空间内插方法比较
空间插值方法对比整理版
• 由于建立在统计学的基础上，因此不仅可 以产生预测曲面，而且可以产生误差和不 确定性曲面，用来评估预测结果的好坏
• 多种 kriging 方法
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3、精确插值和近似插值
• 精确插值：产生通过所有观测点的曲面。
• 在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等 于估计值。
• 近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测 点。
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插值方法选择的原则
① 精确性：
② 参数的敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数， 如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当 敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有 截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其 值不过多地依赖变量值的插值方法。
③ 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。
空间插值 Spatial Interpolation
• 空间插值的概念 • 空间插值的类型 • 空间插值的方法
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1
空间插值概念
空间插值——空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连 续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较， 它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法：通过已 知点的数据推求同一区域未知点数据。空间外推算法：通过 已知区域的数据，推求其它区域数据。
• 典型例子是：全局趋势面分析 、Fourier Series （周期序列）
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4
局部内插法
➢ 局部内插法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，步骤如 下： • 定义一个邻域或搜索范围； • 搜索落在此邻域范围的数据点； • 选择能表达这有限个点空间变化的数学函数； • 为未知的数据点赋值。
➢ 局部内插方法： • 样条函数插值法 • 距离倒数插值 • Kriging插值（空间自由协方差最佳内插）
数据内插
在式（3-8）中,i为数据点数。
求 出 离 A 点 最 近 的 n 个 数 据 点 的 距 离 di （i=1,2,…,n ）后，就可以求出A点的内插 值 ，即：
²
²
（3）局部函数内插：以格网小块为加密区， 采用低次项函数拟合地面。 a.线性内插：使用最靠近待定点的三个数据点 来定义函数 zp=a0+a1x＋a2y
空间数据的内插：设已知一组空间数据，它 们可以时离散点的形式，也可以时分区数据 的形式，现在要从这些数据中找到一个函数 关系式，使该函数关系式最好的逼近这些已 知的空间数据，并能根据该函数关系式推求 出区域范围内其他任意点或任意分区的值。
数据内插
由于取样点的数据呈离散分布形式，或者数据虽按格网排 列，但格网的密度不能满足使用的要求，这样就需要以数 据点为基础进行差值运算。
b.双线性多项式内插：使用最靠近待定点的四 个数ห้องสมุดไป่ตู้点来定义函数 zp=a0+a1x＋a2y+a3xy
（1）移动拟合法（典型的逐点内插法）
对每一个待定点取用一个多项式曲面拟合 该点附近的地表面，此时取待定点作平面坐 标的原点，并用待定点为圆心，以R为半径 的圆内逐数据点来定义函数的待定系数。 设取二次多项式来拟合，则待求点的高 程可写成一般式为： Zp=Ax² +Bxy+Cy² +Dx+Ey+F
将坐标原点平移到待定点处，即：
x¯ =x-xp
y¯ =y-yp
代入到移动拟合法二次多项式插值公式， Zp=a x¯² +bx¯y¯+cy¯² +dx¯+ey¯+f 式中有6个待求参数，最少取用6个数据点的 信息代入求得。对于待定点x¯= y¯ =0，式 中的F值即为待定点的高程。
空间内插方法
空间采样点分布的选择
规则采样和随机采样好的结合方法是成层随机采样，即单个 的点随机的分布于规则的格网内
聚集采样可用于分析不同尺度的空间变化
规则断面采样常用于河流、山坡剖面的测量
等值线采样是数字化等高线图插值数字高程模型最常用的方
▪ 离散空间数据内插 对于离散空间，假定任何重要变化发生在边界上，则在边界内的 变化是均匀的，同质的，即在各个方面都是相同的。对于这种空 间的最佳内插方法是邻近元法，即以最邻近图元的特征值表征未 知图元的特征值。这种方法在边界会产生一定的误差，但在处理 大面积多边形时，则十分方便。在Arc View中，无离散数据的内 差功能，只有把矢量的离散数据转换为GRID数据的功能。
