微元法及其应用

摘要：
微元法是分析、解决物理及数学等问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。

用该方法可以使一些复杂的过程用我们熟悉的迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

关键词：
微元法积分思维
英文题目
Abstract:
Infinitesimal method is analysis, solving questions of physics and mathematics of the commonly used methods, but also from the part to the whole thinking method。

" Differential method" simple is the object of study is divided into an infinite infinitesimal portion removed, representative of a small part of analysis, from the local to the integrated consideration of scientific thinking method, in this method fully embodies the thought of integrated。

This method can make the complex process with our familiar quickly to try to solve, make the simple。

Key words:
Infinitesimal method Integral Thinking
1 引言:
微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

2 研究问题及成果
2·1:微元法的取元原则
（1）可加性原则
由于所取的“微元”最终必须参加叠加演算，所以，对“微元”及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；
（2）有序性原则
为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”；
（3）平权性原则
叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。

对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式
2·2:微元法的换元技巧
就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。

最常见的换“元”技巧有如下几种 ：
(1) “时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；
(2) “体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；
(3) “线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；
(4) “孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。

2·3:微元法在数学物理过程中的应用
例1： 求曲线22
,(2)y x y x ==-与x 轴围成的平面图形的面积。

解 为了求出曲线22,(2)y x y x ==-的交点, 解方程组22(2)
y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点(1,1。

而曲线22,(2)y x y x ==-与x 轴的交点为(0,0)(2
及。

所求面积要分成两个区间]1,0[及[1,2
来考虑。

取x 为积分变量，[0,1
x ∈，相应于]1,0[上任一小区间],[dx x x +的小曲边梯形的面积近似为2x d x ，从而得到面积微元为
21d A x d x
= 相应于[1,2上任一小区间],[dx x x +的小曲边梯形的面积近似为2(2)x d x -，于
是得到面积微元为
22(2)d A x d x =-
以2x d x 为被积表达式,在闭区间]1,0[上作定积分,再以2
(2)x d x -为被积表达式,在闭区间[1,2上作定积分,并相加,便得所求平面图形的面积为
31222
132********(2)[][(2)]33333x A x dx x dx x =+-=+-=+=⎰⎰ 例2：例3 求抛物线22y x =+与直线0x y -=所围图形的面积。

解 为求抛物线与直线的交点,解方程组
220
y x x y ⎧=+⎨-=⎩ 得交点为(1,1)(2,2)--与。

取y 为积分变量，[1,2]y ∈-，相应于[1,2]-上任一小区间[,]y y dy +的曲边梯形的面积近似为2[(2)]y y dy --，即面积微元为2[(2)]dA y y dy =--。

以2[(2)]y y dy --为被积表达式，在区间[1,2]-上作定积分，便得所求面积为
222221-1119A=[y (y 2)][2]232
dy y y y ---=-+=⎰ 说明： 本题若以x 为积分变量，计算会不方便，可见积分变量选取得当，会使计算简化。

例3：如图所示，长为L 的船静止在平静的水面上，
立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，
人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？
解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，
系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。

设人在走动过
程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。

设v 1、v 2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有 21Mv mv = ① 两边同时乘以一个极短的时间△t ， 有 t Mv t mv ∆=∆21 ② 由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，
所以人和船位移大小分别为t v s ∆=∆11，t v s ∆=∆22
由此将②式化为 21s M s m ∆=∆ ③
把所有的元位移分别相加有 ∑∑∆=∆21s M s m ④
即 ms 1=Ms 2 ⑤ 此式即为质心不变原理。

其中s 1、s 2分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为 L=s 1+s 2 ⑥
由⑤、⑥两式得船的位移 L m
M m s +=2 例4：如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球
面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A
端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位
长度的质量为ρ。

试求铁链A 端受的拉力T 。

解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能
忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受
力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质
点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出
整条铁链的受力情况。

在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，
其受力分析如图所示。

由于该元处于静止状态，
所以受力平衡，在切线方向上应满足：
θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大
△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，
即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T
观察 θcos L ∆的意义，由于△θ很小，
所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，
所以 ∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos
3 结束语：
运用微元法在一定的条件下可以把变化的、运动的、规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程。

微元法从微元入手,以某个微元为研究对象或以某个微小变化为研究过程,找出所选微元或微小变化所遵循的规律。

微元法体现了化整为零，由局部到整体的思维模式，这种思维已经广泛渗透到数学与物理等各个领域。

参考文献 [1]华东师范大学数学系。

数学分析[M]。

北京：高等出版社，1987。

[2]刘书田，冯翠莲。

微积分[M]。

北京：高等教育出版社，2003。

分工情况
第一部分由王庆帅完成 第二部分由王鹏完成。