复合函数的定义域和值域
指数型复合函数
2x 1
例3：已知函数f(x)=
,讨论：
2x 1
（1）f(x)的奇偶性。 （2）f(x)的单调性。 （3）f(x)的值域。
五.指数型复合函数的定点
例：函数f（x）=ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的 图象恒过定点，则定点P的坐标是_______。
七.指数型复合函数的奇偶性
例1:以下函数是奇函数的是：
（1）f(x)=2-x （3）f(x)=2x-2-x
（2）f(x)=2x+2-x (4) f(x)=2 x2 1
2.已知f(x)=(
2x
1
1
1 2
)x
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
指数型复合函数
一.指数型复合函数的定义域和值域 1.求下列函数的定义域和值域：
1
2 （1）y= x4
2x 1 (2)y= 2x 3
1 x24x
(3)y=
2
(4)y=
1 1 x 2
二.换元法求最值
例1.求函数y=
上的值域。
1 4x1 2x Nhomakorabea1
在x
[-3，2]
2.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2•3x+1﹣9x 的最大值和最小值。
六.含有绝对值的指数函数
例：1.函数y=3|x|的单调递增区间是_____． 函数y=3-|x|的单调递增区间是________．
2.函数y=a|x|在( ,0)上是增函数，则a
的取值范围是___________．
3．关于x的方程 2 1x m 1 0有唯一
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
复合函数概念精析
0 / 14复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f ［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形1 / 14如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。
因此有人说复合函数是函数的函数。
求复合函数的定义域
求复合函数的定义域一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
变式考点复合函数定义域及值域
变式考点：抽象函数，复合函数定义域抽象函数型求定义域抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知()x f 的定义域，求()[]x g f 的定义域。
其解法是：已知()x f 的定义域是［a ，b ］求()[]x g f 的定义域是解()b x g a ≤≤，即为所求的定义域。
例2. 已知()x f 的定义域为［－2，2］，求()12-x f 的定义域。
解：令，得，即302≤≤x ，因此30≤≤x ，从而，故函数的定义域是][3,3-。
（2）已知()[]x g f 的定义域，求()x f 的定义域。
其解法是：已知()[]x g f 的定义域是［a ，b ］，求()x f 定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例3 已知()12+x f 的定义域为［1，2］，求()x f 的定义域。
解：因为21≤≤x ，422≤≤x ，5124≤+≤x 。
即函数()x f 的定义域是［3,5］。
练习：①已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ ）A ．)2,1[-B ．]1,1[-C ．)2,2(-D ．)2,2[- ②已知)1(+x f 的定义域为)2,3[-，则)(x f 的定义域为_______.一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x =+-++- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
复合函数的定义域
2013-11方法交流一、复合函数的定义一般地：若y=f （u ），又u=g （x ），且g （x ）值域与f （u ）定义域的交集不空，则函数y=f ［g （x ）］叫x 的复合函数，其中y=f （u ）叫外层函数，u=g （x ）叫内层函数。
简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。
例如：设函数f （x ）=2x +3g （x ）=3x -5，对于函数f [g （x ）]，若f （x ）的定义域为M ，则在复合函数f ［g （x ）］中，g （x ）∈M 。
复合函数的定义域，就是复合函数y=f ［g （x ）］中x 的取值范围。
x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g （x ）的值域。
二、复合函数的定义域求法例1.已知f （x ）的定义域为（-3，5］，求函数f （3x -2）的定义域。
解：由题意得∵-3<x ≤5∴-3<3x-2≤5-1<3x ≤7∴-13<x ≤73所以，函数f （3x -2）的定义域为（-13，73］.例2.已知函数f （x ）定义域为是［a ，b ］，且a+b >0,求函数h （x ）=f （x+m ）+f （x-m ）（m >0）的定义域。
解：a ≤x+m ≤b a ≤x-m ≤b {⇒a-m ≤x ≤b-ma+m ≤x ≤b+m {，∵m >0，∴a-m <a+m b-m <b+m 又a-m <b+m要使函数h （x ）的定义域为非空集合，必须且只需a+m ≤b-m ，即0<m ≤b-a 2，这时函数h （x ）的定义域为［a+m ，b-m ］。
解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。
