数值分析第五版(清华大学出版社)第9_习题课
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
数值分析第五版课后答案2篇
数值分析第五版课后答案2篇数值分析第五版课后答案（一）第一章1.1 机器精度的数值为2^-52 ≈2.22 × 10^-16。
1.2 Example 1.2设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分母为0，无法进行数值计算。
1.3 Example 1.3设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分子为0，因此有f(0) = 0。
1.4 Example 1.4(a) 将x的值从1.8改为1.799，则f(x)的值由-0.000000000000159为0.000000000000313，差值为0.000000000000472。
(b) 我们有f'(x) = sinx/(1 - cosx) - 1/sin^2x。
将x的值从1.8改为1.799，利用f(x)和f'(x)的值可以得到下面的近似式：f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx = -0.000000000000159 + 0.449787416887455×0.001 = -0.000000000000137。
与(a)中的结果相近。
1.5 Example 1.5(a) 当x很接近于0时，函数值的符号取决于cosx的符号，其中cosx接近于1。
因此，函数值为正。
(b) 当x很接近于π时，函数值的大小趋于无穷大，因为分母趋向于0，而分子不为0。
1.6 Example 1.6(a) 因为函数在x = 0处是奇函数，所以它的导数为偶函数。
(b) 首先，我们有f''(0) = -2，因此x = 0是最大值。
其次，我们有f''(x) = -2 - 8sin^2x。
由于-f''(x)在x = 0处是正的，我们有当x越接近0时，f''(x)越小，也就意味着函数在x = 0处是严格的最大值。
1.7 Example 1.7(a) 我们有f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6，f'(x) =3x^2 - 4x - 5和f''(x) = 6x - 4。
数值分析第五版习题答案全部清华大学出版社
6
12．计算 f ( 2 1) ，取 2 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
1 , ( 2 1) 6
(3 2 2) 3 ,
6
1 ， 99 70 2 。 (3 2 2) 3
解：设 y ( x 1) ， 若x 若通过
若通过 (3 2 2) 计算 y 值，则
3
y * (3 2x* )2 x* 6 y * x* * 3 2x y * x*
若通过
1 计算 y 值，则 (3 2 2) 3 1 x* * 4 (3 2 x )
1 1 1 10 4 10 3 10 3 2 2 2 3 1.05 10
* * * (2) ( x1 x2 x3 ) * * * * * * * * * x1 x2 ( x3 ) x2 x3 ( x1 ) x1 x3 ( x2 )
1 1 1 1.1021 0.031 10 1 0.031 385.6 10 4 1.1021 385.6 10 3 2 2 2 0.215
* * * *
*
*
*
* * *
*
*
1 ( x1* ) 10 4 2 1 * ( x2 ) 10 3 2 1 * ( x3 ) 10 1 2 1 * ( x4 ) 10 3 2 1 * ( x5 ) 10 1 2
* * * (1) ( x1 x2 x4 ) * * * ( x1 ) ( x2 ) ( x4 )
解： y0
2 1.41
1 ( y0 *) 10 2 2
又 yn 10 yn 1 1
数值分析第5版课后习题答案(清华大学出版社)-第一章
′ e * ( f1 ) = f1 e * (1.4) =
对于 f 2 = (3 − 2 2 ) 3 ，
1 1 ′ e * ( f 2 ) = f 2 e * (1.4) = 6(3 − 2 × 1.4) 2 × × 10 −1 = 0.12 × 10 −1 < × 10 −1 ，没有有效数 2 2 字；
*
1 1 1 = (0.031 × 385.6) × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
′ PAP −1 Px Ax PAx ′ 6、证明： A max = = max = max = ′ Px Px x PAP −1 。
7、证明：由范数的等价性，存在常数 C1 和 C 2 ，使得 C1 x s ≤ x t ≤ C 2 x s ，则有
C1 Ax s ≤ Ax t ≤ C 2 Ax s ，并且
∂f e (x + x + x ) = ∑ k =1 ∂x k
* * 1 * 2 * 4
n
* * * * ε ( x k ) = ε ( x1 ) + ε ( x 2 ) + ε ( x 4 ) ；
*
=
1 1 1 × 10 − 4 + × 10 −3 + × 10 −3 = 1.05 × 10 −3 2 2 2
y 0 = 1.41 1 可知， ε * ( y 0 ) = × 10 − 2 ， y n − y n = 10( y n −1 − y n −1 ) ，即 2 y n = 10 y n −1 − 1
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析第五版1-3章
p( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
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第2章 插值法
引言
拉格朗 日插值
牛顿插值
埃尔米 特插值
