由一道练习题引发的思考
由一道练习题引发的思考
算３ ６ Ｘ ２ ５ ＝ ？学生有 的说 ， 可 以先把 一个数分解 成两 当然 ， 也要 让学生经历数学能力应用的过程 。发
个 数 的乘积 ， 再 运用 乘 法结 合 律计 算 ： ３ ６ Ｘ ２ ５ ＝ ９× 展 学生 的数 学能力 ，是 数学学 习 目标 的另一个 重要
一
个数 比另一个数多百分之几的问题 ， 用大数减去小
６ ％） ÷ ６ ％ ×１ ０ ０ ％＝ ４ ０ ０ ％。
数， 再用相差数除 以单位 “ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ” ， 得到最后的结果 。这与
为都有道理 。
一
许多六 年级 的教 师遇 到这 两 种解答 方 法 时 ， 认 甲数是 ８ ， 乙数是 ５ ， 求 甲数 比乙数多百分之几？第一 步： ８ － ５ ＝ ３ ， 没有再 做第二 步 ： ３÷ ５ Ｘ １ ０ ０ ％， 还是有 不 道 较典 型的百分数 应用题 ，怎么会 出现两种 同之处 的。
６％ ＝ ２ ４％ 。
题意 ， 没有 弄清楚单位 “ １ ” 已经统一的前提下 ， 两个分
一
第二 种解法 是 ： 先分 别求 出死海 海水 和 东海 海 率 的比较不必转化成两个数或数量 的比较 问题 。 即求 水 的含盐 率 ， ７ ５÷ ２ ５ ０ ＝ ３ ０ ％， １ ５ ÷２ ５ ０ ＝ ６ ％； 再用 （ ３ ０ ％
（ ４×２ ５） 、 ３ ６ Ｘ ２ ５ ＝ ２×２ ５ Ｘ １ ８ 、 ３ ６ Ｘ ２ ５ ＝ ６×２ ５×６ 、 组成部分 。从 数学学习本身来说 ， 数学能力直接参与
３ ６×２ ５ ＝ ３ ６× ５×５等 ； 有 的说 ， 可 以先把 一个 数分 解 其 中并起 着重要 的作用 。它是学生获得数学知识 、 技
由一道课堂综合练习题引发的思考
引发的思考◊梅建伟徐束菲与A 思千万不能忘记t 近日，笔者听了一节计算教学课，是北师大版教材三年级上册第八单元“认识小数”中“寄书”一课，主要内容是小数的进位加法和退位减 法。
教师在新课结束后安排了一道综合练习题，师生的交流引起了笔者的深思，情不自禁为老师 的睿智和用心点赞。
在新授部分结束后，教师课件出示一道综合 练习题，并与学生一起展开讨论。
师：妙想和她的好朋友奇思、淘气一起去超 市购物，来看看他们都买了些什么。
教师出示情境图，（如图丨）学生独立观察。
糖•瘳％_m m m m w m m图i师：我们先来看第一个问题，请同学们独立 完成。
问题1:笑笑买了一盒巧克力和一袋瓜子，一共需要付多少元？看到大部分学生举手表示已经完成，老师课 件出示图2:图2师：别急，先来看看老师教的另外一个班有 个学生的做法，请你仔细对照，谁对了？谁错了？找找错在哪里。
生：是那个同学错了，他忘记进位了。
师：是啊！在计算小数加法时，进上来的1元师：接下来，我们一起来看看第二个问题。
课件出示问题2:淘气有10.5元，他买了一 包饼干，还剩7.3元，对吗？淘气是这样列竖式计 算的，（如图3)请仔细检查一下，他做对了吗？图3生：错了，他没有退位啊。
师：哦！原来淘气忘记退位了，再看看他小数 点右边是怎么减的。
生：不能这样减，5角减去8角不够减，要从 前一位退一，用15角去减8角才行。
师：知道吗？退位减法计算最容易犯的错误，就是不够减的时候忘记退位，像淘气这样，看到不 够减干脆倒过来减，这个毛病我们可不能犯呀！下 面，请大家再来算•算这道题，到底剩多少元。
学生独立完成后，老师鼓励学生交流，并在 交流中介绍正确的竖式。
接着老师抛出问题3:奇思想买一盒巧克力 和一包牛肉干，35元够吗？师：说说你是怎么想的。
生：丨4元加21元就已经是35元了，角数还 没算呢，肯定不够。
师：大家真会思考，一下子就估算出来了。
看看妙想又遇到了什么问题。
（课件出示问题4)请你帮妙想设计两种购物方案，写在作业纸 上。