若已知f （x ）的定义域为A ，则f ［g （x ）］的定义域就是不等式g （x ）∈A 的x 的集合；若已知f ［g （x ）］的定义域为A ，则f （x ）的定义域就是函数g （x ）（x ∈A ）的值域。
复合函数使用条件
复合函数使用条件引言于数学中，复合函数是一种由两个或多个函数组合而成的函数。
复合函数的使用条件在实际问题中具有重要作用，本文将深入探讨复合函数使用条件的相关内容。
什么是复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先将x带入g(x)得到一个中间结果，再将这个中间结果带入f(x)得到最终结果。
复合函数的表示和性质1.复合函数的表示：复合函数f(g(x))的表示方法遵循从右向左的顺序，即先计算g(x)，再将g(x)的结果代入f(x)中。
表示为f(g(x))。
2.复合函数的定义域：复合函数的定义域等于g(x)的定义域与f(x)的值域的交集，并且在交集中，只有满足g(x)的定义域和f(x)的值域的元素才能够构成复合函数的定义域。
3.复合函数的值域：复合函数的值域等于f(x)的值域。
4.复合函数的存在性：复合函数存在的条件是，g(x)的值域必须是f(x)的定义域的子集，即g(x)的结果可以作为f(x)的自变量。
复合函数使用条件复合函数的使用条件取决于函数的定义域和值域，以及复合函数的存在性。
以下是在实际问题中常见的复合函数使用条件。
条件1：定义域和值域兼容复合函数的定义域和值域必须兼容，即g(x)的值域必须是f(x)的定义域的子集。
如果g(x)的值域中存在一些元素不属于f(x)的定义域，那么这些元素将无法计算得到复合函数的结果。
条件2：函数的存在性复合函数的存在性取决于g(x)和f(x)的定义域和值域。
当g(x)的定义域中的元素都属于f(x)的定义域，并且g(x)的值域是f(x)的定义域的子集时，复合函数存在。
否则，复合函数不存在。
条件3：逆函数存在当复合函数中的两个函数g(x)和f(x)存在逆函数时，复合函数的使用条件更加灵活。
在这种情况下，只需要保证g(x)的定义域和值域兼容，并且f(x)的定义域和值域兼容即可。
条件4：运算规则的限制在复合函数中，通常需要满足一定的运算规则。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
复合函数的定义域和值域
复合函数的定义域和值域Hessen was revised in January 2021如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。
本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1．求复合函数的定义域关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。
解析由故函数的定义域为。
例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。
解析由由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。
2．求复合函数的值域关键是由里向外，逐层解决。
例3函数的值域是（）（A）（B）[0，4]（C）（D）解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。
由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。
例4求函数的值域。
解析函数是由函数复合而成的。
由u的定义域得：。
由，或y>1，故所给函数的值域为。
3．求复合函数的奇偶性（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。
除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。
例5判断下列函数的奇偶性。
解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。
解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。
例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。
解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。
例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。
高中数学复合函数定义域和值域学习中易错问题浅析
高中数学复合函数定义域和值域学习中易错问题浅析作者：宿志强来源：《新课程·下旬》2018年第11期摘要：函数问题集定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象于一身。
主要研究高考热点问题中抽象函数和复合函数的定义域和值域。
关键词：复合函数；定义域；值域一、复合函数的定义、定义域和值域问题抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现.记函数v=F（u）的定义域为u1，函数u=f（x）的值域为u2，记U=U1∩U2，D={x|x∈R，f（x）∈U}，则以D为定义域，以F[f（x）]为对应法则的函数v=F[f（x）]叫做D上的复合函数.为叙述方便，构成复合函数的每一次复合步骤所形成的函数，可形象地称为该复合函数的一“层”函数，上述定义中的F（u）叫做f（x）的外层函数，u=f（x）叫做F（u）的内层函数或中间变量复合.1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域其解法是：若f（x）的定义域为a≤x≤b，则在f[g（x）]中，a≤g（x）≤b，从中解得x的取值范围即为f[g（x）]的定义域.