关于烤盘最佳形状选择的研究

①作者简介： 邱志昌 （1991—） ， 男， 湖南娄底人， 本科， 机械电子工程。 程龙 （1992—） ， 男， 湖北天门人， 本科， 金融学。 张宁 （1991—） ， 男， 安徽宿州人， 本科， 水利水电工程。
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磁链 i 的量值达到最小， 此时： 就会减小， 在两端时 x 2 ， 1 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ψ i min = n μ 0 IS l + R + λ + R − (l − λ ) + R − R ⎤ (8） ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 这 表明： 越是靠向管子两端的分段， 获取别的分段互感 磁链的 能力就 越弱。
(9）
互感磁链之和， 即
ψ i = ψ ii + ∑ψ ji
j =1 j ≠i
m
。
这 表明： 各 个分段 的自感 磁 链 ψ ii 都 是 相 等 的，与分段 的 位 置 而总的互感磁链 j =1 x 和管子的长度 l 无关。
T1 表示红色区域的温度， T0 表示黄色区域的温度。
图5 矩形
3 结果分析
从 上 述 五个 图 看 出圆 形 、 椭 圆、跑 道 形 、 圆角 矩 形 和 矩 形 烤 盘在 内 部 温 度 达 到 相 同 温 度（6 0 ℃左 右）时 运 行 的 次 数 依 次 是 4374、 8217、 9 2 3 4、 10 2 59、 10 627， 选取次 数 最少的圆形作为最 佳 图2 局部热量传导的图示。 （下转89页)
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3 将整个细长螺线管视为众多单匝线圈的串联
如 果 管 子共 有 N 匝， 而又将 管 子 分为 N 个 部 分 的 话， 则每 个 分段 就 是 一匝线圈。 此 时， 上面所讨 论的 式子都 是 仍然成 立 的， 只 而是单匝线圈沿轴向的宽度 （也 是公式中的 不 再是分段的长度， 就是导线的线径） 。
2 013 年美国数学建 模竞赛A 题是 对烤 箱中烤 盘的最 佳 形 状设 计的探讨。 最佳 形 状的设 计要考虑两个方面， 一方面烤 盘要尽量保 证蛋 糕不被烤焦， 另一方面尽量 充分 利用烤 箱的空间。 为了简化问 题， 文章忽略对烤 箱空间利用率的考虑， 仅仅考虑保证蛋糕不被烤 焦的因素。 蛋 糕 在 烤 箱中加 热 过 程 及其复 杂， 蛋 糕 被 烤 熟 的 过 程中涉及 到热 量的传导、 温 度的升高、 水分的蒸发等 一系列的变化， 就热量 的传导来说， 就包括 热 传导、 热 对 流 和 热 辐 射， 假设烤 箱内部的 温 度是均匀分布的， 将传 递的热量 就需考虑热 传 递。 因不可能将所有 因素 量化来分析蛋糕的烤焦， 类似热 流 量的传导， 我们予以简化， 但主要影响因素是温度的分布不均。 文章通 过降 维的思想， 将蛋糕 烤焦的原因归于蛋糕内外受热不均匀。 烤盘中的蛋糕只有上表面直 接与烤 箱中空气接触， 其他5 个面都 是与烤 盘壁直 接 接触， 通 过烤 盘壁与蛋糕 之间的热 传导加 热。 食物通常是在 外 表面被烤焦， 文章 只需 选 取平 行 于 烤 盘 的 横 截面作为 分析 对 象， 考虑蛋 糕内外 温 差 的 持 续 时间以确 定在相等 面 积下的最 佳 烤 盘 形 状。 由于 热 量 是 从 外向内传导， 在蛋糕的外层存在局 部 温度较 高的情况。 那么可能出 现蛋糕内层被烤熟后， 蛋糕 外层已经被烤焦的现 象。 考虑到在烤蛋 糕的最后， 边角总是焦的， 为了之后更精确的仿真出蛋糕的传热， 首 先通过热稳态传导分析来解释边角烤焦的原因。 基于此， 文章 认为 一个较 好形 状的烤 盘 是指蛋糕内部达 到一定的温度所用的时间较 短， 传递时间将通过元胞自动机仿真运行次数来反映。
ψ ji 。 (6）式包含了两个部 分： 自感 磁链 ψ ii 和总的互感 磁链 ∑ 的细 长 螺 线 管 是由 N 匝单 匝 线圈串联而成 的。第 i 个 线圈所匝链 的总的磁链 是它的自感 磁链与别的线圈对 它的总的
其中自感磁链 ψ ii 为：
ψ ii = n 2 μ 0 IS( λ2 + R 2 − R )
2 元胞自动机仿真热稳态模型
2.1 元胞自动机原理 元胞自动机是一种将空间与时间离散化的模型， 能将一个连续 的 过 程 通 过 许多离 散 的网格 表 示出来。 离 散网格中每 一元 胞 取有 限 的离 散状 态， 遵 循 相同的作用规 则， 在 局 部 不 断更 新。 元 胞自动 机 通常运用于 信息传 递、 通信、 生长与进 化等 领 域， 为复杂的现 象 提供有效的动态模型。 热 量的传导是 一 个从高温区域向低 温区域传 递的连 续 过 程。 文章将热传导平面细化成细小的网格， 热量从横截面四个面向内传 导， 网格内温度通过热量的叠加的结果反映大小。 2.2 烤盘曲面温度分布计算 为 确 定 元 胞自动 机 模 型的 边 界初 始 温 度， 文 章 将 烤 盘 类比 为 高光曲面模 具 在恒 温环 境中的 球壳 传 温， 并引用温 度与曲率 的 方 程。 伍 晓 宇 等（2 012）通 过实 验 并 拟合出温 度与曲率 的 方程。 如下 所示：