分段低 次插值
三次样 条插值
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x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入 误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不 稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
2015-6-4 7 第1章 数值分析与科学计算引论
1 10 ( n 1) 2(a1 1)
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
* * * * 1. x1 与x2 为两近似数, 误差限为 ( x1 ), ( x2 ), 则 : * * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); * * * * * * ( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 ); * * ( x1 / x2 ) * * * * x2 ( x1 ) x1 ( x2 ) * x2 2
《数值分析》习题课
1 1 1 = 1− + − +L 4 3 5 7
∑ ( −1)
k =1
n
k −1
1 | S n − |≤ 4 2n + 1
π
1 2k − 1
10/18
应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性 并讨论其收敛性。 导出求立方根的迭代公式 并讨论其收敛性。2-6* * Nhomakorabea*
13/18
练习1 练习 将割线法修改为单点迭代公式 f ( xn ) x n+1 = x n − ( x n − x0 ) f ( xn ) − f ( x0 ) 试分析该算法的收敛性. 试分析该算法的收敛性
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练习2 设计多项式乘积(卷积 卷积)算法 练习 设计多项式乘积 卷积 算法 Pn(x)=a1xn + a2xn-1+ ···+ anx + an+1 Pm(x)=b1xm + b2xm-1+ ···+ bmx + bm+1 表示P 用 [a1 a2 ··· an an+1] 表示 n(x) 用 [b1 b2 ··· bm bm+1] 表示 m(x) 表示P 用 [c1 c2 ··· cn+m cn+m+1] 表示 Pn(x)×Pm(x)
2k
1 f ( x) = − a = 0 x
1 − axk = (1 − ax0 )
1 2k x k = [1 − (1 − ax 0 ) ] a
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所以,当 迭代公式收敛。 所以 当| 1 – a x0| < 1 时，迭代公式收敛。
的二重根,分析牛顿迭代法的 例5. 若 x*是f(x)=0的二重根 分析牛顿迭代法的 的二重根 收敛性？ 收敛性？ 解: 由于 f(x)=(x – x*)2g(x)
数值分析第五版
数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析(清华大学出版社)
第一章3.已知e=2.7182818..，求以下近似值A x 的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？（1）, 2.7A x e x ==； （2）, 2.718A x e x ==；（3）,0.027100A e x x ==； （4）,0.02718100A e x x ==。
解：（1）12.7182818.., 2.70.2710A x e x ====⨯ 10.01828...0.050.510A x x --=≤=⨯ 2.7A x ∴=有2位有效数字36.810A Ax x x --=⨯（2） 2.718A x =30.00028...0.00050.510A x x --=≤=⨯2.718A x =有4位有效数字 41.0410AAx x x --=⨯ （3）10.027182818...,0.0270.2710100A ex x -====⨯ 30.0001828...0.00050.510A x x --=≤=⨯ 0.027A x ∴=有2位有效数字36.810A Ax x x --=⨯（4）0.02718A x =50.0000028...0.0000050.510A x x --=≤=⨯2.718A x =有4位有效数字 41.0410AAx x x --=⨯4.正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((22A A A A A A l l l l l A A εεε='=可知，若要求1))((2≤A A l ε，则2001100212))(()(2=⨯≤=Al l l A A A A εε，即边长应满足2001100±=l 。
5(1)①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin ²1°=2×0.0175²≈0.6125×310-44100917298.610125.6--⨯-⨯=0.3327具有几位有效数字则称若位有效数字具有＜x x a a a x A nk A x A n-k n 321323551010a 5.0.02106125.0105.0105.010⨯≤-⨯⋯⋯±=⨯∴⨯=⨯⨯------③()()位有效数字有＜41060919.0105.0105.0100005.010*******.010*******.6100919.61060919.0100919.69994.010349.02cos 12sin 2cos 1343744444422----------⨯∴⨯=⨯=⨯⨯=⨯-⨯⨯=⨯=+=︒+︒=︒-(2)位有效数字有＜！π！π4092.6105.0105.0100005.010*******.010*******.610092.610092.64902902cos 14374444442∴⨯=⨯=⨯⨯=⨯-⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈︒---------6.求解方程25610x x ++=，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用73827.982≈。
