指数与指数幂的运算

解：原式 ( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
| 3 2 | | 2 3 | | 2 2 |
( 3 2 ) (2 3 ) (2 2 )
3 2 2 3 2 2 2 2.
例2．如果 2 x 5 x 2 0, 化简代 数式 4 x 2 4 x 1 2 | x 2 | . 解： 2 x 2 5 x 2 0, 2 2 x 5 x 2 0, 解之，得 1 x 2. 2
如果x n a, 那么
n a , n 2k 1, k N , x n a , a 0, n 2 k , k N .
根指数
n
a
被开方数
根式
-8 9 ( 8) ____. ( 9) ____,
2 3 3
由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.
( 3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4
2 n 1
(2) 若 9a 6a 1 3a 1, 则a 的 1 a ≥ 取值范围是______. 3
2
(3)已知a, b, c为三角形的三边,则
2b 2c （a b c) b a c ________.
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
a
m n

n
a
m
（a>0,m,n N 且n>1）

注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子. 规定:正数的负分数指数幂:
a
m n

1 a
m n
（a>0,m,n N 且n>1）
同时: 0的正分数指数幂等于0；
0的负分数指数幂没有意义
3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂a a > 0, m, n∈ N*, n>1 和整数指数幂an都是有理数 指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行计算.但整 数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂a 不可理
1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示.零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 为 n a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.
3.三个公式 (1)
5
2 2,
5
3
（ 2） 2.
3
结论:an开奇次方根,则有 n a n a.
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有
n
an | a | .
式子 n a n 对任意a ∊ R都有意义.
2 2
2
2
(e e ) (e e )
1 2
1 2
| e e | | e e | 1 1 (e e ) (e e ) 2e.
1
1
例4.求使等式 ( x 2)( x 4) ( x 2) x 2
2
成立的x的范围. 解: ( x 2)( x2 4) ( x 2)2 x 2 x 2 x 2.
4
5
(2) 2;
2 2 2
⑵ （ 3 ） [ ( 3) ] 9 9;
(3) （ 2 3 ） | 2 3 | 3 2;
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 ） 3 2.
2
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
(n a) n a
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( a ) a
n n
(1)
a
n
n
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
例1.求值：
5 2 6 7 4 3 6Байду номын сангаас 4 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a
xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
(1) a (a ) a a
5 10 5 2 5
10 5
如果幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数 2 2 3 2 幂也适用,则 3 3 3 （a ） a a
说明a 是a 2的3次方根， 2 3 2 而3 a2 也是a2的3次方根，于是有 a 3 a
2 3
1、分数指数幂的定义:
不同而已.
3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
(1)负数的负分数指数幂是否有意义， 应视m，n的具体数值而定. （2）对于根式运算，（简单问题可根 据根式的意义直接计算）一般可将根 式化为分数指数幂，利用分数指数幂 的运算性质进行计算.
2、有理指数幂的运算性质:
(1)a a a
r s r s
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
2
例3．计算
(e e ) 4 (e e ) 4.
1 2
1 2
解： (e e 1 )2 4 (e e 1 )2 4.
e e 2e e 4 e e 2e e 4
2 2
2
1 1
2
1 1
e e 2 e e 2
⑴若x表示实数，则下列说法正确的是（C ） A. x一定是根式 B. x一定不是根式 C . 5 x 6 一定是根式 D. 3 x只有当x ≥ 0才是根式
二.分数指数幂
(1) a a
5 10
10 5
(2) a a
4 16
2
16 4
解:
当根式的被开 16 方数的指数能 (2) 4 a16 4 ( a 4 ) 4 a 4 a 4 被根指数整除 时,根式可以写 成分数指数幂 思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数 的形式 整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2 (-2) =4 ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
24=16 (-2)4=16 25=32
>0, 是
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
a a a




(a ) a (ab) a b
a a a
m n mn

(a 0, 、 为无理数) (a 0, 、 为无理数) (a 0, 、 为无理数)
这样，指数幂的运算性质可在实数范围内推广：
2
所以
2
2 x 1 0, x 2 0.
2 (2 x 1) 2| x2| 4x 4x 1 2 | x 2 |
| 2 x 1 | 2 | x 2 | (2 x 1) 2[( x 2)] 2 x 1 2 x 4 3.
(a 0, r、s Q)同底数幂相乘,底数不变指数相加
幂的乘方底数不变,指数相乘 积的乘方等于乘方的积
(2)(a r )s =a rs (a 0, r、s Q) (3)(a b)r =a rbr (a 0, r、s Q)
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( 无理数)是一个确定的实数.
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.
27=128
2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 2 6 a (5)a 的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64 偶次方根
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 81 3
4
64的6次方根是2，-2.
6
记作： 64 2.
23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32
8的3次方根是2.
3 记作： 8 2.
3 8 2. -8的3次方根是-2. 记作： 5 -32的5次方根是-2.记作： 32 2.
7 128 2. 128的7次方根是2. 记作：
27=128
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.
(a ) a m m m (ab) a b
m n mn
(a 0, m、n为实数) (a 0, m、n为实数)
(a 0, b 0, m、n为实数)
例2:求值：
（1）8
2 3
（2）100
2 3

1 2
（ 1 ） 8 = （ 2 ） =2 =4 解: 1 1 1 1 2 （2）100 = = = 1 1 2 10 2 2 100 （10） 1 3 -3 （-2） （-3） 6 （3）（ ） =（2-2） =2 =2 4 3 3 4 （ ） 16 4 2 2 -3 27 4 （4） （ ） =（ ） =（ ） = 81 3 3 8
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n
a a.
n
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
公式3.
n
a | a | .
n
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
m m 解为 个a相乘，它是根式的另一种写法，规定：an = n am n m 1 1 m, n∈ N*, n>1 an= m = m, n∈ N*, 且n>1 在这样 a > 0, , a > 0, , n m a an 的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式 m n m n