“数形结合”在初中数学中的运用

“数形结合”在初中数学中的运用

一、以数助形

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．

例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式

AB =210y x =+的距离．

解：设( 210)P x x +，

是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是

OP ==

当4x =-时，OP =最小

所以原点到直线210y x =+的距离为

【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是

平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．

例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22

m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC

∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．

【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：

22222222()()(2)(2)

(2)

m n m n m n m n +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC ∆是一个直角三角形．

“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：

S

解：由三边的关系：2

22

2

2

22

()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ∆是直角三角形． 所以ABC ∆的面积22221

()(2)()2

m n mn mn m n =

⋅-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内

功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．

例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与

x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：

312

111

x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．

解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ， ∴30bx c +=． ∴3c x b

=-

． 31b x c

=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程2

0ax bx c --=的两个不等实根．

∴12b x x a +=，12c

x x a

=-． ∴12121211b

x x b a c x x x x c a

++===--．

∴

312

111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算

出剪拼出来的正方形边长应该是

，我们就不

难设计出各种剪裁方法了．

【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．

二、以形助数

几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：

（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；

将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．

（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：

绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；

数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；

互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于

2

a b

+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；

利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；

一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点；

函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）； 锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．

例5．已知正实数x

，求y =

分析

即看作是坐标系中一动点( 0)x ，

到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．

解

：y =

令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(2 1)B -，

，则y 的最小值

为'AB =

例6．已知1tan 2α=

，1

tan 3

β=，求证：45αβ+=︒． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．

证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：