2第二章-角动量与冲量矩 角动量守恒定律0401
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角动量及其守恒定律
m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0
1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M
h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得
mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´
冲量矩与角动量ppt课件
（3）力的作用线到转轴的距离（力臂）。
2. 力对定点的力矩
M
o•
r
F
h
M rF
M M rF sin Fh
2.4.2 质点角动量
1. 对运动状态描述的补充
运在动质状点态运，动只学要中位我置们r 已和经动知量道p ，就描足述够质了点。
但要描述质点系的运动状态，只有位置和动
量就不够了。请看下面的例子：
其角动量未必守恒；质点系角动量守恒时，
其动量也未必守恒。
定义质点系对定点的角动量：
L Li ri pi
dL dt i
ri
i dpi dt
i i
ri (Fi f ji )
j i
由于任何一对内力对同一个定点的力矩矢 量和为零：
ri
O•rj
fij
f ji
ri f ji rj fij 0
所以必有：
ri f ji 0
t1
上式左边的积分叫冲量矩。质点角动量定
理通常都是指它的积分形式：
质点所受合外力矩的冲量矩，等于质点 角动量的增量，这叫质点角动量定理。
2.4.4 质点角动量守恒
1. 质点角动量守恒
若
M
0
，则：
Lr
p
常矢量
2. 有心力作用下质点的运动 若质点始终受到一个指向固定点（称作力
心）的作用力，则称质点受有心力作用。例 如，行星绕太阳的运动过程中，太阳的万有 引力就是有心力。
2. 质点对定点的角动量 使用质点的位置和动量，经过一个矢积运
算，就可以构造出质点对定点的角动量：
L r p r mv
L
o• h
r
•
p
3. 质点角动量的几何意义 质点对定点的角动量，反映了质点绕着那
2. 力对定点的力矩
M
o•
r
F
h
M rF
M M rF sin Fh
2.4.2 质点角动量
1. 对运动状态描述的补充
运在动质状点态运，动只学要中位我置们r 已和经动知量道p ，就描足述够质了点。
但要描述质点系的运动状态，只有位置和动
量就不够了。请看下面的例子：
其角动量未必守恒；质点系角动量守恒时，
其动量也未必守恒。
定义质点系对定点的角动量：
L Li ri pi
dL dt i
ri
i dpi dt
i i
ri (Fi f ji )
j i
由于任何一对内力对同一个定点的力矩矢 量和为零：
ri
O•rj
fij
f ji
ri f ji rj fij 0
所以必有：
ri f ji 0
t1
上式左边的积分叫冲量矩。质点角动量定
理通常都是指它的积分形式：
质点所受合外力矩的冲量矩，等于质点 角动量的增量，这叫质点角动量定理。
2.4.4 质点角动量守恒
1. 质点角动量守恒
若
M
0
，则：
Lr
p
常矢量
2. 有心力作用下质点的运动 若质点始终受到一个指向固定点（称作力
心）的作用力，则称质点受有心力作用。例 如，行星绕太阳的运动过程中，太阳的万有 引力就是有心力。
2. 质点对定点的角动量 使用质点的位置和动量，经过一个矢积运
算，就可以构造出质点对定点的角动量：
L r p r mv
L
o• h
r
•
p
3. 质点角动量的几何意义 质点对定点的角动量，反映了质点绕着那
第二章 动量、角动量守恒-2
β
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
角动量 冲量矩 角动量守恒定律
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
41..4.质1 点质的点角的动角量动量定理和角动量z守L恒定v律
度
v
质量为m 的质点以速
在空间运动，某时对
O 的位矢为 r ，质点对O
rm
xo
y
的角动量
L
r
p
r
mv
L
1 2
mv 12
r1 r2
2
1
4.4.2 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的
角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
L
Ji
z
O ri
v i
mi
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受dd合Lti力矩dM(diJ(t包 )括Midedxt、(mMiiirni
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于在