小学教师教育随笔《一道题引发的思考》
一道题引发的思考
批改作业往往使我陷入昏昏沉沉的状态，不因为疲倦也不因为懒惰，只因为哪一份认真负责任的态度。
或许对于教师来讲批改作业是一件常事，但绝不是一件轻松而容易的事。
批改仔细一些，我们能发现教学中的遗漏和疏忽，批改粗略一些，也许我们就此失掉很多教育孩子和发现孩子创新思维的机会。
正因为如此，所以每一次批改作业我都尽量细心地发现孩子的正确与错误，并从中获得评讲、分析作业的典型题目，以利于加深理解数学知识的灵活性与准确性。
记得上周，我就在批改作业的一次对比中及时发现了一些孩子的与众不同。
但事后我仔细想想，如果没有这分责任心，也许这些与众不同的想法就事于愿违了，那后果不想而知。
其实往往就在我们不经意间，我们忽略了孩子的想法和感受。
用我们的思想代替了孩子独具个性的思考，但就是这次，我突然意识到批改作业的重要性。
这道题带给我的启示是站在孩子的角度想一想问题出现的原因和根源。
例如：在我们教学乘法交换律时，我们的思维习惯局限于
a×b=b×a,但就在那一次，我发现学生对它有了新的解释和发展，他们把积的变化规律也融入了进去。
于是出现了4.6×2.5=2.5×4.6,之外的另一种答案。
4.6×2.5=46×0.25…
我在惊叹之余，我也提醒自己批改作业的学问很多，千万别误会了孩子们的创新思维。
一道题引发的思考
一道题引发的思考对于教师来说每一节课的教学中都蕴藏着无限的生机、无限的创造性，课堂便是我们教师发展的平台、这里是我们梦想的展示、这里是我们人生价值的充分体现！这是一堂本该无趣的练习课，我们一道题一道题的讲解、练习、纠正错误、改正。
当讲到照样子填空时，我出示题目：“看到枫树的叶子红了，我知道秋天来了；——————，我知道秋天来了；——————，我知道秋天来了。
秋天多美呀，我喜欢秋天！”师：看到枫树叶子红了，我知道秋天来了；看到什么，我还知道秋天来了？生：看到菊花开了，我知道秋天来了。
生：看到农民伯伯丰收了，我知道秋天来了。
生：看到早晨小草枝叶上的霜，我知道秋天来了。
生：看到大雁向南飞，我知道秋天来了。
生：……听了学生多姿多彩的答案，我不觉得露出微笑，内心感叹，学生的想象力真是丰富呀！就在这时，站起来的学生却让大家愣住了。
生：赵老师，我觉得不光可以说说看到什么，还可以说说听到什么，知道秋天来了。
师：你能说说看吗？生：听到蟋蟀的歌声，我知道秋天来了。
生：听到农民伯伯的笑声，我知道秋天来了。
真是一石激起千层浪，刚刚平静的教师一下子沸腾了，那么多的小手都举了起来。
生：老师，我还可以说“闻到瓜果的香味，我知道秋天来了。
”生：感到天变冷了，我知道秋天来了。
生：穿上厚厚的毛衣，我知道秋天来了。
生：……上完课后，不仅让我想起了另一个大家都很熟悉的例子：一个语文老师在课堂上问学生：“雪化了以后是什么？”“是水！”大多数学生异口同声地回答，一个学生却站起来说是“春天”。
“雪化了以后是春天”，这是一个多么富于想象和希望的答案呀！孩子们在课堂灵动的发言让我感受了他们的学习潜力，我有理由相信他们是最棒的，他们有能力去主动地发现问题，解决问题，关键是我有时太不相信他们了，孩子们有时的机智远远优于老师。
我们应该用期待，用尊重，用呵护点燃学生学习的热情，诱导学生学习的情感，把教学要求转变为学生学习探索的兴趣所在，那样，我们的语文教学才有价值，素质教育才能体现。
由一道习题现象引发的思考.doc
由一道习题现象引发的思考一现象：在一节数学习题课上，我所讲的题目都是与教材同步的《配套练习册》上的题目，这些练习题按要求课下应该已经完成。
但是上课时发现学生只做了部分填空题、选择题，稍有点儿难度的题目都没有做。
如果您也是处在一线的教育工作者，也您一定经历过这种情况，学生就等着老师去讲，等着老师去“做”。
实际上，从我对学生能力水平的了解，学生中的绝大多数是应该能够做出此题的，但通过举手调查只有两个学生做出了此题。