t
L2
图3 2.4 仿真结果
烤盘中蛋糕横截面热量传递过程示意图。
文 章 选 取生活中最常用的几种常见的烤 盘类型： 圆形、 矩 形， 通过元胞自动机模型对其进行仿真， 仿真时间步长选取0.05。
T0 T C 1(Ti T ) exp
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①
该 方程 适用于平 壁 高光面。 其中 T0 为某t 时刻型面的 温 度； Ti 为高光 面 壳 的 初 始 温 度； T 为对 流 介质 温 度； C1 和 1 为方 程 系 数； L为高光面壳厚度。 当烤盘出现光滑的曲线时， 空气对烤盘的热传 递可以看成是 球 壳 传 热。 给定一 个外界恒 温 条 件和 时刻 t， 烤 盘 表面的各 个点的 温 度会随着曲率的变化而变化， 找出的公式如下
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关于烤盘最佳形状选择的研究 ①
邱志昌 程龙 张宁 （青海大学 西宁 810016） 摘 要： 该文是对2013年美国数学建模竞赛A题的更深一步的讨论， 题目是如何在不烤焦蛋糕和最大利润条件下优化确定烤蛋糕的烤盘最佳类 型， 而文章仅仅考虑在烤盘给定确定面积和蛋糕不烤焦的前提下， 来确定烤盘的最佳形状。 蛋糕是否被烤焦取决于蛋糕中心达到相同温度时所 用时间长短， 首先运用推导的热稳态传导公式， 通过matlab的PDE工具箱绘出矩形的温度分布图， 解释了在蛋糕边角上容易烤焦。 烤盘外壁温度 分布类比恒温条件下的球壳传温给出， 蛋糕内部遵循热传递， 从高温传向低温。 文章将蛋糕离散化并结合元胞自动机模型， 仿真得到了不同形 状的烤盘在中心达到相同温度时蛋糕的温度分布， 并给出运行次数。 仿真结果显示圆形形状烤盘运行次数仅为4374， 次数最少， 从而确定圆形烤 盘是最佳选择。 关键词： 热传递 球壳传温 元胞自动机 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： F203.9 A 1674-098X （2013） 02 （c） -0086-03
传递方程为
λ(
∂2T ∂ 2T + ) = −W ∂x 2 ∂y 2
③
③式 满足椭圆偏 微 分方程的形式， 称为Po s s i o n方程。 由于 烤 箱内温度恒定， 故 W 为定值。 在面包热 传导加 热中， 对于给定的一个立方体的烤盘， 烤盘的 横截面的温度分布基本一致， 从而只需求出某一横截面的稳态温度 分布图， 以达到降维、 简化模型的目的。 通 过 m at l ab 的P DE工具箱绘出矩 形的 温 度分布图， 得 到温 度 分布图形如图1。
T = a × exp (br ) + c × exp ( dr )
②
a b c d分别是 T 为时刻t 型面上曲率半径为r的点的温度； 方程系数。 为了给出同时具有平壁与曲线烤盘表面的温度函数， 可以将 ① 与 ②两个式子结合起来， 给出一个式子如下
t
L2 1 k ) r
图4
圆形
T0 T C1 (Ti T ) exp
1 热稳态模型
蛋糕在烤盘中烘烤过程中的热量传导主要有两个阶段： 首先是 烤盘壁将热量传 递给蛋糕 外层， 其次是蛋糕内部的热传导。 烤盘壁 热 传导系数较 大， 传 热 较 快， 烤 盘壁相 对较 薄， 文 章可以认为烤 盘 内外壁的温度相同。 运用热 稳 态 传导 模 型给出蛋 糕 横截面的 温 度分布图来说明拐 角烤焦的原因。 给出一般的热传导方程 结果评 价： 从图中可以明显看 到在拐角区域的 温 度最高， 从外 边缘顺着热量传递方向温度是递减的， 与生活中反映的现象一致， 说明了建立的模型可信度较高， 一定程度上解释了矩 形烤盘在拐角 及少 量 边 缘处 容易烤焦的现 象。 但模 型仅仅是 从稳 态 热 传导角度 来 考虑 温 度 的 分布， 没有考虑 在 从 开始 烘 烤 到烤熟 整 个 过 程 各 个 ① ② 阶段温度的分布。 在前面的模型中仅仅从温度角度考虑了温度高就容易烧焦， 这 样的考虑是有缺陷的。 因为如果在烤面包 时， 中心的 温度虽然比 边 缘的温度低， 但是当过了时间t后中心的蛋糕已经熟了， 蛋糕在 边 缘 区域 还没有烧焦， 这样虽然蛋糕的形 状不规 则， 但是仍然是一种较 好的选择。 选出的形 状可以作为最后一问中优化问题中的一个不错 选择。 同时上述模型是在烤盘边 缘温度恒定条件下建立的， 只能解 图1
∂2T ∂ 2T ∂ 2T ∂T W = a( 2 + 2 + 2 ) + cσ ∂z ∂y ∂x ∂t