨯⨯⨯=.同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36.根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有363672+=.故选：B.4．在ABC 中，9030C B ∠=︒∠=︒，，BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若AD AB ACλμ=+ (,)λμ∈R ，则λμ=（）A ．13B ．12C ．2D ．3【正确答案】B【分析】设1AC =，由角平分线定理求得BDCD，然后由向量的线性运算可用,AB AC 表示出AD ，从而求得,λμ，得出结论．【详解】设1AC =，因为9030C B ∠=︒∠=︒，，所以2AB =，又AD 是BAC ∠的平分线，所以12CD AC BD AB ==，13CD BC =，1112()3333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+ ，又AD AB AC λμ=+ ，所以12,33λμ==，所以12λμ=．故选：B ．5．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为（）A ．12B ．22C ．1D 2【正确答案】B【分析】设圆的直径为d ，则222x y d +=，将矩形截面抵抗矩216W xy =表示成关于x 的的函数，利用导数求此函数的单调性、最值，从而得出结果.【详解】设圆的直径为d ，则222x y d +=，222y d x ∴=-，()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，令()221330,63W x d x d ='=-+=，由0W '>时，解得303x <<；由0W '<时，解得33x d >；所以W 在33d ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在3,3d d ⎫⎪⎪⎝⎭单调递减，所以33x d =时W 取最大值.此时22163y d d d -，所以32363x y d ==.故选：B.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，F 为其左焦点，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于点A ，B ，且AF AB ⊥．若30ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A 73B 63C 76D 66【正确答案】A【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，设AF m =，根据余弦定理得到222849a c =，计算得到离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，故四边形2AFBF 为平行四边形，设AF m =，30ABF ∠=︒，则2FB m =，2BF AF m ==，222BF BF m m a +=+=，23m a =，2BFF △中，()222424222cos1203333c a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到222849a c =，即7c =，故7c e a ==故选：A7．如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第n 个正方形的面积为n a ，则[]202321cos(π)log n n n a =⋅=∑（）A ．1011B ．1011-C ．1012D ．1012-【正确答案】B【分析】根据图形规律可知{}n a 是以公比为2，首项为1的等比数列，进而根据1cos π1,n n n ⎧=⎨-⎩，为偶数为奇数，并项求和即可.【详解】第一个正方形的边长为11b =，面积为2111a b ==，第二个正方形的边长为212222b b b ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，面积为()22222111222a b b b a ====，第三个正方形的边长为3222222b b ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=，面积为)22233222222a b b ba ====，……,进而可知：{}n a 是以公比为2，首项为1的等比数列，所以11222log lo 2,g 1n n n n a a n --=∴==-，由于1cos π1,n n n ⎧=⎨-⎩，为偶数为奇数,所以()()()20232023211cos πlogcos π101234520212022n n n n a n n ==⎡⎤⎡⎤⋅=⋅-=+-+-+++-⎣⎦⎣⎦∑∑ ()()()202310123420212022110112-=+-+-++-=-⨯=- ，故选：B8．设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且60AOB ∠=︒，球体O 表面上动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹长度为（）A B ．π5C ．π7D 【正确答案】D【分析】建立直角坐标系，根据2PA PB =确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距CO =，对应圆的半径为1r ==，再计算周长得到答案.【详解】以AOB 所在的平面建立直角坐标系，AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，3AB =，则3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),P x y ，2PA PB =，则2222334422x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故P 轨迹是以5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径2r =的圆，转化到空间中：当P 绕AB 为轴旋转一周时，,PA PB 不变，依然满足2PA PB =，故空间中P 的轨迹为以C 为球心，半径为2r =的球，同时P 在球O 上，故P 在两球的交线上，为圆.球心距为CO ==OCP △为直角三角形，对应圆的半径为1r =周长为12π2πr ==.故选：D二、多选题9．某种子站培育出A 、B 两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（）A ．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B 类种子更适合种植B ．若种下12粒A 类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大C ．从样本A 、B 两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145D ．若种下10粒B 类种子，5至8天发芽的种子数记为X ，则() 1.6D X =【正确答案】CD【分析】根据图形和概率的概念可判断A 选项；由题意可知发芽数X 服从二项分布，)12(,0.8X B ，再由()(1)P X k P X k =>=+，且()(1)P X k P X k =>=-，可求k 的最大值；由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;由题意可知X 服从二项分布，)10(,0.2X B ,可判断D 选项.【详解】从5天内的发芽率来看，A 类种子为0080，B 类种子为0075，故A 选项错；若种下12粒A 类种子，由题意可知发芽数X 服从二项分布，)12(,0.8X B ，12121212()C 0.8(10.8)C 0.80.2k k k k k k P X k --==-=，则()()1P X k P X k =≥=+，且()()1P X k P X k =≥=-，可得1211111212C 0.80.2C 0.80.2k k k k k k -++-≥，且1211131212C 0.80.2C 0.80.2k k k k k k ----≥，所以475255k ≤≤，即10k =，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B 选项错；记事件A:样本A 种子中随机取一粒8天内发芽；事件B:样本B 种子中随机取一粒8天内发芽；根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：1()1()()10.90.9510.8550.145P AB P A P B -=-=-⨯=-=，故C 选项正确；由题意可知X 服从二项分布，)10(,0.2X B ，所以()100.2(10.2) 1.6D X =⨯⨯-=，故D 选项正确；故选：CD10．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A ＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B ＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（）A ．事件A 与事件B 相互独立B ．()914P B =C ．()15P A B =D ．()1314P AB =【正确答案】CD【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A 与事件B 不是相互独立关系，故A 错误；从甲袋中任取1球是红球的概率为：()37P A =，从甲袋中任取1球是白球的概率为：47，所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：()1212324312127474C C C C 125+C C C C 14714P B ==+=，故B 错误；()12321274C C 1C C 14P AB ==，所以()()()11411455P AB P A B P B ==⨯=，故C 正确；()()113111414P AB P AB =-=-=，故D 正确.故选：CD11．已知抛物线24x y =的焦点为点F ，准线与对称轴的交点为K ，斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()00,M x y ，则下列结论正确的是（）A ．若6AB =，则点M 到x 轴的最小距离是3B ．当直线l 过点()0,2P -时，0x >C ．当OA OB ⊥时，直线FM 的斜率最小值是2D ．当直线l 过点K ，且AF 平分∠BFK 时，4BF =【正确答案】ABD【分析】根据抛物线定义判断A ，由判别式求出k 的范围结合中点坐标公式判断B ，利用均值不等式判断C ，根据角平分线定理及抛物线定义判断D.【详解】对A ，如图，作,,AC m MN m BD m ⊥⊥⊥，连接,AF BF ，其中m 为准线，由抛物线定义知，2||||||||6MN AC BD AF BF AB =+=+≥=，所以||3MN ≥，当且仅当F 在AB 上时，等号成立，故A 正确；对B ，直线l 过点()0,2P -时，直线方程为2y kx =-，联立24x y =可得2480x kx -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则216320k ∆=->，解得0)k k >>，所以01224x x x k =+=>0x >B 正确；对C ，设:l y kx b =+，联立24x y =可得2440x kx b --=，当0∆>时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则01224x x x k =+=，即02(0)x k k =>，124x x b =-，所以221212164416x x b y y b =⋅==，OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以240b b -+=，解得4b =或0b =（舍去），此时216640k ∆=+>，满足题意，所以2000141233222FMy kx k k k x k k k -+-+===+≥当且仅当32k k =，即2k =时等号成立，故C 错误；对D ，如图，作,AC m BD m ⊥⊥，由题意知，(0,1)K -，连接,AF BF ，其中m 为准线，则:1l y kx =-，联立抛物线联立24x y =可得2440x kx -+=，当0∆>时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x =，由抛物线定义知，22||1BF y kx =+=，因为AF 平分∠BFK ，所以||||||||BF AB FK AK =，由AC BD ∥可知211||||=||||x x AB CD AK CK x -=，所以22211122y kx x x x +-==，即12212()kx x x x =-，所以212k x x =-，又124x x k +=，解得23x k =，1x k =，所以||32||BF k kFK k-==，即||224BF =⨯=，故D 正确.故选：ABD12．如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为ABCD 内接于下底面，CD 是直径，AB //CD ，6AB =，点,,,A B C D 在上底面的射影分别为1A ，1B ，1C ，1D ，点,M N 分别是线段1CC ，1AA 上的动点，点Q 为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）A ．若面DMN 交线段1BB 于点R ，则NR //DM B ．若面DMN 过点1B ，则直线MN 过定点C ．ABQ 的周长为定值D ．当点Q 在上底面圆周上运动时，记直线QA ，QB 与下底面圆所成角分别为α，β，则2222cos cos 39,sin sin 22αβαβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【正确答案】ABD【分析】对A ：先证DM //面11ABB A ，再利用线面平行的性质，即可判断；对B ：根据1,DB MN 共面，且MN ⊂面11ACC A ，即可判断；对C ：取点Q 与点1B 重合，以及点Q 与11A B 中点重合两个位置，分别计算三角形周长，即可判断；对D ：根据题意，找到线面角，得到2222222cos cos sin sin AE BE QE αβαβ++=，结合余弦定理、基本不等式求2211B Q A Q +的范围，即可判断结果.【详解】对A ：由题可得DC //,AB AB ⊂面11ABB A ，DC ⊄面11ABB A ，故DC //面11ABB A ；又1CC //11,BB BB ⊂面11ABB A ，1CC ⊄面11ABB A ，故1CC //面11ABB A ；11,,DC CC C DC CC ⋂=⊂面11DCC D ，故面11DCC D //面11ABB A ；又DM ⊂面11DCC D ，故DM //面11ABB A ；又DM ⊂面DMN ，面DMN ⋂面11ABB A NR =，故可得DM //NR ，A 正确；对B ：根据题意，1,DB MN 共面，又,M N 分别为11,CC AA 上的动点，故直线MN ⊂面11ACC A ；不妨设直线1DB 与平面11ACC A 的交点为P ，若要满足1DB 与MN 共面，则直线MN 必过点P ，又P 为定点，故B 正确；对C ：设ABQ 的周长为l ，当点Q 与1B 重合时，1164l AB BB AB =++=+1010==+；当点Q 与11A B 中点重合时，连接,BQ AQ ：此时26l AB BQ AQ AB BQ =++=+=+616=+=；显然ABQ 周长不为定值，C 错误；对D ：过Q 作底面圆垂线，垂足为E 且在下底面圆周上，即QE ⊥面ABCD ，连接,BE AE ，则QBE ∠、QAE ∠分别是直线QA ，QB 与下底面圆所成角，所以sin ,cos QE AE AQ AQ αα==，sin ,cos QE BEBQ BQββ==，则cos sin AE QE αα=，cos sin BE QE ββ=，所以2222222cos cos sin sin AE BE QE αβαβ++=，而4QE =，6AB =，底面圆半径为若E 在AB 对应优弧上时π3AEB ∠=，则2221cos 22AE BE AB AEB AE BE +-∠==⋅，所以2222362AE BE AE BE AE BE ++-⋅=≥，仅当6AE BE ==时等号成立，此时2272AE BE +≤，若E 在AB 对应劣弧上时2π3AEB ∠=，则2221cos 22AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅，所以22223()362AE BE AE BE AE BE +++⋅=≤，仅当AE BE ==时等号成立，此时2224AE BE +≥，综上，222472AE BE ≤+≤，故2222cos cos 39[,]sin sin 22αβαβ+∈，D 正确.故选：ABD.关键点点睛：面面平行的性质、直线与平面的位置关系、动点问题以及线面角的求解；其中关于D 选项中对范围的求解，将空间问题转化为平米问题进行处理，也可以直接建立空间直角坐标系进行处理；同时关于C 选项中的定值问题，选取特殊位置验证，不失为一种较好的做题技巧。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
高三数学4月综合能力测试三模试题 文含解析 试题
广西2021届高三数学4月综合才能测试〔三模〕试题文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合，，假设，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集为空集得到结果.【详解】集合，，假设，那么a>2.故答案为：D.【点睛】这个题目考察了集合的交集的结果求参的问题，比拟根底。
2.等差数列中，，，那么〔〕A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的概念得到公差，再由等差数列的通项公式得到结果.【详解】等差数列中，，，根据等差数列的通项公式得到故答案为：C.【点睛】这个题目考察了等差数列的概念以及通项公式的应用属于根底题.3.函数，假设，那么实数〔〕A. B. C. 或者 D. 或者【答案】D【解析】【分析】当a＜0时，f〔a〕=﹣，当a＞0时，f〔a〕=log2a=2，由此能求出实数a的值．【详解】当时，由得，解得，符合题意；当时，由得，解得，符合题意．综上可得或者，应选：D．【点睛】当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．4.内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，那么此点取自中间小正方形〔阴影局部〕的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题干可设小方格的边长为1，进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何概型的面积公式得到结果.【详解】根据条件可设小方格的边长为1，那么三角形的边长为3和4，由勾股定理得到正方形的边长为5，最中间的小正方形的边长为1，面积为1，故根据几何概型中的面积型的公式得到概率为故答案为：B.【点睛】此题考察了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度〞可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要表达在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，那么是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域〔事实也是角〕任一位置是等可能的．5.以下函数中不是偶函数的是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合函数的定义域以及函数的奇偶性的定义得到结果.【详解】对于A函数的定义域为不是关于原点对称的，故非奇非偶；对于B,定义域为R，是偶函数；对于C,且定义域为关于原点对称，故是偶函数；对于D，是偶函数，定义域关于原点对称，满足故是偶函数.故答案为：A.【点睛】这个题目考察了函数的奇偶性的应用，判断函数奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看是否满足.6.“〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两个不等式的包含关系，得到结果.【详解】“〞包含于“〞这一范围，反之“〞那么不一定有“〞，根据小范围推大范围得到“〞是“〞的必要而不充分条件.故答案为：B.【点睛】判断充要条件的方法是：①假设p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的充分不必要条件；②假设p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q的必要不充分条件；③假设p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q的充要条件；④假设p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分〞的原那么，判断命题p与命题q的关系．7.平面向量的模都为，，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法那么得到，，再由向量的投影的几何意义得到结果.【详解】取BC的中点为N点，根据向量加法的平行四边形法那么得到，，平面向量的模都为,是直角三角形的中线那么长度为，由向量投影的几何意义得到故答案为：A.【点睛】这个题目考察了向量的加法法那么以及投影的几何意义；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法那么，平行四边形法那么等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择大小和方向的向量为基底.8.一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.假设该物质余下质量不超过原有的，那么至少需要的年数是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到年后质量是原来的，该物质余下质量不超过原有的，得到只需要.【详解】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只需要故结果为4.故答案为：B.【点睛】此题主要考察函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等根底知识，考察数学建模才能，属于根底题．9.在举行一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别比照赛结果的前三名进展预测：李明预测：甲队第一，乙队第三张华预测：甲队第三，丙队第一王强预测：丙队第二、乙队第三其中只有一个人的预测是正确的，那么得到的前三名按顺序为：A. 丙、甲、乙B. 甲、丙、乙C. 丙、乙、甲D. 乙、甲、丙【答案】C【解析】【分析】根据题意写出三个人预测的成绩，由题意得到正确的选项是张华预测的是正确的.【详解】李明预测：甲队第一，乙队第三那么前三名的顺序为：甲，丙，乙，王强预测：丙队第二、乙队第三那么前三名的顺序为：甲，丙，乙，张华预测：甲队第三，丙队第一那么前三名的顺序为：丙，乙，甲，根据题意得到张华预测的是准确的，故正确顺序为丙，乙，甲.故答案为：C.【点睛】这个题目考察的是逻辑推理，属于简单题目.这类题目关键是抓住题干提供的信息，通过其中两个推理，得到错误的一个推理，进而得到正确结果.10.在中，角的对边分别是，假设，那么的面积等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形三个角的关系得到结合正弦定理得到边再由面积公式得到结果.【详解】根据题干条件可得到，又因为，进而得到，，由正弦定理得到根据面积公式得到故答案为：A.【点睛】此题主要考察正弦定理以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.11.在直三棱柱中，，，点为棱的中点，那么点到平面的间隔等于〔〕A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥等体积法得到：三棱锥由几何图形的特点分别求出相应的底面积和高，代入上式得到间隔 .【详解】连接，设点到平面的间隔为,根据三棱锥等体积法得到：三棱锥在由，得到，三角形面积为，点到的间隔即棱锥的高为；三角形，，那么三角形的高为,面积为，根据等体积公式代入得到，故答案为：C.【点睛】此题涉及到点面间隔的求法，点面距可以通过寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面间隔不好求时，还可以等体积转化.12.直线与函数的图像交于三点，其横坐标分别是，，.假设恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得到分段函数的图像，找到三个交点的横坐标，原题等价于,即【详解】当时，对函数求导得到原函数在，又因为，可大概画出分段函数的图像：根据有3个交点这一条件得到.根据图像得到函数的三个交点，横坐标一个等于0，一个小于0，一个大于0，令〔舍去正值〕故，是两直线的交点，,即解得.故答案为：D.【点睛】此题考察函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用别离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分，把答案填在答题卡相对应位置上.13.为虚数单位，复数，，那么_______．【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】复数，，,故答案为：.【点睛】这个题目考察了复数的乘法运算，属于根底题.14.函数的值域是________．【答案】【解析】【分析】将三角函数化一，再由三角函数图像的性质得到结果。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案
绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则z =A ．1-B ．1C ．i-D ．i解析：∵i i 1i z +=+，∴i 1z =，即i z =-，故选C.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，cos α=，(,2)P m 为其终边上一点，则m =A ．4-B ．4C ．1-D ．1解析：∵cos α=，∴2tan 2m α==，∴1m =，故选D .解析：结合该函数为偶函数，及()03f =可判断应选A.4．在菱形ABCD 中，若||||AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ，则λ=A ．12-B ．12C ．22-D ．22解析：由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==，∴由D 向AB 作垂线，垂足即为AB 中点，∴12λ=，故选B .5．已知5log 2a =，2log b a =，1(2bc =，则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析：∵55log 2log 51a =<=，∴2log 0b a =<，1(12b c =>，∴c a b >>，故选B.6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为1BD 上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD DD D = ，∴AC ⊥平面1BDD ，易知当OP ⊂平面1BDD ，且1OP BD ⊥时，OP 的长度最小，在1RT BDD △中,不难求得66OP =，故选C.7．若直线y ax b =+与曲线e xy =相切，则a b +的取值范围为A ．(,e]-∞B ．[2,e]C ．[e,)+∞D ．[2,)+∞解析：设切点为00(,e )x x ，则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+，则00(1)e x b x =-，∴00(2)e x a b x +=-，设00()(2)e x f x x =-，则00()(1)e x f x x '=-，易知函数()(1)e f x f ≤=，又(2)02f =<，故可判断选A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时，11e e a b a b +=⨯+==最大，亦可知选A.）8．已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增，且对任意的实数a ，()f x 在(,π)a a +上不单调，则ω的取值范围为A ．5(1,]2B ．5(1,]4C ．15(,22D ．15(,]24解析：∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增，∴πππ2332ω⋅-≤，∴54ω≤，∵对任意的实数a ，()f x 在区间(,π)a a +上不单调，∴()f x 的周期2πT <，∴2π2π2T ω=<，∴12ω>，∴1524ω<≤，故选D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDACDBC9．双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，且C 的两条渐近线的夹角为θ，若12||2F F e =（e 为C 的离心率），则解析：易知该双曲线实半轴为a ，半焦距为2a ，∴离心率22ae a==，∴焦距44a =，即1a =，∴选项A 正确，选项C 错误；易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=，∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3，∴C 的两条渐近线的夹角为π3，∴选项B ，D 正确；综上所述，应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞，且(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则A ．(0)1f =-B ．2(4)[(1)]0f f +=C ．()()1f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-解析：令0x y ==，则()()2000f f+=，∵函数()f x 的值域为(,0)-∞，∴(0)1f =-，选项A 正确；令1x =，0y =，则2(2)[(1)]f f =-，令2x =，0y =，则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-，∴选项B 错误；令0x =，则(0)()()0f f y f y +-=，∴()()(0)1f y f y f -=-=，即()()1f x f x -=，∴选项C 正确；∵()0f x ->，()0f x -->，∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,．记A 表示事件“120X X +=”，B 表示事件“21X =”，C 表示事件“1231X X X ++=-”，则A ．B 和C 互为对立事件B ．事件A 和C 不互斥C ．事件A 和B 相互独立D ．事件B 和C 相互独立解析：考查选项A ，事件B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项A 错误；考查选项B ，事件A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项B 正确；考查选项C ，易知12211()(22P A C ==，1()2P B =，事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB =，∴1()()()4P AB P A P B ==，故选项C 正确；考查选项D ，由选项AC 可知311()(28P BC ==，1()2P B =，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()(28P C C ==，∴()()()P BC P B P C ≠，故选项D 错误；综上所述，应选BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.160；13.2；14.22mm +；1或2．12.62()x x+的展开式中常数项为．解析：易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-，∴当3r =时，得到常数项为160，故应填160．13．某圆锥的体积为π3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为．解析：设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，根据侧面展开图为半圆得2ππr l =，即2l r =，又根据圆锥体积得1ππ33r =，解得1r =，2l =，故应填2．14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >．则2a =（结果用m 表示）；若数列1{}nT 为等差数列，则m =．解析：易知112m T a ==，∴12221)(2m a a a a m =+=+，解得222a m m =+，故应填22m m +；（方法一）211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥，若数列1{}n T 为等差数列，则2111n n m ma a ----为常数d ，①若0d =，则11n a -=(2)n ≥恒成立，即1n a =(1)n ≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则1211n n dm dm a a --=--，∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．（方法二）∵1{}n T 为等差数列，∴111n n d T T -=+(2)n ≥，易知112T m =，且12(1)n n d T m=+-，当2n ≥时，∵n n T a m +=，∴1n n n T T m T -+=，∴111n n m T T -=+，∴由12(1)n n d T m =+-，可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-，∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立，∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin a C c B =，2π3C =.（1）求B 的大小；（2）若ABC △的面积为4，求BC 边上中线的长.解：（1）∵sin sin a C c B =，∴由正弦定理，得sin sin sin sin A C C B =，…………2分∵0πC <<，∴sin 0C >，∴sin sin A B =，………………………………………3分∵0πA <<，0πB <<，∴A B =，……………………………………………………5分∵πA B C ++=，且2π3C =，∴π6B =.……………………………………………6分（2）依题意1sin 42ab C =，………………………………………………………………7分∵A B =，∴a b =，………………………………………………………………8分212πsin 23a ==，解得a =，…………………………………………10分设边BC 的中点为D ，∴32CD AC ==∴在ACD △中，由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=，………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AB AC BC AA ====，1A B =.（1）设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．（第16题图）解：（1）∵D 为AC 中点，且2AB AC BC ===，∴在ABC △中，有BD AC ⊥，且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥，……………………………………………………3分∵1A B =，BD =1A D ，……………………………………………………4分∵1AD =，12AA =，1A D =，∴由勾股定理，有1AC A D ⊥，……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥，1A D BD D = ，∴AC ⊥平面1A DB ，…………………………………………………………………………7分（2）如图所示，以D 为原点，DA ，DB ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，可得(1,0,0)A，1A，B ，………………………………………………9分∴1(AA =-，(AB =-，…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =，1z =，∴=n ，…………………………………………12分由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |，∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5．………………………………………15分17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中；若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n +()n *∈N 次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ．”为n A ，记()n n P P A =.（i ）在第1次取到Q 的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii ）试探究1n P +与n P 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X 的取值可能为0，1，2，……………………………………………1分当0X =时，即第一次取出K ，第二次也取出K ，∴211(0)22318P X ==⨯=++，…………………………………………………………2分当1X =时，即第一次取出Q ，第二次取出K ，或第一次取出K ，第二次取出Q ，∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++，……………………………3分当2X =时，即第一次取出Q ，第二次也取出Q ，∴221(2)22224P X ==⨯=++，…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………6分（2）（i ）记事件“第1次取到Q ”为B ，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ，则1()2P B =，………………………………………………………………………………7分依题意，若第1次取出Q ，则剩余的3次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，①若第2次亦取出Q ，则第3次和第4次均须取出K ，X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=；………………………………………………………8分①若第2次取出K ，则第3次须取出Q ，第4次须取出K ，其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=；………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===，即在第1次取到Q 的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532．…………………………………………………………………………10分（ii ）（方法一）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，①当第1次取出Q ，则剩余的1n +次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，概率为212+22n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ，则从第2次起，直到第1n +次均须取出Q ，且第2n +次取出K ，概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯；………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=．…………………………………………………………………15分（方法二）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，则一定有第2n +次（最后一次）取出K ，①当第1n +次（倒数第二次）取出Q ，则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ，概率为333+14n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1n +次（倒数第二次）取出K ，则从第1次起，直到第n 次均须取出Q ，概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=；…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=．……………………………………………………………………15分18．（17分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且当l 的斜率为1时，|8MN =|．（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点）．记线段MN 的中点为R ，若||3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．解：(1)不妨设l 的方程为2px my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立l 与C 的方程，得2220y mpy p --=，…………………………………………1分∴122y y mp +=，212y y p =-，…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+，…………………………………3分∴由题可知当1m =时，||8MN =，∴2p =，…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =．……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得2(21,2)R m m +，……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-，又l 与C 的准线交于点P ，∴2(1,)P m--，……………7分则直线OP 的方程为2mx y =，………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程，得22y my =，∴2(,2)Q m m ，……………………………………9分∴Q ，R 的纵坐标相等，∴直线QR x ∥轴，……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+，…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+，…………14分∵点Q （异于原点），∴0m ≠，…………………………………………………………15分∵||3QR ≤，∴13||QR <≤，∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△．…………………………………………17分19．（17分）若实数集A ，B 对a A ∀∈，b B ∀∈，均有(1)1b a ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系.（1）判断集合{|1}M x x =>，{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；（3）当*n ∈N时，证明：1158n k k n -=<+∑．解：（1）依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立：①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+，…………………………………2分∵1x ∀>，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系．………………………………………………………4分（2）（方法一）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，…………………………………………………………………5分①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………6分②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≥=，∴(1)(1)0b x bx +-+≥，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………………………………………………8分③当01b <<时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，∴()f x 的最大值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≤=，∴(1)(1)0b x bx +-+≤，即(1)1b x bx +≤+，∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，…………………………10分综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞．……………………………………………………11分（方法二）当1b =，或01b <<时，与方法一相同；…………………………………8分当1b >时，若10ab +≤，∵(1)01b a ab +>≥+，∴(1)1b a ab +≥+，若10ab +>，则1ab >-，又1b >，∴101b <<，∴由方法一的结论，可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+，即1(1)1b ab a +≤+，…………………………………………………………………………9分∵10ab +>，且(1,)a ∈-+∞，∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+，即1(1)b ab a +≤+，即(1)1b a ab +≥+；………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞．…………………………………………………11分（3）∵1112222211((1)k k k k k k-+==+，…………………………………………12分显然211k >-，且1012k<<，由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1b x xb +≤+，可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+，………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+，∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，………………………………………15分当1n =时，1158n k k n -=<+∑显然成立；…………………………………………16分当2n ≥时，11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑，综上所述，当*n ∈N时，1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷(解析版)
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.故选：C2. 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为，故复数的共轭复数为.故选：B.3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）12142a 2c 242a c =⨯14c a =()i 67i -76i +76i -67i +67i--()i 67i -()2i 67i 6i 7i 76i -=-=+()i 67i -76i -()cos5f x x =15A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为.故选：A ．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B 【解析】【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A 错；当时，由平行性质可知，必有，故B 对；如图，当时，或，故C 错；当时，可相交、平行，故D 错.故选：B..()cos 51y x =+1cos 55y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()cos 51y x =-1cos 55y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos5(cos(51)5y x x =+=+,l m ,αβ;l m αβ⊂⊂l m αβα βl βl m ⊥l β⊥αβ⊥l m//l m αβ//αβ//l βl m ⊥//l βl ⊆βαβ⊥,l m5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.【详解】对于A ，，其定义域为，不符合题意；对于B ，，在上为减函数，不符合题意；对于C ，，在上单调递减，不符合题意；对于D ，，在上单调递增，符合题意；故选：D .6. 已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，则圆柱的高为，由，可得，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选：B7. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（）A. B. C. D. ()0,2()f x =()22f x x x=-()1f x x=()14f x x=()f x =[1,)+∞()22f x x x =-(01),()1f x x=()0,2()14f x x ==()0,2MM 'O 32MM 'O 3252MM 'r O R MM 'r O R MM '2r 2333π2334π223r r r R R ⋅==1r R=MM 'O 222222π4π334π22r r r R R +==0x =()()2f x x x a =-a (),0∞-3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A .8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，0x =32()f x x ax =-2()32f x x ax '=-23()3a x x =-()0f x '=0x =23a x =0x =203a≠203a<203a x <<()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 0x =203a >203a x <<()0f x '<()f x 0x <()0f x '>()f x 0x =203a<a<0x y ()()1122,,,,x y x y ()()()55,,6,28,0,28x y 7ˆ101667yx =+()6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =,x y ,x y ,x y ,x y ''51140ii y==∑140285y ¢==2844y m mx '--'==又这两对数据为，所以，所以，所以故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合和关系的Venn 图如图所示，则可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据Venn 图可知 ，依次判定选项即可.【详解】根据Venn 图可知 ，对于A ，显然 ，故A 正确；对于B ，，则，故B 错误；对于C ，，则 ，故C 正确；对于D ，，或，则 ，故D 正确.()()6,28,0,28()114056287y =⨯+=()17166310x y =⨯-=760281654x mx m ---'==⇒=M N ,M N {}{}0,2,4,6,4M N =={}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣{}{}lg ,e 5xM xy x N y y ====+∣∣(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣N M N M N M {}11,{1}M xx N x x =-<<=>-∣∣M N ⊆{}{}0,5M xx N y y =>=>∣∣N M (){,M x y y x ==∣}y x =-(){},,N x y y x ==∣N M故选：ACD10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A 错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B 正确；，当且仅当时等号成立，，C 正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D 错．故选：BC ．ABC ,,A B C ,,,a b c O ABC 1cos ,25A AO ==1144AO AB AC=+ 3AB AC ⋅≤ABC a 1133AO AB AC =+AB AC ⋅u u u r u u u rAB AC O ABC AO BC D D BC 22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+1133AO AB AC =+ 3AB AC AO +=22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==5AB AC AB AC=⋅ 225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ 3AB AC ⋅≤ AB AC = 15cos AB AC AB AC A ⋅⋅=≤ AB AC = sin A ==11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= 22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= a ≥AB AC =a11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的周期为2D. 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据函数图象的变换性质判断即可；对B ，由题意计算即可判断；对C ，由A 可得，由B 可得，进而可判断C ；对D ，由结合与的对称性可得，进而，结合C 中的周期为4求得，进而可得.【详解】对A ，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A 正确；对B ，，，又，故.即，故图象关于直线对称，故B 正确；对C ，由A ，，且，的R ()f x ()()224f x f x x +--=()23f x -()2,1()00f =()f x ()1,1()()2g x f x x =-2x =()()2g x f x x =-()()()12502499f f f +++= ()()220g x g x +--=()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()224f x f x x +--=()00f =()f x ()()()()0,1,2,3f f f f ()()()()0,1,2,3g g g g ()g x ()()()1250g g g +++ ()()()1250f f f +++L ()23f x -()2,1()3f x -()4,1()f x ()1,1()()()()2222224g x f x x f x x -=---=-+-()()()()2222242g x f x x f x x +=+-+=+--()()224f x f x x +--=()()()()222240g x g x f x f x x +--=+---=()()22g x g x +=-()()2g x f x x =-2x =()()22f x f x +=--()()22f x f x -=-又因为，故，即，故，即.由B ，，故，故的周期为4，故C 错误；对D ，由，的图象关于点对称，且定义域为R ，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.【答案】200【解析】【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故答案为：200.()()224f x f x x +--=()()224f x f x x ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4fx f x x --=()()()22f x x f x x -=---()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()()4g x g x g x =-=+()()2g x f x x =-()00f =()f x ()1,1()11f =()22f =()()224f x f x x +--=1x =()()134-=f f ()35f =()()2g x f x x =-()()000g f ==()()1112g f ==--()()2224g f ==--()()3361g f =-=-()g x ()()400g f ==()()()()()()()()()125012123412g g g g g g g g g ⎡⎤+++=⨯+++++⎣⎦ ()1241251=⨯---=-()()()12245010051f f f -+-++-=- ()()()()502100125024..100515124992f f f ⨯++++=+++-=-= ()()()()1,2,3,4g g g g ()g x 2356C C 200=13. 