见到这种情形，我在课堂上再留给学生时间去做，时间过去了十分钟，会做的还是那两个学生，其他学生好像是“列席”课堂一样无动于衷，接着我又对学生说了一些鼓励的话，结果和刚才的反应一样。
部分学生看到老师在“求”他们做题，甚至还露出笑容，好像在说“我们就是不做，就是等你来讲，你又会怎么样呢？”在没有办法的情况下，最后我说了一句违背教师职业道德的话，“凡是做不出来的同学，放学后留在教室内老师陪着你们做”。
话音刚落，课堂气氛马上活跃起来了。
刚才会做那道题的两个同学立刻便被其他学生围了起来，门庭若市，即使“挂不上号”的同学他们之间也开始互相讨论起来了。
时间又过去了五分钟，做出来的同学便“跳到”我的面前，“炫耀”自己的成果，示意该题已经解出来了。
经过我的巡视，只有个别的学生还有一点困难，绝大多数同学都解出了此题。
最后，我还选出一个学生到讲台上，讲解了该题的解题过程。
该生讲解清楚条理，还受到全班同学的一致鼓掌表扬。
本来课下一天的时间都没做出的题目，在老师一句话的要求下，五分钟解决了该问题。
二问题：在素质教育的环境下今天的学生该如何教育国家从我国的实际出发制定了义务教育法，普及义务教育，任何人都没有权利剥夺儿童受教育的权利，人人应当享受到九年制义务教育。
教育者不能体罚和侮辱学生或变相体罚学生，也不能加重学生的课业负担。
制度的出台受到全国各族人民的欢迎。
但是，不知是教育者对制度理解的不透彻，还是学生们抓住国家“赋予”他们的“权力”不放松，在现实的教育环境下，出现了一种怪现象，老师不敢批评学生，不敢对学生布置课下作业，更不敢对学生说错话。
一道课后练习题引发的思考
难 度 或 通 过 交 换 已 知 和 未
。
二 ： 首先 ， 这 道 题 本 身 注 重 对 知
识 的吸 纳 ，各 种 动 物 的 过 冬 方
式 ， 是 阅 读 这 篇 课 文 需 要 提 取 和
，
知 成 分 引 出新 的 问题 ， 通 过 自己 的探 索 多角 度 、 多 层 次 地 去 发 现 问 题 ，并 在 教 师 、 家 长 的 引 导 之 下 有 效 地 解
决 问题 ， 那 么 学 生 必 然 会 消
延 伸 的信 息 ． 但 它 只 属 于 一 般 阅
读 信息 ， 且 孩 子们 在课 前 已经能
从 别 的渠 道 ， 如 参 考 书籍 、 网络 ： 资源 ． 了解 许 多小 动 物们 的过冬 方式 ． 所 以这 道题 不 能指 向本课 ：
－
有 待 商榷 ， 如 《 小 动 物 过 冬 》（ 苏 教 版语 文第 三 册第 六 单元 ） 课 后
的 一 道 练 习 ： “ 动 物 过 冬 有 各 种
方式， 你 还 知道 哪 些 ？给 大 家说
说 。 ” 我 想 尝 试 改 一 改 ． 原 因 有
利用课外作业 ， 像 搭 配 的 规
，
标 、 有 思考 、 有反馈 ， 这 样 才 能 有 应用 。 值得 一 提 的 是 ， 数 学 教
学 中 一 直 强 调 创 设 有 效 的
象 ， 我 们 不 难 发 现 这 样 几 个
现象 ： 基 本 上 是 老 师 提 出 问
题 ． 学 生 很 少 主 动 提 出 问 题 ； 即便 学 生 提 出 问 题 ， 有
数学课堂—— 一道习题引发的思考
数学课堂——一道习题引发的思考在一堂数学课中我安排了几道习题，进行校对时，出现了“意外”。
习题：如图1，四边形ABCD和EFGC是两个边长分别为a、b的正方形，用a、b表示△AGE的面积。