例1：已知y=f（x）的定义域为[-1，1]，求y=f（2x-1）的定义域.解：由题意可知-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1，所以次函数的定义域为[0，1].2.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域其解法是：若f[g（x）]的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g（x）的范围即为f（x）的定义域.例2：已知f（2x-1）的定义域为[-1，1]，求f（x）的定义域.解：由于-1≤x≤1，解得-3≤x≤1，因此f（x）定义域为[-3，1].3.运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集.例3：若f（x）的定义域为[-3，5]，求φ（x）=f（-x）+f（2x+5）的定义域.解：可知-3≤-x≤5，因此-5≤x≤3.同时，-3≤2x+5≤5，可得-4≤x≤0.因此，φ（x）的定义域为[-5，3]∩[-4，0]=[-4，0]4.已知函数f[g（x）]的定义域，求函数f[h（x）]的定义域其解法是，先由f[g（x）]的定义域，求出函数f（x）的定义域，再由f（x）的定义域，求出函数f[g（x）]的值域.例4：f（）的定义域为[2，3]，求f（x+5）的定义域.解：f（）的定义域为[2，3]所以，-1≤≤所以，f（x）的定义域为[0，]所以，0二、对数函数的学习过程中，关于求对数函数与二次函数的复合函数的定义域和值域的问题具体模型是，设函数f（x）=logm（ax2+bx+c）（a≠0，m>0，且m≠1），二次方程ax2+bx+c=0对应的判别式？驻=b2+4ac.（1）若函数f（x）的定义域为R，则a>0，且？驻（2）若函数f（x）的值域为R，则a>0，且？驻≥0.例5设函数f（x）=log2（ax2+3x+5），其中a≠0（1）若此函数的定义域为R，求a的取值范围；（2）若此函数的值域为R，求a的取值范围.解：（1）由于此函数是复合函数，所以可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.f（x）=log2μ中μ>0，所以二次函数μ=ax2+3x+5的值域大于零，且x取遍所有实数，只需保证a>0，且？驻=9-20a.（2）同理，可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.则f（x）=log2μ，由于f（x）取遍所有实数，所以μ取遍所有大于0的实数.因此必须保证函数μ=ax2+3x+5与平面直角坐标系中x轴有交点.则对应的判别式？驻≥0.即有a>0，且？驻=9-20a≥0.即0练习1.已知函数y=f（x+1）的定义域是[-2，3]，求y=f（2x-1）的定义域.解：依题可知x+1∈[-1，4]，从而2x-1∈[-1，4]，解得此函数的定义域为[0，].2.已知y=f（x）的定义域为[-1，1]，求函数y=f（x+）·f（x-）的定义域.解：x+∈[-1，1]，解得x∈[-，]；x-∈[-1，1]，解得x∈[-，].取交集可得此函数定义域为[-，].参考文献：[1]刘天好.复合函数定义域求法及其解题意义研究[J].考试周刊，2017（71）：69.[2]赵铎皓.求函数定义域的常见题型例析[J].中学生数理化（学习研究），2017（6）：60.？誗编辑李琴芳。
高考数学复合函数知识点归纳
高考数学复合函数知识点归纳不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠?时，二者才可以构成一个复合函数。
下面是小编为大家精心推荐数学复合函数知识点总结，希望能够对您有所帮助。
高考数学复合函数知识点归纳1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1_2,任一周期可表示为k_1_2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。
三角函数诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以Dx g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数的定义域值域
复合函数的定义域值域复合函数的定义域和值域是数学中的一个重要概念。
在学习复合函数时，理解它们的定义域和值域是极为关键的。
下面，让我们来深入探讨一下复合函数的定义域和值域。
一、复合函数复合函数是由两个已知的函数所组成的。
设f(x)和g(x)是两个函数，复合函数f(g(x))指将g(x)的输出结果作为f(x)的输入，即f(g(x))=f(g(x))。
二、复合函数定义域复合函数的定义域是指输入自变量的集合，也就是使得f(g(x))有意义的所有x的集合。
对于复合函数f(g(x))，当x属于g(x)的定义域，且g(x)的输出属于f(x)的定义域时，才有f(g(x))有意义，此时x属于f(g(x))的定义域。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
对于复合函数f(g(x))，要使得f(g(x))有意义，有以下两个条件：1. x+3的值不小于0，因为函数√x的定义域是[0,+∞)，所以x+3≥0，即x≥-3。
2. x+3的值在√x的定义域范围内。
由于√x的定义域是[0,+∞)，即x≥0，所以x+3≥0，且当x≥0时，x+3也属于√x的定义域范围内，所以此时f(g(x))的定义域为[-3,+∞)。
三、复合函数值域复合函数的值域是指输出因变量的集合，也就是所有f(g(x))的值构成的集合。
我们需要找到g(x)的值域和f(x)的值域，然后求它们的交集。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
1、由于g(x)为一个一次函数，它的值域是实数集。
