初中函数解析式与图像画法
第四章一次函数的图像与性质
4.3一次函数的图像与性质及确定一次函数解析式知识点1、一次函数的图像与性质图像：在直角坐标系内，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。
画函数图像的一般步骤：（1）（2）（3）例题1、（1）画出正比例函数y=2x的图像。
（2）画出正比例函数y=-2x的图像。
例题2、（1）画出一次函数y=-2x+2的图像；（2）画出一次函数y=-x+1的图像；例题3 （乐山中考）若实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则函数y ax c =+的图象可能是（ ）A B C D例题4 如果一次函数y=（2m －3）x+（3－m ）的图象经过第一、二、三象限，则m 的取值范围是 。
例题3 若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么k 和b 的符号是＿＿＿＿。
随堂练习：1、对于一次函数y =-2x +4，下列结论错误的是（ ）A ．函数值随自变量的增大而减小B ．函数图象不经过第三象限C ．函数图象向上平移2个单位得到y =-2x 的图象D ．函数图象与y 轴的交点坐标是(0，4)2、已知一次函数y =（m +2）x +1，若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是___________。
知识点2、一次函数（正比例函数）表达式：待定系数法待定系数法：求一次函数y=kx+b 的表达式时，先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出函数表达式，这种方法叫做待定系数法。
例题1 已知在一次函数b kx y +=（0≠k ）中，当x=0时，y ＝3，当x=2时，y=7。
（1）求y 与x 之间的函数表达式。
（2）计算x ＝4时，y 的值。
（3）计算y ＝4时，x 的值。
例题2、若变量 y －3与 x +2 成正比，且当 x =1 时，y =－3， (1)求比例系数k ；(2)y 关于x 的函数解析式为例题3、过点P(8，－2)且与直线y=x+1平行的直线的解析式为例题4、已知直线y=x+b过点A(3，4)，(1)求b的值；(2)当x取何值时，y<0 ?随堂练习：1、经过A (－6，5)、B(0，－5) 两点的直线l的解析式为2、如图所示，直线l的解析式为 ( )A．y=3x+3 B．y=3x－3 C．y=－x+3 D．y=－3x+33、如图，把直线l沿x轴正方向向右平移2个单位，得到直线l'，则直线l'的解析式为( )A．y=2x+4 B．y=－2x+2 C．y=2x－4 D．y=－2x－2巩固提高部分1、若直线y=kx+b(k≠0)不经过第一象限，则k、b的取值范围是()A.k>0,b<0B.k>0,b≤0C.k<0，b<0D.k<0,b≤02.函数的自变量的取值范围是()A. x≥1B. x=1C. x<1D. x≠13、已知y与x-3成正比例，当x=4时，y=-1，那么当x=-4时，y的值是()A. 1B. 3C. -7D. 74、已知正比例函数y=(3k-1)x,若y随x增大而增大，则k的取值范围是()A. k<0B. k>0C.D.5、直线y=2x-1经过的点是()A. (2,1)B. (0,1)C. (2,0)D.(1,1)6、已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y ＝x＋k的图象大致是图中的（）7、直线经过第_____象限，y随x的增大而______。
初中二次函数知识点详解助记口诀
知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 ^二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：…当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点（1）一般一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
；（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
函数图像的画法
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
描点,并画图
y
y=x+0.5
3 2
1
-3 -2 -1-1o 1 2 3 x
-2 -3
你会用描点法画函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点法画函数图象：y=x
X
1、列表
y
2、描点 3、连线
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
3y 2 1
1
2
3
1
2
3
y=x
-3 -2 -1 o 1 2 3 x -1 -2 -3
试一试: 画出函数y=x+0.5的图象
解:列表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
画出函数y=x+0.5的图象 解:列表:
这些点为（0，0）（0.5，1）（1，2） （1.5，3）（2，4）（2.5，5）（3，6）
y 6 5
4 3 2 1
-3 -2 -1 o 1 2 3 x -1 -2 -3
函数图象的画法
函数y=x
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
图象法
y=x
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
3y
y=x
2
1
-3 -2 -1 o 1 2 3 x -1 -2 -3
第8讲 二次函数的解析式和图象变换(学生版)
知识导航经典例题1在平面直角坐标系中，抛物线2已知二次函数的图象以3已知抛物线4在平面直角坐标系中，二次函数5若二次函数知识导航经典例题1如果将抛物线2如果将某一抛物线向右平移3将抛物线4已知抛物线知识导航经典例题1将二次函数2抛物线3将二次函数4先作二次函数1在平面直角坐标系中，抛物线2如图，已知抛物线帝通过数来统治宇宙。
这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。
他们很重视数学，企图用数来解释一切。
宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。
他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。
这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。
但是，他们同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为'万物皆数'，'数是万物的本质'，是'存在由之构成的原则'，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。
毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。
毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。
这定理早已为巴比伦人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。
他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理。
这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．【毕达哥拉斯定理】毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了'三角形内角之和等于两个直角'的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
【黄金分割】然而，最让毕达哥拉斯学派出名的却是他们中的一个'叛逆者'--希帕索斯，正是他发现了第一个无理数根号2的存在，从而在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