这段时间内转动物体的角动量的增量
例 在通过定滑轮的一条轻绳的两 端，分别连有质量为 m1和 m2的物体， 设滑轮是质量为M 、半径为R的质 量均匀分布的圆盘。设绳的质量可 不计，求两物体的加速度。 解： 支撑力与滑轮的重力皆通原 点。只有 m1和m2 的重力才有对原 点的力矩。
R
M
m 1
m 2
作用于该系统的力矩为
M Rm1g Rm2g m1 m2 Rg
整个系统的角动量为
L
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
41..4.质1 点质的点角的动角量动量定理和角动量z守L恒定v律
度
v
质量为m 的质点以速
在空间运动，某时对
O 的位矢为 r ，质点对O
rm
xo
y
的角动量
L
r
p
r
mv
L
1 2
mv 12
r1 r2
2
1
4.4.2 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的
角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
L
Ji
z
O ri
v i
mi
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受dd合Lti力矩dM(diJ(t包 )括Midedxt、(mMiiirni
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于在
这段时间内转动物体的角动量的增量
例 在通过定滑轮的一条轻绳的两 端，分别连有质量为 m1和 m2的物体， 设滑轮是质量为M 、半径为R的质 量均匀分布的圆盘。设绳的质量可 不计，求两物体的加速度。 解： 支撑力与滑轮的重力皆通原 点。只有 m1和m2 的重力才有对原 点的力矩。
R
M
m 1
m 2
作用于该系统的力矩为
M Rm1g Rm2g m1 m2 Rg
整个系统的角动量为
L
第2章-2-动量-角动量守恒定律2019
3
4 105
（2）
I
Fdt
00.003
400
4 105 3
t
dt
400t
4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2g v 300
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
（2）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考 系而言。 （3）若系统所受合外力不为零，但是合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向上的总动量守恒。
Fix 0 Px mivix 常量
（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞，打击，爆炸等过程）
称为“冲量矩”
质点系的角动量定理的推导：
m1
m2
质点系的角动量定理：
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于 质点所受的所有外力对同一参考点力矩的矢量和。
质点系角动量定理的积分式：
t2
t1
Mdt
L2
L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内
的角动量的增量 。
质点系的z轴的角动量定理：
第 i 个质点： 质量mi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mivi mi vio
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
角动量及其守恒ppt课件.ppt
解 两个圆柱体并不是绕同一固定轴
在转动,虽然外力矩为零,但角动
量不守恒,用角动量定理
t
0 R1 fdt J1( 1 1 )
J1
1 2
M 1 R12
t
0 R2 fdt J 2( 2 2 )
J2
1 2
M 2 R22
最后两个圆柱体接触点的线速度相等 1R1 2 R2
1
M1R11 M 2 R2 2
与杆碰前速度
h
h
v0 2gh0
v0 2gh0
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
c
角动量守恒 mlv0 J mlv
m
l
动能不变
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
J 2
h
h
v
1 2
v0
3v0
2l
3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2
J 2
mghc
h
2hc
3 2
h0
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面上
以角速度 作半径为 的r
z
圆运动.