法
（1）规则采样
（2）随机采样
（3）断面采样
（4）成层随机采样
（5）聚集采样
（6）等值线采样
空间插值分析
连续空间与离散空间
▪ 现实空间可以分为具有渐变特征的连续空间和具有跳跃特征的离散 空间。举例来讲，土地类型分布属离散空间，而地形表面分布则是 连续空间
空间插值分析
空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有 相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越 小。
空间插值的基础
理论假设
▪ 空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值 ▪ 而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小
需要空间插值的情况
▪ 现有的离散曲面的分辨率、象元大小或方向与所要求的不符，需要重 新插值 例如将影象从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向
▪ 现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重 新插值
地理信息系统课程GIS空间插值
• 对每种插值方法重复下面的步骤，实现对不 同插值方法的比较： • 从数据集中除去一个已知点的测量值； • 用剩余的点估计除去点的值； • 比较原始值和估计值，计算出估计值的预测 误差。 • 针对每个已知点，进行上述步骤，然后评价 不同插值方法的精确度。常用的评价指标是 均方根（RMS）：
1 n 2 RMS ( Z Z ) i , act i ,est n i 1
公式
其数学表达式为：
v e vi vi 表示 i 点的变量值。 其中ve 表示待估点变量值，
i 点必须满足如下条件：
d ei min( d e1 , d e 2 , d en )
d ij xi x j y i y j
2
其中
2
表示点 i(xi, yi)与点 j(xj, yj)间的欧几里德距离。
2、确定性方法和地统计方法 确定性方法
– 确定性插值法是使用数学函数进行插值，以研究 区域内部的相似性（如反距离加权插值法），或 者以平滑度为基础（如径向基函数插值法）由已 知样点来创建预测表面的插值方法。 – 全局多项式插值、反距离权插值、局部多项式插 值
地统计学插值
• 基于自相关性 (测量点的统计关系)，根据 测量数据的统计特征产生曲面；
RSS=
ˆt ) ( yt y
t 1 T 2
=
ˆ x )2 ˆ ( y t t
t 1
T
• 根据最小化的一阶条件，将式分别对x,y求 偏导，并令其为零，即可求得α, β
• 一阶线性平面可模拟具有单一坡度的斜 坡地形表面； • 二次曲面方程可表达山头、洼地区域； • 三次曲面则能描述较为复杂的地形曲面。
例如：在一个没有数据记录的地点，其降 水量可通过对附近气象站已知降水量记 录的插值来估算出来。
空间内插方法比较
第15卷第3期2000年6月地球科学进展ADV ANCE IN EARTH SCIEN CESV ol.15 No.3Jun.,2000学术论文空间内插方法比较李 新,程国栋,卢 玲(中国科学院寒区旱区环境与工程研究所,甘肃 兰州 730000)摘 要:空间内插可以分为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。
介绍了每一种方法的适用范围、算法和优缺点。
指出没有绝对最优的空间内插方法,必须对数据进行空间探索分析,根据数据的特点,选择最优方法;同时,应对内插结果做严格的检验。
开发通用空间内插软件、智能化内插以及加强相关基础研究将是空间内插研究的重点。
关 键 词:空间内插;空间数据探索分析;地理信息系统中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1001—8166(2000)03-0260-061 空间内插根据已知地理空间的特性探索未知地理空间的特性是许多地理研究的第一步,也是地理学的基本问题。
常规方法无法对空间中所有点进行观测,但是我们可以获得一定数量的空间样本,这些样本反映了空间分布的全部或部分特征,并可以据此预测未知地理空间的特征。
在这一意义上,空间内插可以被定义为根据已知的空间数据估计(预测)未知空间的数据值。
其目标可以归纳为:①缺值估计:估计某一点缺失的观测数据,以提高数据密度;②内插等值线:以等值线的形式直观地显示数据的空间分布;③数据格网化:把无规则分布的空间数据内插为规则分布的空间数据集,如规则矩形格网、三角网等。
空间内插对于观测台站十分稀少,而台站分布又非常不合理的地区具有十分重要的实际意义。
这些地区的常规观测常常不能满足要求,在这种情况下,利用有限的常规观测估计合理的空间分布,或尽可能地提高数据密度就成为迫切要求。
在这些方面,缺值估计和数据格网化将发挥重要的作用。
(1)缺值估计。
各种科学考察中形式多样的短期观测是提高数据观测密度的重要方式,无形中起到了加密台站的作用;而且由于这些考察常常到达人迹罕至的高海拔和极地等区域,有助于了解区域内观测变量的完整空间分布。
空间内插的名词解释题
空间内插的名词解释题空间内插，是指在一段逻辑推理或论述中，通过插入某个特定的内容，使得整个推理更加严谨、完整或有力。
它是一种修辞手法，能够在文章中增加亮点和丰富性。