知识必备03 函数及其图像(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备03 函数及其图像（公式、定理、结论图表）考点一、平面直角坐标系点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.典例1：（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 （﹣2023，2022） ．【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．考点二、函数及其图象由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，典例2：（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）A．1B．2C．4D．6【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置．需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.典例3：（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 m （用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为 m2 ；③当S＝时，m的值为 或15﹣2 ．【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；法二、∵C′D′∥BO，∴△CC′E∽△CBO，∴＝（）2，即＝，∴S＝m2．故答案为：m2．③法一、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m≤15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，∴S△A′CM＝6﹣＝，∵S△AOC＝18，∵A′D′∥OA，∴△A′CM∽△ACO，∴＝，∴CA′＝，∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m≤15时，如图4，∵A′D′∥x轴，∴△A′BK∽△ABO，∵S＝，S△ABO＝54，∴＝，解得BA′＝2，∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．考点四、反比例函数反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN=.∴.典例4：（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．典例5:（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴设点A的坐标为（m，），∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，由①知，A（2，4），C（0，2），∴D（2，0），E（4，2），设直线DE的解析式为y＝ax+n，∴，∴，∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴P（0，﹣2）．故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．考点五、二次函数1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.4、抛物线的对称变换①关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.②关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.③关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是.④关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．⑤关于点对称关于点对称后，得到的解析式是.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．典例6:（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点六、函数的应用分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.典例7：（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C（2，﹣3）（答案不唯一） ；（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣1＜x＜5 ；（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），由S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q （m，m2﹣4m+1），由S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．【解答】解：（1）C（2，﹣3），故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；（2）∵y＝x2﹣4x+1，∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，故答案为：﹣1＜x＜5；（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，∴m＝6；（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），∴S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，解得t＝6+2或t＝6﹣2，∴t＜4，∴t＝6﹣2，∴Q（6﹣2，9）；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，解得m＝2+2或m＝﹣2，∵m≥4，∴m＝2+2，∴Q（2+2，9）；综上所述：Q点坐标为（6﹣2，9）或（2+2，9）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
二次函数的图象、解析式和性质
二次函数的系数与图象的关系
二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为系数 a的符号决定了抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下 a的绝对值决定了抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小 b和c决定了抛物线的位置，b和c的值越大，抛物线越往y轴正方向移动
二次函数的开口大小与二次项系数的关系
XX
二次函数的图象、解析式和性质
单击添加副标题
汇报人：XX
目录
01
单击添加目录项标题
02
03
二次函数的解析式
04
二次函数的图象 二次函数的性质
01
添加章节标题
02
二次函数的图象
二次函数的标准形式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c 二次函数的标准形式是y=ax^2+c，其中a和c是常数，且a≠0 二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下 二次函数的顶点坐标为(0,c)，对称轴为y轴
b和c决定了抛物线的位置，其中 b和c的值可以根据具体的函数表 达式来确定。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
a的符号决定了抛物线的开口方向， 当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标可以通过配 方的方法求得，顶点的横坐标为 x=-b/2a，纵坐标为y=(4acb^2)/4a。
感谢观看
汇报人：XX
二次函数的开口方向
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a决定了开口方向 当a>0时，开口向上 当a<0时，开口向下 开口方向与函数的极值和最值有关
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
例1.1.3若 是二次函数，则 的值是__________．
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．2
D．5
随练1.1已知函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中二次函数的个数为（）
随练1.2已知函数 ，当 _________时，它是二次函数．
4.已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．
一．考点：二次函数解析式的求法．
二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
随练5.1已知一个二次函数过 ， ， 三点，求二次函数的解析式．
随练5.2将二次函数 化为 的形式，结果为（）
A．
B．
C．
D．
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．
2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点．
一．考点： 的图象和性质．
二．重难点： 的图象和性质，参数对图像的影响．
三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．
题模一：y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）
19.1.2函数的图像(正式稿)
1、列表 2、描点
3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值（满足取值范围）， 并取值要适当，以便画图.
