高考数学参数方程

高考复习之导数方程

一、考点介绍

导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

二、高考真题

1.（2008全国一21）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2

133⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++ 求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥

()f x 在R 上递增

当2

3a >，()0f x '=求得两根为x =

即()f x 在3a ⎛⎫

--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛⎫--

⎪ ⎪⎝⎭，递减，

3a ⎛⎫

-++∞

⎪ ⎪⎝⎭

递增

（2

）2

331

33

a a ⎧--⎪⎪⎨

-⎪-⎪⎩

≤，且23a > 解得：7

4

a ≥

2.（2008全国二21）．（本小题满分12分） 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．

（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．

因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．

经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ············· 4分 （Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，

(0)(2)g g ≥， 即02024a -≥．故得6

5

a ≤． ··············· 9分 反之，当6

5a ≤时，对任意[02]x ∈，，

26

()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤

23(210)5x x x =+-3(25)(2)5

x

x x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．

综上，a 的取值范围为65⎛

⎤-∞ ⎥⎝⎦

，． ······················ 12分 3.（2008山东卷21）（本小题满分12分）

已知函数1

()ln(1),(1)n

f x a x x =

+--其中n ∈N*,a 为常数.

（Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值；

（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n ,当x ≥2时，有f (x )≤x -1. （Ⅰ）解：由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}， 当n =2时，2

1

()ln(1),(1)f x a x x =

+--

所以 2

3

2(1)().(1)a x f x x --=-

（1）当a ＞0时，由f (x )=0得

11x =+

＞1，21x =-＜1，

此时 f ′（x ）=

123

()()

(1)a x x x x x ----.

当x ∈（1，x 1）时，f ′（x ）＜0,f (x )单调递减； 当x ∈（x 1+∞）时，f ′（x ）＞0, f (x )单调递增.

（2）当a ≤0时，f ′（x ）＜0恒成立，所以f (x )无极值. 综上所述，n =2时，

当a ＞0时，f (x )在1x =处取得极小值，极小值为2(1(1ln ).2a f a +=+

当a ≤0时，f (x )无极值. （Ⅱ）证法一：因为a =1,所以1

()ln(1).(1)n

f x x x =+--

当n 为偶数时，

令1

()1ln(1),(1)

n

g x x x x =--

--- 则 g ′（x ）=1+

11

12(1)11(1)

n n n x n

x x x x ++--=+----＞0（x ≥2）. 所以当x ∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，

又 g (2)=0 因此1

()1ln(1)(1)

n

g x x x x =--

---≥g(2)=0恒成立， 所以f (x )≤x-1成立.

当n 为奇数时， 要证()f x ≤x-1,由于

1

(1)

n

x -＜0，所以只需证ln(x -1) ≤x -1, 令 h (x )=x -1-ln(x -1),

则 h ′（x ）=1-12

11

x x x -=

--≥0（x ≥2）, 所以 当x ∈[2，+∞]时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又h (2)=1＞0， 所以当x ≥2时，恒有h (x ) ＞0,即ln （x -1）＜x-1命题成立.

综上所述，结论成立.

证法二：当a =1时，1

()ln(1).(1)

n

f x x x =

+--