or
mv
➢ 质 点角动量（相对圆心） 90
A
L r p r mv
大小 L rmvsin
z L mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则
r
2. 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
(A) 只有（2）是正确的;
(B)（1）、（2）是正确的;
(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
练习
人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：
动量与角动量守恒
解： 开谱勒第一定律告诉我们,行星绕太
阳沿椭圆轨道运动，太阳在此椭圆的一个 焦点上。行星受力为有心力,取力心太阳 为坐标原点，则行星相对于原点的角动量 守恒
dr
rdt
0
r
在dt时间内，
扫过的面积为
d A 1 rdr sin
2
1
r
dr
2
单位时间扫过面积为
d A 1 r dr 1 r
dt 2 dt 2
2）M , I , 应是对同一轴而言的
例4、一轴承光滑的定滑轮，质量M,半径 R，一根不可伸长的轻绳，一端固定在定 滑轮上，另一端系有质量为m的物体，求 定滑轮的角加速度。
T T
选择轴承为参照系。
对定滑轮
TR I 1 mR2
2
对物块
mg T ma
a R 轻绳不可伸长，物块的加速
度等于轮缘的切向速度
2gR sin
2g sin
R
L Rm Rm 2gR sin
(3)法3. 角动量定理
mgRcos dL dL dt d
dL L
d mR2 LdL m2gR3 cosd
L
LdL
m2 gR3 cosd
0
0
L mR 2gR sin
L mR2
2g sin
R
例2、证明绕太阳运动的一个行星，在相同 的时间内扫过相同的面积。
§4.2 刚体的定轴转动
个质转元轴都位以置相不同变的，角刚速体度上的和每角
加速度绕定轴作圆周运动。
一、 角速度矢量：
O’
O
角速度 d
dt
角加速度
d d2
dt dt2
距轴r处的质元
速度 v r
阳沿椭圆轨道运动，太阳在此椭圆的一个 焦点上。行星受力为有心力,取力心太阳 为坐标原点，则行星相对于原点的角动量 守恒
dr
rdt
0
r
在dt时间内，
扫过的面积为
d A 1 rdr sin
2
1
r
dr
2
单位时间扫过面积为
d A 1 r dr 1 r
dt 2 dt 2
2）M , I , 应是对同一轴而言的
例4、一轴承光滑的定滑轮，质量M,半径 R，一根不可伸长的轻绳，一端固定在定 滑轮上，另一端系有质量为m的物体，求 定滑轮的角加速度。
T T
选择轴承为参照系。
对定滑轮
TR I 1 mR2
2
对物块
mg T ma
a R 轻绳不可伸长，物块的加速
度等于轮缘的切向速度
2gR sin
2g sin
R
L Rm Rm 2gR sin
(3)法3. 角动量定理
mgRcos dL dL dt d
dL L
d mR2 LdL m2gR3 cosd
L
LdL
m2 gR3 cosd
0
0
L mR 2gR sin
L mR2
2g sin
R
例2、证明绕太阳运动的一个行星，在相同 的时间内扫过相同的面积。
§4.2 刚体的定轴转动
个质转元轴都位以置相不同变的，角刚速体度上的和每角
加速度绕定轴作圆周运动。
一、 角速度矢量：
O’
O
角速度 d
dt
角加速度
d d2
dt dt2
距轴r处的质元
速度 v r
角动量
根据牛顿第二定律，第 i 个质元 Fi fi mi ai
圆周轨迹切线投影 同乘以 ri 对所有质元求和
外 力
内 力
Fiτ fiτ mi aiτ Fiτ ri fiτ ri mi aiτ ri mi ri 2
2 F r f r ( m r β iτ i iτ i i i )
解：由于卫星是在地球的万有引力——有心力作用 下运动，故角动量守恒。所以有：
L mvr sin mvr 常数
r sin r
v 常数 / mr 1 / r
m v1
r1
r
r2
v2
r
v
卫星离地球的距离 r 越近，卫星的速度越大。近地点 速度最大，远地点速度最小。
开普勒第二定律(面积定律): 行星在相等的时间内扫过相等的面积。
+
例 如图，质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过一 铅直 套管，使小球以速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动, 然后 向下拉绳, 使小球运动的轨迹最后成为半径为r1的圆。 求（1）小球距管心为r1时速度v的大小；（2）由r0缩短到r1 过程中，力F 所做的功。 解 小球受到的是有心力，根据质点的角 r0 动量守恒，故有
m
1、有心力：力的方向始 终指向一个定点。如： 万有引力。 2、有心力的特点：有心力 对力心的力矩恒为零。 3、有心力场中运动的质点， 对力心的角动量守恒。
r
O
r // F Mo r F 0
Mo 0 Lo 常 矢 量 。
讨论 人造地球卫星绕地球运转时的速度变化。
dL M dt
注意 1.角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在 研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒 定律都起着重要作用。 2、质点的角动量守恒定律的条件是M=0，这可能 有两种情况： （1）合力为零，合外力矩为零； （2）合力不为零，但合外力矩为零。
冲量矩角动量及定理大学物理刚体部分资料ppt课件
v 及杆的转动角速度 。
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M ,2l
L0 L
mlv 0 mlv J
习题课 / 例5
（1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
mv
0
2
1 mv 2
2
1 2
J2
J 1 M 2l2 1 Ml2
12
3
联立(1)、(2)式求解
（2）
v (3m M )v0 M 3m
L J
J mr 2 L rmv