建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值 对应的各点 按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用 平滑曲线依次连接起来
注：函数图象可能是曲线，也可能是直线，也可能是 线段或射线，函数图象的形状取决于函数关系和自 变量的取值范围。
【反思归纳】函数的三种表示法通常是相 互关联，可以相互转化(特殊的函数除外): (1)由函数解析式可以得到这个函数的列表 及图象; (2)由函数的图象可以得到其解析式及函数 的对应值表格; (3)由函数的表格可以得到函数的解析式及 图象.
（1）函数图象上的点的横纵坐标分别表示什么？ （2）画函数图象时，怎样体现函数的自变量取值范围？
（1）判断下列各点是否在函数 y =x+ 0.5的图象上？ ①（-4，-4.5）； ②（4，4.5）． 6 （2）判断下列各点是否在函数 y = （x＞0） 的图象上？ x ①（2，3）；②（4，2）．
2、函数 y=-2x-6的图象上,若点B(a,a+1)在这 个函数图象上,则a=________.
s/米
2.周末小明一家乘出租车前往离家8千米的公园， 出租车的收费标准如下：
里程 收费/元
t/秒
3千米以下（含3千米）
3千米以上，增加1千米
5.00
1.00
（1）写出出租车行驶的里程数x（千米）与费用y（元）之间的函数关系。 （2）小明带了10元钱，够不够付到公园的车费，为什么？
3. 已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题 ： （1）确定自变量的取值范围； （2）求当x=-4，-2，4时y的值是多少？ （3）求当y=0，4时x的值是多少？ （4）当x取何值时y的值最大？当x取 何值时y的值最小？ (5)当x的值在什么范围内时y随x的增大而增大？当x的值在 什么范围内时y•随x的增大而减小？
人教版八年级数学 下册 第十九章 19.1.2 函数的图像 课件(3课时,共69张PPT)
（3）如果水位的变化规律不变，按上述 函数预测，再持续2小时，水位的高度： __y_=_0_.3_×__7_+_3_=_5_._1_(m__)_____. 此时函数图象（线段AB）向 ___________延伸到对应的位置，这时 水位高度约为___5_.1_m______米.
由例可以看出，函数的不同表示法 之间可以__转__化_______.
值范围是： X取全体实数 ； 第一步：从的取值范围中选取一些简洁的数 值，算出的对应值，填写在表格里；
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … -2.5 -1.5 -0.5 0.51.52.5 …
知识点 用描点法画函数图象 第二步：根据表中数值描点（ x ,y）；
y=x+0.5
• • • • • •
1、如果A、B两人在一次百米赛跑中， 路程（米）与赛跑的时间t（秒）的关系
如图所示则下列说法正确的是（ C）
A. A比B先出发； B. A、B两人的速度相同； C. A先到达终点； D. B比A跑的路程多.
2、用列表法与解析式法表示n边形 的内 角和m（单位：度）关于边数的n函数.
解：列表法：
边数n 3 4 5 …
内角和 m/度 180 360 540
…
解析法：m=(n-2)×180 °,n≥3
大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大。
画函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线，这种画函数图象 的方法称为描点法。
函数图象的三种表示法
1、描点法画函数图象的一般步骤： （1）_列__表__，（2）_描__点__，（3）_连__线___. 2、表示函数的三种方法分别为：
__解_析__式__法__、___列_表__法__ 、_图__象_法__ .
初中数学课件《一次函数的图像与性质》
？
新知探究一： 一次函数y=kx+b的图象与直线y=kx的关系
画一次函数 y =2x-3 的图象． 列表 描点 连线
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x-3 … -7 -5 -3 -1 1 … y
y=2x … -4 -2 0 2 4 … 2
1.观察：函数y=2x－3的图象
它可以看作由直线 y=2x向下 平
新知探究二： 一次函数y=kx+b的性质
一次函数y＝kx＋b有下列性质： 1.当k＞0时，y随x的增大而__增_大__ 这时函数
的图象从左到右__上_升__
（2） 当k＜0时，y随x的增大而_减__小__，这
时函数的图象从左到右_下__降__．
新知探究二： 一次函数y=kx+b的性质
当k>0时，y随x的增大而增大
例：在同一坐标系中画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1的图象.