已知，则__________.【答案】1或-3【解析】【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由 可得，所以 或，即 或，当时，当 时，，故答案为：1或-3.14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故答案为：2.2sin sin2αα=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 0α=sin 2cos αα=πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭2sin sin2αα=2sin 2sin cos ααα=sin 0α=sin 2cos αα=tan 0α=tan 2α=tan 0α=πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭tan 2α=πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭12,F F 22:1412x y E -=M E 2F 12F MF ∠,N O ON =221412x y -=2a =2F N 1MF H 2MH MF =2NH NF =O 12F F 1121111()()2222ON F H MH MF MF MF a ==-=-==四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【小问1详解】设的公差为，则，，又，所以，所以，．小问2详解】由（1）得，所以．16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.【{}n a 26a ={}1n n a a ++10a 2111n n n n b a a a -+=+{}n b n n S 21228n S n n <++1022a =d 1a n n S {}n a d 1212()()24n n n n n n a a a a a a d +++++-+=-==2d =26a =1624a =-=42(1)22n a n n =+-=+1022a =11114(44(1)(2)412n b n n n n n n =+=-+++++2212111(1)111()42222422284(2)8n n n n S b b b n n n n n n +=+++=-+⨯=++-<++++ [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）； （2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【小问1详解】由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；【小问2详解】从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.a [)[)30,40,80,90[)80,90X X 0.00564.5()2E X =a X 10(30.010.0150.032)1a +⨯++=0.005a =(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+[)[)30,40,80,90[)30,400.05620.050.1⨯=+[)80,90X ()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()632436C C 13C 5P X ===X XP 153515()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 2,AB E ===CD（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析． （2【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则为PBC ⊥PAE D AP E --AB O ,OP OC PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z AB O ,OP OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC ADC △E CD ,OC AB AE CD ⊥⊥OC AB ==//OC AE //CE AOAOCE AB ==222PA PB AB+=PA PB ⊥PAB112PO AB ==PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z (1,0,0)B (0,0,1)P C (1,0,0)A -(E -(D -(1,0,1),1),(1,0,1),(1),(1)PB PC PA PE PD =-=-=--=--=--PBC (,,)m x y z =，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；【小问2详解】设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为【解析】PB m x z PC m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =m = PAE 000(,,)n x y z =r0000000PA n x z PE n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 0=x n = 3030m n ⋅=+-= m n ⊥ PBC⊥PAE PAD (,,c)t a b =200PD t a c PA t a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 1b =t = D AP E --θθcos cos t θ= 2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42my x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-()f x ,P Q ()y f x =P Q ,P Q ()y f x =PQ ()y f x =（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．【小问1详解】不是，理由如下：的52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()y g x =()cos h x x =PQ ()y h x =PQ 12,,,n k k k ()123,4,5,,i k k k i n >>= 12158k k <2y x =+()g x '1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''22x x '<111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-1x 11112cos sin π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =1x 15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-12cos 01cos x x <<由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，，对应的切点为，2()2f x x x '=-+2()21f x x x'=-+=11x =22x =3(1)2f =-(2)2ln 22f =-3(1,2P -(2,2ln 22)Q -P 312y x +=-52y x =-Q 2ln 222y x -+=-42ln 2y x =-+52y x =-52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+12e ,0()4,0x x g x x x+⎧≤>'⎪=⎨⎪⎩1e (0)x y x +=≤24(0)y x x =>1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<P 11111e e ()x x y x x ++-=-Q 222244(6)()y x x x x --=-1112211224e 44e (1)6x x x x x x ++⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩2x 111(1)121e (1)4e 60x x x ++--+=1(1)12()e(1)4e6x x t x x ++=--+0x ≤111(1(1)1)1222()e 2e e [e 2]0x x x x t x x x ++++'=-=-<）()t x (1)0t -=()0t x =0x ≤=1x -111(1)121e(1)4e60x x x ++--+=11x =-22x =(1,1)P -11y x -=+2y x =+(2,4)Q 42y x -=-2y x =+2y x =+1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．22x x '<(cos )sin x x '=-111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=11111111111cos cos cos(π)cos 2cos (π)π2x x x x x k x x x x x '----===---'-22222222222cos cos cos(3π)cos 2cos (3π)3π2x x x x x k x x x x x '----===---'-21ππ2x x -<<<-2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-11112cos sin π2x k x x -==--22222cos sin 3π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-2223πcos ()sin 2x x x =-ππ2x -<<-sin 0x <cos 0x <cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =222222sin cos 1cos ()110sin sin sin x x xF x x x x--'=+=-+=-<()F x π(π,)2--5π5ππ(0662F -=--<15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-211cos cos 0x x -<<<12cos 01cos x x <<221122113π3π3π(π)cos 15222πππ5πcos 8()2226x x k x k x x x ----=⋅<<=----1122(,),(,)x y x y 121212()()y y f x f x x x -''==-。
2024届高三数学仿真模拟卷(天津卷)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
2023-2024学年山东省日照市高考数学押题模拟试题(三模)含答案
2023-2024学年山东省日照市高考数学押题模拟试题（三模）一、单选题1．设集合，21|4M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{|01}N x x =≤≤则M N ⋂=（）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先求集合M ，再应用交集运算即可.【详解】由题意得，11(,)22M =-，[0,1]N =，∴1[0,2M N = ，故选：A.2．已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A ．1B ．12C ．52D 【正确答案】D【分析】根据复数的除法公式和复数的模即可求解.【详解】知()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z ---===-++-，则z =，故选：D.3．已知向量()1,1a m m =+- ，()1,b m =- ，()1,1c =-，若()2a b c +⊥ ，则m =（）A ．13B ．3C ．15D ．5【正确答案】B【分析】先求出2a b +的坐标，再利用()20a b c +⋅= 列方程求m .【详解】由已知得()()()221,11,21,32a b m m m m m +=+-+-=+- ，()2a b c +⊥ ，且()1,1c =-，()()221320a b c m m ∴+⋅=-++-=，解得3m =.故选：B.4．已知直线a ⊥平面α，则“直线//a 平面β”是“平面α⊥平面β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若“直线//a 平面β”成立，设l β⊂，且//l a ，又a ⊥平面α，所以l ⊥平面α，又l β⊂，所以“平面α⊥平面β”成立；若“平面α⊥平面β”成立，且直线a ⊥平面α，可推出//a 平面β或a ⊂平面β，所以“直线//a 平面β”不一定成立.综上，“直线//a 平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件.故选：A.5．用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为42︒．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO 是眼睛与彩虹中心的连线，AP 是眼睛与彩虹最高点的连线，则称OAP ∠为彩虹角．若平面ABC 为水平面，BC 为彩虹面与水平面的交线，M 为BC 的中点，1200BC =米，800AM =米，则彩虹（ BPC）的长度约为（）（参考数据：sin 420.67︒≈，60sin1.167≈）A ．(13401474)π-米B ．(1340670)π-米C ．(20001474)π-米D ．(2000670)π-米【正确答案】A【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的底面半径，连接OB ,OC ,OM ，进而在OBM 中求BOM ∠，最后利用弧长公式求得彩虹长度.【详解】在AMB 中，由勾股定理，可得：1000AB =，连接PO ，则在APO △中，sin 42670PO AP =⋅︒≈，连接OB ，OC ，OM ，则在OBM 中，60060sin 67067BM BOM BO ∠===，故 1.1BOM ∠≈， 2.2BOC ∠≈，则彩虹（ BPC）的长度约为(2 2.2)67013401474ππ-⨯=-.故选：A6．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像向左平移π3个单位得到函数()g x 的图像，若函数()g x 是偶函数，则tan ϕ=（）A ．BC ．D 【正确答案】C【分析】根据图像平移得函数()g x 的解析式，由函数()g x 是偶函数，解出ϕ，可得tan ϕ.【详解】函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像向左平移π3个单位，得2π()sin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，又函数()g x 是偶函数，则有2ππ32k πϕ+=+，()k ∈Z ，解得6k ϕπ=π-，k ∈Z ；所以πtan tan π63k ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：C ．7．已知数列{}n a 满足12a =，41n n a a +=，则6a 的值为（）A ．202B ．242C ．10242D ．40962【正确答案】C【分析】变换得到1ln 4ln n n a a +=，得到{}ln n a 是首项为ln 2，公比为4的等比数列，1ln 4ln 2n n a -=⋅，计算得到答案.【详解】41n n a a +=，12a =，易知0n a >，故1ln 4ln n n a a +=，故{}ln n a 是首项为ln 2，公比为4的等比数列，1ln 4ln 2n n a -=⋅，510246ln 4ln 2ln 2a =⋅=，故201462a =.故选：C.8．若1e e ,a b c ===）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．<<c a b【正确答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数研究函数单调性，由ln ln b a >，可得b a >，再由11e2e e b =<<，得c b >，从而得解.【详解】令()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，因为a =()1ln4ln ln2424a f ===，又()lneln e eb f ==，e 4<，所以()()e 4f f >，所以ln ln b a >，故b a >，因为11e2e e b =<<11111662261111133336333331462324⎛⎫=====< ⎪⎝⎭⨯，故c =>c b >，综上所述.a b c <<故选：B.二、多选题9．已知()62701271(2)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则（）A ．064=-a B ．71a =-C ．1270a a a ++⋅⋅⋅+=D ．13571+++=a a a a 【正确答案】AD【分析】令0x =即可判断A ；令1x =再由选项A 即可判断C ；由通项公式即可判断B ；令=1x -，再由选项C 即可判断选项D.【详解】由()62701271(2)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，令0x =得064=-a ，故A 正确；由6(2)x +的展开式的通项公式616C 2r r rr T x -+=，得71a =，故B 错误；令1x =，得01270+++⋅⋅⋅+=a a a a ①，再由064=-a ，得12764a a a ++⋅⋅⋅+=，故C 错误；令=1x -，得01272a a a a -+-⋅⋅⋅-=-②，①-②再除以2得13571+++=a a a a ，故D 正确.故选：AD10．已知函数()sin 22cos f x x x =+，则（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．3π-为()f x 的一个周期C ．()f x 在3526ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递增D ．函数()32y f x =-在[]ππ-，上有4个零点【正确答案】BCD【分析】利用偶函数的定义和性质判断选项A ；利用周期函数的定义判断选项B ；利用三角函数的单调性和周期性判断选项C ；利用函数零点的定义和图象判断选项D.【详解】依题意，x ∈R ，()()()()sin 22cos sin 22cos f x x x x x f x -=-+-=-+≠，故函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故A 错误；()()()()sin 22cos sin 22cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，故x π=为函数()f x 的一个周期，故3π-也为函数()f x 的一个周期，故B 正确；当22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()sin 22cos f x x x =+，则()()()22cos 22sin 4sin 2sin 24sin 2sin 1f x x x x x x x '=-=--+=--+，当26x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x ¢>，当62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，故函数()f x 在26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，结合周期性，可知C 正确；作出函数()y f x =，32y =的大致图象如下所示，结合周期观察可知，函数()32y f x =-在[]ππ-，上有4个零点，故D 正确.故选:BCD.11．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，则（）A ．()()927f f =B ．若对任意(],x m ∈-∞，都有()6f x ≤，则m 的取值范围是13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．若方程()()5f x m x =-恰有三个实数根，则m 的取值范围是11,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间()()22,2n n n +-∈N 上的最大值为n a ，若存在n +∈N ，使得27n a n λ<-成立，则3,16λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】由()()22f x f x +=，7x =可判断A ，解出不等式()6f x ≤可判断B ，当1m =-时()(),5y f x y m x ==-的图像有3个交点，即可判断C ，根据条件可得当(]22,2x n n ∈-时()()()122221222n n n f x x n x n n -=-+---，然后可得12n n a -=，然后可得1272n n λ--<，判断出数列1272n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性可判断D.【详解】函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，即()()22f x f x =-，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，当(]2,4x ∈时，(]20,2x -∈，即()()()222421216f x x x x x =--=-+-，当(]4,6x ∈时，(]22,4x -∈，即()244096f x x x =-+-，依次，当(]22,2x n n ∈-时，即()()()()12122212222n n n f x x n x n n --=-+---()()122221222n n n x n x n n -=-+---作出函数图象对于A ，()()22f x f x +=代入()()7,927x f f ==，故正确；对于B ，对任意(],6x ∈-∞，都有()()4,78f x f ≤=，(]()6,8,8x f x ∈≤，(]()26,8,81123846x f x x x ∈=-+-=，解得()2115137,7,7822x x f =>=<=，对任意(],x m ∈-∞，都有()6f x ≤，则m 的取值范围是13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，正确；对于C ，当1m =-时，()(),5y f x y m x ==-的图像有3个交点，故错误；对于D.()()()()()()12112222122222221222n n n n nn f x x n x n n x n x n n ---=-+---=-+---最大值()2118224(21)224n n n n n n a -----=⨯=-存在n +∈N ，使得27n a n λ<-成立，1272n n λ--<的最大值，112792,22n n n n nn n b b b +---=-=，则4n ≤增，5n ≥减，4513,816b b ==，即3,16λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，正确.故选：ABD12．已知12,F F 分别为双曲线2213yx -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F △的内切圆1O 的面积为1S ，12BF F △的内切圆2O 的面积为2S ，则（）A ．圆1O 和圆2O 外切B ．圆心1O 在直线AO 上C ．212πS S ⋅=D ．12S S +的取值范围是[]2,3ππ【正确答案】AC【分析】根据双曲线的标准方程、定义和切线长定理结合几何关系和对勾函数性质即可求解，【详解】双曲线2213y x -=的1,2a b c ===，渐近线方程为y y ==、，两渐近线倾斜角分别为π3和2π3，设圆1O 与x 轴切点为G过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭，12O O 、的的横坐标为x ，则由双曲线定义12=2AF AF a -，所以由圆的切线长定理知[]()()2x c c x a ----=，所以x a =.12O O 、的横坐标均为a ，即12O O 与x 轴垂直.故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于()1,0G ，圆1O 和圆2O 两圆外切.选项A 正确；由双曲线定义知，12AF F △中，12AF AF >，则AO 只能是12AF F △的中线，不能成为12F AF ∠的角平分线，则圆心1O 一定不在直线AO 上.选项B 错误；在122O O F △中，12290O F O ∠=︒，122O O F G ⊥，则由直角三角形的射影定理可知2212F G O G O G =⋅，即212()c a r r -=⋅则121r r ⋅=，故2221212πππS S r r ⋅=⋅=.选项C正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知21AF F ∠的取值范围为π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭，则121O F F ∠的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭，故12121121tan tan ,3r F G O F F O F F ⎛=⋅∠=∠∈ ⎝，又121r r ⋅=，则()222121211211ππ,S S r r r r r ⎛⎫+=+=+∈⎪⎝⎭⎝令()11,,33f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,3单调递增.()()1101012,,3,333f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()11,,33f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭值域为102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故21211211π,3S S r r r ⎛⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝的值域为102π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.选项D 错误.故选：AC.三、填空题13．抛物线24y x =上的点()0,4P x 到其焦点的距离为________.【正确答案】5【分析】确定抛物线的准线为=1x -，()4,4P ，再计算距离即可.【详解】抛物线24y x =的准线为=1x -，则2044x =，故04x =，()4,4P 到焦点的距离等于到准线的距离，为415+=.故514．设1,0x y >->且21x y +=，则111x y++的最小值为_________．【正确答案】32+【分析】由已知条件可知10x +>，且122x y ++=，再展开()1111112121x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为1,0x y >->，所以10x +>，210,01y x x y+>>+，因为21x y +=，所以122x y ++=，所以111111211(12)3(32121212y x x y x y x yx y ⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当211y x x y+=+，即3x =，2y =故答案为.32+15．已知数列{}n a 中，11a =，37a =，2a 是1a ，3a 的等差中项，n S 是其前n 项和，若数列{}12n n n a a a ++++是公差为3的等差数列，则100S =___________.【正确答案】5248【分析】利用等差数列的基本性质及求和公式计算即可.【详解】依题意，21742a +==，故12312a a a ++=，而()1231233n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-++=-=，所以()()()100979794411001100333100a a a a a a a a a -+-++-=⨯=-⇒= ,且()31323332313339n n n n n n a a a a a a +++--++-++=⨯=，故{}32313n n n a a a --++是首项为12，公差为9的等差数列，则10033323312910052482S ⨯=⨯+⨯+=.故524816．祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为_________.【正确答案】12π【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案.