L mr 2
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
三、应用角动量定理解题方法
1.确定研究对象。
t
t0
Mdt L L0
2.受力分析（考虑产生力矩的力）。
3.规定正向，确定始末两态的角动量 L0 , L. 4.应用定理列方程求解。
例1：一冲击力 F，冲击一质量为 m、长为 l、 竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , 求在 竖直位置时杆的角速度。
1.角动量
由冲量矩定义：tt0 Mdt
其中
M Jβ
t
t0
Mdt
t
t0
J βdt
d
dt
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
t
t0
Mdt
t
t0
J dω dt
dt
0
Jd
J J 0 定义： L J 为角动量，
单位：千克米2/秒，kgm2/s
方向：与角速度方向一致。
2.角动量定理
②.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，
由于J =C，
J
J
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M ,2l
L0 L
mlv 0 mlv J
习题课 / 例5
（1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
mv
0
2
1 mv 2
2
1 2
J2
J 1 M 2l2 1 Ml2
12
3
联立(1)、(2)式求解
（2）
v (3m M )v0 M 3m
L J
J mr 2 L rmv
L mr 2
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
三、应用角动量定理解题方法
1.确定研究对象。
t
t0
Mdt L L0
2.受力分析（考虑产生力矩的力）。
3.规定正向，确定始末两态的角动量 L0 , L. 4.应用定理列方程求解。
例1：一冲击力 F，冲击一质量为 m、长为 l、 竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , 求在 竖直位置时杆的角速度。
1.角动量
由冲量矩定义：tt0 Mdt
其中
M Jβ
t
t0
Mdt
t
t0
J βdt
d
dt
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 二、角动量定理
t
t0
Mdt
t
t0
J dω dt
dt
0
Jd
J J 0 定义： L J 为角动量，
单位：千克米2/秒，kgm2/s
方向：与角速度方向一致。
2.角动量定理
②.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，
由于J =C，
J
J
角动量守恒定律
§4-3 角动量 角动量守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定质轴点转运动动运状动态状的态描的述描述pLmvJEk
mv2 2
Ek J 2
2
0, p 0
0, p 0
pi
pj细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)2
12 v0
7l
12 v0
7l
由角动量定理
M dL d(J) dJ
dt dt
dt
即
mgr cos d ( 1 ml2 mr2 ) 2mr dr
dt 12
dt
考虑到 t
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平
位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并
背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为 m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率 向细杆端点爬行?
OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为
u 1.00104 m s1 . 已知
月球半径 R 1700km ;
在飞船登月过程中,月球的 重力加速度视为常量
g 1.62m s2 .
试问登月飞船在登月过程
vB B
R
O
vA v0
v u
A
中所需消耗燃料的质量
h
m 是多少?
已知 m 1.20104 kg h 100km
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定质轴点转运动动运状动态状的态描的述描述pLmvJEk
mv2 2
Ek J 2
2
0, p 0
0, p 0
pi
pj细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)2
12 v0
7l
12 v0
7l
由角动量定理
M dL d(J) dJ
dt dt
dt
即
mgr cos d ( 1 ml2 mr2 ) 2mr dr
dt 12
dt
考虑到 t
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平
位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并
背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为 m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率 向细杆端点爬行?
OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为
u 1.00104 m s1 . 已知
月球半径 R 1700km ;
在飞船登月过程中,月球的 重力加速度视为常量
g 1.62m s2 .
试问登月飞船在登月过程
vB B
R
O
vA v0
v u
A
中所需消耗燃料的质量
h
m 是多少?