x y=2x－１
x
y= －0.5x+1
y 6
5
4
3
2
1
- - - - - - o1 2 3 4 5 6x 6 5 4 3 2 1-
1 2 3 4 5-6
例：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x－1 与y=－0.5x+1的图象．
数学思想：类比、数形结合、从特殊到一般。
归纳
对于一次函数y=kx+b（k,b为常数，k≠0) （1）判断k值符号的方法
①增减性法：当y随x的增大而增大时k > 0;反之k < 0 ②直线升降法：当直线从左到右上升时，k > 0; 反之k < 0 ③经过象限法：直线经过一、三象限时k > 0；
二次函数图像(1)浙教版初中数学九年级上册课件(共14张PPT)
3
对称轴是
，顶点坐标是
点是这条抛物线的最 点；
， ，顶
（2）抛物线
y
1 3
x2的开口方向为
，
对称轴是
，顶点坐标是
，顶
点是这条抛物线的最
点.
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2 ... -6 8 1.5 2 0 2
3
3
3
3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2 3
y 2x2
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y 1 x2 2
y 2x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向
最值
y=2x2
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外）
一次函数的图象、解析式和性质
XX,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 一 次 函 数 的 图 象 03 一 次 函 数 的 解 析 式 04 一 次 函 数 的 性 质
确定函数表达式： 根据一次函数的解 析式，确定函数的 表达式。
确定自变量的取值 范围：根据实际情 况确定自变量的取 值范围。
值域：一次函数总是有定义且值域为实数集R 定义域：对于形如y=kx+b的一次函数，定义域为全体实数R 单调性：当k>0时，函数在R上是增函数；当k<0时，函数在R上是减函数 奇偶性：一次函数既不是奇函数也不是偶函数
一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方 程的解。
计算函数值：将自 变量代入函数表达 式，计算出对应的 函数值。
Hale Waihona Puke 绘制函数图象：根 据自变量和函数值 的对应关系，绘制 出一次函数的图象。
一次函数图象是一条直线 斜率表示函数的增减性 截距表示y轴上的交点 函数图象的形状由系数k和b决定
水平平移：左加右减 垂直平移：上加下减 斜率对平移的影响：正变陡，负变缓 平移与函数值的变化：左加右减，上加下减
一次函数解析式为 y=kx+b，其中k、 b为常数且k≠0
k的取值决定了函 数的增减性，当 k>0时，函数单 调递增；当k<0 时，函数单调递 减
b的取值决定了函 数与y轴的交点，即 y轴上的截距
一次函数的标准形 式是y=kx+b，其 中k、b的取值范围 是k≠0且b为任意实 数
斜率：表示一次函数图像的倾斜程度 截距：表示一次函数与y轴交点的纵坐标
一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k≠0 已知两点坐标求斜率k，再求截距b 已知斜率和一点坐标求截距b 已知一个点坐标和函数值y求另一个点坐标
一次函数图像及解析式
知识点一：一次函数图像的特点两点确定一条直线，根据这个特点，我们在画一次函数的图像时，可以确定两个点，再过这两个点做直线就行了，而且，为了简单，我们常选过点（0，b ）和)0,(kb-作直线。
由观察可知：（1） 正比例函数的图像时一条直线，并经过两个象限。
（2） 当k>0,其图像经过第一、三象限，当k<0时，其图像经过第二、四象 例2：在平面直角坐标系中画出函数：①y=-x,②y=-x+2,③y=-x-2的图像，根据图像回答：y=-x+2与y=-x-2的图像可以看成是由y=-x 的图像怎样变换得到？知识点二：正比例函数图像与一次函数图像的关系一次函数b kx +=y 的图像是一条直线，它可以看作是由直线kx =y 沿y 轴平移b 个单位长度得到（当b >0时，向上平移；当b<0时，向下平移）知识点四：一次函数及图像的性质 （1） 增减性: 对于一次函数y=kx+b当k>0,y 的值随x 的增大而增大； 当k<0，y 的值随x 的增大而减小； （2） 图像所在的象限：当ｋ>0,b>0,图像位于第一、二、三象限； 当k>0,b<0,图像位于第一、三、四象限；当k<0,b>0,图像位于第一、二、四象限； 当k<0,b<0，图像位于第二、三、四象限；（3） 两直线的位置关系：直线111b x k l +=和直线222b x k l +=⎩⎨⎧≠=相交与则则21212121,//,l l k k l l k k例3：已知一次函数y=（m-3）x+2m-1的图像经过第一、二、四象限，求m 的取值范围.练习：１、函数y=x 21-的图象经过_________象限,y 随x 的增大而____________. ２、正比例函数的图像经过(1,－5)点,它的解析式是_______________.3、若点（3，a ）在一次函数13+=x y 的图像上，则=a 。
初中函数解析式与图像画法
初中函数解析式及图象画法一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
1、 一次函数：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 说明： ① k ≠0 的常数② x 指数为1 ③ b 取任意实数④自变量x 的取值为一切实数。
【x 的取值范围(定义域)：x ∈R 】 ⑤函数y 的取值是一切实数。
【y 的取值范围(值域)：y ∈R 】 2、反比例函数：xky =（k 为常数，k ≠0） 说明： ① 常数k 不为零（也叫做比例系数k ） ②分母中含有自变量x ，且指数为1.③自变量x 的取值为一切非零实数。
【x 的取值范围(定义域)：{x ∈R ∣x ≠0}】（反比例函数有意义的条件：分母≠0）④函数y 的取值是一切非零实数。
【y 的取值范围(值域)：{y ∈R ∣y ≠0}】3、二次函数：一般式：2y ax bx c =++（0a ≠，a b c ，，是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤）第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
