时间序列的平稳性及其检验最新版本
91时间序列的平稳性及其检验
•连续型（心电图，水位纪录仪，温度纪录仪）
•离散型
•从相同的时间间隔点上取自连续变化的 序列（人口序列）
•一定时间间隔内的累集值（年粮食 产量，进出口额序列）
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91时间序列的平稳性及其检验
随机过程与时间序列的关系
• 随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,} • 第1次观测：{x11, x21, …, xT-11, xT1} • 第2次观测：{x12, x22, …, xT-12, xT2} • • 第n次观测：{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn}
•随机过 程
•连续型 •平稳的
•严（强） 平稳过程
•离散型
•非平稳 的
•宽平稳过 程
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91时间序列的平稳性及其检验
时间序列分类
• 随机过程的一次实现称为时间序列，
也用{x
t
}或x
表示。
t
• 与随机过程相对应，时间序列分类
如下：
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•时间序 列
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91时间序列的平稳性及其检验
(1) 滑动平均模型
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91时间序列的平稳性及其检验
(2) 加权滑动平均模型
•作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权 因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确
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91时间序列的平稳性及其检验
(3) 二次滑动平均模型
• 时间序列：
– 各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次 序排列起来的统计数据。
–一个时间序列数据可以视为它所对应的随机变量或 随机过程（stochastic process）的一个实现 （realization）
间序列的平稳性及其检验ppt文档
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳
序列快得多。
rk
rk
1
1
0
k
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
(a)
(b)
图9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k +t 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
时间序列的平稳性及其检验63页PPT
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
nk Xt X Xtk X
Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
图 9.1 平 稳 时 间 序 列 与 非 平 稳 时 间 序 列 图
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0 分子是时间序列之后K期的协方差，分母是方差， 因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why）
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
二、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
例9.1.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
定义,一个白噪声序列是平稳的。
例9.1.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k +t 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
三、平稳性检验的图示判断
时间序列的平稳性及其检验
19
伪回归spurious regression
如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳 的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无 效的。
两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系， 在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系 数
出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量， 另一种办法是把非平稳的序列平稳化
23
平稳的概念
假定某个时间序列是由某一随机过程生成的，即假定时 间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率 分布中随机得到，如果满足下列条件： 1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时 间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的 （stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程 （stationary stochastic process）。
1. 序列的时间路径图判断 2. 样本相关函数判断 3. Q 统计量 4. 单位根检验
36
一、平稳性的简单图示判断
给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的 时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种 围绕其均值不断波动的过程。
而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具 有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
7
随机过程与时间序列的关系
随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,} 第1次观测：{x11, x21, …, xT-11, xT1} 第2次观测：{x12, x22, …, xT-12, xT2}
第n次观测：{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn}
时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解(六)
时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解时序预测是指根据已有的时间序列数据，通过建立数学模型来预测未来的趋势和变化规律。
而在进行时序预测时，首先需要对时间序列数据进行平稳性检验，以确保模型的准确性和可靠性。
本文将就时序预测中的时间序列平稳性检验方法进行详细的介绍。
一、简介时间序列是指按时间先后顺序排列而成的一组数据。
在实际应用中，时间序列数据往往受到各种因素的影响，如季节性、趋势性和周期性等。
而平稳性是指时间序列数据在一定时期内的均值和方差保持不变，即不存在明显的趋势和周期性。
二、平稳性检验方法1. 统计图检验法统计图检验法是通过绘制时间序列数据的统计图来观察其均值和方差是否随时间发生显著变化。
常用的统计图包括简单折线图、散点图和自相关图等。
通过观察这些统计图，可以初步判断时间序列数据是否具有平稳性。
2. 单位根检验法单位根检验法是通过检验时间序列数据中是否存在单位根来判断其平稳性。
常用的单位根检验方法包括ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）和PP检验（Phillips-Perron Test）。
