高中数学二项式定理题型总结

二项式定理

知识点归纳

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n

n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

（2）1

(1)1n r r

n

n n x C x C x x +

=++++

+

2．二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1

210(n r ，，， =

3．常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以

外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）

（1）对称性．

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m

n m n

n C C -=） 直线2

n

r =

是图象的对称轴 （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C -，12n n

C

+取得最大值

（3）各二项式系数和：∵1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++++

+，

令1x =，则012

2n

r

n

n n n n n C C C C C =++++++

题型讲解

例1 如果在（

x +

4

21x

）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项

解：展开式中前三项的系数分别为1，

2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n

=1+8

)1(-n n ，得n =8设第r +1项为有理项，T 1+r =C r

8

·r 2

1·x

4

316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8，有理项为T 1=x 4，T 5=835

x ，T 92

2561x

点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r

例2 求式子（｜x ｜+

||1

x －2）3的展开式中的常数项 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+|

|1

x －2）得到常数项的情况有：①三个括号

中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 1

2（－2）=－12，∴常数项为（－2）

3+（－12）=－20解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －|

|1x ）6设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=

（－1）6·C r 6·|x |

r

26-，得6－2r =0，r =3∴T 3+1=（－1）3·C 3

6=－20

例3 ⑴求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；⑵求（x +x

4

－4）4的展开式中的常数项； ⑶求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数

解：⑴原式=x x --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 4

6－1=14⑵（x +x

4－4）

4=442)44(x x x +-=4

8)2(x

x -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120⑶方法一：原式

=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x x

x x 351)1()1(+-+展开式中x 3的系数为C 451方法二：原展开式中x 3的系数为

C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 4

点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键

例4 求9

221⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-x x 展开式中9

x 的系数

解：()

r r

r r r

r r r

r

r r x C x x C x x

C T

31892189929

1

212121----+⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=令22121C :,3,93183

399＝－的系数为故则⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==-x r r 点评：①r r

n r

n b a

-C 是()

n

b a +展开式中的第1+r 项，n r

,2,1,0=②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，

第4项的二项式系数是39C ，第4项9x 的系数为3

3921⎪⎭

⎫ ⎝⎛-C ，二者并不相同

例5 求(

)100

3

2

3+x 展开所得x 的多项式中，系数为有理数的项数

解：()

()

3

2

1001001003

100100

1

2

3

23r r

r r r

r

r r x C x C T ⋅⋅=⋅

=---+依题意：

Z r

r ∈-3

,2100，r ∴为3和2的倍数，即为6的倍数，又1000≤≤

r ，N r ∈，96,,6,0 =∴r ，构成首项为

0，公差为6，末项为96的等差数列，由

6)1(096⨯-+=n 得17=n ，故系数为有理数的项共有17项

点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

例6 求

()52

2

3++x x

展开式中x 的系数

解法一：()()()5

5

5

2

3212x

x x x ++=+⋅+

()()0514

4505144455

55555555222C x C x C x C C x C x C x C =++

++⋅++

+⋅+故展开式中含

x

的项为

x x C C C x C 240224455555545=⋅⋅+⋅⋅，故展开式中x 的系数为240，解法二：()(

)[]5

2523223x

x x x ++=++

(

)()()N r r x x C T r

r

r

r ∈≤≤⋅+=-+,5032

5251，要使x 指数为1，只有1=r 才有可能，即

()()4

24684

2

1

5

2

28446241532+⋅+⋅+⋅+=⋅+=x x x x x x x C T ，故x 的系数为2402154

=⋅，解法三：()5

232x x ++()()()()()22222

3232323232x x x x x x x x x x =++++++++++，由多项式的乘法法则，从

以上5个括号中，一个括号内出现x ，其它四个括号出现常数项，则积为x 的一次项，此时系数为2402344

4

15=⋅⋅C C

点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用

例7 设a n =1+q +q 2+…+q

1

-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n

n a n

（1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3

∞→n n

n 2

解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1

-n q q n --11于是A n =q

q --11 C 1n +q q --112 C 2n +…+q q n --11C n n =

q -11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n

n q n ）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］}=q -11［2n －（1+q ）n ］（2）n n A 2=q -11［1－（21q +）n ］因为－3

∞→n n n A 2=q

-11

例8 已知729222221

=++++n n n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21

分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n

解：在

()n

n n n n n n n n n b

C b a C b a C a C b a ++++=+-- 222110中，令

2

,1==b a 得

()729

21=+n

6729

3=∴=∴n n 12

12

6666n n n n C C C C C C ∴++

+=++

+()012

6

06666662163C C C C C =+++

+-=-=