2012高考二轮总复习数学(理)试题

淄博一中高2009级高三教学质量检测（四）
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设i 是虚数单位，则复数
i
1i
-+的虚部是（ ） A.i 2 B.-i 2 C.12 D.- 12
2.设全集U ={n ∈N *
| x ≤a },集合P ={1，2，3}，Q ={4，5，6}，则a ∈[6，7）是ðU P =Q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 3.设两个正态分布N （滋１，滓12
）（滓1＞0）和N （滋2，滓22
）（滓2＞0）曲线如图所示，则有（ ）
A.
滋
１
＜滋
2
，滓
1
＞滓
2
B. 滋１＜滋2，滓1＜滓2
C. 滋１＞滋2，滓1＞滓2
D. 滋１＞滋2，滓1＜滓2
4.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则
32
53
S S S S --的值为（ ）
A.2
B.3
C.
1
5
D.不存在 5.设a ,b 为两条直线，琢、茁为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ） A.若a ,b 与琢所成角相等，则a ∥b B.若a ∥琢，b ∥茁，琢∥茁，则a ∥b C.若a 奂琢, b 奂茁，a ∥b ，则琢∥茁 D.若a ⊥琢，b ⊥茁，琢⊥茁，则a ⊥b
6.已知向量a =(cos 2琢,sin 琢),b =(1,2sin 琢-1), 琢∈(π4,仔)，若a ·b =2
5
，则tan(琢+
π
4
)的值为（ ） A.13 B.27 C.17 D.23
7.
）24
的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有（ ） A.3项 B.4项
项 D.6项 8.函数y =cos x -sin x 的图象可由函数y
x 的图象 A.向左平移
π4个长度单位 B.向左平移3π4
个长度单位
C.向右平移
π4个长度单位 D.向右平移3π4
个长度单位 9.设F 1、F 2是双曲线22
14
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |· |2PF
|的值为（ ）
10.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
ˆy
=0.7x +0.35，那么表中m 的值为（ ） A.4 B.3.15 C.4.5 D.3 11.已知程序框图如右：
如果上述程序运行的结果为S =132，那么判断框中应填入（ ） A.k ≤10 B. k ≤9 C. k ＜10 D. k ＜9 12.已知f (x )是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )=x 2
,如果直线y =x +a 与曲线y = f (x )恰有两个不同的交点，则实数a 的值为（ ） A.2 k （k ∈Z ） B.2 k 或2 k +
1
4（k ∈Z ） C.0 D.2 k 或2 k -1
4
（k ∈Z ）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.某校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所
有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n 等于 .
14.设x 、y 满足约束条件0,
,4312,
x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则2-3+1y x 的最大值是 .
15.若f (x )在R 上可导，f (x )=x 2
+2 f ′(2)x +3,则
3
()dx f x =⎰
.
16.
==
=（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a +t = .
三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数f (x
sin 2x -12(cos 2 x -sin 2
x )-1, x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单
位后得函数g (x )，设△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
.
(Ⅰ)若c
f (C )=0,sin B =3sin A ,求a 、b 的值；
(Ⅱ)若g (B )=0且m =（cos A ,cos B ）, n =(1,sin A -cos A tan B )，求m ·n
的取值范围.
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.
(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
(Ⅱ)求二面角A -A 1D -B 的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有
S n 、a n 、n 成等差数列.
(Ⅰ)求证：数列{a n +1}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{
21
n
n a a }的前n 项和T n ； (Ⅲ)数列{b n }满足b 1=3, b n +1=姿b n + a n +1,若{b n }为等比数列，求实数姿. 20.（本小题满分12分）
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关.若T ≤1，则销售利润为0元；若1＜T ≤3，则销售利润为100元；若T ＞3，则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1＜T ≤3，T ＞3这三种情况发生的概率分别为p 1, p 2, p 3,又知p 1, p 2是方程25x 2
-15x +a =0的两个根，且p 2= p 3. (Ⅰ)求p 1, p 2, p 3的值；
(Ⅱ)记孜表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求孜的分布列；
(Ⅲ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值.
21.（本小题满分12分）
已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1:x -y
相切. (Ⅰ)求圆的标准方程；
(Ⅱ)设点A （x 0,y 0）为圆上任意一点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ =m OA
+n ON
，
（其中m+n=1,m,n≠0,m为常数），试求动点Q的轨迹方程C2；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当m C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由.
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+a ln x.