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈ 6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…） 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版习题答案清华大学出版社
1．设 x 0 , x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。
解：近似值
*
x 的相对误差为
* e* x * x
= er
x*
x*
而 ln x 的误差为 e ln x *
ln x * ln x
1 e*
x*
进而有 (ln x*)
2．设 x 的相对误差为 2%，求 xn 的相对误差。
解：设 f ( x )
cos x 的近似
值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当 0 x 90 时，
令 f ( x ) cos x
1 取 x0 0, h ( )
60
1 60 180
令 xi x 0 ih , i 0,1,..., 5400
10800
则 x5400
3
2．给出 f ( x ) ln x 的数值表
X
0.4
lnx
-0.916291
用线性插值及二次插值计算
解：由表格知，
0.5
0.6
-0.693147
-0.510826
ln 0.54 的近似值。
x0 0.4, x1 0.5, x 2 0.6, x3 0.7, x4 0.8; f ( x 0 ) 0.916291, f ( x1 ) 0.693147 f ( x 2 ) 0.510826, f ( x3 ) 0.356675 f ( x 4 ) 0.223144
2 1.41
( y 0 *)
1
2
10
2
又 y n 10 yn 1 1
y1 10 y0 1
( y1*) 10 ( y 0 *) 又 y 2 10 y1 1
清华大学第五版《数值分析》课后答案
第1章绪论内容提要#〜误差度量1数值分析研究两类误差：舍入误差和截断误差，由于计算机字长的有限性，对相关数据进行存储表示时便产生舍入误差，计算机必须在有限的时间内得到运行结果，于是无穷的运算过程必须截断为有限过程，由此产生截断误差，2，误差的度量分式有：绝对误差（限）、相对误差（限〗和有效数字，设？是真值工的一个近似，绝对误差为一:！相对误差为& ，绝对误差限〉和相对误X X差限6^ 〉分别是〉 |和^(：^ ^|的上限，3^对于非零近似值^的如下规格化标准形式X^ ^ 10^ X0#！1X2'&X&,&!' ？X I ^0 〈1. 1〉如果存在尽可能大的&,使得〉| & ^乂10"-"，则称？有"位有效数字.进而当&^》时，称X，是有效数.4，有效数字和相对误差的关系定理1. 1 如果形如式〈1. V的有&位有效数字，则定理1.2如果形如式〈1. 0的:^的相对误差满足^|《"二" X化1-"则纟^至少有&位有效数字，二、浮点数系统对于5+ ^ + 2位的浮点数系0表示二进制阶码数值的二进制位数〃表示尾数的二进制位数，其他两位表示阶码和尾数的符号〉，机器数绝对值的范围是2-21〜22'-、实数表示的相对舍入误差限是2-'.当数据的绝对值大于22'-1时，计算机非正常停机，称之为上溢，当非零数据的绝对值小于2-2'，用机器零表示，精度损失，称之为下溢，、误差传播如果在运算过程中舍入误差能够得到控制，或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果则纟称该算法是数值稳定的，函数值绝对误差传播公式如下^/(^" 丫） ## /(；：)〉 1 2〉^(/(^" ^-^：》#亡""；二…、^ 〉(丄门）！.^^")〉#| /'(？) |〈1.4〉、数值稳定性不同的教材对数值方法稳定性的定义有所不同，有的要求随计算过程的深入误差不增长，有的则要求误差增长速度不能太快^只要不影响产生具有有效数字的近似值即认为是稳定的，读者应注意教材中的定义.随着学习的深入，会针对各种具体算法给出稳定性的确切定义，^ 2 ^典型例题与解题技巧【例1】求!&的近似值，使其绝对误差限精确到1乂1。
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解: (1) 因为
F (t )
0
2
d d f (r )r sin d r
2 2
t
0
0 2
d f (r 2 )r d r
0
0 t
2 f (r 2 )r 2 d r
t
0
0 t
f (r 2 )r d r
两边对 t 求导, 得
F (t ) 2
t f (t ) f (r )r (t r ) d r
abc
2
0
d sin d
0
1 2 r dr 0
4 abc 3
作业
P98 P117 P124 *21, *22(1) 4 , 9 , 11 10 , 11
2 0 0
t
t
g (t ) f (r )r d r f (r ) d r f (r 2 )r d r 2 0 即证
2 t 2 t 0 0
因
(t ) f (t ) f (r 2 )(t r ) 2 d r 0 g
2 0
t
故 g (t ) 在 (0, ) 单调增 , 又因 g (t ) 在 t 0 连续, 故有 g (t ) g (0) 0 (t 0) 2 因此 t > 0 时, F (t ) G (t ) 0 .
