理论力学第8章

滚子A沿水平面作纯滚动，通 过连杆AB带动滑块B沿铅垂轴向 上滑动。设连杆长l = 0.8m，轮 心速度 v0 3 m/s 。求当A B与铅 垂线成 30 时，滑块B的速度 及连杆的角速度。 解：1.基点法 取A为基点，B点的速度
vB vA vBA
2. 速度投影法
（vA） vB AB AB
2.平面图形内各点的速度分布 基点：瞬心C vA vC vAC vAC vB vC vBC vBC vD vC vDC vDC 平面图形内任意点的速度 等于该点随图形绕瞬时速度 中心转动的速度。
vA ω AC
O
I
A
解:
1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。
轮Ⅰ的角速度和角加速度为：
vO 1l r r 2.选基点为Ｏ
2

d2 0 dt
B
C O1 II
O
A
I
（1）点A：
点A的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为：
（2）点B：
点B的加速度大小为：
aB a a
2 O
2 n BO 2
例如：车轮的运动
=
随基点A的平移
+
绕基点A’的转动
§ 8-2 求平面图形内各点速度的基点法
基点法 动点：M 绝对运动 相对运动 牵连运动 动系：Oxy (平移坐标系) ：待求 ：绕 O 点的圆周运动 ：平移
vM ve vr vO OM
任意A，B两点
v
B
v
§ 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
定义
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平 面始终保持相等的距离，这种运动称为平面 运动。
行星齿轮的运动
曲柄连杆机构中连杆的运动
平面运动的简化
刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身 平面内的运动，不需考虑刚体的形状和尺寸
运动方程 要确定平面图形在每一瞬时的位置，显然只 需三个独立参数（它在平面内运动自由度为3）：
例8-5
已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。
解： AB作平面运动， 速度瞬心为点C。 图形的角速度：
AB
vA vA AC l sin
B点的速度：
vD
D
C
vB AB BC vA cot
解得 a A l 2
t a AD 0 AB
t a AD 0 AD
例8-9 已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心 O的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相 对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
vO 2. R d 1 dvO aO
[例] 行星齿轮机构
已知: R, r , 0 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
§ 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
基点：A， 牵连运动为平移
t n a B ae a r a r t n a B a A a BA a BA
图形内任一点D的速度：
vD ωAB DC
例8-6 已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲 柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG， GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
CD l
2.选D为基点 aD l 2 t n a A aD a AD a AD
大小 ？ l 2 方向 ? l 2
分别沿 轴和 轴投影
n aA cos aD cos π 2 aAD
t n 0 aD sin a AD cos a AD sin
解： 1. AB作平面运动
（vA） vB AB AB
vB cos 30 OA OA vB 0.2309 m s cos 30
2.CD作定轴转动，转动轴：C
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
3.DE作平面运动
（vD） vE DE DE vE cos 30 vD vD vE 0.8 m s cos 30
t a BA
n aBA
t 大小 a BA AB
方向垂直于 AB ，指向同
n 2 AB 大小 aBA
方向由 B指向 A
平面图形内任一点的加速度等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和 法向加速度的矢量和。
例8-7 已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速 度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只 滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线 上，而点B在垂直于O1O的半径上。 求：点A和B的加速度。 B C O1 II
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
t n aC aO aCO aCO
大小 ？ 方向 ？
由于 和
aO R
R 2
大小相等，方向相反
n aC aCO R 2
[例] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A//O2B。试问 1 和 2 是否相等？ (a),(b)两种情况下1 和 2 ，
vB vA cot
vA vBA sin vBA vA AB l l sin
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角 速度为ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD 作平面运动
本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的 角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。
目标要求 （1）了解刚体平面运动的特点、平面运动的简化、 平面运动的分解； （2）熟练应用速度基点法、速度瞬心法、速度投 影法分析平面运动刚体上各点的速度； （3）熟练应用加速度基点合成法分析平面运动刚 体上各点的加速度； （4）综合应用点的合成运动方法和刚体平面运动 方法分析常见平面机构的运动。 重点与难点 重点：基点法、瞬心法、投影法的应用 难点：刚体平面运动的简化与分解。
B A BA
（4）利用几何关Байду номын сангаас，求解平行四边形中的未知量
速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影，得到：
vB AB vA AB
例8-4
如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A， B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
速度瞬心C在速度矢量端点连线的交点上
C

v A vB AB
v A vB AB
(4) vA vB
速度瞬心C在无限远处 此时图形角速度为零，各点速度相等。这种情 况称为瞬时平移 注意：各点的加速度不相等,瞬时平移与与平动不同
注意： 1.速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而 是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 2.速度瞬心处的速度为零，加速度不一定为零。 不同于定轴转动。 3.刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但 各点的加速度不一定相同。不同于刚体平动。 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法
§ 8-3 求平面图形内各点的瞬心法
1.定理
基点：A
v
B
v
A
v
BA
vM v A vMA
vM v A AM
可以找到一点C，此时 vCA vA 即： AC vA ω vC 0 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简 称速度瞬心。
解：
1. AB作平面运动
基点：A
（1） 60
vB v A cos 30 2 3r 3
（2 ） 0 vB 0

（3） 90
vB v A r ,
vBA 0
解题步骤： （1）分析题中各物体的运动 平移、转动、平面运动 （2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小 和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素是已 知的 （3）选定基点，而另一点可应用公式作速度平行 四边形 v v v
2.杆BG作平面运动，瞬心为C vG BG GC BC vB BG BC vG GC vG cos 60
ω AB vB AB vG cos 60 0 .888 rad s AB
由此可看出： 1.机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的； 2. 在每一瞬时，机构中作平面运动的各刚体有各自的 速度瞬心和角速度

l
2 1
l 1 r
与半径OB间的夹角为： aO r arctan n arctan aBO l
例8-8 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以
匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60时，尺AB的角加速度和点A的加速 度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。 vD l AB
速度瞬心的确定方法 (1) 已知一平面图形在固定面 上作无滑动的滚动（纯滚动）
w
图形与固定面的接触点 C就是图形的速度瞬心
(2) 已知 v A , vB 的方向，且 v A不平行于 vB 。
速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上