恒定电磁场
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大学物理第7章恒定磁场(总结)
磁场对物质的影响实验
总结词
磁场对物质的影响实验是研究磁场对物质性 质和行为影响的实验，通过观察物质在磁场 中的变化，可以深入了解物质的磁学性质和 磁场的作用机制。
详细描述
在磁场对物质的影响实验中，常见的实验对 象包括铁磁性材料、抗磁性材料和顺磁性材 料等。通过观察这些材料在磁场中的磁化、 磁致伸缩等现象，可以研究磁场对物质内部 微观结构和宏观性质的影响。此外，还可以 通过测量物质的磁化曲线和磁滞回线等参数 ，进一步探究物质的磁学性质和磁畴结构。
毕奥-萨伐尔定律
02
描述了电流在空间中产生的磁场分布，即电流元在其周围空间
产生的磁场与电流元、距离有关。
磁场的高斯定理
03
表明磁场是无源场，即穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。
磁场中的电流和磁动势
安培环路定律
描述了电流在磁场中所受的力与 电流、磁动势之间的关系，即磁 场中的电流所受的力与电流、磁 动势沿闭合回路的线积分成正比。
磁流体动力学
研究磁场对流体运动的影响，如磁场对流体流动的导向、加速和 减速作用。
磁力
磁场可以产生磁力，对物体进行吸引或排斥，可以用于物体的悬 浮、分离和搬运等。
磁电阻
某些材料的电阻会受到磁场的影响，这种现象称为磁电阻效应， 可以用于电子器件的设计。
磁场的工程应用
1 2
磁悬浮技术
利用磁场对物体的排斥力，实现物体的无接触悬 浮，广泛应用于高速交通、悬浮列车等领域。
磁动势
描述了产生磁场的电流的量，即 磁动势等于产生磁场的电流与线 圈匝数的乘积。
磁阻
描述了磁通通过不同材料的难易 程度，即磁阻等于材料磁导率与 材料厚度的乘积。
磁场中的力
安培力
《电磁场理论》第五章 恒定磁场1
3
蜒
C 2 C1
7
（5.1）
图 5.1.1 两个电流回路间的相互作用力
0 4 1 0 式中，
r r r ,r H / m 为真空中的磁导率，
分别为电流元 I 1 和 I 2 的位置矢量，R 为两电流元之间的距离， 且有 R | r r | 。 式 （5.1） 称为安培力定律。 同理得
r r 0 B (r ) 4 r r 0 B (r ) 4
Ñ
V
u r r r J ( r ) d V R R
3
（5.9）
Ñ
S
u r r r J S ( r ) d S R R
3
（5.10）
5.2 真空中磁场的基本方程
恒定磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形成的一个特殊的矢量场分布。通 过对磁感应强度的散度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的特性，进而得 出恒定磁场的一般性质。
) J ( r ) (
J ( r ) R
)
1 R
J ( r )
代入式（5.13） ，得
B
0
4
[ (
v'
J ( r ) R
)
1 R
J ( r )] dV '
（5.14）
因 J ( r ) 0 ，对式（5.14）两边分别取旋度，得
第五章
恒定磁场
前面两章分别讨论了静止电荷产生的静电场以及运动电荷形成的恒定电流产生的恒 定电场。本章将讨论恒定电流产生的恒定磁场。电场表现为对电荷有作用力，不管电荷 是相对静止的还是运动的。而磁场表现为对电流或运动电荷有作用力。如果电流的分布 是是不随时间变化的，即恒定电流，那么周围的磁场也是不随时间变化的，称为恒定磁 场。 本章分别介绍真空与磁介质中恒定磁场的基本方程和边界条件，引入了矢量磁位和 标量分别对恒定磁场进行求解。最后讨论了电感。磁场能量和磁场力。
蜒
C 2 C1
7
（5.1）
图 5.1.1 两个电流回路间的相互作用力
0 4 1 0 式中，
r r r ,r H / m 为真空中的磁导率，
分别为电流元 I 1 和 I 2 的位置矢量，R 为两电流元之间的距离， 且有 R | r r | 。 式 （5.1） 称为安培力定律。 同理得
r r 0 B (r ) 4 r r 0 B (r ) 4
Ñ
V
u r r r J ( r ) d V R R
3
（5.9）
Ñ
S
u r r r J S ( r ) d S R R
3
（5.10）
5.2 真空中磁场的基本方程
恒定磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形成的一个特殊的矢量场分布。通 过对磁感应强度的散度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的特性，进而得 出恒定磁场的一般性质。
) J ( r ) (
J ( r ) R
)
1 R
J ( r )
代入式（5.13） ，得
B
0
4
[ (
v'
J ( r ) R
)
1 R
J ( r )] dV '
（5.14）
因 J ( r ) 0 ，对式（5.14）两边分别取旋度，得
第五章
恒定磁场
前面两章分别讨论了静止电荷产生的静电场以及运动电荷形成的恒定电流产生的恒 定电场。本章将讨论恒定电流产生的恒定磁场。电场表现为对电荷有作用力，不管电荷 是相对静止的还是运动的。而磁场表现为对电流或运动电荷有作用力。如果电流的分布 是是不随时间变化的，即恒定电流，那么周围的磁场也是不随时间变化的，称为恒定磁 场。 本章分别介绍真空与磁介质中恒定磁场的基本方程和边界条件，引入了矢量磁位和 标量分别对恒定磁场进行求解。最后讨论了电感。磁场能量和磁场力。
电磁场与电磁波--真空中恒定场的基本规律
=rr
rr
R12 = rr rr