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间［1，e］上的最小值；
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈［1
e
，e］，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范
围.
淄博一中高2009级高三教学质量检测(四)数学理科
一、DCAAD CCBAD AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
13. 192 14. 5 15. -18 16. 41
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （12分）
解：（Ⅰ）1
()2cos2122f x x x =--
π
sin(2)16
x =-
-
………………………………………（1分）
()sin[2()]1sin(2)16
6
6
g x x x π
π
π
=+
-
-=+
-
()0f c =由 sin(2)16c π
∴-=
0c π<< 11
2666
c πππ∴-<-<
262c ππ∴-= 3
c π
∴= ………………………………………（3
分）
sin 3sin B A =由 3b a ∴=
2222cos
3
a b ab π
=+-由余弦定理
222793a a a ∴=+- ∴a =1 b =3
………………………………………（6
分）
（Ⅱ）()0sin(2)16
g B B π
=+
=由得
0B π<< 26
6
6B B π
π
π∴
<+
<
262
B ππ
∴+=
6
B π
∴=
………………………………………（8分）
11cos cos (sin cos tan )m n A B A A B --∴⋅=+-⋅
cos sin cos cos sin A A B A B =+-⋅
1
cos 22
A A =
+
=sin()6
A π
+
………………………………………（10
分）
56A C π+=
506A π∴<< 5566
A ππ
π∴
<+< 0sin()16
A π
∴<+
≤
11m n --∴⋅的取值范围为(0,1]
………………………………………（12
分）
18.(12分)
分析：如图建系
（Ⅰ）1
(1,2,AB '=
1(A B '=- (2,1,0)=-
11
1430AB AB ''∴⋅=-+-= 1
2200AB BD ''⋅=-++= 111,AB A B AB BD ∴⊥⊥ 11AB A BD ∴⊥面
…………………………………………………
（4分）
（Ⅱ）11(1,2,ADB AB '=面的一个法向量为 1(,,)AAD n x y z '=设面的一个法向量为
100
n AA n AD ⎧''⋅=⎪⎨''⋅=⎪⎩则
(,,)(0,2,0)0
(,,)(1,1,0x y z x y z ⋅=⎧⎪∴⎨⋅-=⎪⎩
20
y x y =⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩ ∴令z =1 y =0 x
(n '∴=
…………………………………………………（8
分）
1
cos ,4n AB ''∴<>==-
1A A D B θ--设二面角为
cos θ=
即
sin θ∴==
14
A A D
B --即二面角的正弦值为
………………………………………（12
分）
19.(12分)
解：（Ⅰ）依题意,2n n a S n =+
1111,211n a a a ==+∴=当时 112,2(1)n n n a S n --≥=+-当时
两式相减得,1122121n n n n n a a a a a ---=+∴=+
1n n a d +=令 1112d a ∴=+=
111122
22111
n n n n n n d a a n d a a ---++≥===-++时
{1}2.2n a ∴+为以为首页以为公比的等比数列
1222n n n d -∴=-= 21n n a =-从而
……………………………（4
分）
（Ⅱ）1
22(21)12122n n n n n n a C a --===-
+设 0211111
(2)(2)(2)(2)2222n n T -∴=-
+-+-++-
021111111
21()2222222
n n n n --=-++++=-+
（Ⅲ）113,12n n n n n b b b a b λλ+==++=+
21232b b λλ'∴=+=+ 22322324b b λλλ=+=++
{}n b 为等比 2
213b b b ∴=⋅ 2291249612λλλλ∴++=++
4
3λ∴=
1423n
n n b b +=+此时
124
,3,623
b b q λ===∴=当时
132n n b -∴=⋅
11144
32,23224223233
n n n n n n n n n b b --+∴=⋅+=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅
14
23
n n n b b +=+满足 43
λ=
从而
…………………………………………………………………（12
分）
20.(12分)
解：（Ⅰ）2
12323121,,2515P P P P P PP x x a