已知 m 1.20104 kg h 100km
第二章 角动量守恒定律
v dS = 恒矢量 dt
v r
证毕
如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。 例2. 如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。 设开始时两人在同一高度上，此时左边的人从静止 设开始时两人在同一高度上 此时左边的人从静止 同一高度 开始往上爬，右边的人抓住绳子不动， 开始往上爬，右边的人抓住绳子不动，如不计滑轮 的摩擦，问哪个人先到达滑轮？ 的摩擦，问哪个人先到达滑轮？如果两人的质量不 等，情况又如何？ 情况又如何？ 解： 以O点为参考点 点为参考点 系统：人、绳子、滑轮 系统： 绳子、
角动量守恒定律是自然界的一条普遍 定律，它有着广泛的应用。
例1、证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线 、证明开普勒第二定律： 在相等时间内扫过的椭圆面积相等 。 证明
v 1v v dS = r ×dr 2
v dr
v v dS 1 v dr 1 v v = r × = r ×v dt 2 dt 2 v dS 1 v v 1 v = r ×mv = L 有心力作用下角动量守恒 dt 2m 2m
质点系的角动量 设各质点对O点的位矢分别为 设各质点对 点的位矢分别为
v L
v v v r1 , r2 , L, rn
γ
v LA
A
v v v 动量分别为 p1 , p2 , L, pn
n v n v v v L = ∑Li = ∑(ri × pi ) i =1 i =1
O
2-3-2 力矩
v v v v v dL d(r × p) dr v v dp = = × p+ r × dt dt dt dt v v v dr v v v dp 式中 × p = v× p = 0 =F dt dt dt
z
M = rF sin α
v r
证毕
如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。 例2. 如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。 设开始时两人在同一高度上，此时左边的人从静止 设开始时两人在同一高度上 此时左边的人从静止 同一高度 开始往上爬，右边的人抓住绳子不动， 开始往上爬，右边的人抓住绳子不动，如不计滑轮 的摩擦，问哪个人先到达滑轮？ 的摩擦，问哪个人先到达滑轮？如果两人的质量不 等，情况又如何？ 情况又如何？ 解： 以O点为参考点 点为参考点 系统：人、绳子、滑轮 系统： 绳子、
角动量守恒定律是自然界的一条普遍 定律，它有着广泛的应用。
例1、证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线 、证明开普勒第二定律： 在相等时间内扫过的椭圆面积相等 。 证明
v 1v v dS = r ×dr 2
v dr
v v dS 1 v dr 1 v v = r × = r ×v dt 2 dt 2 v dS 1 v v 1 v = r ×mv = L 有心力作用下角动量守恒 dt 2m 2m
质点系的角动量 设各质点对O点的位矢分别为 设各质点对 点的位矢分别为
v L
v v v r1 , r2 , L, rn
γ
v LA
A
v v v 动量分别为 p1 , p2 , L, pn
n v n v v v L = ∑Li = ∑(ri × pi ) i =1 i =1
O
2-3-2 力矩
v v v v v dL d(r × p) dr v v dp = = × p+ r × dt dt dt dt v v v dr v v v dp 式中 × p = v× p = 0 =F dt dt dt
z
M = rF sin α
冲量矩和角动量
=0
� r
×
dt
� F=
� d(r
×
� dt mv)
dt
dt
� M
合�力对�参考�点O 的力矩： M =r×F
� Or
� F
θ
d
M = Fd = Frsinθ
2.3.1.2 角动量（动量矩）
� r×
� F
=
� d(r
� × mv)
dt
m
� v
� v
r
r
O
m
引入质点关于参考点o的角动量：
� � � �� L = r ×mv = r ×p
� v
� v2 �
�
r
v1
h
R
解：分析卫星所受万有引力、火箭反冲力均通过力心 ，故卫星在火箭点燃前或后对地心角动量始终不变， 是守恒的。
v�
� v2 �
�
r
v1
h
R
根据角动量守恒定律：
� �� � r ×mv1 = r′×mv′
mv1r = mv′r′
� v
� v2 �
�
r
,
� v1
r
R
h
卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有 万有引力作用，机械能守恒：
i
� ��
∑ 则 L = Li = L0 ——质点系角动量守恒定律
i
∑ �
dL
�� �
= dt
i
ri × Fi = M
质点系的角动量定理
例 如图所示，绳上挂着质量相等
的两个球，球A由静止释放，撞击
球B刚好使球B到达与绳成水平的位
置，求A绳释放前与竖直线的夹角
θ
2.4 角动量与冲量矩 角动量守恒定律
1 mM m 1 mM m 2 2 mv A G mvB G 2 Rh 2 R
1 mM m 1 mM m 2 2 mv A G mvB G 2 Rh 2 R
mM mM 2G 即 v v 2G Rh R
2 A 2 B
v A 1 615 m s
2
3
0
cos d
32 12 L mR ( 2 g sin ) 得
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月球表 面高度 h 处绕月球作圆周运动。飞船采用如下登 月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷 射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直。飞船所喷气体相对飞船的速度 为 试问：登月飞船在登月过 4 1 u 1.00 10 m s 程中所需消耗燃料的质量 m 是多少?