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
r
rr
蜒 蜒 r
F12
C2
0
C1 4π
I2dl2
(I1dl1 R132
R12 )
C2
r C1 dF12
r
rr
r dF12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 ) R132
对比
r rr dFm Idl B
电流元
r Idl
Er(rr
r ) dl
0
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。
2.2 真空中静电场的基本规律
3. 利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。
具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：
• 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
位于xy 平面上，则所求场点为P (0, 0, z ) , 如图 所示。采用圆柱坐标系，
圆环上的电流元为
位置矢量为 rr erz
r Idl
er
Iad
z ，故得
'
,
其位置矢量为 rr er a，而场点 P 的
rr
rr
r ez
z
r e a,
rr rr (z2 a2)1/2
z
r Idl
(rr
rr)
1 b2 )1/2
z0
0
z0
且
2.2 真空中静电场的基本规律
r E(0,0, z)
r ez
S0z 2 0
1 z
(z2
1 b2 )1/2
z0
电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场-恒定磁场
例2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
μ0 α2
α1
μfe
铁磁媒质与空 气分界面
解：
tan 2
2 1
tan 1
0 fe
tan 1
0
2 0
表明 只要 1 90 ，空气侧的B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
2023/10/27
34/119
例 3 在两种媒质分界面两侧，
1 50，2 30
即 H2 H2yey H2xex 10ex 4ey A/m
B2 2H2 0(30ex 12ey ) T
M1 ∆l2
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
2023/10/27
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4） 磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电
偶
极
子
p qd
ρp - P p P en
电场与磁场
磁 偶
Jm M
极 子
Bx
0Ky 2
dx (x2 y2)
B
0K
2
ex
0K
2
e
x
y0 y0
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3.2 安培环路定律 Ampere’s Circuital Law 1. 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0 I 2
e
dl
0I d l 2
0I
2
2
0 d 0 I
α
I dΦ
Bdl
解: 平行平面磁场，且轴对称，故
图3.2.19 磁场分布
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
工程电磁场——恒定磁场——第2讲
式（1）代入式（2）
Az y
dy
Az x
dx
dAZ
0
AZ const
第三章
4、由微分方程求 A
恒定磁场
例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试 求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。
解: 采用圆柱坐标系，A A ez 且 A f ()
2 A1
2 Ax Jx ; 2 Ay J y ; 2 Az Jz
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为:
Ax 4π
J xdV ; V R
Ay 4π
J ydV ; V R
Az 4π
J zdV V R
矢量合成后，得
JdV
Adl 0 ,
l
有 A1t A2t (1)
与
E dl 0 ,
l
E1t E2t
对比，
图 磁矢位 A 的衔接条件
第三章
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
恒定磁场
S A dS V AdV 0
当 L 0 时， A1nS A2nS 0, A1n A2n (2)
0a 2 J 2
e
a a
第三章
3.5.3 磁矢位与电位的比较
位 函 数 电位
比较内容
(有源或无源）
引入位函数依据 E 0
位与场的关系 微分方程
位与源的关系
E
Q
p E dl
2
dV
V 4πr
恒定磁场
磁矢位A
F1x x
F1y y
00 0
电磁场4恒定磁场
S
L
S
磁化电流体密度：
Jm M
磁化电流面密度：
JS
M
en
结论：
➢有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用在真空中产生的磁场；
➢磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