【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径r ，球体半径为R ，则222r R h =-，截面圆面()2221S r R h ππ==-；圆柱中截面小圆半径DE h =，大圆半径为R ，则截面圆环面积()222S S S R h π=-=-小圆大圆，所以12S S =，又高度相等，所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积.同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.如图2，设球体和水接触的上部分为V 大半球，没和水接触的下部分为V 小半球，小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.已知球体半径为2r =，ABC 为等边三角形，1224,12OB OD r OE EF r ======，根据祖暅原理2222215π21π21211π33V V V ⎡=-=⨯⋅-+⋅⋅=⎣小半球圆柱圆台，345π2π9π33V V V =-=⨯-=球小半球大半球，设图2中轴截面为梯形AHGC 的圆台体积为V '圆台，22221(23)3)(23)(3)39π12π3V V V π⎡⎤'=-=++⋅⋅-=⎢⎥⎣⎦水圆台大半球，故答案为.12π四、解答题17．已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos c A a B b A =+.(1)求角A ；(2)若ABC 的周长为33ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3A =(2)334【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；（2）利用正弦定理求出边长a ，然后再根据周长和余弦定理列式解出bc ，从而求解面积.【详解】（1）∵2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，因为sin cos sin cos sin()sin A B B A A B C +=+=，所以2sin cos sin C A C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，则1R =，由正弦定理得2sin a R A =，因为ABC的周长为a b c ++=，所以b c a +=-=由余弦定理得()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-⋅=+--⋅，即1312222bc bc =--⨯，所以3bc =，所以ABC的面积11sin 322S bc A ==⨯.18．已知数列{}n a 满足.72110,2nn n a a a λ-+=>⋅=(1)当132λ=时，求数列{}2n a 中的第10项；(2)是否存在正数λ，使得数列{}n a 是等比数列，若存在求出λ值并证明；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)1256(2)存在，8λ=，证明见解析【分析】(1)根据隔项等比数列的定义和通项公式即可求解；(2)根据{}n a 是等比数列的必要条件解出8λ=，再根据8λ=证明充分性即可.【详解】（1）由已知7212nn n a a -+⋅=，所以9212nn n a a --⋅=，相除得1114n n a a +-=；又51211,232a a a =⋅=，所以1022a =，所以910208111242256a ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.（2）假设存在正数λ，使得数列{}n a 是等比数列，由5212a a ⋅=得232a λ=，由238a a ⋅=，得34a λ=，因为{}n a 是等比数列，22132,64a a a λ⋅==，即8λ=，下面证明8λ=时数列{}n a 是等比数列，由（1）知数列{}21n a -和{}2n a 都是公比是14的等比数列，所以121184n n a --⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，12144n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；所以n 为奇数时，42n n a -=，n 为偶数时，42nn a -=，所以对一切正整数n ，都有42nn a -=，所以112n n a a -=，所以存在正数8λ=使得数列{}n a 是等比数列.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧面11ABB A 是正方形，且平面1A BC ⊥平面11ABB A.(1)求证：AB BC ⊥；(2)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为π,6E 为线段1AC 的中点，求平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)π3【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质即可求解；（2）根据线面角的定义，建立坐标系后利用法向量求二面角即可.【详解】（1）设11A B AB M = ，则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥,∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1,A B AM ⊂平面11ABB A ，∴AM ⊥平面1A BC ，∵BC ⊂平面1A BC ，∴AM BC ⊥，又直三棱柱111ABC A B C -，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，∴1BB BC ⊥，∵11,AM BB B ⋂=,AM 1BB ⊂平面11ABB A ，∴BC ⊥平面11ABB A ，∵AB ⊂平面11ABB A ，∴AB BC ⊥.（2）由（1）知AM ⊥平面1A BC ，所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=，2,2AB AM AC BC =====,以B 为原点，1,,BC BA BB分别为,,x y z 轴正向建立坐标系，()()0,2,0,2,0,0,A C ()1,1,1,E ()0,1,1M ,则()()0,2,0,0,1,1BA BE ==，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r ，则200n BA y n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，故可设()1,0,1n =- ，又因为AM ⊥平面()1,0,1,1A BC AM =-设平面CBE 的法向量为()111,,m x y z =r ，则()0,1,1m =-，设平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角为θ，∴1cos cos ,2n m n m n m θ⋅===⋅，∵θ为锐角，∴π3θ=..20．某学校有,A B 两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.6；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第二天去A 餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，()2,n n n +≥∈N 种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为X ，求()1P X =的最大值，并求此时n 的值.【正确答案】(1)0.7(2)9n =或10时，()1P X =有最大值为4591【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可；（2）利用超几何分布表示出()1P X =，列出不等式即可求最大值.【详解】（1）设1A =“第一天去A 餐厅用餐”，1B =“第一天去B 餐厅用餐”，2A =“第二天去A 餐厅用餐”，根据题意得()()()()1121210.5|0.6|0.8,,P A P B P A A P A B ====，由全概率公式，得：()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，所以，王同学第二天去A 餐厅用餐的概率为0.7.（2）由题意，X 的可能取值有：0，1，2，3，由超几何分布可知()()()()()12535151C C 1C 543nn n n P X n n n +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，若n a 最大，则11,n n n n a a a a +-≥≥，即()()()()()()()()()()()()()()()()()1511515436541511512543432n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n ⎧-+≥⎪++++++⎪⎨---⎪≥⎪++++++⎩，解得910n ≤≤，又∵N n ∈，所以9,10n =，易知当9n =和10n =时，()1P X =的值相等，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591，即当n 的值为9或10时，使得()1P X =最大.21．在平面直角坐标系中，已知12,F F 分别是椭圆22:14xC y +=的左焦点和右焦点.(1)设T 是椭圆C 上的任意一点，求12TF TF ⋅取值范围；(2)设()0,1A ，直线l 与椭圆C 交于,B D 两点，若ABD △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程.【正确答案】(1)[]2,1-(2)35y x =-【分析】（1）易知())12,F F ，设()00,T x y ，有220014x y +=，再利用平面向量的数量积运算求解；（2）①当直线l 垂直于y 轴时，由对称性知，点,B D 关于y 轴对称，不妨令点B 在y 轴右侧，由ABD △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得到直线AB 方程为：1y x =-+，与椭圆方程联立求解；（2）当直线l 与坐标轴不垂直时，设直线l 的方程为()1,0y kx m m k =+≠≠，设()()1122,,,B x y D x y ，与椭圆方程联立，根据ABD △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得到AB AD ⊥，则0AB AD ⋅=uu u r uuu r，结合韦达定理线求得35m =-，再由BD 的中垂线，由斜率关系得到2314m k =--求解.【详解】（1）在椭圆22:14x C y +=中，())12,F F ，设()00,T x y ，则有220014x y +=，即())2200100201,,,,4x y TF x y TF x y =-=-=- ，于是()()2222120000003324TF TF x x y x y x ⋅=-+-=+-=- ，显然[]200,4x ∈，所以12TF TF ⋅ 的取值范围是[]2,1-.（2）①显然直线l 不垂直于x 轴，当直线l 垂直于y 轴时，由对称性知，点,B D 关于y 轴对称，不妨令点B 在y 轴右侧，因为ABD △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则直线AB 方程为：1y x =-+，由22144y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 得：2580x x -=，于是得83,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点83,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线l 的方程为35y =-，（2）当直线l 与坐标轴不垂直时，设直线l 的方程为()1,0y kx m m k =+≠≠，设()()1122,,,B x y D x y ，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，则()()2222Δ64161410k m k m =-+->，即2241k m +>，2121222844,1414km m x x x x k k --+==++，可得122214my y k +=+因为ABD △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则AB AD ⊥，有0AB AD ⋅=uu u r uuu r，而()()1122,1,,1AB x y AD x y =-=-，于是()()1212110x x y y +--=，即()()1212110x x kx m kx m ++-+-=，整理得()()()22121211(1)0k x x k m x x m ++-++-=，从而()()2222244811(1)01414m km k k m m k k -+⋅--⋅+-=++，化为()()()()22241181410k m k m k m ++-++-=，解得35m =-，又线段BD 的中垂线过点224,1414km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭及点A ，因此221114414mk km k k-+=--+，即2314m k =--，解得k =35k m ==-时，2241k m +>成立，即Δ0>，因此直线l的方程为35y x =-.22．已知函数()21ln ln 1ex ax f x x a -=---有三个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设函数()f x 的三个零点由小到大依次是123,,x x x .证明.13e e x x a >【正确答案】(1)1a >(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据2,02x x ≥<<分类讨论研究函数的单调性，确定零点个数，构造函数，研究函数值的符号即可得到导函数的符号，即可求出原函数的单调区间，从而确定零点个数；（2）把原函数有三个零点转化为()ln e lne e e x x a x a x=有三个根，构造()ln x t x x =，求导研究函数单调性，结合根的分布得3113e e ,e e x xa x a x ==，要证13e e x x a >，等价于证132x x k >-，等价于131x x k +>+，构造函数从而证明()()311q x q k x >+-，即证()1111e 1ln 0,0,1xx x --+<∈，构造函数，利用导数单调性即可证明.【详解】（1）因为()f x 定义域为()0,∞+，又()()123e 21(0)x a x x f x a x--->'=，（ⅰ）当()()2,0,x f x f x <'≥单调递减；（ⅱ）当()0,2x ∈，记()2312e x x xg x --=，则()()()114e x x x x g x --'-=，当()()0,1,0x g x '∈>；当()()1,2,0x g x ∈'<，所以()g x 在()0,1单调递增，在()1,2上单调递减，()()11g x g ≤=，又()()00,20g g ==，所以()01g x <≤，①当(]()0,1,0a f x ∈'≤，则()f x 单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；②当()()11,a g x a a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭>='，由（ⅱ）知，()f x '有两个零点，记()f x '两零点为,m n ，且1m n <<，则()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m n 上单调递增，在(),n +∞上单调递减，因为()()10f n f >>，令()1e ,(01)x p x x x -=<<，则()()11e 0,(01)xp x x x -=<'-><，所以11111111101,e 1e 101af a a a--⎛⎫<<=-<-= ⎪⎝⎭，所以()()0,0f n f m ><，且x 趋近0，()f x 趋近于正无穷大，x 趋近正无穷大，()f x 趋近负无穷大，所以函数()f x 有三零点，综上所述，1a >；（2）()0f x =等价于()ln e e e x a x a x x=，即()ln e lne e e x x a x a x =，令()ln xt x x=，则()21ln x t x x -'=，所以()t x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由（1）可得12311x x x a<<<<，则3113e e,e e,e e,e e x x a x a x <<>>，所以()()()()3113e e ,e e x x t a x t t a x t ==，所以3113e e ,e e x xa x a x ==，则13,x x 满足1133ln lne ln lne x x a kx x a k -==⎧⎨-==⎩，1k >，要证13e e x x a >，等价于证132x x k >-，易知1133ln ln x x k x x k-=⎧⎨-=⎩，令()ln q x x x =-，则()1x q x x -'=，令()0q x '<得01x <<，令()0q x '>得1x >，所以函数()q x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，下面证明131x x k +>+，由131x x <<，即证()()311q x q k x >+-，即证()111ln 1k k x k x >+--+-，即证()()11111101ln 1ln 1ln 1ln x x x x x x >--+--=---，即证()1111e1ln 0,0,1x x x --+<∈，令()()1e1ln ,0,1xc x x x -=-+∈，()1e 1xx c x x-'-+=，令1e 1x y x -=-+，则()()()11e0,0,1xy x x --'=<∈，所以1e 10x y x -=-+>，所以()1e 10x x c x x-+'-=>，则()()10c x c <=，所以()1111e 1ln 0,0,1x x x --+<∈，所以131x x k +>+，所以1313131ln 2121x x x x x x k k k k -≥=+->+-=-，所以132x x k >-，所以原命题得证.利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷理科4月份
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．等比数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．103．已知向量，，t∈R，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．24．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）A．πB． C． D．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B． C． D．8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）A．B． C．D．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．1210．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B． C．D．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=ex，且f（1）=e，则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，） B．（，）C．（，2） D．（2，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是．14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是．16．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{an}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n项和Sn=．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn=（﹣1）nan2，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．21．已知函数，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：，n∈N*．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修41：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．[选修44：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．[选修45：不等式选讲]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2+i．故选：B．2．等比数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a2，可得q，进而可得a3，前3项相加可得S3．【解答】解：∵等比数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，S1=1，S2=3，∴a1=S1=1，a2=S2﹣S1=3﹣1=2，故公比q==2，故a3=a2q=4，∴S3=1+2+4=7，故选：A．3．已知向量，，t∈R，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可求出向量的坐标，从而得出，显然可看出t=3时，可取到最小值2．【解答】解：；∴，当t=3时取“=”；∴的最小值为2．故选：D．4．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）A．πB． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出r，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，∵该几何体的表面积S=π，∴πr2+πr•（2r）=π，解得r=，则圆锥的高h===1，∴几何体的体积V===，故选：C．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，得到数学成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（80＜ξ≤100）=0.40，得到P（ξ＞120）=0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ≤100）=0.40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣0.40=0.1，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B． C． D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，由于：tan+tan+tan=0，k∈Z，且：=3×672，所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）A．B． C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程解方程求出a的值．【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=C8r•（）8﹣r•（）r=（）8﹣rC8r•x8﹣\frac{4}{3}r，令8﹣r=0，解得r=6；所以展开式的常数项为（）2C86=1，解得a=±2．故选：C．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．12【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】假设最可能击中目标的次数为k，由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式可得，求得k的范围，可得k的最大值．【解答】解：假设最可能击中目标的次数为k，根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，则他击中k次的概率为•0.7k•0.315﹣k，再由，求得0.2≤k≤11.2，再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11，故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=2，则圆心坐标为C（4，4），半径R=，作出不等式组对应的平面区域如图：则C到直线x+y﹣4=0的距离最小，此时d==2，则|PQ|的最小值为d﹣R=2﹣=，故选：B．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=ex，且f（1）=e，则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=xf（x），求导，得到f（x）=，再根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：设g（x）=xf（x），∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=ex，∴g（x）=ex，∴xf（x）=ex，∴f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=1，当f′（x）＞0，时，解得x＞1，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，当f′（x）＜0，时，解得0＜x＜1，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）min=f（1）=e，故选：A．12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，） B．（，）C．（，2） D．（2，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交点A，B的坐标，可得AB的长，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，运用零点存在定理，进而得到离心率的范围．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），由y=（x﹣c）和双曲线=1，解得交点A（，），同理可得B（，﹣），即有|AB|==2a，由b2=c2﹣a2，由e=，可得4e2=（e2﹣1）3，由f（x）=（x2﹣1）3﹣4x2，可得f′（x）=6x（x2﹣1）﹣8x＞0，x＞1，f（x）递增．又f（2）＞0，f（）＜0，可得＜e＜2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，结合￢p是q的充分必要条件得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：p：|x﹣a|＞3，解得：x＞a+3或x＜a﹣3；￢p：a﹣3≤x≤a+3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，解得：x≥或x≤﹣1，若￢p是q的充分不必充要条件，则a﹣3≥或a+3≤﹣1，解得：a≥或a≤﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得△ABC是以∠C为直角的直角三角形，然后根据已知条件把用向量表示，则的值可求．【解答】解：在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，得AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，如图，∵，∴，又，∴=，∴==．故答案为：．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是109．【考点】归纳推理．【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和，进而求出23～103的分解式用的奇数个数，进而求出答案．【解答】解：由题意，从23到103，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+10=54个，故103的分解式中，最大的数是2×54+1=109，故答案为：10916．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P=．【考点】几何概型．【分析】由题意画出图形，利用区域的面积比求概率．【解答】解：∵≥|x+|，∴y2≥x，平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，所围成图形为矩形，S矩形=1×2=2，∀（x，y）∈D，y2≥x，其面积为阴影部分的面积，其S阴影=y2dy=y3|=，故∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P==，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{an}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n项和Sn=．