复合函数的定义域和值域

如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。

1．求复合函数的定义域

关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。

例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。

解析由

故函数的定义域为。

例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。

解析由

由a>0，而知只有当0

2．求复合函数的值域

关键是由里向外，逐层解决。

例3函数的值域是（）

（A）（B）[0，4]

（C）（D）

解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。

例4求函数的值域。

解析函数是由函数复合而成的。由u的定义域得：。由，或y>1，故

所给函数的值域为。

3．求复合函数的奇偶性

（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；

（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；

（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。

除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。

例5判断下列函数的奇偶性。

解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。

解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。

例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。

解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。

例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。

解析由于内函数非奇非偶，外函数也非奇偶性，这时，f(x)的定义域为（－１，１），又

所以，函数f(x)为奇函数。