产生的电场与磁场
电 偶
v p P
1 4π0
pv
1 R
pv evR 4π0R2
➢电流与电流之间 存在相互作用
➢磁场对运动电荷的作用 运动电荷既能产生磁效应也 受到磁力的作用
表明： ➢电流与电流之间，磁铁与电流之间都存在力的作用 ➢磁铁和电流周围存在磁场 ➢磁力是通过磁场来传递的
运动电荷
磁场
运动电荷
存在于电流或永久磁铁周围空间且能 对运动电荷和电流施加作用力的物质
（1） 安培定律
dF
Idl
0
4
I
dl
eR
l R2
点电荷q1对点电荷q2 的作用力
F
1
4 0
q2q1 R2
eR
电荷之间相互作用 力通过电场传递
F q
1
4 0
V
dV
R2
eR
qE
点电荷 库仑定律 电场强度
电流元I′dl′对电流元
Idl的作用力
F
0 4
Idl
(
I
dl
eR
)
R2
电流之间相互作用 力通过磁场传递
F
Idl
0
l
4
l
I
dl
eR
R2
Idl B
l
电流元 安培定律 磁感应强度
电磁场与电磁波恒定磁场ppt课件
J
，在空间中
激励的磁感应强度为
B(r )
0
4
J (r
|
') r
(rr'
|3
r
'
)
d
'
由于
两端对场点
坐标取散度
B
0
4
[
J (r
'
)
|
r r
rr'
'
|3
]d
'
|
r r
rr'
'
|3
(
|
r
1
r
'
) |
所以
B
0
4
[( |
r
1
r
'
) |
J (r
'
)]d
'
应用矢量恒等式：
2 0I r d 0I
0 2r
2
2
0 d 0I
图4.2.4 任意闭合环路与电流的关系
若积分的闭合环路不绕过I，如图4.2.4(b)所示，则上式的积分变成
B
dl
0I
B d
c
2 A
B A
闭合回路，当绕B行一dl周后，0BI
A
B
因此
d 0
c
2 A
安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）
Im dIm M dl M d S
c
s
又因为
Im Jm dS M dS
a
sin )
0 SI 4
c
os
r2
0 SI 4
( az ar r2
磁场的种类
磁场是围绕磁体或电流而存在的物理现象。
根据形成磁场的方式和性质，可以将磁场分为以下几种类型：
恒定磁场：也称为静磁场，指的是保持稳定的磁场，其强度和方向不随时间变化。
例如，磁铁所产生的磁场就是恒定磁场。
电磁场：由电流所产生的磁场被称为电磁场。
当电流通过导线或线圈时，会形成围绕导线或线圈的磁场。
电磁场具有与电流方向和大小相关的特性。
变化磁场：指磁场强度和方向随时间变化的磁场。
这种变化可以是周期性的，也可以是非周期性的。
变化磁场产生的电磁感应现象是电磁感应定律的基础。
自旋磁场：自旋磁场是与粒子的自旋运动相关的磁场。
自旋是微观粒子（如电子）的内禀属性，具有磁矩，因此可以产生磁场。
这些是磁场的一些常见种类。
磁场的研究和应用涉及许多领域，包括物理学、工程学和医学等。
磁场对于电磁感应、电磁波传播和磁性材料等方面有着重要的影响和应用。
第五-恒定磁场【共42张PPT】
B0 J
此式表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空 磁导率的乘积。
另外，由高斯定理获知
SBdSVBdV
那么，根据磁通连续性原理求得
VBdV0
由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即
B0 此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。
综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为
可见，无源区中磁感应强度B 是无旋的。
无
考虑到
，求得
关。为了计算方便起见，令所求的场 对于大多数媒质，磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比，即
a 为物理无限小体积。
r - r' y 可见，矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。
r' 当两者垂直时，受到的力矩最大。
e 点位于xz 平面，即 ' 在设小外电加流磁环场为四的根作长用度下为，l 的除电了流引元围起成电的子平进面方动框以，外电，流磁方' 向偶如极左子下的图示磁。矩方向朝着外加磁场方向转动。
例1 计算无限长的，电流为I 的线电流产生的磁感应强度。
z
dl
r′ r - r′
o
y
r e
x
I
解 取圆柱坐标系，如图示。令 z 轴沿电 流方向。 dl(rr)的方向为B 的方向。那 么，由图可见，这个叉积方向为圆柱坐标 中的 e 方向。因此，磁感应强度 B 的方 向为 e 方向，即
B Be
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁场分布以 z 轴 对称，且与 无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量 z 无关，所 以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此，沿半径为r 的磁场线上 磁感应强度的环量为
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
工程电磁场--第4章--恒定磁场的基本原理
114例471如图无限长圆柱体磁导率为内部沿轴线方向有均匀电流电流密度jrjrjrjrjrj116将磁媒质的作用等效成磁化电流的作用应用真空中的安培环路定理得与安培环路定理结果相同117将磁媒质的作用等效成磁化电流的作用应用真空中的安培环路定理118rbrj与安培环路定理相同119472如图已知无穷长电流和两种媒质的磁导率求两种媒质中的磁感应强度