这道习题课前已经布置，很多学生已经完成，我便想简单地校对一下，以便抓紧时间校对下面的题目．我叫学生A回答．学生A很高兴第一个被叫到，眼睛放出光芒，兴奋地说：“延长BA和FE，延长线交于点H．”(我根据学生A的描述画出示意图，如图2)学生A接着说：“这样我把图构成了矩形BGFH，则△AGE的面积可以看成是矩形BGFH和三个直角三角形(即Rt△ABG、Rt△AHE、Rt△EFG)的面积差．各个面积很容易求得．”我心里暗自叫道：“嘿，真有大局观!”并带头给学生A鼓掌．这时我本打算校对下一题，突然，学生B站起来，叫道：“老师，我认为Rt△EFG的面积可以不用求．”我说：“真的?”学生B：“是的，直接求梯BGEH与Rt△ABG、Rt△AHE 的面积差．”真好，省去多余的步骤，使解题过程简洁化．一波未平，一波又起．学生C：“我有一种解法根本不需要添加辅助线．”师：“继续说．”(赞叹学生的空间思维的敏锐性)学生C：“△AGE的面积可以看成是正方形ABCD、正方形EFGC、Rt △ADE面积的和与Rt△ABG、Rt△EFG的面积的差．”这时，全班开始变得活跃起来，很多学生开始尝试寻找其他的方法．学生D：“我来，我的方法更简单(如图3)．延长BA，与EF的反向延长线交于点H，与GE的延长线交于点K，易证△HEK是等腰直角三角形．HK＝HE＝AB＝α，AK＝BH＝b，所以根据△AGK与△AEK的面积的差求得△AGE的面积．”真棒!此时时间已经过去了半节课，可这只是这节课要讲的第一道题呀，突然，我想：这不正是学生自主探索的一个良好的契机吗，放手让学生想吧，后面可能还有更精彩的解法呢！于是，我说：“还有其他的方法吗？”果然，学生E又给出了另一种方法。
独立思考 培养创新能力——一道练习题引发的思考
我 ： ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ００ ００
妹 妹 ：０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
考难度 ， 就把 它稍 作 改变 ， 学 有 余 力 的 同学 来 练 习 。 供
我有 ２ 颗糖 果 ， ０ 妹妹 有 １ ， ４颗 我要 给妹妹 几颗糖 果， 这样
我 和妹 妹 的 糖 果 才会 一样 多 呢 ？
了， 附在 师耳 边 小声 地 说 。 陆 陆 续 续有 孩 子上 来 ， 自己的 本 子 给 老 师 看 ， 小 声 地 和 把 并
师说 出 自己 的解 答 思路 。整 个 过 程 很 安 静 ，没 有 什 么多 余 的 声
友 ， 谁 把 时 间 学 得 最 好 。 （ ） 谁 知 道 ， 针 从 一 个 数 字 走 到 看 １有 时 下 一个 数 字 是 多 长 时 间 ？ （ ） 个 小 朋 友 告诉 我 ， 小 时等 于 多 ２哪 １ 少 分 ？（ ） 会 读 出 电子 钟显 示 的 时 间 吗 ？（ ２ ０ ） ４ 哪 个 小朋 ３你 １ ：５ （） 友 能看 出这 个 钟 面 所 指 的时 间 ？ （ １ ５ ） ５ 谁 能在 钟 面 上 拨 出 １ ：５ （）
圈 圈对 齐 。如 下 ：
让学生开展独立思考 ， 培养 创 新 意识 呢 ？ 者 想 从 日常 教 学 中 的 笔 道练习题谈起 。 ２１ 学生周报小学数学一年级版第 ３ ０ ２年 ９期 有 这 样 一 道 题 ， “ 贝和 欢欢 都做 花 ， 贝做 了 ２ 贝 贝 ０朵 ， 欢 做 了 １ 欢 ４朵 ， 贝贝 给 欢 欢 多 少 朵 ， 人 的花 就 同样 多 了 ？ ” 者 觉 得 这 道 题 有 一 定 的思 两 笔
一道数学中考题引发的思考与感悟作文
一道数学中考题引发的思考与感悟作文“哎呀，这道数学中考题也太难了吧！”我忍不住抱怨起来。
那是一个周末的午后，我正在房间里做着数学练习题。
阳光透过窗户洒在桌子上，可我却完全没有心思享受这温暖。
“姐姐，陪我玩嘛！”弟弟跑过来缠着我。
“哎呀，等会儿啦，我这题还没做完呢！”我头也不抬地说道。
弟弟却不依不饶，“就玩一会儿嘛，一会儿就好。
”我无奈地放下笔，“好吧好吧，那玩什么呀？”弟弟兴奋地说：“我们玩过家家吧！”我哭笑不得，“你都多大了，还玩过家家呀。
”“就要玩就要玩！”弟弟开始撒娇。
没办法，我只好陪着他玩起了过家家。
我当妈妈，他当宝宝。
