2.5 等比数列的前n项和(第2课时)-【百强校】 高中数学必修五课件(共32张PPT)

反馈练习：等差数列{an}的前n项和为S n , 若S 3 4, S6 6,则S12 .
练习：教材P58练习2 如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项的和等于50， 那么它前15项的和等于多少？
命题角度2 不连续n项之和问题
例 3 已知等比数列{an}的公比 q＝－13，则aa12＋＋aa34＋＋aa56＋＋aa78等于
1234
解析 答案
2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝x·3n－1－16，则 x 的值为
A.13
B.－13
√C.12
D.－12
1234
解析 答案
解析 方法一 ∵Sn＝x·3n－1－16＝3x·3n－16， 由 Sn＝A(qn－1)，得3x＝16，∴x＝12，故选 C. 方法二 当 n＝1 时，a1＝S1＝x－16； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即 2x·3－1＝x－16，解得 x＝12.
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝－__13__. 解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又 Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.
类型二 等比数列前n项和的性质 命题角度 1 连续 n 项之和问题
例 2 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n， 求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
练习.等比数列{an}的前n项和为S n，公比为q, 且S3 , S9 , S6成等差数列, 求q3的值.
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 ＝32，n，nn＝≥12， n∈N*不是等比数列.
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
梳理 当公比 q≠1 时，设 A＝q－a11，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝
A(qn－1).即 Sn 是 n 的指数型函数.
当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，Sn 是 n 的正比例函数.
解析
Q
ban 1 ban
b qan11 1
b1 qan 1
qan1an
2,
∴{ban}是首项为b2，公比为2的等比数列.
wenku.baidu.coma1
ba2
… ba6
b2 (1 26 ) 1 2
126.
类型三 错位相减法求和
例 4 求数列2nn的前 n 项和. 解 设 Sn＝12＋222＋233＋…＋2nn， 则有12Sn＝212＋223＋…＋n－2n 1＋2nn＋1， 两式相减，得 Sn－12Sn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1， 即12Sn＝1211－－2121n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1. ∴Sn＝2－2n1－1－2nn＝2－n＋2n 2.
人民教育出版社A版必修5
第二章 数列
§2.5 等比数列的前n项和（2）
教学目标
知识目标：1.理解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.会用错位相减法求和.
能力目标：熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质 解题.
知识回顾
an a1qn1 amqnm
an qnm am
m n p q aman apaq
ab
达标检测
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和 等于
A.31
B.33 √
C.35
D.37
解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， 则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32， ∴S10＝1＋32＝33.
√A.－3
B.－13
C.3
1 D.3
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴aa12＋ ＋aa34＋ ＋aa56＋ ＋aa78＝1q＝－3.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn} 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1 ba2 ba3 … b＝a6 __1_2_6.
当q 1时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 （1 1q
qn）
Sn
k(1
qn)
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
思考 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？ 若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？ 答案 当Sn＝2n－1时， an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2 ＝12， n－1n，＝n1≥，2 n∈N*是等比数列； 当Sn＝2n＋1－1时，
知识点二 等比数列前n项和性质
梳理 等比数列{an}前n项和的三个常用性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数
∴S2n＋S22n＝1－a1 q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝1－a1 q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n). 又 Sn(S2n＋S3n)＝1－a1 q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 方法二 根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， ∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)， Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n). ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
知识点二 等比数列前n项和性质 思考 若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n成等比数列吗？ 答案 设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0， Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n ＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn， S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n ＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn ＝qn(S2n－Sn)， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
a111－－qqn＝48，
①
由已知得a111－－qq2n＝60，
②
②÷①得 1＋qn＝54，即 qn＝14.
③
将③代入①得1－a1 q＝64，
所以 S3n＝a111－－qq3n＝64×1－413＝63.
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 当 q≠1 时，Sn＝1－a1q(1－qn)， S2n＝1－a1 q(1－q2n)，S3n＝1－a1 q(1－q3n)，
A.24
√ B.12
C.18
D.22
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
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解析 答案
课后作业
反思与感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的 等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0).
nn＋1 解 当 x＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 ；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
Sn
a1(1 qn ) 1q
a1 anq 1 q
,
q 1
na1,
q 1
知识点一 等比数列前n项和的函数特征
类比于等差数列前 n 项和公式的函数特征： Sn An 2 Bn ，
等比数列前 n 项和公式又有何特征呢？
反馈练习：等差数列{an}的前n项和为S n , 若S n n2 2n t,则t .
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3.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn ＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为
√A.1
C. 3
B. 2 D.无法确定
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
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解析 答案
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99 等于
项和，则：①在其前 2n 项中，SS偶奇＝q； ②在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝a11＋－a－2n＋q1q＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠－1).
类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)， 求证：数列{an}为等比数列. 证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式， ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列.
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝x11－－xxn－nxn＋1，
∴Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1.
nn＋ 2 1，x＝1，
综上可得，Sn＝x11－－xxn2－n1x－n＋x1，x≠1且x≠0.
(教材P62 1) an an1b an2b2 L abn1 bn an bn (a b, 且a,b不为0)