0 4a
4a
2 时，
整个圆形线电流在圆心产生的磁感应强度
B 2 0 Iez 0 Iez
4a
2a
28
注意：
θ1为A到电流后端， θ2为A到电流前端29
30
4.2 矢量磁位与磁通连续性定理
1．矢量磁位
由体电流（典型情况）产生磁场的磁感应强度
B 0
4
V
J
R
eR
2
dV
0 4
V
J
1 R
16
载流线圈是一种线电流，
所产生磁场的磁感应强度为
B 0
4
l
Idl eR R2
式中： l 为线电流的源区。
17
由面电流产生的磁感应强度为
B
0 4
S
K
e R2
R
dS
式中： S 为面电流的源区。
由体电流产生的磁感应强度为
B 0
4
V
J
R
e
2
R
dV
式中：V 为体电流的源区。
18
5．洛仑兹力
0 4
I1dl1
I2dl2 e21 R221
对比库仑定律，两电荷元之间作用力:
dF12
1 40
dq1
dq2e12 R122
9
0 4a
4a
2 时，
整个圆形线电流在圆心产生的磁感应强度
B 2 0 Iez 0 Iez
4a
2a
28
注意：
θ1为A到电流后端， θ2为A到电流前端29
30
4.2 矢量磁位与磁通连续性定理
1．矢量磁位
由体电流（典型情况）产生磁场的磁感应强度
B 0
4
V
J
R
eR
2
dV
0 4
V
J
1 R
16
载流线圈是一种线电流，
所产生磁场的磁感应强度为
B 0
4
l
Idl eR R2
式中： l 为线电流的源区。
17
由面电流产生的磁感应强度为
B
0 4
S
K
e R2
R
dS
式中： S 为面电流的源区。
由体电流产生的磁感应强度为
B 0
4
V
J
R
e
2
R
dV
式中：V 为体电流的源区。
18
5．洛仑兹力
0 4
I1dl1
I2dl2 e21 R221
对比库仑定律，两电荷元之间作用力:
dF12
1 40
dq1
dq2e12 R122
9
《电磁场理论》5.2 恒定磁场的基本方程
B 0 J
两边取旋度
2
l
0
B 0 J
( B) 2 B 0 B
0
B ( B) B
2 B 0 B
直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般 7 不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。
可ห้องสมุดไป่ตู้，
1 J (r) 1 ( ) J (r ) ( ) J (r) R R R
R R R
已知： J (r) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
3
对上式两边分别取旋度，得
5.2
真空中磁场的基本方程
静磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形 成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的散 度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的 特性，进而得出静磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
0 B 4
v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 4 v ' R
1
0 B 4
S
A dS
0 J (r ) 2 1 { ( )dV ' J (r ) ( )dV '} v ' v' 4 R R
0 J (r ) 2 1 { d S ' J (r ) ( )dV '} S ' v' 4 R R
两边取旋度
2
l
0
B 0 J
( B) 2 B 0 B
0
B ( B) B
2 B 0 B
直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般 7 不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。
可ห้องสมุดไป่ตู้，
1 J (r) 1 ( ) J (r ) ( ) J (r) R R R
R R R
已知： J (r) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
3
对上式两边分别取旋度，得
5.2
真空中磁场的基本方程
静磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形 成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的散 度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的 特性，进而得出静磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
0 B 4
v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 4 v ' R
1
0 B 4
S
A dS
0 J (r ) 2 1 { ( )dV ' J (r ) ( )dV '} v ' v' 4 R R
0 J (r ) 2 1 { d S ' J (r ) ( )dV '} S ' v' 4 R R
电磁场之恒定电场
l
E dl 0
本构关系
J E
电流连续性方程一般形式
q S J dS t
恒定电场: 任何闭合面内不能有电荷的增减,否则会导致电场的变化.