++==-+ 是该的根 12153255P P ∴+=
= 32
5
P ∴= 从而12312,55
P P P === …………………………………………………………（3分）（Ⅱ）0,100,200,300,400λ=
111
(0)5525
P l ==⨯= ………………………………………………（4
分）
11214
(10)555525
P l ==
⨯+⨯= 2212218
(20)55555525P l ==⨯+⨯+⨯=
22228
(30)555525P l ==⨯+⨯=
224
(40)5525P l ==⨯= …………………………………………………………（9
分）
λ∴的分布列为
…………（10分）
（Ⅲ）E l =4
01002003004002402525252525
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ………（12分）
解：（Ⅰ）r =d 2= ∴圆的标准方程为x 2+y 2=4 ……………………………………………（2分） （Ⅱ）设Q （x ,y ）. 则由A （x 0,y 0）知N （x 0,0） ∴(x ,y )=m （x 0,y 0）+n (x 0，0)
000x mx ny y my =+⎧∴⎨=⎩ 022
0004x x
x y y y m =⎧⎪+=⎨=⎪⎩
代入得
又m +n =1 ∴n =1-m
∴动立Q 的轨迹和为C 2：x 2
+2
4y m
=4 ……………………………………………（5分）
（Ⅲ）当m
1x y C +=22
. 曲线为:43
∵L 1的斜率k =1
∴L 的斜率为k 1=-1 设L 的斜率为y =-x +t 代入3x 2+4y 2=12 整理得： 7 x 2-8tx +4t 2-12=0
△70
∴0)t t <<≠
设B （x 1, y 1）, D （x 2, y 2）.则12212874127t x x t x x ⎧
+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
………………………………………（7分）
∵∠BOD 为钝角
∴OB OD
<0 ∴x 1x 2+y 1y 2 <0 ……………………………………………………（8分）
∴x 1x 2+（- x 1+t ）（- x 2+t ）<0 ∴2x 1x 2-t (x 1+x 2)+ t 2<0
∴
222
8248077
t t t --+< ∴t 2<
247 ∴
-77
t <<
且t ≠0 …………………………………（12分）
满足条件的左线l ,斜率为-1，在y 轴上的截距满足上述条件. 22.（14分）
解：（Ⅰ）a =1时，f (x )=x 2
-3x +ln x 议域（0，+∞）
f ′(x)=2x-3+1
x
令f ′(x) ＞0
∴2x2-3x+1＞0 (x＞0)
∴0＜x＜1
2
或x＞1
∴f (x)的单增区间为（0，1
2
），（1，+∞）………………………………………
（4分）
（Ⅱ）f (x)= x2-（2a+1）x+a ln x
f ′(x)=2x-（2a+1）+a
x
=
2
2(21)
x a x a
x
-++
令f ′(x)=0 ∴x=a或x=1
2
………………………………………………
（5分）
①当a≤1
2
时，f(x)在（0，a），（
1
2
，+∞）逆增
∴f(x)在［1，e］≤逆增∴f(x)min=f(1)=-29 ……………………………（6分）
②当1
2
＜a≤1时，f(x)在［1，e］≤单增∴f(x)min=f(1)=-2a……………
（7分）
③当1＜a＜e时， f(x)在［1，a) ，（a，e）
∴f(x)min=f(a)=-a2-a+a ln a………………………………………（8分）
④e≤a时f(x) ［1，e］上逆减
∴f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a ……………………………………………（5分）
综上所述：a≤1时f(x)min=-2 a
1＜a＜e时f(x)min=-a2-a+a ln a
a≥e时f(x)min=e2-(2a+1)e+a………………………………………
（9分）（Ⅲ）由题意：f(x)≥9（x）在［1
e
，e］上有解
∴x2-(2a+1)x+a ln x≥(1-a)x
∴x2-2x+a(ln x-x)≥0在［1
e
，e］上有解
令h(x)=ln x-x
∴h ′(x)= 11
1
x
x x
-
-= (
1
e
≤x≤e)
∴h (x)在（1
e
，1） ，（1，e）
∴h (x)min=h(1)=ln1-1=-1＜0 ∴x2-2x≥a(x-ln x)
∴22ln x x a x x
-≤- 在［1e ，e ］有解 ………………………………（1分） 设t (x )=22ln x x x x
-- ∴t ′(x )=2(1)(22ln )(ln )
x x x x x -+-- ∵x ∈［
1e ，e ］ ∴x +2＞2≥2ln x ∴x ∈(1e
，1)时t ′(x )＜0 x ∈(1，e )时t ′(x )＞0
∴t (x )在(
1e
，1) ，（1，e ） 又∵t (1e )=11(2)011e e e
-<+ t (e )=(2)01
e e e ->- ∴t (x ) min x =t (e )= (2)1
e e e -- ∴a ≤(2)1e e e -- …………………………………………………………（14分）。