三节微积分基本公式

第三节 微积分基本公式积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系. 即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式. 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册.分布图示★ 引言 ★ 引例 ★ 积分上限函数 ★ 积分上限函数的导数★ 例1★ 例2-3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6★ 例7★ 原函数存在定理 ★ 牛顿-莱布尼兹公式 ★ 牛顿-莱布尼兹公式的几何解释★ 例8-9 ★ 例10★ 例11★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15★ 例16★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.例题选讲积分上限的函数及其导数例1 (E01) 求右图中阴影区域的面积 解 由题意，得到 阴影区域的面积()()[]d x x dx x ⎰⎰--+-=-124212sec 2πdx x dx xdx dx ⎰⎰⎰⎰++-=--121004204sec 2ππ31231tan 210304+=++-=-πππx x.例2(E02) 求 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰x tdt dx d 02cos .解⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰x tdt dx d 02cos .cos 2x =例3(E03)求 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰321x t dt e dx d .解 这里dt e x t ⎰321是3x 的函数，因而是x 的复合函数，令,3u x =则⎰=Φut dt e u 1,)(2根据复合函数求导公式，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰321x t dt e dx d dxdu dt e du d ut ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰1223)(x u ⋅Φ'=232x e u ⋅=⋅=623x e x例4 设)(x f 是连续函数, 试求以下函数的导数. (1) ⎰=xxt f dt e x F sin cos )()(。

(2) ⎰=x dt t xf x F 0)()(。

(3) .)()(0⎰-=xdt t x f x F解(1))(x F '.sin cos )(cos )(sin x e x e x f x f += (2)因为,)()(0⎰=xdt t f x x F 所以)(x F '.)()(0⎰+=xdt t f x xf(3)因为⎰-=xdt t x f x F 0)()(t x u -=⎰-)(xdu u f .)(0⎰=xdu u f ，所以，).()(x f x F ='例5(E05)设函数)(x f y =由方程0sin 0022=+⎰⎰t d t t d e xy t 所确定.求.dxdy解在方程两边同时对x 求导:0sin 022=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰dt t dx d dt e dx d x y t 于是0sin 022=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰dt t dx d dx dy dt e dy d x y t即0)sin ()2(4=-+⋅⋅x dxdyy e y 故.2sin 4yye x dx dy =例6(E04)求 21cos 02lim x dt e xt x ⎰-→.分析:这是型不定式,应用洛必达法则. 解dt e dxd xt ⎰-1cos 2dt e dxd xt ⎰--=cos 12)(cos cos 12'⋅-==-⎰x dte dud xu ut)(cos 2cos '⋅-=-x e x ,sin 2cos x e x -⋅=故21cos 02limx dt e xt x ⎰-→xe x xx 2sin lim 2cos0-→⋅=.21e=例7设)(x f 在),(+∞-∞内连续,且.0)(>x f 证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.证因为),()(0x xf dt t tf dx d x =⎰),()(0x f dt t f dxdx=⎰所以)(x F '2)()()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf ,)()()()(2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰xxdt t f dt t f t x x f),0(0)(>>x x f ,0)(0>∴⎰xdt t f,0)()(>-t f t x ,0)()(0>-∴⎰xdt t f t x∴).0(0)('>>x x F故)(x F 在),0(+∞内为单调增加函数.牛顿—莱布尼兹公式例8(E06)求定积分⎰12dx x .解33x 是2x 的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得:dx x ⎰102133x =3031-=.31=例9（E07）求.112⎰--dx x解当0<x 时,x1的一个原函数是|,|ln x dx x⎰--12112||ln --=x 2ln 1ln -=.2ln -=例10设 ,215102)(⎩⎨⎧≤<≤≤=x x x x f 求.)(2⎰dx x f解如图(见系统演示)，在]2,1[上规定:当1=x 时,,5)(=x f 则由定积分性质得:dx x f ⎰2)(dx x f dx x f ⎰⎰+=211)()(dx dx x ⎰⎰+=21152.6=例11（E08）计算.|12|10⎰-dx x解因为|12|-x ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=21,1221,21x x x x 所以dx x ⎰-1|12|dx x dx x ⎰⎰-+-=12/12/11)12()21(02/122/102)()(x x x x -+-=.21=例12求定积分 ⎰--3/2/2cos 1ππdx x .解dx x ⎰--3/2/2cos 1ππdx x ⎰-=3/2/2sin ππdx x ⎰-=3/2/|sin |ππdx x xdx ⎰⎰+-=-3/02/sin sin ππ3/02/cos cos ππx x -=-.23=例13(E09)求.},max{222dx x x ⎰-解由图形(见系统演示)可知 )(x f },max{2x x =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<≤-=21,10,02,22x x x x x xdx x x ⎰-∴222},max{dx x dx x dx x ⎰⎰⎰++=-21210022.211=例14（E10）计算由曲线x y sin =在,0=x π=x 之间及x 轴所围成的图形的面积.A 解如图(见系统演示),根据定积分的几何意义,所求面积A 为 ⎰=πsin dx x A π0cos x -=)0cos (cos ---=π.2=例15汽车以每小时36km 速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度5-=α2/s m 刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过了多少距离?解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间.设开始刹车的时刻为,0=t 此时汽车速度为360=v km/h 3600100036⨯=s m /./10s m =刹车后汽车减速行驶,其速度为t a v t v +=0)(.510t -= 当汽车停住时,速度,0)(=t v 故由0510)(=-=t t v ⇒).(25/10s t == 于是这段时间内,汽车所驶过的距离为⎰⎰-==2020)510()(dt t dt t v s 2022510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=t t ).(10m =即在刹车后,汽车需驶过m 10才能停住.例16(E11)设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,证明在开区间),(b a 内至少存在一点,ξ使).)()(()(b a a b f dx x f ba<<-=⎰ξξ证因)(x f 连续,故它的原函数存在,设为),(x F 即设在],[b a 上).()('x f x F = 根据牛顿-莱布尼茨公式,有).()()(a F b F dx x f ba-=⎰显然函数)(x F 在区间],[b a 上满足微分中值定理的条件,因此按微分中值定理,在开区间),(b a 内至少存在一点,ξ使),)(()()('a b F a F b F -=-ξ),,(b a ∈ξ故),)(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ).,(b a ∈ξ注: 本例的结论是对积分中值定理的改进.从其证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.课堂练习1.设)(x f 在],[b a 上连续, 则⎰xadt t f )(与⎰bxdu u f )(是x 的函数还是t 与u 的函数? 它们的导数存在吗? 如果存在等于什么?2.用定积分定义和性质求极限.212111lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n 3.计算定积分⎰+10221dx x x .。