电位及电位方程
E 0 J 0 ( ) 0
对于均匀的导电媒质
E J E
E1t E2 t
E 2 E2 n
表 明
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降 2）理想介质中的E垂直于导体表面。
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下 页
§2.3
恒定电场基本方程.分界面上的衔接条件
载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）
积分形式 J dS 0
S
微分形式
J 0 E 0
-
+ + + 导线侧面电荷 引起的电场
-
+ + + 所有电荷引起 的电场叠加
-
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
上 页
下 页
3.导电媒质周围介质中的恒定电场
介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷 所产生的恒定场，与静电场的分布相同。 注意 本章主要讨论导电媒质中的恒定电场。 4.研究恒定电场的意义
表 明
1）分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 2）导体与理想介质分界面上必有面电荷。 3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表 面非等位面
上 页 下 页
讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1
E1 0
J1 1E1 有限值
1
2 0
E 2 E2 n
元电荷以 速度v运 动 体分布电 荷以速度 v运动
电磁场能量守恒定律
电磁场能量守恒定律
电磁场能量守恒定律是自然界中普遍存在的一种基本物理现象。
在电磁场中，每一个电荷都会产生电场和磁场，并且在电场和磁场中都存在能量。
这些能量也遵循能量守恒定律，即一定时间内，能量的增加等于减少。
电场和磁场中的能量可以通过电荷间的相互作用转化。
如果一个电荷移动到另一个位置，它会通过该位置的电场和磁场的相互作用来改变它的速度和动量，这会导致电场和磁场中能量的转移。
在这个过程中，总的能量保持不变。
对于静电场，能量可以表示为电势能。
而对于电磁波，电场和磁场中的能量则以相互关联的形式存在。
在这种情况下，能量守恒定律告诉我们，电场和磁场的总能量密度在空间中是恒定不变的。
∂(εE²/2 + B²/2μ)/∂t + ∇ · S = -J · E
其中，ε为电容率，E为电场强度，B为磁感应强度，μ为磁导率，J为电流密度，S 为能流密度。
这个方程式表示，在任何时候，一个体积单位内电场和磁场的总能量密度的瞬时变化量等于能量流量的瞬时变化量，再加上一个耗散项，即电流密度与电场的乘积。
这个方程表明电磁场中的能量守恒。
在任何时候，对于一个特定的体积，能量的流入等于流出，并且任何能量损失都应该等于能量增加的部分。
这与守恒律的基本原理是相同的。
总之，电磁场能量守恒定律告诉我们，一个孤立系统中，电场和磁场的总能量是守恒的。
能量可以在电场和磁场之间相互转化，但总能量不会发生变化。
这个定律对于许多物理学领域都有着广泛的应用，包括电子学、通讯、计算机科学等。
工程电磁场导论恒定磁场
可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场
的必要条件。
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2. 磁通连续性原理
根据 有
散度定理
表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。
磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通
单位：Wb (韦伯 )
3. 磁感应线 磁感应线方程
直角坐标系
图3.2.2 B 的通量
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磁感应线的性质： 磁感应线是闭合的曲线;
熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方 法。了解磁路及其计算方法。
