whx傅里叶级数的指数形式

复系数Cn，可根据傅里叶系数 an、bn的计算公式导出，即
Cn
?
1 2
(a
n
?
jbn )
? ? ?
1? T?
T2
?T 2 f (t )cos(n? 1 t ) dt ? j
T2
f (t)sin( n?
?T 2
1
t
)
d
t
? ?
?1
? T
T2
?T 2 f (t )[cosn( ? 1 t ) ? jsin(n? 1 t )] dt
? ? 1 T 2 f (t )e? jn? 1 tdt T ?T 2
令n = 0，得
? C0
?
1 T
T 2 f (t ) dt ? a0 ? A0
?T 2
22
返回
*§8? 4 傅里叶级数的指数形式
根据欧拉公式 ，函数f ( t ) 的傅里叶级数展开式可改写 如下：
? f
(t) ?
a0 2
?
?
[
n?1
an cos(n?
1t) ?
bn sin(n?
1t )]
? ?
a0 2
?
?? ?an
n?1 ?
(e jn? 1 t
? e? jn? 1t ) ?
2
bn
(e jn? 1 t
a? n ? an
b? n ? ? bn
C? n
?
a? n ? jb? n 2
?
an ? jbn 2
?
Cn e? j? n
再令
C0
?
a0 2
可得傅里叶级数的指数形式：
?
?
? ? f (t ) ? C0 ? (Cnejn? 1t ? C? ne? jn? )1t ?
Cnejn? 1t
n?1
n ? ??
? e? jn? 1 t )?
2j
Байду номын сангаас
? ?
? ?
a0 2
?
? ?(an n?1 ??
? jbn ) e jn? 1 t 2
?
(an
? jbn 2
)
e?
jn?
1
t
? ??
令
Cn
?
an
? jbn 2
?
Cn
ejψn
1 Cn ? 2
an2
?
bn2
?
1 2
An
ψn
? arctan
? bn an
由傅里叶系数公式可知，系数 an是谐波次数 n的偶函数， bn是谐波次数 n的奇函数，即