例1 一半径为 R 的光 滑圆环置于竖直平面内. 一质量为 m 的小球穿在圆 环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上 的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从A
点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力略去不计。 求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度。
解 小球受力 、 零，重力矩垂直纸面向里
pi
pj
质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时对 O 的位 矢为 r ，质点对参考点O的
角动量
1.质点的角动量
z L
r
x
o
m y
v
L r p r mv
大小 L rmv sin
L
v
角动量和角动量守恒.ppt
Jz
d
dt
i
? 质点系的角动量定理 M 外
Z轴分量
Mz
dLz dt
dL dt
质元 mi : Fi 对O点的力矩
M i roi Fi
roi Fi roi Fiz
（垂直z轴）
roi Fi ri Fi riz Fi
（垂直z轴）
z
Mz
vi
Oi
ri mi
ri
riz
roi
O
Fi
Fiz
3
o
dm dx
dx x
l 2
dm dx
dx x
l
J z2 J z1 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义
例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直
Z
28
于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
Jz R2dm R2 dm mR2
R
dm
例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:
5.5 定轴转动刚体的转动定律，转动中的功和能
5.5.1 刚体的转动定律
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
Ft mat mr M rF sin rFt
M mr2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
M
24
Ft F
O
r
m
Fn
z
Fej
O rj mj
ji
i
M ij'
j'
dL
M外 dt
L
Li
M ij
或
i
M ji M 外dt
《冲量矩与角动量》课件
研究现状
随着科技的发展，冲量矩与角动量的研究已经取得了显著的进步。研究者们通过实验和理论分析，深入了解了 冲量矩与角动量的性质和作用机制。
研究成果
在过去的几十年里，研究者们在冲量矩与角动量的应用方面取得了重要的突破。这些成果不仅推动了相关领域 的发展，也为解决实际问题提供了新的思路和方法。
冲量矩与角动量的未来研究方向
角动量的守恒定律
01
02
03
04
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下， 系统角动量保持不变
适用范围
适用于质点和刚体的平面或空 间运动
守恒条件
系统合外力矩为零或不受外力 矩作用
举例
匀速圆周运动、行星绕太阳运 动等
03
冲量矩与角动量的关系
冲量矩与角动量的相互转化
冲量矩可以转化为角动量，反之亦然。
冲量矩的矢量性质
冲量矩是一个矢量，具有大小和方向 。
矢量性质使得冲量矩在解决实际问题 时需要考虑方向，尤其是在分析扭矩 或角动量时，必须明确转动的方向。
冲量矩的守恒定律
冲量矩守恒定律是经典力学中的一个重要定律，它指出在没有外力矩作用的情况 下，物体的角动量是守恒的。
守恒定律对于理解物体运动规律以及设计机械系统具有重要的指导意义，例如在 航天工程中，需要精确控制火箭的角动量以实现稳定发射和精确控制。
总结词
刚体动力学中，冲量矩和角动量用于描述刚体的运动状态和转动特性。
详细描述
在刚体动力学中，冲量矩和角动量是描述刚体运动状态和转动特性的重要物理量。通过计算冲量矩和 角动量，可以了解刚体的运动规律和转动特性，对于刚体动力学分析和机械设计等领域具有实际应用 价值。
05
总结与展望
冲量矩与角动量的研究现状与成果
随着科技的发展，冲量矩与角动量的研究已经取得了显著的进步。研究者们通过实验和理论分析，深入了解了 冲量矩与角动量的性质和作用机制。
研究成果
在过去的几十年里，研究者们在冲量矩与角动量的应用方面取得了重要的突破。这些成果不仅推动了相关领域 的发展，也为解决实际问题提供了新的思路和方法。
冲量矩与角动量的未来研究方向
角动量的守恒定律
01
02
03
04
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下， 系统角动量保持不变
适用范围
适用于质点和刚体的平面或空 间运动
守恒条件
系统合外力矩为零或不受外力 矩作用
举例
匀速圆周运动、行星绕太阳运 动等
03
冲量矩与角动量的关系
冲量矩与角动量的相互转化
冲量矩可以转化为角动量，反之亦然。
冲量矩的矢量性质
冲量矩是一个矢量，具有大小和方向 。
矢量性质使得冲量矩在解决实际问题 时需要考虑方向，尤其是在分析扭矩 或角动量时，必须明确转动的方向。
冲量矩的守恒定律
冲量矩守恒定律是经典力学中的一个重要定律，它指出在没有外力矩作用的情况 下，物体的角动量是守恒的。
守恒定律对于理解物体运动规律以及设计机械系统具有重要的指导意义，例如在 航天工程中，需要精确控制火箭的角动量以实现稳定发射和精确控制。
总结词
刚体动力学中，冲量矩和角动量用于描述刚体的运动状态和转动特性。
详细描述
在刚体动力学中，冲量矩和角动量是描述刚体运动状态和转动特性的重要物理量。通过计算冲量矩和 角动量，可以了解刚体的运动规律和转动特性，对于刚体动力学分析和机械设计等领域具有实际应用 价值。
05
总结与展望
冲量矩与角动量的研究现状与成果
角动量守恒定律PPT课件