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3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
两个载流回路之间的作用力 F
式中，
为真空中的磁导率
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
磁感应线不能相交；
图3.2.3 导线位于铁板上方
闭合的磁感应线与交链
的电流成右手螺旋关系；
磁感应强处 ，磁感应线 稠密，反之，稀疏。
图3.2.4 长直螺线管的磁场
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图3.2.5 一对反向电流传输线 图3.2.6 一对同向电流传输线
图3.2.7 两对反相电流传输线
图3.2.8 两对同向电流传输线
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例 3.3.3 在两种媒质分界面处，
面电流
A/m ，且
试求 B1，B2与 H2 的分布。
解:
， A/m，
即
图3.3.4 含有 K 的分界面 衔接条件
A/m T
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3.4 磁矢位及其边值问题
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
电磁场分类
电磁场分类
电磁场是物理学中的一个重要概念，它是由电荷和电流所产生的一种物理场。
根据电磁场的性质和特点，可以将其分为静电场、恒定磁场和电磁波三种类型。
静电场是指在没有电流的情况下，由电荷所产生的电场。
在静电场中，电荷之间的相互作用力是通过电场传递的。
静电场的特点是稳定、静止和不可逆转。
静电场的应用非常广泛，例如电荷分离、电场感应、电容器等。
恒定磁场是指在没有电荷的情况下，由电流所产生的磁场。
在恒定磁场中，电流之间的相互作用力是通过磁场传递的。
恒定磁场的特点是稳定、静止和不可逆转。
恒定磁场的应用也非常广泛，例如电动机、发电机、电磁铁等。
电磁波是指由电场和磁场相互作用所产生的一种波动现象。
电磁波的特点是具有波动性、传播性和相互作用性。
电磁波的应用非常广泛，例如无线电通信、雷达、微波炉等。
电磁场是物理学中非常重要的一个概念，它的分类有助于我们更好地理解和应用电磁场的知识。
静电场、恒定磁场和电磁波分别具有不同的特点和应用，我们需要根据实际情况选择合适的电磁场类型进行研究和应用。
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S
r
lim
S 0
q S
(2.3)
3. 线电荷分布
连续分布于一条线上的电荷，称为线
电荷。设线元 l内有q的带电量，则线电
荷密度l 定义为
l
r
lim
l 0
q l
(2.4)
4. 点电荷分布
当某一电荷量被想象地集中在一个几 何点上时，这样的电荷称为点电荷。
2.1.2 电流及电流密度
电荷的宏观定向运动称为电流。
2.1.3 库仑定律和电场强度
一个基本的实验现象是两个带电体之 间有相互作用力。带电体之间没有相互接 触，却有相互作用力，是因为带电体在周 围的空间产生了电场，带电体之间的相互 作用力是通过电场传递的。也就是说，一 个带电体在周围产生的电场对另一个带电 体有作用力。
假设在电场中引入一个足够小的试验
于是有
2 r l Er r l l / 0
Er
r
l 2 0r
(2.28)
例2.5 利用高斯定理求电场强度。已
知电荷分布于一个半径为a的球形区域内，
用图2.6和说明。设有两个电流回路C1和C2， 分别通有电流I1和I2，则回路C1对回路的作
用力为
F12
0 4
C2
I 2dl 2 I1dl 1 e R
C1
R2
(2.17a)
式中，0 4 10 7 H/m
（亨[利]/米），称为真空中的磁导率。
图2.6 两电流回路间的相互作用力
F dF 12
E dS q
S
0
C E dl 0
(2.20) (2.21)
图2.8 立体角
E dS S
Se R
q
4 0 R 2
dS
q
4 0
dS e R
S R2
q
4 0
d
S
E dl q
l
4 0
eR
l R2
dl
图2.9 电场的线积分
微分形式：
E 0
E 0
例2.4 利用高斯定理求无限长线电荷 l
C2 C1
12
B1为回路C1中的电流在电流元 I 2dl 2
所在点产生的磁场，称为磁感应强度或磁