本文将围绕空间内插展开解释，探讨其定义、特点以及运用等方面。
一、定义空间内插指的是在文章的逻辑结构中插入具体的实例、事例或细节，以丰富内容、加强论证力度。
通过使用插入的方式，增加读者对于论述的信服力和兴趣，进而提升整个文章的质量。
空间内插可以在文章的任意位置进行，常见的形式包括举例、引用、比喻等。
二、特点1. 强化论证：空间内插能够为作者的观点提供更多的具体例证和实证支持，从而增强作者的说服力。
通过具体的案例或实例，读者可以更加直观地理解和接受作者的观点。
例如，在一篇文章中，作者想要论证人工智能对日常生活的影响，可以插入一个实际的案例，例如自动驾驶汽车技术的发展和应用。
2. 增加可读性：空间内插的使用可以减轻文章的枯燥性和抽象性，使得读者更易理解和记忆。
通过丰富的插入内容，文章更加生动有趣，吸引读者的注意力，提升整体可读性。
例如，在一篇科技文章中，作者可以插入一段关于某项技术的历史故事，使得读者更有兴趣继续阅读下去。
3. 拓宽视角：空间内插能够帮助读者从不同的视角看待问题，拓宽思维，提供更全面的分析和判断。
通过插入相关的事例或细节，读者可以看到问题的多个方面，从而形成更准确的看法。
例如，在一篇环境保护的文章中，作者可以插入一段描述某个地区环境污染严重的情景，引起读者对环保问题的关注。
三、运用方法1. 举例法：通过选择典型的实例和案例，对论述的观点进行具体化和可视化，使得读者更易理解和接受。
举例法常见于各类科普文章、演讲和散文等文体中。
2. 引用法：通过引用权威人士、名人或历史事件的言论和事例，为自己的观点提供可信度和支持。
引用法常见于引证、辩论和学术写作等场合。
3. 比喻法：通过运用类比和比喻的手法，将抽象的观点和概念与生活经验相结合，使得读者更易理解和感受。
3.9。空间内插
3．9。
空间内插3．9．1 空间内插的定义和种类一、定义空间数据的内插通过已知点或分区的数据，推求任意点或分区数据的方法称为空间数据的内插。
其方法是从存在的观测数据中找到一个函数关系式，使该关系式最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据函数关系式推求出区域范围内其它任意点或任意分区的值。
它是地理信息系统数据处理常用的方法之一，广泛应用于等值线自动制图、数字高程模型的建立、不同区域界线现象的相关分析和比较研究等。
二、分类：根据以知点或以知分区数据的不同，将空间数据分为点的内插和区域的内插：1、点的内插：是研究具有连续变化特征现象的数值内插方法，根据内插精度的不同可以将点的内插分为：精确和概略两种。
2、区域的内插：是研究根据一组分区的以知数据来推求同一地区另一组分区未知数据的内插方法，主要有重叠法和比重法两种。
三、意义遍历研究区域中的每个位置以测量该位置的高度、大小或某种特性通常都是困难的，或者是昂贵的，因而一般都是采用抽样的方法，按照一定原则，选出一些样点进行测量，然后使用插值函数，估计出所有其它位置的值。
输入的点可以是规则的空间点，也可以是离散点，它们都含有高度、大小或某种特性的值对输入的点进行插值，生成规则栅格网，通常有四种插值（生成表面）的方法：距离反转权重法（IDW）、样条函数法（Spline）、克里格法（Kriging）以及多项式趋势法（Polynomial trend）。
每种方法都有其独特之处，都有一些基本的假设，适用于不同的源数据和应用。
3．9．2 ARCINFO下的空间内插步骤：① Grid Tools----Statistics------Surface , 弹出对话框如下：主要有如下内插法：反距离内插、克里格内插、趋势面内插、拓扑格网内插等。
点击不同内插将进行不同的参数设置，从而根据需要进行各种内插运算。
②以做趋势面内插为例，加以说明：（1）点击 Trend Surface Interoolation 弹出Trend Function对话框：在Output grid 中输入生成的文件名在Name of input 中找到做为Z值的文件(2) 点击，弹出如下对话框，设置参数：（2）内插完成后可在ArcView中打开做内插分析的图，可多做几种内插分析来对比各个内插的区别。
ArcGIS中几种空间插值方法
ArcGIS 中几种空间插值方法1. 反距离加权法(IDW)ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。
可表示为：1111()()n nip p i i i i Z Z D D ===∑∑其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
2.多项式法多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。
在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。
前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。
3.样条函数内插法样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。
样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。
4.克里格插值法克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。