1、一次函数y=kx+b 图像（直线）的画法：两点法① 计算必过点（0，b ）和（-k b ，0）[当x=o,时，y= b ，过点（0，b ）；当y=o,时，x=-kb过点（-kb ，0）]② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线）2、反比例函数xky =图像（双曲线）的画法：---五点绘图法：①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线）3、二次函数2y ax bx c =++图象（抛物线）的画法---五点绘图法：① 配方变形：222244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a--=+++对于二次函数经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）② 确定三特征：开口方向（a 正朝上；b 负朝下）；)2x b a对称轴(直线 =-；24-24b ac b a a - 其顶点坐标为（，） ③ 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.④ 选取五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（212,=0x x ax bx c ++是方程的解,若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点（无/有），与y轴的交。
初中三类函数的图像及其性质
初中三类函数的图像及其性质一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y 叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：1．图象的位置:2．增减性k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小3．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种一是由已知函数推导或推证二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
三是用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：（1）利用一次函数的定义构造方程组。
（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程（4）利用题目已知条件直接构造方程反比例函数图像及其性质1.反比例函数：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k 1-=kxyxky1=2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。
对称中心是：原点3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中函数解析式及图象画法
一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
1、一次函数：y=kx+b（k、b是常数，k 0）
说明：①k 0的常数
②x指数为1
③b取任意实数
④自变量x的取值为一切实数。
【x的取值范围（定义域）：x € R】
⑤函数y的取值是一切实数。
【y的取值范围（值域）：y€ R】
k
2、反比例函数：y （k为常数，k 0）
x
说明：① 常数k不为零（也叫做比例系数k）②分母中含有自变量x，且指数为1.
③自变量X的取值为一切非零实数。
【x的取值范围（定义域）：｛X € R I x丰0｝】（反比例函数
有
意义的条件：分母工0）④函数y的取值是一切非零实数。
【y的取值范围（值域）：｛y € R I y丰0｝】
3、二次函数：一般式：y ax2bx c （a 0 , a , b ,c是常数）：
说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤）
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）;
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）
1、一次函数y=kx+b图像（直线）的画法：两点法
①计算必过点（0, b）和（-—,0）［当x=0,时，y= b，过点（0, b）;当y=o,时，x=-—过点（-一，0）］
k k k
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的直线）
k
2、反比例函数y k图像（双曲线）的画法：---五点绘图法：
x
①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的曲线）
3、二次函数y ax2 bx c图象（抛物线）的画法---五点绘图法：
2
①配方变形：对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式：y=a（x+■一）2 j4ac_—,其顶点坐标为（
2a 4a
2 ②确定三特征：开口方向（a正朝上；b负朝下）；对称轴（直线x=-—）；其顶点坐标为（-■一 ,4ac b）
2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
④选取五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0, c关于对称轴对称的点-，c、与x轴的交
a b 4ac b 2a' 4a
点X1, 0 ，x，0 （x,,X2是方程ax bx c=0的解,若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点（无/有），与y轴的交点•
10、特征点：
①一定有的点：前3个占；
八、、，
②可能有的点：当△> 0时，才有后两个点
（b 4ac b2）
（-—，----- ）o c b 顶点2a 4a ；与y轴的交点0，c；o, c关于对称轴对称的点_ , c ；与x轴的
a 两个交点：x1 ,0 ，x2，0
注意：三点可画出大致图象（该三点为：前三个特征点），高中常用些方法。
画图练习：(1)y x2 2x 1 , (2) y x2 2x 2 , (3)y 2x2 x 1 , ⑷y 2x2 4x 1 (5)y (x 2)2 1。