通密度，表示为
B1
0 4
C1
I1dl 1 e R
R2
(2.18)
磁感应强度Ｂ的单位为T（特斯拉）或
Wb/m2（韦[伯]/米2）。
2.2 静电场
2.2.1 真空中静电场的基本方 程
静电场基本方程的积分形式为
在任意点P产生的电场强度。
解 由静电场的高斯定理有
E dS q
S
0
上式等号左边为
SE dS
e
上底面
r
Er
r
e zdS z
e
下底面
r
Er
r
-
e
z
dS
z
e
侧面
r
E
r
r
e
r
dS
r
0 0 侧面 Er rdSr
Er r 侧面dSr
2 r l Er r
高斯面S内的总电荷为
q ll
电荷 q0 ，则试验电荷必然受到作用力F 。
我们将电场强度定义为
E lim F
q q0 0 0
(2.9)
E的单位是V/m（伏[特]/米）。库仑于
1785年从实验中总结出，q2 受到的 q1 作用 力为
F12
eR
q1q2
4 0 R 2
(2.10)
式中，
0
8.8541012
1
36 109
F/m
F/m（法[拉]/米），称为真空中的介电常数； 如图2.2所示。 式（2.10）称为库仑定律。
E
eR
q
4 0 R 2
（2.11）
图2.2 两个点电荷之间的相互作用力
E r
e
R
r d
4 0 R2
r d
4 0 r - r 3
r
-
r
E r
eS R
S r dS
4 0 R2
S r dS r - r
S 4 0 r - r 3
E r
l
eR
l r dl
4 0 R2
l r dl r - r
解
E z
b
a
2 e z z e rr 0 4 0 z 2 r 2
3/ 2
S rdrd
图2.5 例2.2用图
E z e z
S z 2 0
1 z2 a2 1/2
1
z2
b2
1/ 2
2.1.4 安培力定律和磁感应 强度
实验结果表明，在真空中两个通有恒 定电流的回路之间有相互作用力。1820年 ~1825年间，安培从实验中总结出这个作用 力的规律，称为安培力定律，该实验定律
dE 2
1
r
2 l sin d l
1 4 0r
4 0r
cos1 cos2
Ez dEz
2 1
l cos 4 0r
d
l 4 0r
s in 2
sin1
例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半 径为a，外半径为b，电荷面密度 S为常数， 如图2.5所示，求环形薄圆盘轴线上任一点 的电场强度。
2.1 电磁场中的基本物理量和基本 实验定律
2.1.1 电荷及电荷密度
电量的单位是C（库仑），基本电荷
带的电量为 e
e 1.6021019 C
1. 体电荷分布
连续分布于一个体积 之内的电荷，
称为体电荷。体电荷密度 定义为
r lim q
0
(2.1)
2. 面电荷分布
连续分布于一个几何曲面上的电荷， 称为面电荷。设面积元 S 内有q 的带电量， 则面电荷密度 定义S 为
l 4 0 r - r 3
(2.13) (2.14) (2.15)
例2.1 无界真空中，有限长直线 l 上均匀分
布着线密度为l 的电荷，如图2.4所示，求
线外任意点的电场强度。
解
dEr
dE sin
ldz 4 0R2
s in
dEz
dE cos
ldz 4 0R2
cos
图2.3 q点电荷的电场
Er
1.体电流分布
电荷在某一体积内定向运动所形成的 电流为体电流。表示为
i lim q dq
(2.6)
t0 t dt
2.面电流分布
电流在厚度可以忽略的薄层内流动所 形成的电流称为面电流。表示为
JS
en
lim
S 0
i S
(2.8)
图2.1 面电流密度
3.线电流分布
电荷在一个横截面可以忽略的细线中 流动所形成的电流称为线电流。若长度元 dl 中流过的线电流为 I ，则称Idl为电流元。
第2章 电磁场的基本理论
2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律
2.2
静电场
2.3
恒定电场
2.4
恒定磁场
2.5
时变电磁场
电磁场基本理论分静电场、恒定电场、 恒定磁场和时变电磁场四部分。其中静电 场、恒定电场和恒定磁场是静态场，它们 只是空间位置的函数，不随时间变化，这 时电场和磁场虽然可以共处一个空间，但 它们却是相互无关、各自独立存在的；时 变电磁场既是空间的函数，也是时间的函 数，这时变化的电场可以产生磁场，变化 的磁场可以产生电场，电场与磁场不再独 立，它们同时存在，形成统一的电磁场。