这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。
这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。
地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。
Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。
ARCGIS中几种空间插值简单比较
ARCGIS中几种空间插值简单比较(2012-01-10 22:09:14)1.IDW。
基本思想是目标离观察点越近则权重越大，受该观察点的影响越大。
好处是观察点本身是绝对准确的，而且可以限制插值点的个数。
通过power可以确定最近原则对于结果影响的程度。
Search radius可以控制插值点的个数。
2.克里金插值。
克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。
它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。
对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。
在数据点多时，结果更加可靠。
时, 其内插的结果可信度较高。
通过某种函数来模拟他们之间的关系，这样就能够得到空间分布的关系了。
接着再用这种空间分布的关系来模拟出所得的数据。
Ordinary是指一般的情况，而universal是指已知某种分布模式比如风暴的模拟等等3.Natural Neighbour法原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。
首先将所有的空间点构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。
个人感觉这种空间插值方法没有实际的意义来支持。
4.样条函数插值spline这种方法使用样条函数来对空间点进行插值，它有两个基本条件：1.表面必须完全通过样本点2.表面的二阶曲率是最小的。
一下是一篇论文里spline与IDW之间的比较：从本文实验数据可以看出，IDW 插值主要受幂指数和各采样点属性值变化情况的影响，幂指数越高，其局部影响的程度越高，在IDW搜索半径内，若各个采样点属性值变化较小时，内插结果受幂指数的影响较小；Spline 插值主要受插值类型（Regularized 或Tension）和weight 值的影响，一般Regularize 插值结果比Tension插值结果光滑，Regularized Spline 插值中，weight 值越高生成的表面越光滑，Tension Spline 插值则相反；总体来看，IDW和SPLINE 插值受采样点范围、采样点密度、采样点属性取值变化以及各自的参数影响，当采样点足够密时，使用IDW插值可以取得良好效果，SPLINE插值则适合那些空间连续变化且光滑的表面的生成。
空间内插
经过压缩后获得新点序A‘：{As1, As2,As3,… Asn} 经过压缩后获得新点序A ： As2,As3, 则压缩比为： 则压缩比为：a=m/n>1
数据压缩
数据压缩
光滑
道格拉斯——普克法 普克法 道格拉斯 (Douglas—Peucker)
基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一条直线， 基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一条直线，求 所有点与直线的距离，并找出最大距离值dmax dmax， 所有点与直线的距离，并找出最大距离值dmax，用dmax 与限差D相比： 与限差D相比： 若dmax＜D，这条曲线上的中间点全部舍去； dmax＜ 这条曲线上的中间点全部舍去； 若dmax≥D，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， dmax≥D，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， dmax对应的坐标点 把曲线分为两部分，对这两部分重复使用该方法。 把曲线分为两部分，对这两部分重复使用该方法。
叠置法； 叠置法； 比重法;
§5-8 数据压缩
数据压缩的概念：从所取得的数据集中抽出一个子集， 数据压缩的概念：从所取得的数据集中抽出一个子集，将 这个子集作为一个新的数据源，来代替原数据集在GIS GIS中 这个子集作为一个新的数据源，来代替原数据集在GIS中 进行各种作业，从而减少存储空间，降低运算时间。 进行各种作业，从而减少存储空间，降低运算时间。 要求： 要求：1）在规定的精度范围内最好地逼近原集合； 在规定的精度范围内最好地逼近原集合； 2）取得尽可能大的压缩比。 取得尽可能大的压缩比。 压缩比：信息载量的减少程度。 压缩比：信息载量的减少程度。 对曲线的压缩中，原点序A 对曲线的压缩中，原点序A为：{A1，A2，A3，… {A1，A2，A3， Am}
局部函数法
空间插值——插值方法的适用范围
空间插值——插值⽅法的适⽤范围
空间确定性插值，以研究区域内部的相似性或者平滑度为基础，由已知样点来创建表⾯。
1、IDW
相近相似原理，反距离加权。
样点分布要尽可能均匀，且布满整个插值区域。
对于不规则分布的样点，插值时利⽤的样点往往也不均匀的分布在周围不同的⽅向上，这样对每个⽅向上的插值结果的影响不同，准确度也会降低。