这些检验方法可以进一步验证时间序列数据的平稳性，对于非平稳时间序列数据的处理具有重要意义。
3. 傅立叶变换法傅立叶变换法是通过将时间序列数据转换到频域来观察其频谱分布。
通过分析频谱图，可以判断时间序列数据是否存在明显的周期性和趋势性，从而验证其平稳性。
4. 平稳性转化法平稳性转化法是通过对时间序列数据进行差分、对数变换或者其他数学变换来消除其非平稳性。
通过对原始数据进行适当的变换，可以使其满足平稳性的要求，从而方便后续的建模和预测。
5. 检验法比较综合利用多种平稳性检验方法可以更加全面地评估时间序列数据的平稳性。
不同的检验方法具有不同的优缺点，结合多种方法进行比较可以更加准确地判断时间序列数据的平稳性。
三、实例分析为了更好地理解时间序列平稳性检验方法的应用，我们以某股票价格的时间序列数据为例进行分析。
第六讲时间序列的平稳性及其检验 ppt课件
1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093
5.116 5.123 5.241 5.261 5.269 6.745 6.876 7.454 7.477 10.229 18.389 22.994 23.514 23.866 24.004 25.483 27.198
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随 机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
nk Xt X Xtk X
rk t1
n
Xt X 2
t1
k1,2,3,
随着k的增加，样本自相关函数下降且趋 于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非 平稳序列快得多。
2020/12/15
15
rk
rk
1
1
0
k
0
k
(a)
(b)
图9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
2020/12/15
下表给出了三个模型所使用的adf分布临352202182172162162162612562542532522522972892862842832833413283223193183182550100250500500262260258257257257300293289288287286333322317314313312375358351346344343255010025050050016016116116116116119519519519519519522622522422322322326626226025825825825501002505005000100050025001样本容统计量模型丌同模型使用的adf分布临界值表362392382382382382382852812792792782783253183143123113113743603533493483462550100250500500277275273273272272320314311309308308359342342339338338405387378374372371255010025050050032431831531331331236035034534334234139538037336936836643841540439939839625501002505005000100050025001样本容统计量模型丌同模型使用的adf分布临界值表37同时估计出上述三个模型的适当形式然后通过adf临界值表检验零假设h1只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设就可以认为时间序列是平稳的
时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解(七)
时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解时间序列分析是指对一定时间间隔内的数据进行观察、分析和建模的一种统计分析方法。
其中，时序预测是时间序列分析的一个重要应用方向，通过对历史数据的分析和模型构建，来预测未来一段时间内的数据走势。
而时间序列的平稳性是时序预测中的重要前提条件，下面将详细讨论时间序列平稳性的检验方法。
一、平稳性概念及其重要性所谓平稳性，是指时间序列在不同时间点上的统计特性不发生显著的变化。
具体来说，时间序列的均值、方差和自相关性不随时间变化而发生显著变化。
平稳性对于时序预测至关重要，因为只有在时间序列平稳的情况下，我们才能够基于历史数据进行有效的预测。
二、时间序列平稳性的检验方法1. 直观法直观法是一种最简单直接的方法，即通过观察时间序列图来初步判断序列是否平稳。
如果时间序列的均值和方差在不同时间段内基本保持不变，那么可以初步认定序列具有平稳性。
然而，直观法并不够严谨，往往需要结合其他方法进行验证。
2. 统计检验法统计检验法是通过一些统计指标来检验时间序列的平稳性。
常用的方法包括ADF检验、单位根检验、KPSS检验等。
ADF检验是一种通过单位根检验来判断时间序列是否平稳的方法，其基本原理是对原始时间序列进行单位根检验，若序列平稳则对应的p值应当小于显著性水平。
而KPSS检验则是一种基于单位根检验的方法，其原理是对原始序列进行单位根检验，若序列显著偏离平稳则对应的p值应当大于显著性水平。
通过这些统计检验方法，我们可以更加客观准确地判断时间序列的平稳性。
3. 时间序列差分法时间序列差分法是一种通过对时间序列进行差分运算来消除非平稳性的方法。
具体来说，我们可以对原始时间序列进行一阶差分或二阶差分运算，然后对差分后的序列进行平稳性检验。
若差分后的序列满足平稳性条件，则可以认定原始序列具有平稳性。
4. 线性回归法线性回归法是一种利用线性回归模型来检验时间序列平稳性的方法。
具体来说，我们可以建立一个线性回归模型，将时间序列的观测值作为因变量，时间作为自变量，然后对回归系数进行显著性检验。
时间序列分析中的平稳性检验
时间序列分析中的平稳性检验时间序列分析是统计学中重要的研究领域，它用于研究随时间变化的数据，并预测未来的趋势。
平稳性检验是时间序列分析的关键步骤之一，它用于确定时间序列数据是否具有平稳性。
本文将介绍时间序列分析中的平稳性检验的基本概念、方法和应用。
一、平稳性的概念在时间序列分析中，平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内保持不变。
具体而言，平稳性要求时间序列的均值、方差和自相关函数在时间上不发生显著的变化。
如果时间序列数据具有平稳性，那么我们可以利用历史数据对未来进行可靠的预测。
二、平稳性检验的方法为了检验时间序列数据的平稳性，常用的方法包括观察法、单位根检验和ADF检验。
1. 观察法观察法是最简单的平稳性检验方法，它通过观察时间序列数据的图表和统计指标来判断数据是否具有平稳性。
如果时间序列数据的均值和方差在不同时间段内保持相对稳定，且自相关函数衰减较快，那么可以初步认为数据具有平稳性。
2. 单位根检验单位根检验是一种常用的平稳性检验方法，它基于时间序列数据是否具有单位根来判断数据的平稳性。
常用的单位根检验方法包括ADF检验、PP检验和KPSS 检验。
其中，ADF检验是最常用的单位根检验方法之一。
3. ADF检验ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）是一种常用的单位根检验方法，它基于Dickey-Fuller回归模型来判断时间序列数据是否具有单位根。
ADF检验的原假设是时间序列数据具有单位根，即非平稳性；备择假设是时间序列数据不具有单位根，即平稳性。
ADF检验的关键统计量是ADF统计量，它的值与临界值进行比较来判断数据的平稳性。
如果ADF统计量的值小于临界值，那么可以拒绝原假设，认为数据具有平稳性；如果ADF统计量的值大于临界值，那么接受原假设，认为数据不具有平稳性。
三、平稳性检验的应用平稳性检验在时间序列分析中具有广泛的应用。
首先，平稳性检验是进行时间序列建模的前提条件，只有具有平稳性的数据才能进行可靠的建模和预测。
5.2 时间序列的平稳性及其检验
– 由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的 偏态分布。
显著性水平
0.01 0.05 0.10
样本容量
25 50
100
500
-3.75 -3.58 -3.51 -3.44 3.00 -2.93 -2.89 -2.87 2.63 -2.60 -2.58 -2.57