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn=（﹣1）nan2，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等差数列{an}的公差为d，由=．利用“裂项求和”可得：数列{}的前n项和Sn==．分别取n=1，2即可得出．（II）bn=（﹣1）nan2=（﹣1）n（n+1）2，可得：b2k﹣1+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当n=2k（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k ﹣1+b2k），即可得出．当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和Tn=Tn﹣1+an，即可得出．【解答】解：（I）设正项等差数列{an}的公差为d，∵=．∴数列{}的前n项和Sn=++…+==．n=1时，=n=2时，==，化简解得：a1=2，d=1．∴an=2+（n﹣1）=n+1．（II）bn=（﹣1）nan2=（﹣1）n（n+1）2，∴b2k﹣1+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当n=2k（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1+b2k）=（2×1+3）+（2×2+3）+…+（2×k+3）=+3k=k2+4k=+2n．当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和Tn=Tn﹣1+an=﹣（n+1）2=．∴Tn=．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有1名学生入选集训队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有2名学生入选集训队的概率．（Ⅱ）由题意X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为…理科班有1名学生入选集训队的概率为…∴理科班至少有2名学生入选集训队的概率为…（Ⅱ）由题意X=0，1，2…P（X=0）==…，P（X=1）=…P（X=2）==…∴X的分布列为：X 0 1 2P…X的均值（数学期望）EX==…19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AD的中点F，连接BF，根据各线段长度可得四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°，即AB⊥BD，从而BD⊥平面ABB1A1，于是平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（II）以B为原点，建立空间直角坐标系，设E（x，y，2），求出和平面C1BD的法向量为，令|cos＜＞|=得出E点的轨迹方程．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连接BF，则AB=BC=CD=AF=DF=1，∴四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，∠FBD=∠FDB，∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°，∴∠FBD=∠FDB=30°，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°，∴AB⊥BD．∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴BD⊥平面ABB1A1，∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面BDD1B1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）以B为原点，BD，BA，BB1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（，0，0），C1（，﹣，2），设E（x，y，2），∴=（，0，0），=（，﹣，2），=（x﹣，y，z）．设平面C1BD的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，取z=1得=（0，4，1），∴=4y+2．∴cos＜＞==．∵DE与平面C1BD夹角的正弦值为，∴|cos＜＞|=，即||=．化简整理得，，∴动点E的轨迹是一条抛物线．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=4，即a=2，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得O到直线AB的距离，依题意，|AM|=|BM|，运用两点的距离公式，化简可得k，m的等式，讨论k=0，k≠0，运用基本不等式和二次函数的最值求法，即可得到所求面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=3+=4，即有a=2，则b2=a2﹣c2=4，则椭圆Σ的方程为+=1；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，O到直线AB的距离，△OAB的面积，依题意，|AM|=|BM|，即，即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0，，即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0，代入整理得，k（2k2+m+1）=0，若k=0，则，等号当且仅当时成立；若k≠0，则2k2+m+1=0，，等号当且仅当m=﹣2，时成立．综上所述，△OAB面积的最大值为．21．已知函数，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：，n∈N*．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对a分类讨论求得函数零点的个数，（Ⅱ）取a=2或a=，由（1）知函数单调性，即可证明．【解答】证明：（Ⅰ），解f′（x）=0得x=0，或x=a2﹣2a①a=1时，，若x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，若x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点，②1＜a＜2时，﹣1＜a2﹣2a＜0，x （﹣1，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，0）0 （0，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知，f（x）在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点x=0，f（a2﹣2a）＞f（0）=0，又，任取，，f（x）在区间（t，a2﹣2a）有一个零点，从而f（x）有两个零点，③a=2时，，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，有一个零点x=0，④a＞2时，a2﹣2a＞0，x （﹣1，0）0 （0，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知，f（x）在区间（﹣1，a2﹣2a）有一个零点x=0，在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点，从而f（x）有两个零点，（Ⅱ）证明：取a=2，由（1）知在（﹣1，+∞）上单调递增，取（n∈N*），则，化简得，取，由（1）知在区间上单调递减，取（n∈N*），由f（x）＞f（0）得，即（n∈N*），综上，，n∈N*请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修41：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理，可得PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到EB的长；（Ⅱ）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，运用勾股定理，解方程可得AN=2，求得PN，AM的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即可得到所求值．【解答】解：（I）PA2=PC•PD，PA=6，CD=9，即36=PC（PC+9），得PC=3（﹣12舍去），所以PD=PC+CD=12，又EP=9，所以ED=PD﹣EP=12﹣9=3，CE=EP﹣PC=9﹣3=6，又AE•EB=CE•ED，则EB===2；（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，则AP2﹣AN2+NE2=EP2，由AP=6，EP=9，NE=9﹣x，即有36﹣x2+（9﹣x）2=81，得x=2即AN=2，PN==，AB=AE+EB=9+2=11，AM=AB=，在直角三角形PNA和直角三角形AMO，∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM，可得△PNA∽△AMO，得：，即有OA===．[选修44：坐标系与参数方程]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）求出ab=1，问题转化为|﹣2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．【解答】解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab=1，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，解得：{x|x≤0或x≥1}；（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，（x﹣a）2≥（x﹣1）2，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立，a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去参数能得到直线l的直角坐标方程，由ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的圆心为（2，0），半径为，求出圆心到直线的距离，由此能求出P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由消去参数t得，直线l的直角坐标方程为．…∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0…（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0，∴曲线C：（x﹣2）2+y2=3…，圆心为（2，0），半径为…圆心到直线的距离…∴P到直线l的距离的最大值…[选修45：不等式选讲]高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）c os2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.。
2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷(三模)含解析
2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数0z ≠，则“1z =”是“1R z z +∈”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C 充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】当1z ==时，即221a b +=，12R z a z+=∈，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要，得到答案.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，当1z ==时，即221a b +=，2211i i i 2R i a b z a b a b a z a b a b-+=++=++=∈++，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要性.综上所述：“1z =”是“1R z z +∈”的充分不必要条件.故选：A2.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A.tan ba ϕ=B.cos ϕ=C.tan a bϕ=D.sin ϕ=【正确答案】C【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=.【详解】sin cos y a x b x=+x x ⎫=+⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【正确答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：()20.9P x ≥=，故()20.1P x <=，因为6242+=，所以根据对称性得.()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=++⋅）A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L【正确答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则22222202112239236711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B5.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【正确答案】B【分析】由()4n A B = 可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【详解】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω==== ，所以()2n A B = ，()4n A B = ，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选：B.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.925B.1625C.3425D.4125【正确答案】C【分析】由函数(1)f x +是偶函数，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，从而有()(2)f x f x -=+，再结合()2()f x f x =--可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期和()2()f x f x =--将20235化到[]1,0-上即可求解.【详解】因为函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+，因为()2()f x f x =--，所以()(2)2f x f x ++=，所以(2)(4)2f x f x +++=，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以33()(101204)()53525f f f =⨯+=，因为233334()2(21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦，所以202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.7.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB CD ，相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y ⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为（）A.5B.105C.5D.5【正确答案】B【分析】设(),,P m n PA t =，进而得,,,A B C D 的坐标，进而根据对称性得()()3,,2,2A t t C t t ，再代入椭圆方程整理得2235b a =，最后求解离心率即可.【详解】解：设(),,P m n PA t =，则()(),,,3A m n t B m n t +-，()(),,5,C m t n D m t n +-，由题知,A B 关于x 轴对称，,C D 关于y 轴对称，所以30n t n t ++-=，50m t m t ++-=，即n t =，2m t =，所以()()3,,2,2C t t A t t ，所以2222222291441t t a b t t a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22229144a b a b +=+，所以2253a b=，即2235b a =，所以椭圆E的离心率为5e ===.故选：B8.已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A.log 2log 2log 2x y z x y z >>B.log 2log 2log 2y z x y z x >>C.log 2log 2log 2x z y x z y >>D.log 2log 2log 2y x z y x z>>【正确答案】B【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0，∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞，()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增，()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0，∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<，∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】9x⎛⎝的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为82256=，故B 正确；展开式的通项为139922199C C ,09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，令3902r -=，解得6r =．故常数项为6399C C 84==，故C 正确；有理项中x 的指数为整数，故0r =，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误．故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C.设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“lα⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB11.定义在R 上的函数()()π2sin N 3f x x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭满足在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C.()f x 图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABC【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 52sin 52sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【正确答案】BC【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠= 时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB 在CD上的投影为______.【正确答案】2105【分析】先求AB ，CD，再求AB ，CD ，AB CD ⋅ ，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.【详解】因为()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，所以()2,2AB =，()1,3CD =- ，所以AB ==，CD == ，264AB CD ⋅=-+= ，设向量AB 与CD 的夹角为θ，5cos 5|||AB CD AB CD θ⋅===，那么AB 在CD上的投影为5210cos 55AB θ==|故答案为.514.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【正确答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π20πR R =⇒=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，而圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即102r =，l =时等号成立，所以5lr ≤，2π10πS rl =≤，故10π15.已知实数a b c d ,,,成等比数列，且函数()ln 2y x x =+-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于______.【正确答案】1-【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.【详解】令()()ln 2f x x x =+-，则函数()()ln 2f x x x =+-的定义域为()2,-+∞，导函数11()122x f x x x --'=-=++，当()2,1x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 在()2,1--上单调递增，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()1,-+∞上单调递减，所以当=1x -时，函数()ln 2y x x =+-取极大值，极大值为1，所以1,1b c =-=，故bc 1=-，又a b c d ,,,成等比数列，所以1ad bc ==-，故答案为.1-16.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按()1,1，再按()4,4），则()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变的概率为______.()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4【正确答案】41120【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得()2,3的状态发生改变，则需要按()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3这五个开关中的一个，要使得()4,1的状态发生改变，则需要按()3,1，()4,1，()4,2这三个开关中的一个，所以要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，故所求概率为222853216A A A 41A 120++=.故41120关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，是解题的关键.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}n a 为等差数列，且11a =，()6423a a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，{}n b 的前n 项和为n S ，求127128n S ≤成立的n 的最大值.【正确答案】（1）n a n =（2）7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；（2）代入等比数列的前n 项和公式即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为：d ，()6423a a a =-，11a =∴()111533a d a d a d +=+--，∴1d =.∴()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =.【小问2详解】()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，nan =，∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 为等比数列，所以11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--由127128nS ≤，即112712128n -≤，化简得：111282n ≤，解得17n ≤≤，()*n ∈N ，所以，要使127128nS ≤成立的n 的最大值为：7.18.已知函数()()sin 0,π2,0f x M x M ϕωϕω⎛⎫>>⎭<⎪⎝＝＋）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围.【正确答案】（1）()π26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）利用最大值和最小值，求出M ，通过函数的周期求出ω，由经过π,16⎛⎫⎪⎝⎭，求出φ，即可求出()f x 的解析式；（2）利用()2cos cos a c B b C －＝，结合正弦定理，求出cos B ，利用函数的解析式2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围.【小问1详解】由图象知函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，所以1M =由图象知函数()f x 的周期5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以ω2=，将点π,16⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得πsin φ13⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πφ2<，所以πφ6=，所以()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()2cos cos a c B b C -=得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，2sin cos sin A B A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，π3B =，2π3A C +=，由（1）πsin 26A f A ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π03A <<，ππ5π666A <+<，所以π1sin 62A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1,122A f ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.所以2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.19.如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【正确答案】（1）答案见解析（2）6【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面ABCD 与面ECF 的交线，因此先作两平面交线，再在平面ABCD 内作交线的平行线.（2）建立空间直角坐标系，求直线EB 的方向向量和平面ECF 的法向量，利用向量夹角公式求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【小问1详解】延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，取线段CD 的中点M ，连接KM ，直线KM 即为所求．证明如下：延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，因为//FD EA ，所以FDA EAN ∽，又12FD EA =，所以12ND NA =，所以ND DA BC ==，又//ND BC ，所以四边形BCND 为平行四边形，所以//CN BD ，取CD 的中点M ，连接KM ，∵,K M 分别为,BC CD 的中点，∴//KM BD ，∴//KM CN ．∵CN ⊂平面EFC ，KM ⊄平面EFC ，∴//KM 平面EFC．