2、√x的值域是[0,+∞)。
3、f(g(x))的值域是[x+3≥0]∩[0,+∞)=[3,+∞)。
因此，由函数g(x)和f(x)组成的复合函数f(g(x))的值域为[3,+∞)。
综上，复合函数的定义域和值域对我们深入理解复合函数是至关重要的。
如果我们能够熟练掌握复合函数的定义域和值域的求解方法，就能更好地解决有关复合函数的问题。
复合函数的复合结构
复合函数的复合结构1. 引言复合函数是数学中的一个重要概念，它描述了多个函数组合而成的新函数。
在实际应用中，复合函数的复合结构经常被使用，它能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍复合函数的基本概念、性质以及复合函数的复合结构。
2. 复合函数的基本概念在数学中，复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数表示为f(g(x))，即先将x代入g(x)求得一个值，再将该值代入f(x)中。
复合函数的定义域由g(x)的定义域和f(x)的值域所共同确定。
3. 复合函数的性质复合函数有一些重要的性质，下面我们来介绍一些常见的性质。
3.1 结合律复合函数满足结合律，即对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，有(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)。
这意味着复合函数的计算顺序不会影响最终的结果。
3.2 交换律一般情况下，复合函数不满足交换律，即f(g(x))不等于g(f(x))。
只有在一些特殊情况下，比如f和g是互逆函数时才成立。
3.3 复合函数的导数若f(x)和g(x)都可导，则复合函数f(g(x))也可导，并且它的导数等于f’(g(x))·g’(x)。
这一性质在求解复杂函数的导数时非常有用。
3.4 复合函数的反函数若函数f(x)是一对一且可逆的，则它的复合函数f(g(x))也是可逆的，并且它的反函数是g(f^(-1)(x))。
复合函数的反函数在解决一些函数关系问题时起着重要的作用。
4. 复合函数的复合结构在实际应用中，我们经常需要将多个函数按照一定的顺序组合起来，形成复合函数的复合结构。
下面我们将介绍一些常见的复合结构。
4.1 串联结构串联结构是指将多个函数按照顺序连接起来形成的复合函数。
设有函数f(x)，g(x)和h(x)，我们将它们按照顺序连接起来，得到f(g(h(x)))。
串联结构常用于描述一系列动作的执行过程，比如计算机网络中的数据传输。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)
解 设 y=log4u,u=x2－4x+3.由 u＞0, u=x2－4x+3， 解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3. 当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间； 当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增 函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
复合函数的单调性
复合函数的定义： y=f(u)定义 复合函数的定义：设y=f(u)定义 u=g(x)值域为 值域为B B， 域A，u=g(x)值域为B，若A B， 关于x函数的y=f[g(x)] y=f[g(x)]叫做函 则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 的复合函数， 数f与g的复合函数，u叫中间量
一、复习引入： 复习引入： 1.对于函数的定义域 内某个区间上的任意两个自 对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 对于函数的定义域 变量的值 若当x1<x2时，都有 ⑴若当 时 都有f(x1)<f(x2),则说在这个区 则说在这个区 间上是增函数； 间上是增函数； 若当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2),则说在这个区 ⑵若当 时 则说在这个区 间上是减函数. 间上是减函数 2.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,给定 判断证明函数单调性的一般步骤是： 判断证明函数单调性的一般步骤是 给定 区间内的任意两个值； 作差， 区间内的任意两个值；⑵作差，并将此差式变形 要注意变形的程度） 判断正负 判断正负（ （要注意变形的程度）,判断正负（要注意说理的 充分性）； 确定其增减性. 充分性）；(3)确定其增减性 ）； 确定其增减性
复合函数定义域解析式的求法
复合函数的定义域和函数解析式的求法一、复合函数的定义域1、复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1f x xg x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+2、复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤3325x ∴-<-≤137x -<≤ 1733x ∴-<≤所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤-⎥⎝⎦.练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤242311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1 例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a bm x a ，m a m a m +<-∴>,0mb m b +<-，又mb ma +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需mb m a -≤+，即20a b m-≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+ 3、总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数使用条件