解: 在球坐标系下
4 f (r ) r 2 d r 0 F (0) 0 利用洛必达法则与导数定义,得 f (t ) f (0) 4 f (t ) t 2 F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t0 t 0 t t 0 4 t
例3. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1， y 1 0 D
(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
D
在第一象限部分.
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A
[5 (1) 3 2] A 9
形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D
2 2 0
t
0 f (r 2 )r d r 2
t
在 (0,) 上 F (t ) 0, 故 F (t ) 在 (0,) 上 单调增加 .
(2) 问题转化为证
0 G (t )
t 2 0
2
d f (r )r d r f (r 2 )r d r 0 0 t t 2 2 2 f (r ) d r f (r ) d r
r R cos
o
D
Rx
2 3 R 2 (1 sin 3 ) d 0 3
P124 6. 把积分
其中由曲面
化为三次积分,
及平面
所围成的闭区域 .
提示: 积分域为
:
1
1
原式 dx d y
1
x2
x2 y2 0
f ( x , y , z )d z
P124 7 (1) .计算积分
其中是两个球
D2z
D1 z
z
( R > 0 )的公共部分.
提示: 由于被积函数缺 x , y ,
R
R 2
利用“先二后一” 计算方便 . 原式 =
x
o
y
0
0
R
2 z 2 dz 2 z2
R
59 5 R 480
R 2 d xd y z dz R D1 z 2 R 2 2 (2 R z z ) d z R z 2
习题课 重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
第九章
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
1 r2 2
2
0
d
0
10 3
250 r dr r 2 d x 3 2
5
补充题. 计算积分
所围成 .
其中D 由
y
4 提示:如图所示 D D2 \ D1 , 2 o D1 D 2 f ( x, y ) x y 在 D2 内有定义且 D 4 连续, 所以 6
y 2 2x
提示: 左端积分区域如图,
交换积分顺序即可证得.
2 2 2
a
D
yx
z ln( x y z 1) P124 7(2). 求 x 2 y 2 z 2 1 d v, 其中是 由球面 x 2 y 2 z 2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
o
x
对称性可知原式为 0.
9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上 一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 y 0 , 即有
0 yd x d y
练习
P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 计算积分 所围成. 解答提示: (接下页) 其中D 由
2 (3). 计算二重积 P124 分 其中D 为圆周 提示: 利用极坐标 所围成的闭区域.
0 r R cos D: 2 2
原式
y
则
0 r 1 ( x, y , z ) J abcr 2 sin , : 0 ( r , , ) 0 2 V d x d y d z J d d dr
abc r 2 sin d d dr
y 1
D1 D2
yx
作辅助线 y x 将D 分成
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
例4. 交换下列二次积分的顺序:
y
y sin x
o
解: 如图所示
D1
D2
2 x
I d x
0
sin x 0
f ( x, y ) d y
2
2
d x
0 sin x
f ( x, y ) d y
0
D1
f ( x, y ) d D f ( x, y ) d
arcsin y
arcsin y
dy
2 2 2
z
D(t )
x
o (t )
t y
其中
(t ) {( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 t 2 },
D(t ) {( x, y ) x y t }.
2 2 2
(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (03考研) (2) 证明 t > 0 时, F (t ) G (t ) .
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
y
D2
d xd y
x2
o D2
1 x
d x 2 d y d x
1 1
0
2 dy 3
(2) 提示:
I ( x y 2 xy 2) d xd y
2 2 D
t
三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3. 其它方面 证明某些结论等
例6.
证明
证:左端 f ( x) dx f ( y ) d y f ( x) f ( y ) dxd y
a a
x y e
D1
x2 y2
d xd y
1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
2 1
例2. 计算二重积分
线
D D
其中D 是由曲
所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式 练习题 P123 1 (总习题九) ; 解答提示: (接下页) P124 4, 7(2), 9
证明: P124 4.
0 d y
a
y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y
D
d xd y
2 2
2z
(R z ) dz
7 (3).计算三重积 P124 分 其中是由 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 xoy平面上曲线