【小问2详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,1A E B C F ，所以()()()2,2,2,2,0,2,0,2,1EC EB EF =-=-=-，设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EC n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =得，1,2x z ==，平面ECF 的一个法向量(1,1,2)n =.设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则3sin cos ,6E EB n E B B n nθ⋅====⋅.所以直线EB 与平面ECF所成角的正弦值为6.20.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.xyt1021ii x=∑101iii x y=∑1021ii t=∑101iii t y=∑2017.580.4 1.5.0.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110i i t t ==∑（1）根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()112211ˆnni ii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.【正确答案】（1）()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%（2）（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【小问1详解】由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.8101.580.4ˆ427.7101.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.【小问2详解】设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.21.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+线C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【正确答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C 2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22.已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．（1）求()g x 在[],ππ-上的最小值；（2）如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）-1（2）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对()g x 求导，因为()g x 为偶函数，求出()g x 在()0,x π∈的单调性，即可求出[],ππ-上的最小值；（2）由（1）知，()g x 在[],ππ-上的最小值为1-，所以21,x e e⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立，即2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x xx x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．【小问1详解】()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，显然()g x 为偶函数，当0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x >，()0g x '>，∴()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x <，()0g x '<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，∴()g x 在()0,π上的最小值为1-．由偶函数图象的对称性可知()g x 在(),ππ-上的最小值为1-．【小问2详解】先证ln 1≤-x x ，设()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x-'=-=，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '⇒，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．()()10h x h ≤=故ln 1≤-x x ①恒成立．由题意可得21,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立．由①可知22ln 10x x ->≥，参变分离得2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x x x x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．()()()()()()2221111ln 1ln 122'ln ln x x x x x x x x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫----⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--由①知ln 1≤-x x 得ln 1x x -≥-，∴1114ln 111202222xx x x x x --++-+=-=>≥令()'01x x e ϕ>⇒<<，令()1'01x x eϕ<⇒<<，∴()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增．∴()()min 112x ϕϕ==-，∴12a ≥-，又已知0a ≠故a 的取值范围为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三4月月考数学
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=B A ▲．2．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =▲．3．若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围▲．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为▲．5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为▲．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为▲．7．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为▲． 8．已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为▲．9．已知数列{}n a 的前n 项和Sn=n2—7n,且满足16＜ak+ak+1＜22,则正整数k=▲．10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11D ACB 的体积为▲． 11．曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ，则实数a=▲． 12．已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m的取值范围是▲．13．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为▲． 14．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果m b =)(*N m ∈，则符合条件的三角形共有▲个（结果用m 表示）． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)设函数()f x =·a b ，其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）求()f x 在[0，2π]上的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点. （1）求证：//GH 平面CDE ；（2）求证：BD ⊥平面CDE ．17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期4月一模数学文试卷
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期(4月)一模数学(文)试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =-，{0,2,4}B =，那么UA B =（A ）{2,1,4}- （B ） {2,1,3}-（C ）{0,2}（D ）{2,1,3,4}-2．复数1ii-+= （A ）1i +（B ）1i -+（C ）1i --（D ）1i -3．执行如图所示的程序框图．若输出y =角=θ （A ）π6（B ）π6- （C ）π3 （D ）π3-4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是 （A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）1(,)(1,)2-∞-+∞5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是（A ）6+B ）12+（C ）12+ （D ）24+6．设实数x ，y 满足条件 10,10,20,x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则4y x -的最大值是（A ）4-（B ）12-（C ）4 （D ）77．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11B C 的中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则 点P 运动形成的图形是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,0)=i ，(0,1)=j ．若向量+λi j 与+λi j 垂直，则实数=λ______．10．已知函数2log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨<⎩则1()(2)4f f +-=______．11．抛物线22y x =的准线方程是______；该抛物线的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______． 12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据(单位：mm )全部介于93至105之间． 将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，，[9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，， [103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直 方图，估计这批产品的合格率是_____．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，且cos 3cos 4A bB a ==．若10c =，则△ABC 的面积是______．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设22()[()]2sin g x f x x =-，求()g x 的单调递增区间． 16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC =22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ； （Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？ 证明你的结论．17．（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲 停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数()e xf x ax =+，()lng x ax x =-，其中0a ≤． （Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E （Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率； （Ⅱ）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A与B之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ； （Ⅱ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（Ⅲ）记20(1,1,,1)I S =∈．若A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B ；2．A ； 3．D ； 4．B ；5．C ； 6．C ； 7．A ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．0； 10．74-；11．12x =-，2； 12．80%； 13．24；14．5，722n +． 注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得3π()04f =， ………………1分即 3π3πsincos 04422a +=-=，………………3分 解得 1a =．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =+． ………………6分sin 2cos2x x =+………………8分π)4x =+．………………10分由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，得 3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为 AC =2AB =，1BC =， 所以 BC AC ⊥．………………2分 又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ．………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ．………………6分在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ． 所以△BCD 的面积为 43=S ．………………7分所以四面体FBCD 的体积为：1312F BCD V S FC -=⋅=．…………9分 （Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下：………10分连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点．………11分 所以 EA //MN ．………12分因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ，……13分 所以EA //平面FDM ．所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立．………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………1分 则 41)12531(1)(=+-=A P ． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41．………………4分 （Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =．………6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形．………10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意．………12分 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==．………13分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 ()e xf x a '=+．………2分① 当0a =时，()e xf x =，故()f x 在R 上单调递增．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值．………4分② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞． 从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值．……6分 （Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．……8分 ③当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．………9分④当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……11分当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．……1分将其代入22143x y +=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=．……3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2122843k x x k -+=+．………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+，………6分解得 12k =±．………7分 （Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++．………8分 因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k kx k +⨯=---+， 解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+． …………10分 因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………11分所以2243k k -=+， ………12分整理得 2890k +=． ……13分 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ………14分 20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||iii d A B a b ==-∑，得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=， 所以 (,)7d A B =．……3分 （Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使AB BC λ=， 所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，所以 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．…6分所以 11(,)(,)||||nniiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑．……8分（Ⅲ）解法一：201(,)||iii d A B b a ==-∑．设(1,2,,20)i i b a i -=中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++时，0i i b a -<．所以 201(,)||iii d A B b a ==-∑因为 (,)(,)13d I A d I B ==， 所以202011(1)(1)iii i a b ==-=-∑∑， 整理得 202011iii i a b ===∑∑．所以 2012121(,)||2[()]iim m i d A B b a b bb a a a ==-=+++-+++∑．…10分 因为 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++(1320)(20)113m m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[(13)]26m m ≤+-=．即 (,)26d A B ≤．…12分 对于 (1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26．……13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+． 证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤， 所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+， 即 ||||||x y x y +≤+．所以 202011(,)|||(1)(1)|iiiii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑202011|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑．……11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤．…12分 对于 (1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26．…13分 高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三年级第四次月考数 学 试 卷理
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三年级第四次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}1,log |2>==x x y y U ，P=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=2,1|x x y y ，则=P C U A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C ．()+∞,0 D ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,210,2．命题“若x2+y2=0，x 、y ∈R ，则x=y=0”的逆否命题是A ．若x≠y≠0，x 、y ∈R ，则x2+y2=0B ．若x=y≠0，x 、y ∈R ，则x2+y2≠0C ．若x≠0且y≠0，x 、y ∈R,则x2+y2≠0D ．若x≠0或y≠0，x 、y ∈R,则x2+y2≠0 3．在△ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PM AP 2=,则)(PC PB PA +⋅等于A ．94-B ．34-C ．34D ．94 4．设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A ．45B ．5C ．25D ．55．将函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是A ．x y 2cos =B ．x y 2cos 2=C ．⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 1πx y D ．x y 2sin 2= 6．函数⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(2x x x x x x f 的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．07．若函数()x f y =的导函数为()x f y '=，且⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2)('πx x f ，则)(x f y =在[]π,0上的单调增区间为A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0πB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,328．如果实数x 、y 满足关系⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤-+044004y x y x y x ，则511--+x y x 的取值范围是A ．[3，4]B ． [2，3]C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,57D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,579．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则A ．2(2)(3)(log )af f f a << B ．2(3)(log )(2)af f a f << C ．2(log )(3)(2)af a f f <<D ．2(log )(2)(3)af a f f <<11．已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M={1(x,y )|y x=}；②M={1(x,y )|y sin x =+}； ③M={2(x,y )|y log x =}；④M={2x(x,y )|y e =-}． 其中是“垂直对点集”的序号是A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④12．已知1>a ，函数)1(log )(+=x x f a ，)2(log 2)(t x x g a +=，当()1,1-∈x ，[]6,4∈t 时，存在x,t 使得4)()(+≤x f x g 成立，则a 的最小值为 A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．点M 是圆x2+y2=4上的动点，点N 与点M 关于点A （1，1）对称，则点N 的轨迹方程是.14．设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),19≤x≤9,则f(x)的最小值为. 15．抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 的长为)2(p a a ≥，则弦AB 的中点M 到y 轴的最短距离为_______________。
高三数学理科4月模拟考试题及答案
黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数()f x =的定义域是 ． 2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2lim1nn S n →∞-= ．7．直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ． 9．2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是[答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<． B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π． C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定 18．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面； (2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； (4)样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．A B CD C 1 D 1 A 1B 1三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S ．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++最小值．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． (1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且212d d =．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2023-2024学年广东省深圳市高考数学押题模拟试题(三模)含解析