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2 .有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然
后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周
求：v2=？
解： 作用在小球的力始
v2
终通过O点（有 心力）由质点角
v1
动量守恒：
r r O
1
2
mv1r1 mv2r2
第28页/共29页
谢谢您的观看！
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r
0!
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二、角动量守恒定律
质点角动量守恒
当M 0
,
L r (mv)
=恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点
对该参考点O的角动量为一恒矢量。
例：
L
v
m r
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
第12页/共29页
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
第19页/共29页
1.孤立系.
第20页/共29页
1.孤立系.
为什么星系是扁状，盘型结构？
第21页/共29页
18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组 成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚 集成一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力 为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个 扁平的盘状？康德认为除了引力还有斥力，把向心 加速的天体散射到个方向。19世纪数学家拉普拉斯 完善了康德的星云说，指出旋转盘状结构的成因是 角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力 的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一 定的初始角动量J，当r变小的时，在垂直J的横方 向速度要增大，而平行J方向没有这个问题，所以 天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。 数学推导
2 .有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然
后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周
求：v2=？
解： 作用在小球的力始
v2
终通过O点（有 心力）由质点角
v1
动量守恒：
r r O
1
2
mv1r1 mv2r2
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谢谢您的观看！
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r
0!
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二、角动量守恒定律
质点角动量守恒
当M 0
,
L r (mv)
=恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点
对该参考点O的角动量为一恒矢量。
例：
L
v
m r
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
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讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
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1.孤立系.
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1.孤立系.
为什么星系是扁状，盘型结构？
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18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组 成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚 集成一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力 为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个 扁平的盘状？康德认为除了引力还有斥力，把向心 加速的天体散射到个方向。19世纪数学家拉普拉斯 完善了康德的星云说，指出旋转盘状结构的成因是 角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力 的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一 定的初始角动量J，当r变小的时，在垂直J的横方 向速度要增大，而平行J方向没有这个问题，所以 天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。 数学推导
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1)
MO
dLO dt
MO 0
2)
t2 t1
Mdt
L2
L1
MO 0
LO 恒矢量
当质点对某点所受的合力矩为零时，质点对该参
考点O的角动量为一恒矢量.