2、全局多项式插值
⼀个多项式计算预测值，即⽤⼀个平⾯或曲⾯进⾏全区特征拟合。
⾮精确插值法，不与实际样点完全重合。
要求样点模拟的属性在研究区域表⾯的变化是平缓的。
或者检验长期变化的，全局性趋势的影响（即趋势⾯分析）时使⽤。
⼀般选三次拟合。
3、局部多项式内插
多个多项式，每个多项式处在特定重叠的邻近区域内。
不是精确内插。
当需要建⽴平滑表⾯且确定变量的⼩范围的变异时可以使⽤。
能描述数据集中含有的短程变异。
更多地⽤来解释局部变异。
4、径向基函数
包括平⾯样条函数、张⼒样条函数、规则样条函数、⾼次曲⾯函数、反⾼次曲⾯样条函数五种。
适⽤于表⾯变化平缓的表⾯。
当在较短的⽔平距离内，表⾯发⽣较⼤变化，或者⽆法确定采样点数据的准确性，或者采样数据具有较⼤不确定性时，不适⽤。
第三章 空间数据的处理——内插
r s p r s 0
b
rs
x y
r
s
P为二元函数阶数，通常≥1
趋势面法
趋势面的阶数
p=0,水平面
f ( x, y)
r s p
r s 0 f (x，y)=b0 p=1,倾斜面 f(x,y)=b0+b1x+b2y p=2,二次曲面 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 p=3,复杂曲面常用三次 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 +b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3
318 b 0 67.270 b 5043 650 29007 23862 1 . 23862 20714 b 2 4445 800 . 377
- 0.163 0.002 0.000 - 0.168 0.000 0.002 67.270 - 10.094 5043.650 0.020 4445.800 0.347
5、空间数据的内插方法
6、图幅数据边沿匹配处理
z b n b x b y
0 1 2
xz b x b x
0 1
2
b2 xy
2 y 2b yx 1b y 0b zy
改成矩阵形势并代入数据
5 377 318
23.210 - 0.163 - 0.168
比 重 法 区 域 内 插 值 实 例 ：
5.0 5.0 5.0 5.0
空间插值IDW
空间插值是用已知点的 数值来估算其它点的数 值的过程
例如：在一个没有数据记录的地点，其降水量可 通过对附近气象站已知降水量记录的插值来估 算出来。
为什么插值为栅格？
在GIS应用中主要用于估算出栅格 中每个象元的值。因此空间插值 是将点数据转换成面数据的一种 方法，目的是使点数据也能用于 空间分析和建模。
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可能具有相 似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。空 间插值方法正是依据该假设设计的，分为整体插值方法和部分插值方 法两类。
整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区域特征拟合， 如边界内插法、趋势面分析等。
部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值，如最邻近点 法（泰森多边形方法）、移动平均插值方法（距离倒数插值法）、 样条函数插值方法、空间自协方差最佳插值方法（克里金插值）等。
nA1 += nTemp; nValue += nTemp * ValueList[i]; }
nValue = nValue / nA1; return nValue; }
IDW实现-公共函数2
//获取要素参数 protected void getFeaturesParameters(ref double[] nPointsX, ref double[] nPointsY, ref double[] nValues)
nValues[i] = Convert.ToDouble(pFeature.get_Value(this.m_nFieldIndex)); i++; pFeature = pCursor.NextFeature(); } }
IDW实现-公共函数3
ArcGIS中几种空间内插方法的比较
知值的估计 ， 应用领域很广 ， 以得到了迅速地发 所 展和提高。目前 ， 地质统计学已形成 了一套 比较完 整的理论体系， 研究了许多有用的技术方法 、 。 ［ 在Ｇ Ａ模块中 ， 有七类克立格方法 ， １中分 表 别是这七种方法的简单描述和适用范围。
基金 项 目： 国家 ４０专项（ ０３ ０ ） ２ ２ ０ １ ８
收稿 日期 ：２ ｏ ０ ５一ｌ ２一ｌ ３
维普资讯
１ 期
秦涛等 ： ｒ Ｉ Ａｃ Ｓ中几种空间内插方法的比较 Ｇ
・ 设置距离 的幂值 ， 可 以明显地改变内插的效果。它规定在内插过程中， 距离 变化 影响 已知 点 对 未 知点 的权 重 按何 种指 数 规律增 、 的方式 ； 减 而后者是根据 已知样本 点的分 布结构 、 数据特性 、 创建表面的精度要求等， 我们可 以设置搜索邻域的形状和大小 ， 以及搜索区内已知 样本点的数量 ， 来控制其使用样点的数量和方式。 １ ２ 多项式 内插 法 ． 多项 式 内插法 （ ｏ ｎｍ ａ Ｉ ｅ ｏ ｔｎ 是 根 Ｐｌ ｏ ｉ ｔ ｐｌｉ ） ｙ ｌｎ ｒ ａｏ 据全部或局部 已知值 ， 按研究区域预测数据的某种 特定趋 势来 进行 内插 的方 法， 统计 方 法 的范 属 畴 。在 Ｇ Ｊ Ａ模块 中， 有二种类型 的多项式内插方 法， 即全局多项式 内插和局部多项式内插。前者多 用于分析数据的全局趋势 ； 后者则是使用多个平面 来拟合整个研究区域 ， 能表现出区域内局部变异 的 情况。 １３ 径 向基 函数 法 ．