2023-2024学年广东省深圳市高考数学押题模拟试题（三模）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x x=≤，(){}2log1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A.[)1,+∞B.[)0,∞+C.（0，1）D.[]0,1【正确答案】B【分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解.【详解】{}2A x x x=≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A又因为(){}21001,01x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤又(){}2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B所以{}1011x x B x x ->⇒>∴=>所以{}{}{}[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43izz +=+（）A.5i +B.5i- C.35i- D.4【正确答案】B【分析】由题意得34i z =-，再代入式子计算即可得到答案.【详解】由复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-得34iz =-5z ∴==()()()()34i 43i 34i555i 43i 43i 43i 43i z z ---∴+=+=+=-+++-故选：B.3.向量m ，n 满足5m n ⋅=，且()1,3m =- ，则n 在m 上的投影向量为（）A.55,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B.13,1010⎛⎫-⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10310,55⎛ ⎝⎭【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解作答.【详解】由()1,3m =- 得||m ==，又5m n ⋅=，所以n 在m 上的投影向量为113((1,3)(,)222||||m n m m m ⋅==-=-.故选：C4.2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，来自A 省的3名代表和B 省的3名代表合影留念.假设6名代表站成一排，则A 省的3名代表互不相邻，且B 省的3名代表也互不相邻的概率为（）A.120B.110C.310 D.15【正确答案】B【分析】先求出6名代表站成一排的所以排法，再求A 省的3名代表互不相邻，且B 省的3名代表也互不相邻的所有排法，利用古典概型概率公式求其概率.【详解】6名代表站成一排的所有排法共有66A 720=种排法，A 省的3名代表互不相邻，且B 省的3名代表也互不相邻的排法可分为两类：第一类：A 省的3名代表坐在第1,3,5位置，共有3333A A 36=种排法，第二类：A 省的3名代表坐在第2,4,6位置，共有3333A A 36=种排法，所以A 省的3名代表互不相邻，且B 省的3名代表也互不相邻的排法共有33332A A 72=种排法，所以事件A 省的3名代表互不相邻，且B 省的3名代表也互不相邻的概率72172010P ==.故选：B.5.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，AEB 是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形.以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB 所形成的几何体的体积分别为1V ，2V ，3V ，则下列说法正确的是（）A.123V V V +<B.123V V V +>C.12V V > D.12V V =【正确答案】D【分析】OCD ∆、阴影部分、半圆AEB 旋转所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球，依次计算其体积即可.【详解】由旋转体的概念可得：OCD ∆、阴影部分、半圆AEB 所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球，易知OE =DE ，设DE =OE =r ，故23111ππ33V r r r =⨯=，2233141πππ233r r r V r =⨯-⨯=，333142ππ233V r r =⨯=，显然12V V =，且123V V V +=.故选：D.6.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数()1sin sin22f x x x =+.给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期是π；②()f x 在[]0,2π上有3个零点；③()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④()f x 的最大值为4.其中所有正确结论的序号是（）A.①②③B.②④C.①②④D.③④【正确答案】B【分析】根据反证法可判断①；根据零点的定义求出零点即可判断②，根据导数和单调性的关系可判断③；由周期性和单调性可判断④．【详解】对①，因为()1sin sin22f x x x =+，若()f x 的最小正周期是π，则()()πf x f x +=，令π2x =-，则()()ππ22f f =-，而π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π12f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，显然不相等，故①不正确；对②，()0f x =即sin sin cos 0x x x +=，即()sin 1cos 0x x +=，故sin 0x =或cos 1x =-，又[]0,2πx ∈，故0,πx x ==或2πx =，即()f x 在[]0,2π上有3个零点，故②正确；对③，由题()[]1sin sin2,0,2π2f x x x x =+∈，由()()()2cos cos22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x =+=+-=-+'，令()0f x '=得，π5π,,π33x x x ===，当()()π0,,0,3x f x f x ⎡⎫∈>⎪⎢⎣'⎭为增函数，当()()π5π,,0,33x f x f x ⎡⎫∈≤⎢⎣⎭'⎪为减函数，当()()5π,2π,0,3x f x f x ⎛⎤∈>⎝⎦'⎥为增函数，所以()f x 在π5π0,,,2π33⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上单调递增，在π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减，故③不正确；对④，易知函数的周期是2π，当[]0,2πx ∈时，根据③中函数的单调性可知，()π,2π034f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为4，所以④正确，综上，②④正确．故选：B ．7.某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n 天选择米饭套餐的概率为n P ，给出以下论述：①30.52P =；②()()110.40.612,N n n n P P P n n --=+-≥∈；③10.40.5(0.2)n n P -=+⨯-④前k 天甲午餐总费用的数学期望为55115225kk ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.其中正确的是（）A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③【正确答案】B【分析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出n P ，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及n P ，即可判断④．【详解】若甲在第()1n -天选择了米饭套餐，那么在第n 天有40%的可能性选择米饭套餐，甲在第()1n -天选择了面食套餐，那么在第n 天有60%的可能性选择米饭套餐，所以第n 天选择米饭套餐的概率()()110.40.612,N n n n P P P n n --=+-≥∈，故②正确；因为20.4P =，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以30.60.60.40.40.52P =⨯+⨯=，故①正确；由②得，10.20.6n n P P -=-+，所以()10.50.20.5n n P P --=--，又由题意得，11P =，{}0.5n P -是以0.5为首项，0.2-为公比的等比数列，所以()10.510.5(0.2)n n P --=-⨯-，所以10.50.5(0.2)n n P -=+⨯-，故③错误；前k 天甲午餐总费用的数学期望为1111551180.50.5(0.2)1210.50.5(0.2)15225kkkn n n n k --==⎛⎫⎡⎤⎡⎤⨯+⨯-+⨯--⨯-=+-- ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑，故④正确.故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F .若点1F 关于直线2y x=的对称点P 恰好在C 上，且直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，则12cos FQF ∠=（）A.23B.45C.57D.1213【正确答案】D【分析】先根据点关于直线的对称点求法求出点34,55c c P ⎛⎫-⎪⎝⎭，再根据距离公式可得12,55PF c PF c ==，从而判断出12F PF ∠为直角，再根据椭圆的定义以及勾股定理计算得出2,QF QP ，从而得解．【详解】设()1,0F c -关于直线2y x =的对称点()11,P x y ，由111121222y x c y x c⎧⨯=-⎪+⎪⎨-⎪=⨯⎪⎩，得34,55c c P ⎛⎫-⎪⎝⎭．可知12,55PF c PF c ==，又知122F F c =，所以2221212PF PF F F +=，则12F PF ∠为直角，由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义122PF PF a +=，得355a c =，122QF QF a +=，设1QF m =，则225QF a m c m =-=-，在直角三角形2QPF △中，222555m c m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得25m c =，从而2,2525QF c QP c ==，所以22112cos 13F QP QF F Q ∠==.故选：D ．二､多选题：本题茫4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，青多项待合题目丽求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知由样本数据(i x ，)(1i y i =，2，3，⋯，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ20.4yx =-，且2x =，去除两个样本点(2,1)-和(2,1)-后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（）A.相关变量x ，y 具有正相关关系B.去除两个样本点(2,1)-和(2,1)-后，回归直线方程为ˆ33yx =-C.去除两个样本点(2,1)-和(2,1)-后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D.去除两个样本点(2,1)-和(2,1)-后，样本(4,8.9)的残差为0.1【正确答案】AB【分析】对于A ，30>，则相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；对于B ，求出 953322a=-⨯=-，故去除样本点后的回归直线方程为 33y x =-，故B 正确；对于C ，由于斜率为32>，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误；对于D ,样本()4,8.9的残差为8.990.1-=-，故D 错误.【详解】解：对于A ，去除两个样本点()2,1-和()2,1-后，得到新的回归直线的斜率为3，30>，则相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；对于B ，由2x =代入24y x =-得 3.6y =，则去除两个样本点()2,1-和()2,1-后，得到新的210582X ⨯==， 3.610982Y ⨯==， 953322a =-⨯=-，故去除样本点后的回归直线方程为 33y x =-，故B 正确；对于C ，由于斜率为32>，故相关变量x ，y 具有正相关关系且去除样本点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误，对于D ,当4x =时，3439y =⨯-=，则样本()4,8.9的残差为8.990.1-=-，故D 错误.故选：AB.10.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，以A 为顶点的三条棱长都是2，11π3A AD A AB BAD ∠=∠=∠=，则（）A.//EF 平面11AC DB.1AC =C.四边形11BDD B 的面积为2D.平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为【正确答案】ABD【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，如图，连接1111,,,,EF AC AC A D C D ，由于,E F 分别是,AB BC 的中点，所以//EF AC ，根据棱柱的性质可知11//AC AC ，所以11//EF AC ，由于EF ⊄平面11AC D ，11A C ⊂平面11AC D ，所以//EF 平面11AC D ，所以A 选项正确.B 选项，因为()()2211AC AB AD AA =++uuu r uu u r uuu r uuu r 222111222222222224222⎛⎫=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以1AC =，即1AC =，所以B 选项正确.C 选项，如图，连接11,BD B D ，则11111111,BD BA AD DD B D B A A D D D =++=++ ，22221111222BD BA AD DD BA AD AD DD BA DD =+++⋅+⋅+⋅ 222222222cos120222cos 60222cos1208=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ，即1BD =，同理1B D = ，故四边形11BDD B 为矩形，面积为224⨯=，所以C 选项错误.D 选项，如图，过1A 作1AE ⊥平面ABCD ，易知E 在直线AC 上，因为AB ⊂平面ABCD ，故1A E AB ⊥，过E 作EF AB ⊥于F ，连接1A F ，由1,A E AB EF AB ⊥⊥，而11,,A E EF E A E EF =⊂ 平面1A EF ，得AB ⊥平面1A EF ，易得1AB A F ⊥，故1cos601AF AA =⋅=，cos303AF AE ==，13A E ==，故平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为1222223⨯⨯⨯⨯⨯=，所以D 选项正确.故选：ABD11.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且3AF =，点M 是抛物线上BA 间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的有（）A.抛物线焦点F 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在△FMN 中，若t MN MF =，t ∈R ，则t 的最小值为2D.若抛物线在点M 处的切线分别交BT ，AT 于H ，G 两点，则BH GA HT TG ⋅=⋅【正确答案】BCD【分析】对于A 项，利用抛物线定义即可判定；对于B 项，设切线方程联立抛物线解方程即可；对于C 项，利用抛物线的定义结合图象可知在MN 与抛物线相切时t 取最小值，计算即可；对于D 项，根据抛物线的切线方程用ABM 的坐标来表示HGT 的坐标，计算即可.【详解】对于A 项，如图所示，过A 向准线作垂线，垂足为C ，则由抛物线定义可得AF=AC =3，又F 为AD 中点，则F 到准线的距离为1.5，所以F ()0,0.75，故A 错误；对于B 项，由上可得 1.5p =，即30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线方程为23y x =，设过N 的切线方程为：34y kx =-，联立可得2930,4x kx -+=由相切可得23990,2k k x ∆=-==，即切点横坐标32x =±，代入抛物线得切点坐标33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C 项，如图所示过M 作准线的垂线垂足为E ，sin FM EMt MNE MN MN===∠，根据正弦的单调性知MNE ∠越小正弦值越小，即MN 与抛物线相切时此角最小，由上可知此时M 33,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，易得,2ME NE t ==，故C 正确；对于D 项，设()()1122,,A x y B x y 、、M ()00,x y ，由213y x =得23y x '=，则过M 的切线方程为()00023y y x x x -=-，化简得：()0032x x y y =+，同理可得，过A 、B 的切线方程分别为()1132x x y y =+、()2232x x y y =+，联立可得202010101212,,,232323x x x x x x x x x x x x T H G +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、，则GA BH ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，GT HT ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩()()1020GA BH x x x x GT HT ⇒⋅=--=⋅，故D 正确.故选：BCD本题考查直线与抛物线的位置关系，属于压轴题.关键在于积累二级结论：过抛物线22py x =上一点()00,P x y 的切线方程为()00p y y x x +=，计算时注意技巧可简化计算量.12.已知函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R ．()()242f x f x =-，()()0f x f x +-=，当[]2,4x ∈时，()0g x '<，()11g =，则（）A.()f x 的图象关于1x =对称B.()g x 为偶函数C.()()40g x g x ++=D.不等式()e1xg ≥的解集为(]()()(),0ln 81,ln 81k k k *-∞⋃-+∈⎡⎤⎣⎦N 【正确答案】BCD【分析】根据()()4f x f x =-可判断A,求导即可根据()()f x g x '=判断B ，由()g x 为偶函数以及对称可判断C ，根据函数的性质画出大致图象，即可由1818,Z k x k k -+≤≤+∈时，()1g x ≥求解D.【详解】由()()242f x f x =-可得()()4f x f x =-，故可知()f x 的图象关于2x =对称，故A 错误，由()()0f x f x +-=得()()0f x f x ''--=，由()()f x g x '=得()()0g x g x --=，故()g x 为偶函数，故B 正确，由()()4f x f x =-可得()()4f x f x ''=--，所以()()4g x g x =--，又()g x 为偶函数，所以()()()()()4440g x g x g x g x g x =--=--+-=⇒，即()()40g x g x ++=，故C 正确，由()g x 为偶函数且()()40g x g x ++=可得()()()()488g x g x g x g x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦，所以()g x 是周期函数，且周期为8，又当[]2,4x ∈时，()0g x '<，可知()g x 在[]2,4x ∈单调递减故结合()g x 的性质可画出符合条件的()g x 的大致图象：由性质结合图可知：当1818,Z k x k k -+≤≤+∈时，()1g x ≥，由()11g =得()()e11xg g ≥=，故18e 18,Z x k k k -+≤≤+∈，当0k <且Z k ∈时，18e 18,x k k -+≤≤+此时无解，当0k =时，1e 1x -≤≤，解得0x ≤，当0k >且Z k ∈时，由18e 18,x k k -+≤≤+得()()ln 18ln 18,k x k -+≤≤+综上可得()e 1xg ≥的解集为(]()()(),0ln 81,ln 81k k k *-∞⋃-+∈⎡⎤⎣⎦N ，故D 正确，故选：BCD本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()8x y x y -+的展开式中72x y 的系数是______.【正确答案】20【分析】直接用二项式定理讨论即可.【详解】二项式()8x y -中，()8181C rr r rr T x y -+=-，当x y +中取x 时，这一项为()981C r r r r x y --，所以2r =，()2281C 28-=，当x y +中取y 时，这一项为()8181C r r r r x y -+-，所以1r =，()1181C 8-=-，所以展开式中27x y 的系数为-+=82820.故20.14.已知直线:50l x y -+=与圆22:2440C x y x y +---=交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则MAB △面积的最大值是___________.【正确答案】3+##3+【分析】求出圆C 圆心到弦AB 的长度d ，求出弦AB 的长度，M 到弦AB 的最大距离为d ＋r (r 为圆C 半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】22:(1)(2)9C x y -+-=，则圆C 的圆心为()1,2C ，半径为3r =，圆心C 到直线l （弦AB ）的距离为d ==，则2AB ===，则M 到弦AB 的距离的最大值为3d r +=+，则MAB △面积的最大值是()1332AB ⋅⨯+=.故315.与曲线e xy =和24x y =-都相切的直线方程为__________.【正确答案】1y x =+【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线e x y =相切于点()11,ex x ，因为e x y '=，所以该直线的方程为()111e e xxy x x -=-，即()111e e 1xxy x x =+-，设直线与曲线24x y =-相切于点222,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2x y '=-，所以该直线的方程为()222242x x y x x +=--，即22224x x y x =-+，所以()112221e 2e 14x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得120,2x x ==-，所以该直线的方程为1y x =+，故答案为.1y x =+16.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，1A ，2A 分别为边AB ，CD 的中点，,M N 分别为线段2A C （不含端点）和AD 上的动点，满足2MA DNCD AD=，直线1A M ，2A N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______.【分析】以1A 2A 所在的直线为y 轴，线段1A 2A 的中垂线所在的直线为x 轴，求出直线1A M ，2A N 的方程，联立两方程解出点P 的坐标，进而可得点P 所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案.【详解】解：以1A 2A 所在的直线为y 轴，线段1A 2A 的中垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系：设||(0)AD BC m m ==>，则||2AB CD m ==，则有(,)2m A m --，(,2m B m -，1(0,)2m A -，2(0,2m A ，(,)2m C m ，(,2mD m -，(,2m A m --，设00(,)(0)2m M x x m <<，00(,)(22m m N m y y --≤≤所以20MA x =，02m DN y =-，又因为2MA DNCD AD =，所以0022m y x m m-=，所以002x m y =-或002m x y -=，又因为100()220A Mm m m kx x --==-，所以直线1A M 的方程为：0()(0)2m m y x x --=-，即02m my x x =-，同理可得直线2A N 的方程为：02(0)2m y m y x m --=--，即0002222222m x mmy x m m m y x x x m m m---=-=-=+，由00222m m y x x x m y xm ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得202203202202222(2)x m x m x m mx y m x ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，即2320022220022(,)22(2)x m m mx P m x m x +--，因为2022022P x m x m x =-，242022204(2)P x m x m x =-，3222002222002(2)2(2)2(2)P m mx m m x y m x m x ++==--，2222222222242222222000002222222222220000(2)(2)882(1)4(2)4(2)4(2)4(2)42PPm m x m x m x m x m x x m m m m y m x m x m x m x +-+==⋅=⋅+=+=+----,即有22224PP x m y -=，2222142P Py x m m-=，所以点P 所在双曲线方程为：2222142y x m m-=，所以2222,42m m a b ==，所以2222223424m m m c a b =+=+=，所以3212mce a m ===.思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出,a c 的值(或数量关系或关于,,a b c 的一个二次方程).四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤）17.已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*n ∈N ，11,,222,.nn n n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数是偶数（1）求2a ，3a 的值，并证明数列2123n a -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设()21N*n n b a n -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）21a =，310a =，证明见解析（2）()824193n n T n =--【分析】（1）根据数列定义，将2123n a ++逐步展开为21243n a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可判断数列2123n a -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）根据分组求和即可求解n T .【小问1详解】1212a a ==，3322210a a =+=.由题意得212121212212121288822244332333n n n n n n n n a a a a a ++-+---⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又128033a +=≠，所以数列2123n a -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.【小问2详解】由（1）知12182433n n n b a --==⋅-.运用分组求和，可得()0121828142444++4333143n n n T n n--=++⋅⋅⋅-=⋅--()824193n n =--.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-．（1）证明：6cos 0a c B +=；（2）若1b =，求ABC 面积的最大值．【正确答案】（1）证明见解析（2）314【分析】（1）由正弦定理得222433a b c =-，再由余弦定理得到6cos a c B =-，证明出结论；（2）由（1）中结论和1b =得到2304a <<，结合cos 6aB c=-得到1sin 2ABC S ac B ==△，由基本不等式求出面积的最大值.【小问1详解】由正弦定理及2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-得，2222224sin cos 4sin sin 3sin 3sin A B B A B C +=-，即2224sin 3sin 3sin A B C =-．