§5.2 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的提出 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整时间序列 六、趋势平稳与差分平稳随机过程
一、问题的提出
• 从经典计量经济学模型的方法论基础出发
– 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，采用平稳 时间序列作为样本，建立经典计量经济学模型，在模 型设定正确的前提下，模型随机扰动项仍然满足极限 法则和经典模型的基本假设（序列无关假设除外）， 特别是正态性假设。
• 定义
–假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得 到，如果满足下列条件：
• 均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； • 方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； • 协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，
m
X t t X t1 i X ti t i 1
模型1 模型2 模型3
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
• 检验过程
–实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 –何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为
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• 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t
由于t是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它 常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
精品课件
X
X
t
t
t
t
(a)
(b)
图 4.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
精品课件
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数 （autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。
实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本）， 因此，可以计算样本自相关函数（Sample autocorrelation function）来判断该随机过程是 否平稳。
第四章时间序列模型平稳性检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
精品课件
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
精品课件
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据（panel data/time-series cross-
假定某个时间序列是由某一随机过程 （stochastic process）生成的，即假定时间序列 {Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果满足下列条件：
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有 关，与时间t 无关的常数；
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时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要
内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
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二、时间序列数据的平稳性
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时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
义,一个白噪声序列是平稳的。
例4.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走（random walk），该序列由如下随机过程生 成：
Xt=Xt-1+t
这里， t是一个白噪声。
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容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 …… Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
(1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
(2)
(Xi X)2/n
依概率收敛： P li(m (X iX )2/n )Q n
精品课件
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性P：lim(ˆ) n
注意：在双变量模型中：
ˆxiui xiui/n
xi2
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一个时间序列的样本自相关函数定义为：
nk Xt X Xtk X
rk t1
n
Xt X 2
t1
k1,2,3,
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋
于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳
section data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
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⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致
性”要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变
量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
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例4.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
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三、平稳性检验的图示判断
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• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
xi2/n
因此： P li m ˆP li m xiui/n0
Hale Waihona Puke n P lim xi2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
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⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列 是发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<1)，因此是非平稳的；
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2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。 第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K) 过程的特例：