空间内插方法比较
空间内插方法比较一、本文概述空间内插方法是一种在地理信息系统（GIS）和遥感技术中广泛使用的技术，用于根据已知的数据点推测未知区域的值。
这种方法在环境科学、气象学、城市规划、资源管理等众多领域都有着重要的应用。
本文旨在探讨和比较几种常见的空间内插方法，包括反距离权重法（IDW）、克里金插值法（Kriging）、自然邻点插值法（Natural Neighbors）以及多项式插值法等。
我们将首先简要介绍这些空间内插方法的基本原理和实施步骤，然后通过一个具体的案例或数据集来比较它们的性能。
我们将评估插值结果的精度、平滑度以及在不同应用场景下的适用性。
我们还将讨论这些方法的优缺点，以便读者能够根据自己的需求选择合适的空间内插方法。
通过本文的阅读，读者将对空间内插方法有更加深入的理解，能够掌握其基本原理和实施步骤，了解不同方法之间的差异和优缺点，并能够在实践中选择合适的空间内插方法。
二、空间内插方法概述空间内插是一种重要的地理信息系统（GIS）技术，用于估算在已知数据点之间或之外的未知地理位置的值。
它是通过分析和理解空间数据的分布模式，使用数学算法来预测和模拟这些模式在空间上的变化。
这种技术广泛应用于各种领域，包括环境科学、气象学、地质学、城市规划等。
空间内插方法大致可以分为两类：确定性方法和统计性方法。
确定性方法，如反距离权重法（IDW）、样条函数法（Spline）等，主要基于空间数据的物理特性和已知点之间的空间关系进行插值。
这类方法通常假设空间数据具有某种连续性和平滑性，通过最小化插值误差或最大化平滑度来得到预测值。
统计性方法，如克里金插值（Kriging）、协方差法等，则更多地依赖于对空间数据分布模式的统计分析和理解。
这类方法认为空间数据不仅具有空间相关性，而且可能存在某种潜在的随机性。
因此，它们通过构建和拟合空间统计模型，如变异函数或协方差函数，来估算未知位置的值。
每种空间内插方法都有其独特的优缺点和适用范围。
克里格内插法的总结
第三章第五节空间数据的内插方法总结
一、空间内插的概念：设一直一组空间数据，他们可以是离散点的形式，也可以是多边形分区数据的形式，现在要从这些数据中找到一个函数关系式，使关系式最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据该函数关系式推求出区域范围内其它任意点或任意多边形分区范围的值。
这种通过已知点活多边形分区的数据，推求任意点或多边形分区数据的方法就称为空间数据的内插。
二、空间数据的内插分为两部分，一是点的内插；二是区域的内插；
点内插：地理信息系统书第96页，表3—3点的空间内插分类，知道每一个内插法的概念就可以了。
点内插重点放在克里金内插法，有普通、简单和通用内插法三种，记住原理概念就行的。
空间数据的内插方法
地形特征点
数 据 取 样——取样间隔大小的确定
小间隔取样
大间隔取样
取样间隔过大则数字地面模拟效果不佳，超出了精度要求。 如果间隔过小，保证了精度要求，但是数据存储量较大，对 数据库产生负担。
数 据 取 样——取样间隔大小的确定
Δh h’’ h1
Δh=h’’- h’
h’ h2 h2’
h’’:=(h1+h2)/2
未知高程点体由无数个面构成面由无数条线构成线由无数个点构成对数字地形的研究转变为对构成数字地形的点要素的研究由于测量条件野外工作条件或工程经费的限制决定了采集的点要素量往往是非常有限的
空间数据的插值方法
系 部: 资源科学系
瑞
主 讲 人: 黄
课程大纲
为何实施空间数据内插
空间数据内插的基本概念 空间数据内插实施的具体步骤 思 考 题
数据记录
数据记录是将内插结果，按一定的数据结构形
式，存储与磁性介质内，以供系统应用。
精度分析方法：在研究区内随机选取n个数据
点，与其对应的内插值进行比较
讨 论 题 — 研究某地区气象观测站的最优设置
目 的：某地区内有12个气象观测站，为了减少开支，计划减 少观测站的数目。 基本情况：已知该地区12个气象观测站的位置；已知10年来12 个气象观测站测得的年降水量； 问 题：考虑减少那些观测站可以使所得的降水量的信息足 够大？
插值
二次线性内
取样间隔大小
h’:=(h1+h2)/2
线性内插值
间隔大小确定原则:Δh应在数字地面模型精度要求的限差之内
数据处理
由于数据点离散,或者数据点虽按格网排列,但 格网密度不满足精度要求,这样就需要以数据点为
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空间内插方法比较-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、空间数据的插值用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，亦既数据集合是由感兴趣的区域内的随机点或规则网点上的观测值组成的。
但有时用户却需要获取未观测点上的数据，而已观测点上的数据的空间分布使我们有可能从已知点的数据推算出未知点的数据值。