再由正弦定理可得222433a b c =-．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，222242cos 3a c ac B a c +-=+,即6cos a c B =-，故6cos 0a c B +=；【小问2详解】由222433a b c =-及1b =，可得22413c a =-．由20c >得24103a ->，所以2304a <<．在ABC 中cos 6a B c=-，所以sin B =．所以11sin 22ABCS ac B ===△221493649384214a a ⎛⎫+-=≤⨯= ⎪⎝⎭．当且仅当22493649a a =-，即21830,494a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立．故ABC 面积的最大值为314．19.如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC △为正三角形，E ，F 分别是棱,PC PB 上的点，且满足(01)PE PFPC PBλλ==<<．（1）求证：BC AE ⊥；（2）是否存在λ，使得直线AP 与平面AEF 所成角的正弦值为2114？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）存在，13λ=.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式进行求解判断即可.【小问1详解】设AC 的中点为D ，连接DP ，因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以BC ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，所以BC AE ⊥；【小问2详解】连接DO ，因为//DO BC ，所以BC DO ⊥，因为PAC △为正三角形，AC 的中点为D ，所以DP AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以DP ⊥平面ABC ，而DO ⊂平面ABC ，所以DP DO ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，设2,AC a BC b ==，(0,0,0),(,0,0),),((1)),(,(1))D A a P E a F a b λλλλλ----，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，((1)),(,(1))AE a a AF a a b λλλλλ=---=---，所以有()()(1)00+(1)00a a x n AE n AE a a x b y n AF n AF λλλλλ⎧⎧⎧--+-=⊥⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+-=⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，所以3(1)(,1n λλ-=+，(,)AP a =- ，假设存在λ，使得直线AP 与平面AEF 所成角的正弦值为2114，所以有1cos ,143AP n AP n AP n λ⋅=〈〉===⋅ ，或12λ=-（舍去），即存在13λ=，使得直线AP 与平面AEF 所成角的正弦值为2114.20.2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连续赢两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p ，其中1132p <<．（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望()E X 的取值范围．【正确答案】（1）业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛（2）()E x 的取值范围为：()4.25,4.3（单位：万元）.【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.（2）由已知 4.5X =万元或 3.6X =万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出()E x ，由1132p <<，求出()E X 的取值范围.【小问1详解】第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：112153339P p p p =⨯+⨯⨯=;第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：()22111213333P p p p p p =⨯+-⨯⨯=-+，因为1132p <<，所以212111103933P P p p p p ⎛⎫-=-=-> ⎪⎝⎭，所以12P P >.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.【小问2详解】由已知 4.5X =万元或 3.6X =万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为159P p =，专业队获胜的概率为()()3212881133399P p p p =⨯-+-⨯=-，所以，非平局的概率为()13814.593P X P P p ==+=-，平局的概率为()13113.6193P X P P p ==--=+.X 的分布列为：X 4.5 3.6()P X 8193p -1193p +X 的数学期望为()81114.5 3.6 4.40.39393E x p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（万元）而1132p <<，所以()E x 的取值范围为：()4.25,4.3（单位：万元）.21.已知双曲线2222:1(0)3x y C a a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 到C 的一条渐近（1）求C 的方程；（2）过C 的左顶点且不与x 轴重合的直线交C 的右支于点B ，交直线12x =于点P ，过1F 作2PF 的平行线，交直线2BF 于点Q ，证明：Q 在定圆上.【正确答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求出2c =即可得解；（2）由题意可设PA ，2PF 的斜率分别为,k k -，设直线AP 的方程为()1y k x =+，联立双曲线方程，求出22236,33k k B k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，由三角函数可得212211F F Q PF A BF P F QF ∠=∠=∠=∠，即化为2124QF F F ==得证.【小问1详解】根据题意可知C的一条渐近线方程为a y x a==，设()22,0(0),F c c F >到渐近线y =的距离为d ==所以22222,43,1c c a a a ===+=，所以C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】设C 的左顶点为A ，则(1,0)A -,故直线12x =为线段2AF 的垂直平分线.所以可设PA ，2PF 的斜率分别为,k k -，故直线AP 的方程为()1y k x =+.与C 的方程联立有()22223230k x k x k ----=，设B 11(,x y ），则212213k x k -+=-，即21233k x k +=-，所以22236,33k k B k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭当2BF x ⊥轴时，223BF AF ==，2AF B 是等腰直角三角形，且易知22π4PF A BF P ∠=∠=当2BF 不垂直于x 轴时，直线2BF 的斜率为221k k -，故222tan 1k BF A k ∠=-因为tan 1PFA ∠=-，所以2222tan2tan ,1k PF A BF A k ∠==∠-所以22222,BF A PF A PF A BF P∠∠∠∠==因为12QF PF ∥所以212211F FQ PF A BF P FQF ∠=∠=∠=∠所以2124QF F F ==为定值，所以点Q 在以2F 为圆心且半径为4的定圆上.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()2ln f x x ax =-.（1）讨论函数()f x 的单调性：（2）若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据0a ≤和0a >分类讨论，即可得出函数的单调性；（2）由22ln 02ln 20x ax x ax -=⇔-=可得，12,x x 是方程22ln 20x ax -=的两不等实根，从而可将问题转化为12,t t 是方程ln 2t a t=的两不等实根，即可得到a 和12,t t 的范围，原不等式等价于122e t t +>，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．【小问1详解】由題意得，函数()f x 的定义域为()0,∞+.由()2ln f x x ax =-得：()21122ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；当0a >时，由()0f x ¢>得0x <<，由()0f x '<得x >所以()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】因为12,x x 是方程2ln 0x ax -=的两不等实根，22ln 02ln 20x ax x ax -=⇔-=，即12,x x 是方程22ln 20x ax -=的两不等实根，令2(0)t x t =>，则221122,t x t x ==，即12,t t 是方程ln 2t a t=的两不等实根.令()ln t g t t =，则()21ln t g t t -='，所以()g t 在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，()1e e g =，当0t →时，()g t →-∞；当t →+∞时，()0g t >且()0g t →.所以012e a <<，即012ea <<.令121e t t <<<，要证22122e x x +>，只需证122e t t +>，解法1（对称化构造）：令()()()()2e ,1,e h t g t g t t =--∈，则()()()()()()()ln 2e 2e ln ln 2e ln 2e 2e 2e t t t t t t h t g t g t t t t t ----=--=-=--，令()()()2e ln ln 2e t t t t t ϕ=---，则()()()22e 2e 1ln ln 2e ln 2e 2e 2e t t t t t t t t t t t t ϕ-=----+=+--+--'2e 202e t t t t ->+->-，所以()t ϕ在()1,e 上递增，()()e 0t ϕϕ<=，所以h ()()()2e 0t g t g t =--<，所以()()2e g t g t <-，所以()()()2112e g t g t g t =<-，所以212e t t >-，即122e t t +>，所以22122e x x +>.解法2（对数均值不等式）：先证121212ln ln 2x x x x x x -+<-，令120x x <<，只需证212121ln ln 2x x x x x x --<+，只需证()2121ln 011x x x x x x -⎛⎫-<=> ⎪+⎝⎭，令()()()2222141(1)ln (1),01(1)(1)x x x x x x x x x x x ϕϕ---=->=-=++'<+，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()10x ϕϕ<=.因为1212ln ln t t t t =，所以1212121212ln ln ln ln 2t t t t t t t t t t +-+=<+-，所以12ln ln 2t t +>，即212e t t >，所以122e t t +>>.方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出．。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题五0013
高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题（五）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分） 1.设集合A={–2，–1，3，4}，B={–1，0，3}，则A ∪B 等于（） （A ）{–1，3}（B ）{–2，–1，0，3，4} （C ）{–2，–1，0，4}（D ）{–2，–1，3，4} 【命题意图】考查集合的并集运算 【答案】B【解析】考查集合的并集运算。
根据并集定义将两个集合中的元素全部放在一起，即构成A ∪B ，故选B 2.cos(–570)的值为（）． （A ）21（B ）23 （C ）–21（D ）–23 【命题意图】考查三角函数求值 【答案】D【解析】考查三角函数求值。
cos(–570）=cos(210）=–23，选D 3．函数21y x =-【命题意图】考查函数定义域，注意偶次根式的被开方数范围 【答案】B【解析】解不等式012≥-x 得21≥x ，选B 4．下列函数是偶函数的是（） A ．32xy = B ．x x y 322-= C ．21x y = D ．]1,0[,2∈=x x y【命题意图】考查函数的奇偶性 【答案】A【解析】考查函数奇偶性，选项A ：可化为32x y =，偶函数；选项B ：函数图像不关于y 轴对称，不是偶函数； 选项C ：定义域为),0[+∞，不具有奇偶性；选项D ：定义域不关于原点对称，不具有奇偶性.故选A5各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，43=a ，则5a =（） A.2 B.4 C.8D.16【命题意图】考查等当数列的基本运算 【答案】D【解析】考查等比数列基本运算，4,2213=∴=q q a a ,16235==q a a .选D6.设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（）A.p ⌝：∈∃0x R,020<xB.p ⌝：∈∃0x R,020≤xC.p ⌝：x ∀∈R,20x <D.p ⌝：x ∀∈R,20x ≤【命题意图】考查简易逻辑，含一个量词的命题的否定形式 【答案】A【解析】考查全称命题的否定形式，p ⌝：∈∃0x R,020<x 选A7.已知等差数列{an}中，4a =7，7a =15，则其前10项的和为（） （A ）100（B ）110 （C ）380（D ）400【命题意图】考查等差数列前n 项和公式 【答案】B【解析】考查等差数列求和，110210)(210)(7410110=⨯+=⨯+=a a a a S ,选B8．化简：π＝（）A ． 4B ．2 4π－C ．2 4π－或4D ．4 2π－ 【命题意图】考查根式运算，注意无理数π的大小 【答案】B【解析】化简，考虑04-<π，可得(4)24πππ--=-，选B 9．直线032=+-y x 的斜率是（） A.12-B.12C.2-D.2 【命题意图】考查直线的斜率 【答案】D【解析】考查由直线方程求斜率，选D10.若ｆ(x)＝1x,x ∈{0，1,2},则函数f （x ）的值域是（） A. {0,1,1} B.{y|1﹤y ﹤1} C.{1,0,2 } D.{y|11≤≤y } 【命题意图】考查函数概念，注意函数值域的形式 【答案】D【解析】考查函的数值域概念，当x 分别取到0，1，2时，y 的值对应1，0，1.选A 11.函数1()13xy =+（）A ．是偶函数，在区间()0,∞-上单调递增B ．是偶函数，在区间()0,∞-上单调递减C ．是奇函数，在区间()∞+,0上单调递增D ．是奇函数，在区间()∞+,0上单调递减 【命题意图】考查函数图象的变换 【答案】A【解析】考查函数图像的翻折变换，奇偶性和单调性判断，选A12. 已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系不可能（） A.异面 B.相交 C.平行 D.相交【命题意图】考查空间中直线与平面的位置关系 【答案】C【解析】考查空间直线的位置关系，c 与b 可能异面可能相交，不可能平行，C 正确. 13．各棱长均为a 的三棱柱的表面积为（）A ．2B ．233aC ．23)aD ．23)a + 【命题意图】考查空间几何体的表面积计算 【答案】D【解析】计算各个面的面积之和。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题三001
高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题（三）选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数()4||f x x =-的值域为（ ）A ．RB ．(],4-∞C ．[)4,+∞D ．(],0-∞ 【答案】B 【解析】试题分析：因为0x ≥，所以44x -≤，故选B 。
考点：函数的值域【命题意图】以绝对值函数为载体考察函数的值域。
2．在ABC ∆中，若cos 2A =，则A ∠=（ ） A ．4π B ．3πC ．34πD ．4π或34π【答案】A 【解析】试题分析：在三角形中，因为cos A =，所以4A π=，故选A 。
考点：特殊角的三角函数值【命题意图】已知三角函数值，考察角的大小。
3．已知直线方程tan 4510x y +-=，则其倾斜角为（ ）A ．0B ．45C ．30D ．135 【答案】D 【解析】试题分析：因为直线tan 4510x y +-=的斜率为1-，所以倾斜角为135，故选D 。
考点：直线的倾斜角与斜率【命题意图】由直线的一般形式，考察直线的倾斜角。
4．若数列1,,4,,16x y 成等比数列，则下列等式一定成立的是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．8y =D ．16xy = 【答案】D 【解析】试题分析：因为1,,4,,16x y 成等比数列，所以224,64,16x y xy ===，故选D 。
考点：等比中项【命题意图】已知等比数列，考察各项之间的联系。
5．抛物线22x y =的焦点到直线y =的距离为（ ）A ．14 BC ．12D【答案】A 【解析】试题分析：抛物线22x y =的焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭114=，故选A 。
考点：点到直线的距离【命题意图】以抛物线的焦点为载体，考察点到直线的距离。
6．已知向量()1,1,==a b ()2,λ，若2=b a ，则λ=（ ）A ．±1B ．．±2 D ．0 【答案】C 【解析】试题分析：因为22,4a b λ==+2λ=±，故选C 。
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高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题（三）选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数()4||f x x =-的值域为（ ）A ．RB ．(],4-∞C ．[)4,+∞D ．(],0-∞ 【答案】B 【解析】试题分析：因为0x ≥，所以44x -≤，故选B 。
考点：函数的值域【命题意图】以绝对值函数为载体考察函数的值域。
2．在ABC ∆中，若cos A =A ∠=（ ） A ．4π B ．3πC ．34πD ．4π或34π【答案】A 【解析】试题分析：在三角形中，因为cos A =，所以4A π=，故选A 。
考点：特殊角的三角函数值【命题意图】已知三角函数值，考察角的大小。
3．已知直线方程tan 4510x y +-=，则其倾斜角为（ ）A ．0B ．45C ．30D ．135 【答案】D 【解析】试题分析：因为直线tan 4510x y +-=的斜率为1-，所以倾斜角为135，故选D 。
考点：直线的倾斜角与斜率【命题意图】由直线的一般形式，考察直线的倾斜角。
4．若数列1,,4,,16x y 成等比数列，则下列等式一定成立的是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．8y =D ．16xy = 【答案】D 【解析】试题分析：因为1,,4,,16x y 成等比数列，所以224,64,16x y xy ===，故选D 。
考点：等比中项【命题意图】已知等比数列，考察各项之间的联系。
5．抛物线22x y =的焦点到直线y =的距离为（ ）A ．14 BC ．12D【答案】A 【解析】试题分析：抛物线22x y =的焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭114=，故选A 。
考点：点到直线的距离【命题意图】以抛物线的焦点为载体，考察点到直线的距离。
6．已知向量()1,1,==a b ()2,λ，若2=b a ，则λ=（ ）A ．±1B ．．±2 D ．0 【答案】C 【解析】试题分析：因为22,4a b λ==+2λ=±，故选C 。
考点：向量模长【命题意图】已知平面向量的坐标表示，考察模长的计算。
7．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-，则2a =（ ）A ．1B ．4C ．6D ．7 【答案】C 【解析】试题分析：因为221716a S S =-=-=，故选C 。
考点：数列前n 项和n S 与通项n a 的关系第9题图【命题意图】已知数列前n 项和n S ，考察数列中某一项的计算。
8．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos2y x =向右平移（ ）A ．12π个单位 B ．6π个单位 C ．4π个单位 D ．512π个单位【答案】D 【解析】试题分析：因为55sin 2cos 2cos 23612y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D 。
考点：函数图象的平移【命题意图】以正、余弦函数为载体，考察函数图象的平移。
9．如图，三棱锥S ABC -三个顶点A ，B ，C 分别位于一正方体的三个顶点，S 为正方体一条棱的中点，则三棱锥S ABC -的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，在左投影的情况下，A 点的投影点为C 点，B 点的投影点为正方体顶点C 正下方的顶点，C 、S 点投影点为本身。
故选A 。
考点：三视图【命题意图】以正方体为载体，考察空间几何体的三视图。
10．空间直角坐标系Oxyz 中，点A 在z 轴上，它到点(3,2,1)13A 的坐标是（ ）A ．(0,0,1-)B ．(0,1,1)C ．(0,0,1)D ．(0,0,13) 【答案】C 【解析】试题分析：设点()0,0,A z ()22232113z ++-=1z =，故选C 。
考点：空间中两点的距离【命题意图】已知空间点的坐标及与另外一点的距离，考察点的坐标。
11．“02x <<”是“24x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当02x <<时，124x <<，则可以推出024x <<；当024x <<时，2x <，推不出02x <<。
综上可知“02x <<”是“24x <”的充分而不必要条件。
考点：充分条件与必要条件【命题意图】以指数不等式为载体，考察充分必要条件。
12．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中正确的是A ．若//m α，//αβ，则//m βB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：对于选项A ，有可能m β⊂；对于选项B ，有可能α与β相交；对于选项D ，//αβ。
故选C 。
考点：空间中直线、平面的位置关系 【命题意图】考察学生空间推理、想象能力。
13. 若a ，b 为实数，且a b <，下列命题中正确的是（ ）A. 若x a x b ->-，则x b >B. 若x a x b ->-，则x b <C. 若x a x b ->-，则2a b x +>D. 若x a x b ->-，则2a bx +< 【答案】C 【解析】试题分析：x a -表示坐标轴上动点x 到定点a 的距离，x b -表示坐标轴上动点x 到定点b 的距离，若x a x b ->-，则动点x 在a ，b 中点的右端，故选C 。
考点：绝对值不等式的几何意义【命题意图】考察绝对值不等式的几何意义。
第16题图14.若实数,x y 满足22102204x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪+=⎩，则y 的最大值为（ ）71- B.85C.2D.3 【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图。
则点M 为最高位置，其纵坐标为85，故选B 。
考点：简单的线性规划【命题意图】给出不等式组，考察可行域的画法，从而求最值。
15. 已知,a b 为正数，且直线()31210x b y +--=与直线40x ay ++=相互平行，则32a b+的最小值为（ ）A.25B.12C.136D.1 【答案】A 【解析】试题分析：因为直线()31210x b y +--=与直线40x ay ++=相互平行，所以 312a b =-，即321a b +=，()32326666321313225.b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭故选A 。
考点：基本不等式【命题意图】以直线的位置关系为载体，考察利用基本不等式求最值。
16.如图，平行六面体（每个面都是平行四边形）1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面1A BD 的交点为E ，线段BD 的中点为O ，则（ ） A.三点1,,A E O 共线，且1A E EO = B.三点1,,A E O 不共线，且1A E EO = C.三点1,,A E O 共线，且12A E EO = D.三点1,,A E O 不共线，且12A E EO =【答案】C 【解析】试题分析：因为面11A ACC 面1A DB =直线1A O ，直线1AC 面1A DB =点E ，所以点E ∈直线1A O ，即三点1,,A E O 共线。
在平行四边形11A ACC 中，11112OE AO A E A C ==。
故选C 。
考点：空间中点、线、面的位置关系【命题意图】以平行六面体为载体，考察空间中三点共线。
17.已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右焦点的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若4AB a =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(B.)+∞C.⎣D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】试题分析：因为AB 为焦点弦长，所以22b AB a ≥，即224b a a ≥，所以222b a ≤，因为(]22211,3b e a=+∈，所以(e ∈，故选A 。
考点：双曲线的基本性质【命题意图】已知双曲线的焦点弦长，考察离心率的求法。
18. 在三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，90ASB ASC ∠=∠=，120CSB ∠=. 点Q 在线段AB 上（包括端点），则直线CQ 与SB 所成角的余弦值的范围是（ ）A.⎡⎢⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.⎡⎢⎣⎦D.⎣⎦【答案】D 【解析】试题分析：本题可用排除法，因为异面直线所成角范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故排除选项A 。
若异面直线CQ 与SB 所成角为0，则CQ SB ⊥。
设Q 在底面SBC 上的射影为M ，则M 在线段SB 上，则有CM SB ⊥，这与120CSB ∠=矛盾，故排除B ，C ，选D 。
考点：异面直线所成角【命题意图】以三棱锥为载体，考察异面直线所成角的求解。
非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知集合2{|log 1},{|4}A x x B x N x =<=∈≤，则集合A =，A B =. 【答案】{}|02x x <<，{}1（6分，每空3分）【解析】试题分析：因为2{|log 1}{|02},{|4}A x x x x B x N x =<=<<=∈≤， 所以A B ={}1。
考点：集合的基本运算【命题意图】与不等式结合，考察集合的基本运算。
20. 设a ，b 为平面向量. 若a (0,1)=-，b ()1,2=，且a ⊥(a λ+b)，则实数λ=. 【答案】12（3分） 【解析】试题分析：因为a ⊥(a λ+b)，所以a (a λ+b) = 0，即(0,1)(,21)0λλ-⋅-=，解得 12λ=。
考点：向量的坐标运算【命题意图】已知向量垂直，考察向量的坐标运算。
21. 在数列{}()n a n N *∈中，{}()1,2,3,4i a i i =∈.若数列{}1n n a ta +-（t 是常数）是等比数列，则2015a =. 【答案】（3分） 【解析】试题分析：由题可知12341,2,3,4a a a a ====，则2,32,43t t t ---成等比数列，则1t =，所以n a n =，故20152015a =。
考点：等比数列【命题意图】已知数列的某些项，考察数列的通项。