钱敏平 龚光鲁 随机过程答案(部分)

随机过程课后习题答案

第一章

第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ⋅≥使得(,)n ξ⋅的分布函数为()n F x 。

解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。

所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ， 如果令1(,)()n n n F ξθ-⋅=，则有(,)n ξ⋅为服从分布()n F x 的随机变量。又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ⋅≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ⋅⋅⋅的联合分布为：

11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅

再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得：

11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅

则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。

第八题：令{};1n X n ≥是一列相互独立且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。又令

1n n S X X =++

22(1)

n S n n ξ+=

1(,,)n n F X X σ=

试证明：,;1n n F n ξ≥（）

是下鞅（参见23题）。 证明：欲证明n ξ为一个下鞅，只需证明其具有适应性，可积性和下鞅性。

适应性显然，下证其具有可积性和下鞅性。

由题意：1~(0,)n n S X X N n =++ ，从而我们有

2222(1)

2(1)

2(||)1x x x n n n n

n E dx dx ξ-

-

∞

++===<∞⎰

故可积性得证。

2222

11

11

2

22

11

22

222(2)

2(2)

2(2)

1222(2)

2(2)

2(/(1))2(2)/(1)(|)|)(|)

(|)n n n n n n n n n n n n n n S S X X S S X X n n n n n n n S X X S x x x n n n x S n S n n E F E F E e

F E e F e

dx e

ξ+++++++++++++++∞

-++-∞-+-+

++==

==

⎰

其中22222(1)(2)

2(1)(2)

2(2)

2(1)(2)

2(1)

1(|)n

n n

n S n n n n S S S n n n n n n n

dx E F ξξ∞

++++-∞

+++++==

=

=从而

下鞅性得证，从而证得n ξ为一个下鞅

第二章

第五题：设(,)n n M F 是一个鞅，而且2

n EM <+∞。则必存在唯一的一个非降可积分的正随

机序列{n Z }，使得1n n Z F -∈，而且2(,)n n n M Z F -是一个鞅。

证明：已知1(,)n n M F -是一个鞅，在知2(,)n n n M Z F -是一个鞅的情况下，寻找{n Z }，使得n Z 属于1n F -，并且是非降可积分的正随机序列 利用命题2.2.（2）知2n M 是下鞅，再利用定理2.3即得证。

第九题：设,στ是相对于{t F } 的停时，令n

n n 21]2[+=σσ（1n ≥）。试证明：

1）n σ是停时，而且σσ↓n (∞→n )。

2）)}()(:{ωτωσω<与)}()(:{ωτωσω≤均属于στF F ⋂； 3）对A F σ∀∈，有{}A στ⋂<与{}A F στστ∧⋂≤∈。

证明：1) 因为n

n n n 2

1

21]2[+≤+=<σσσσ，所以对任意的t ， }2

1

:{}21:{}{n n n n n t t t +≤≤<⋃≤+

≤<=≤σσσωσσσωσ }21:{}21:{t t t n n ≤<-⋃-

≤=σωσω 由于σ是停时，从而t n n F t t t ∈≤<-⋃-≤}2

1

:{}21:{σωσω，所以n σ是停时。

且不难看出σσ↓n (∞→n )。

2) 即证τωτωσωF ∈<)}()(:{且σωτωσωF ∈<)}()(:{

})()(:{})({)}()(:{1t r t r t r ≤<≤⋃=

≤⋂<<ωτωσωωτωτωσω有理数

且为。

由于τσ,是停时，从而})()(:{t r ≤<≤ωτωσωt F ∈，所以

})()(:{})({)}()(:{t r t r t r ≤<≤⋃

=

≤⋂<<ωτωσωωτωτωσω有理数

且为t F ∈，即

τωτωσωF ∈<)}()(:{。

}

)({)}()(:{2t ≤⋂<ωσωτωσω。