在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。
空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。
一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据，而空间位置越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。
下面介绍一些常用的内插方法。
1、边界内插使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。
边界内插的方法之一是泰森多边形法。
泰森多边形法的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。
如图4-6-1所示。
泰森多边形的生成算法见§。
2、趋势面分析趋势面分析是一种多项式回归分析技术。
多项式回归的基本思想是用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标X、Y为独立变量，而表示特征值的Z坐标为因变量。
当数据为一维时，可用回归线近似表示为：其中，a0、a1为多项式的系数。
当n个采样点方差和为最小时，则认为线性回归方程与被拟合曲线达到了最佳配准，如图4-6-2左图所示，即：当数据以更为复杂的方式变化时，如图4-6-2右图所示。
在这种情况下，需要用到二次或高次多项式：（二次曲线）在GIS中，数据往往是二维的，在这种情况下，需要用到二元二次或高次多项式：（二次曲面）多项式的次数并非越高越好，超过3次的多元多项式往往会导致奇异解，因此，通常使用二次多项式。
趋势面是一种平滑函数，难以正好通过原始数据点，除非数据点数和多项式的系数的个数正好相同。
这就是说，多重回归中的残差属正常分布的独立误差，而且趋势面拟合产生的偏差几乎都具有一定程度的空间非相关性。
3、局部内插在GIS中，实际的连续空间表面很难用一种数学多项式来描述，因此，往往使用局部内插技术，即利用局部范围内的已知采样点的数据内插出未知点的数据。
常用的有线性内插、双线性多项式内插、双三次多项式（样条函数）内插。
(1)、线性内插线性内插的多项式函数为：只要将内插点周围的3个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2 。
(2)、双线性多项式内插双线性多项式内插的多项式函数为：只要将内插点周围的4个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2、a3 。
如果数据是按正方形格网点布置的（如图4-6-3），则可用简单的公式即可计算出内存点的数据值。
设正方形的四个角点为A、B、C、D，其相应的特征值为Z A、Z B、Z C、Z D，P点相对于A点的坐标为dX、dY，则插值点的特征值Z为：(3)、双三次多项式（样条函数）内插双三次多项式是一种样条函数。
样条函数是一种分段函数，对于n次多项式，在边界处其n-1阶导数连续。
因此，样条函数每次只用少量的数据点，故内插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可用于精确的内插，可以保留微地貌特征；样条函数的n-1阶导数连续，故可用于平滑处理。
双三次多项式内插的多项式函数为：将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。
4、移动平均法在未知点X处内插变量Z的值时，最常用的方法之一是在局部范围（或称窗口）内计算个数据点的平均值。
既：对于二维平面的移动平均法也可用相同的公式，但位置X i应被坐标矢量X i代替。
窗口的大小对内插的结果有决定性的影响。
小窗口将增强近距离数据的影响；大窗口将增强远距离数据的影响，减小近距离数据的影响。
当观测点的相互位置越近，其数据的相似性越强；当观测点的相互位置越远，其数据的相似性越低。
因此，在应用移动平均法时，根据采样点到内插点的距离加权计算是很自然的。
这就是加权移动平均法，即：其中，λi是采样点i对应的权值，常取的形式有：加权平均内插的结果随使用的函数及其参数、采样点的分布、窗口的大小等的不同而变化。
通常使用的采样点数为6—8点。
对于不规则分布的采样点需要不断地改变窗口的大小、形状和方向，以获取一定数量的采样点。
空间内插方法比较(空间统计学)摘要：空间内插可以分为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。
介绍了每一种方法的适用范围、算法和优缺点。
指出没有绝对最优的空间内插方法，必须对数据进行空间探索分析，根据数据的特点，选择最优方法；同时，应对内插结果做严格的检验。
开发通用空间内插软件、智能化内插以及加强相关基础研究将是空间内插研究的重点。
1 空间内插根据已知地理空间的特性探索未知地理空间的特性是许多地理研究的第一步，也是地理学的基本问题。
常规方法无法对空间中所有点进行观测，但是我们可以获得一定数量的空间样本，这些样本反映了空间分布的全部或部分特征，并可以据此预测未知地理空间的特征。
在这一意义上，空间内插可以被定义为根据已知的空间数据估计（预测）未知空间的数据值。