复合函数使用条件
当使用复合函数时，需要满足以下条件：
1. 函数的定义域和值域必须符合要求。
即，对于函数f和g，g 的定义域必须是f的值域的子集，这样才能保证复合函数的定义域是合法的。
2. 函数的类型必须一致。
即，对于函数f和g，它们的类型必须一致，例如都是实数函数或都是向量函数等。
3. 函数的复合顺序必须正确。
即，对于复合函数f(g(x))，必须先计算g(x)，再将其结果代入f中进行计算。
如果两个函数的复合顺序不正确，将导致计算结果错误。
4. 函数的连续性必须得到保证。
即，对于函数f和g，它们必须都是连续函数，否则将导致复合函数的连续性受到影响。
5. 函数的可微性必须得到保证。
即，对于函数f和g，它们必须都是可微函数，否则将导致复合函数的可微性受到影响。
需要注意的是，以上条件并非全部必须满足，具体取决于所涉及函数的性质和应用场景。
在使用复合函数时，应根据具体情况确定条件。
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复合函数的单调性、定义域与值域
复合函数的单调性设单调函数)(xfy=为外层函数，)(xgy=为内层函数(1) 若)(xfy=增，)(xgy=增，则))((xgfy=增.(2) 若)(xfy=增，)(xgy=减，则))((xgfy=减.(3) 若)(xfy=减，)(xgy=减，则))((xgfy=增.(4) 若)(xfy=减，)(xgy=增，则))((xgfy=减.结论：同曾异减例1. 求函数222)(-+=xxxf的单调区间.外层函数：ty2=内层函数：22-+=xxt内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.例2.求函数)2(log)(22-+=xxxf的单调区间.解题过程：外层函数：ty2log=内层函数：22-+=xxt22>-+=xxt由图知：内层函数的单调增区间：[∈x内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x例3.求函数xy cos=的单调区间解题过程：外层函数：ty=内层函数：xt cos=cos≥=xt由图知：内层函数的单调增区间：]2,22[πππkkx+-∈内层函数的单调减区间：]22,2[πππkkx+∈由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：]2,22[πππkkx+-∈复合函数的减区间为：]22,2[πππkkx+∈复合函数的定义域函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为集合A到集合B的函数，记作：(),y f x x A=∈。
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如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。
本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1．求复合函数的定义域
关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。
解析由
故函数的定义域为。
例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。
解析由
由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。
2．求复合函数的值域
关键是由里向外，逐层解决。
例3函数的值域是（）
（A）（B）[0，4]
（C）（D）
解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。
由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。
例4求函数的值域。
解析函数是由函数复合而成的。
由u的定义域得：。
由，或y>1，故
所给函数的值域为。
3．求复合函数的奇偶性
（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；
（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；
（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。
除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。
例5判断下列函数的奇偶性。
解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。
解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。
例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。
解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。
例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。
解析由于内函数非奇非偶，外函数也非奇偶性，这时，f(x)的定义域为（－１，１），又
所以，函数f(x)为奇函数。