欧拉图和哈密尔顿图
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节
图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性
欧拉图
哈密顿图
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。 回路：在点边序列v0e1v1e2…envn中，当 v0=vn时称此通路为回路。
偶数条边相连，则可以任取一点做始点，一笔画
完，回到始点；⑵ 如果图中只有两个顶点与奇数
条边相连，则选择这两个顶点中的一个做始点， 一笔画完，终点为另一个与奇数条边相连的结点。
练习3：一笔画的判定
指出下列各图是否一笔画
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例7-9一笔画的判定
a 如(agfecfbdaegdf) e A、f是奇点，有欧拉通路， c 可以A、f为起点， F、 A为终点一笔画成。 全部结点为偶结 点，故有欧拉回 路，可以任意结 点为起点， 且为 终点一笔画成。 d b f g
。 。 d a、c为奇结点， e 全部结点为偶结点， 无欧拉回路 有欧拉回路 有欧拉通路
有欧拉通路
a 、 b、 c 、 e a 。 b。 。 c 。 e
都为奇结点，
无欧拉通路 与欧拉回路
全部结点为
偶结点，
有欧拉回路
。 d
。 f
有欧拉通路
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
a
f
哈密尔顿图
设G=<V，E>是连通无向图 图G中存在一条经过图中的每个结点一次且仅
一次的通（回）路，称此通路为哈密顿通（回）路
哈密顿图：具有哈密尔顿回路的图。
目前还没有找到连通无向图具有哈密顿通（回）路的
充分必要条件。
?
练习4：哈密尔顿回路判定
判定下图是否存在哈密尔顿回路！
图1
图2
Example 周游世界问题
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u到结点v是可达的。
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几 个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通 关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发， 通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。 欧拉回路：在图G中存在一条回路，经过图 G中每条边一次且仅一次。（能一笔画） 欧拉图：具有欧拉回路的图。
练习3：欧拉回路的判定
指出下列各图哪些是欧拉回路？哪些是欧拉通路？
（1）
（2）
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
例7-7
a。 c。
。 b
a 。
c。
b 。
。 d 。 e
a。 f。
b 。 。 c
wenku.baidu.com
d 。
a 、 b、 c 、 d 都为奇结点，无欧 拉通路与欧拉回路 。 a b。 。 d 。 e c 。 。 f
欧拉图的判定定理
定理7-4 无向图G=<V，E>具有欧拉回路，即是 欧拉图的充分必要条件是这个图是连通的，并且 图G中所有结点的度数都是偶数，即都与偶数条 边相连。 定理7-5 无向图G=<V，E>具有欧拉通路的充分 必要条件是图G是连通的，并且图G中恰有两个度 数是奇数的结点或者没有度数是奇数的结点。
a d
b
e
c
g
全部结点为偶结点，故有欧拉 回路，即所求投递线路， 例如(abcgebdfhdeihkiglkjfa) 此投递线路即一笔画线路。
f
h j k i
l
一笔画问题：就是判断一个图形能否一笔画成, 实质上就是判断图形是否存在欧拉通路和欧拉 回路的问题。
一笔画的判定定理：⑴ 如果图中的每个结点都与
1856年,英国数学家哈 密尔顿设计了一个周游世界的 游戏，他在一个正十二面体的 二十个顶点上标上二十个著名 城市的名字，要求游戏者从一 个城市出发，经过每一个城市 一次且仅一次，然后回到出发 点。
哈密尔顿回路图
a
图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性
欧拉图
哈密顿图
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。 回路：在点边序列v0e1v1e2…envn中，当 v0=vn时称此通路为回路。
偶数条边相连，则可以任取一点做始点，一笔画
完，回到始点；⑵ 如果图中只有两个顶点与奇数
条边相连，则选择这两个顶点中的一个做始点， 一笔画完，终点为另一个与奇数条边相连的结点。
练习3：一笔画的判定
指出下列各图是否一笔画
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例7-9一笔画的判定
a 如(agfecfbdaegdf) e A、f是奇点，有欧拉通路， c 可以A、f为起点， F、 A为终点一笔画成。 全部结点为偶结 点，故有欧拉回 路，可以任意结 点为起点， 且为 终点一笔画成。 d b f g
。 。 d a、c为奇结点， e 全部结点为偶结点， 无欧拉回路 有欧拉回路 有欧拉通路
有欧拉通路
a 、 b、 c 、 e a 。 b。 。 c 。 e
都为奇结点，
无欧拉通路 与欧拉回路
全部结点为
偶结点，
有欧拉回路
。 d
。 f
有欧拉通路
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
a
f
哈密尔顿图
设G=<V，E>是连通无向图 图G中存在一条经过图中的每个结点一次且仅
一次的通（回）路，称此通路为哈密顿通（回）路
哈密顿图：具有哈密尔顿回路的图。
目前还没有找到连通无向图具有哈密顿通（回）路的
充分必要条件。
?
练习4：哈密尔顿回路判定
判定下图是否存在哈密尔顿回路！
图1
图2
Example 周游世界问题
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u到结点v是可达的。
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几 个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通 关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发， 通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。 欧拉回路：在图G中存在一条回路，经过图 G中每条边一次且仅一次。（能一笔画） 欧拉图：具有欧拉回路的图。
练习3：欧拉回路的判定
指出下列各图哪些是欧拉回路？哪些是欧拉通路？
（1）
（2）
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
例7-7
a。 c。
。 b
a 。
c。
b 。
。 d 。 e
a。 f。
b 。 。 c
wenku.baidu.com
d 。
a 、 b、 c 、 d 都为奇结点，无欧 拉通路与欧拉回路 。 a b。 。 d 。 e c 。 。 f
欧拉图的判定定理
定理7-4 无向图G=<V，E>具有欧拉回路，即是 欧拉图的充分必要条件是这个图是连通的，并且 图G中所有结点的度数都是偶数，即都与偶数条 边相连。 定理7-5 无向图G=<V，E>具有欧拉通路的充分 必要条件是图G是连通的，并且图G中恰有两个度 数是奇数的结点或者没有度数是奇数的结点。
a d
b
e
c
g
全部结点为偶结点，故有欧拉 回路，即所求投递线路， 例如(abcgebdfhdeihkiglkjfa) 此投递线路即一笔画线路。
f
h j k i
l
一笔画问题：就是判断一个图形能否一笔画成, 实质上就是判断图形是否存在欧拉通路和欧拉 回路的问题。
一笔画的判定定理：⑴ 如果图中的每个结点都与
1856年,英国数学家哈 密尔顿设计了一个周游世界的 游戏，他在一个正十二面体的 二十个顶点上标上二十个著名 城市的名字，要求游戏者从一 个城市出发，经过每一个城市 一次且仅一次，然后回到出发 点。
哈密尔顿回路图
a