其目标可以归纳为：①缺值估计：估计某一点缺失的观测数据，以提高数据密度；②内插等值线：以等值线的形式直观地显示数据的空间分布；③数据格网化：把无规则分布的空间数据内插为规则分布的空间数据集，如规则矩形格网、三角网等。
空间内插对于观测台站十分稀少，而台站分布又非常不合理的地区具有十分重要的实际意义。
这些地区的常规观测常常不能满足要求，在这种情况下，利用有限的常规观测估计合理的空间分布，或尽可能地提高数据密度就成为迫切要求。
在这些方面，缺值估计和数据格网化将发挥重要的作用。
(1) 缺值估计。
各种科学考察中形式多样的短期观测是提高数据观测密度的重要方式，无形中起到了加密台站的作用；而且由于这些考察常常到达人迹罕至的高海拔和极地等区域，有助于了解区域内观测变量的完整空间分布。
但是，这些观测序列往往很短，短则数十天，长不过几年。
如何利用周围台站的长序列观测资料和短期观测本身的信息，将观测变量插补到长序列是一个重要问题。
(2) 数据格网化。
规则格网能够更好地反映连续分布的空间现象，并对他们的变化作出模拟。
现代地球科学模型和气候模型，如GCM（一般环流模型），都要求与GIS数据模型和遥感数据高度兼容的空间数据集。
格网化的数据，尤其是规则矩形格网，已成为目前地学模型的主要数据形式。
因此，对已知观测台站的观测数据进行空间内插，得到格网化数据是模型的第一步。
空间内插一般包括这样几个过程：①内插方法（模型）的选择；②空间数据的探索分析，包括对数据的均值、方差、协方差、独立性和变异函数的估计等；③内插方法评价；④重新选择内插方法，直到合理；⑤内插。
因此，通过比较而选择一个合用的、适合于数据空间分布特点的内插方法是空间内插的关键。
本文将空间内插分类为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法，通过比较研究，指出每一种方法的适用范围、算法和优缺点。
2 空间内插方法比较空间内插可依据：①确定或随机；②点与面；③全局或局部等标准分类。
本文依据内插方法的基本假设和数学本质，把空间内插分类为以下几种方法。
几何方法是最简单的空间内插方法。
几何方法基于“地理学第一定律”的基本假设，即邻近的区域比距离远的区域更相似。
几何方法的优点是计算开销少，具有普适性，不需要根据数据的特点对方法加以调整。
当样本数据的密度足够大时，几何方法一般能达到满意的精度。
几何方法的最大问题是，无法对误差进行理论估计。
最常用的几何方法有泰森多边形（最近距离法）和反距离加权方法。
2.1.1泰森多边形（最近距离法）泰森多边形用于生成“领地”或控制区域。
实际上，尽管泰森多边形产生于气候学领域，它却特别适合于专题数据的内插，因为它生成专题与专题之间明显的边界，不会有不同级别之间的中间现象。
泰森多边形的算法非常简单，未采样点的值等于与它距离最近的采样点的值。
2.1.2反距离加权方法反距离加权法是最常用的空间内插方法之一。
它认为与未采样点距离最近的若干个点对未采样点值的贡献最大，其贡献与距离成反比。
可用下式表示：(1) 式中，Z是估计值，Zi是第i（i=1，…，n）个样本，Ｄi是距离，p是距离的幂，它显着影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
Husar等的研究结果表明，幂越高，内插结果越具有平滑的效果。
统计方法其基本假设是，一系列空间数据相互相关，预测值的趋势和周期是与它相关的其它变量的函数。
统计方法的优点是计算开销不大，有一定的理论基础，能够对误差作出整体上的估计。
但是，其前提是一定要有好的采样设计，如果采样过程不能反映出表面变化的重要因素，如周期性和趋势，则内插一定不能取得好的效果。
常用的统计方法有趋势面方法和多元回归方法。
2.2.1趋势面趋势面根据有限的观测数据拟合曲面，进行内插。
它适用于：①能以空间的视点诠释趋势和残差；②观测有限，内插也基于有限的数据。
当趋势和残差分别能与区域和局部尺度的空间过程相联系时，趋势面分析最有用。
趋势面方法可以被定义为：y=Aθ+e (2)式中，y是n×1维矩阵，对应于n个样本；A是n个样本的坐标矩阵；θ是趋势面参数矩阵。
A和θ依赖于趋势面的次数。
趋势面的次数是它最重要的特征。
e是残差，通常是一个独立随机变量。
当残差是随机独立时，统计检验有效；但实际上，趋势面中的残差常是自相关（特别是趋势面的次数较低时），因此，检验是显着有偏差的。
残差的空间自相关可以用随机过程模型模拟。
由于趋势面的以上特性，它的目标有时并非最佳拟合，而是把数据分成区域趋势组分和局部的残差。
2.2.2多元回归在各种统计方法中，使用较多的是回归分析，其特点是不需要分布的先验知识。
多元回归在数学形式上与趋势面很相似，但是，它们又有着显着的不同。
首先，在趋势面分析中，A是坐标矩阵，而在回归分析中，它可以是任意变量。
其次，在趋势面方法中，模型的拟合严格地遵从自常数、一次、二次、立方等的顺序，主要的问题是确定模型的次数，因此，趋势面分析有内在的多重共线性问题；而在多元回归中，尽管也存在多重共线性，但它并非内在的，可以通过逐步回归解决，因此，相对于趋势面的选择次数，多元回归的核心问题是选择变量（主成分分析等方法有助于选择变量）和区分模型。
空间统计（Geostatistics）方法空间统计又称地质统计学，于20世纪50年代初开始形成，60年代在法国统计学家Matheron的大量理论研究工作基础上逐渐趋于成熟。
其基本假设是建立在空间相关的先验模型之上的。
假定空间随机变量具有二阶平稳性，或者是服从空间统计的本征假设（in trinsic hypothesis。