注意 1. 角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在
研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒 定律都起着重要作用。 2、质点的角动量守恒定律的条件是M=0，这可能 有两种情况： （1）合力为零； （2）合力不为零，但合外力矩为零。
r F MO
----微分形式
MO
dLO dt
----质点角动量定理的微分形式
作用于质点的合外力对参考点O 的力矩，等于 质点对该点O的角动量随时间的变化率。
冲量矩
t2 t1
Mdt
L2
L1---质点角动量定理的积分形式
对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质 点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
l-a O
Wf
0
fdy
la
0 m ygdy mg (l a)2
la l
2l
(1)
a
(2)根据动能定理
WP Wf
1 mv2 0 1 mv2
2
2
(2)
x
Wp
l
Gdx
a
l m xgdx mg(l2 a2 )
al
2l
(3)
三式联立,可求速率v………..
§2.4 角动量冲量矩 角动量守恒定律
经过路程 l 运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块 内．设子弹的质量为m，速度为v ，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度．
解：子弹与木块作完全非弹性碰撞
在斜面方向上，内力的分量远远大于外 力，动量近似守恒，以斜面向上为正，
mv
M
A l
B
mv cos Mv1 (m M )V
复习
一、质点系动量守恒定律
若质点系所受的合外力
F ex
Fiex 0
i
则系统的总动量不变——动量守恒定律
➢ 当 F ex 时F，in可近似地认为系统总动量守恒．
若 F ex ，0但满足 ，Fx有ex 0
px mi vix Cx
i
作业2-9：质量为M的木块在光滑的固定斜面上，由A点从静止开始下滑，当
t1
M 0 L 0
M L
力矩或角力 角动量 或动量矩
t2
Mdt 力矩的冲量 或冲量矩
t1
例1 半径为 R 的光滑 圆环置于竖直平面内. 一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球 开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水 平面上)，然后从 A
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度．
一、 质点的角动量 二、 质点的角动量定理 三、质点的角动量守恒定律
4
1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在
空间 运动，某时对 O 的位矢 为 r，质点对 O的角动量
L r p r mv
动量矩
x
大 小 L rmvsin
L
L 的方向符合右手法则
zL
v
rm
o
y
v
r
角动量单位：kg·m2·s-1
v1 2gh 2gl sin
V mv cos M 2gl sin
mM
作业2-6：长为l 的均质链条，质量为m，部分自然下垂,下垂一段的长度为a，
设滑动摩擦系数，令链条由静止开始运动，
1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功?
2)链条刚离开桌面时的速率？
y 解 (1)设某时刻桌面上的链条长为y，
L r mv
质点以 作半径为 r 的圆周运动，求相对圆心的角动量
vr
L mrv mr2
L
mr
2
J
L
o
v
r
m
2 质点的角动量定理（质点的转动定律）
LO r p
dLO r dp dr p
dt
dt dt
dr v , v p v mv 0 dt
dp F dt
dLO dt
Mdt ΔL
t1
M 0 L 0
形式上完全相同 记忆上就可简化 从动 量定理变换到角动量定理 只需将相应的量 变换一下 名称上改变一下
（趣称 头上长角 尾部添矩）
动量定d理P
F
t2
dt
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
力
P 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
角 动量d定L理
M
t2
dt
Mdt ΔL
解: 小球受力FN、P
作用, FN 做功为零，只有重力做
功。取圆环最低点为零势能点
由机械能守恒定律
mgR mgR 1 sin 1 mv 2
2 v 2gR sin
v 2g sin
R
R
L mRv mR3 2 2g sin
10
3 、有心力—— 力始终过参考点 central force
M 0
有心力对力心的角动量都是守恒的
o F
行星、卫星、电子的运动
4、动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律
如行星运动
动量不守恒 角动量守恒
比较
动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
t1
F 0பைடு நூலகம்P 0
角动量定理
dL
M
t2
dt