弟弟假装哇哇大哭，“妈妈，我饿了。
”我学着妈妈的样子说：“宝宝乖，妈妈给你做饭去。
”我拿起一些玩具假装做饭，弟弟在旁边看着，还时不时地捣乱。
玩了一会儿，我又想起了那道没做完的数学题，“哎呀，不行，我还是得去做题。
”弟弟不乐意了，“姐姐，再玩一会儿嘛。
”我哄着他说：“弟弟乖，姐姐把题做完再陪你玩好不好？”弟弟虽然不情愿，但还是点了点头。
我赶紧回到桌子前，继续研究那道数学题。
这道题就像一座大山一样横在我面前，怎么也过不去。
我抓耳挠腮，急得不行。
“怎么这么难呀！”我自言自语道。
这时，妈妈走了进来，“怎么啦，宝贝？”我指了指那道题，“妈妈，这道题我不会做。
”妈妈看了看题，笑着说：“这道题呀，你要换个思路想想。
”说着，妈妈给我讲了起来。
在妈妈的帮助下，我终于找到了解题的方法。
我不禁感慨，就像这道数学中考题一样，生活中也会遇到很多难题。
有时候我们自己怎么也想不明白，但是只要有人稍微指点一下，就会豁然开朗。
这不就像我和弟弟玩过家家一样吗？一个人玩可能会觉得无聊，但是两个人一起玩就会变得有趣多了。
学习也是这样，遇到困难不要只想着自己一个人去解决，可以多和同学、老师、家长交流交流，说不定就能找到新的思路呢。
所以呀，以后遇到难题我可不能再抱怨了，要多想想办法，多和别人交流。
我相信，只要我努力，就没有什么难题是解决不了的！。
由一道练习题所引发的思考
由一道练习题所引发的思考江西省九江市湖口县第二小学周悦我是一位青年教师，今年是我第一次带毕业班——六年级的数学，虽然我是从一年级数学跟班带上来的，但是六年级的很多内容，还是让我这个新手感到有些棘手。
在我们学校六年级有6个班，大家的教学进度都一样，便于交流研讨。
今天我刚教完第三单元第二课时《比例的基本性质》，回到办公室还没坐稳，就听见六（6）班的数学老师在问：“大家看看这道题怎么解？这是我今天布置的一道家庭作业。
”顺着她手指的方向一看，心想：我今天不是也布置了这道题吗？既然这位老师提出来了，肯定是有点难度，我得先想出答案，要不明天会误人子弟的。
题目是这样的：甲数的3/4等于乙数的1/3,求甲数与乙数的比是多少？只听这位老师又问：“学生学过了方程吧，应该可以用方程解，就要设两个未知数，设甲数为X, 乙数为Y,则列方程为3/4 X=1/3 Y”。
我和另一位数学老师就反对说：“现在学生只学解1个未知数的方程，出现2个未知数他们不会解，太深奥了。
”其实我在旁边稿纸上，也是和这位老师列同样的方程：解：设甲数为X, 乙数为Y,则3/4 X=1/3 YX=1/3÷3/4×Y （根据一个因数等于积除以另一个因数）X=4/9 YX÷Y=4/9 （根据因数各部分间的关系）即X ：Y=4 ：9其实我自己虽然解出来了，我都看得有点绕，更何况是小学生呢，怎样做才能让学生听明白呢。
旁边的刘主任一语惊醒我这个梦中人（他也是六年级数学教师，对六年级数学教学有着丰富的经验）：“根据求一个数的几分之几用乘法计算，这是上学期的内容，可以列出关系式——甲数×3/4=乙数×1/3”。
我一拍后脑勺，是呀，列出了关系式，不就可以根据今天学习的“比例的基本性质”解这道题嘛。
比例的基本性质是：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据今天学到的知识，要求甲数与乙数的比，可以这样解：甲数×3/4=乙数×1/3甲数：乙数=1/3 : 3/4(把甲数与3/4看成是比例的外项，它俩的乘积正好等于两内项的乘积，即：乙数与1/3是比例的内项) 甲数：乙数=1/3×4/3甲数：乙数=4 : 9 (化成最简比)这样一来，通俗易懂，学生很容易就听明白了。
一道数学中考题引发的思考与感悟作文
一道数学中考题引发的思考与感悟作文《一道数学中考题引发的思考与感悟》
哎呀呀，提起那道数学中考题，可真是让我印象深刻极了呀！那是在我中考的时候，考场上我可紧张啦。
当我看到那道数学题时，我的大脑瞬间就有点懵了。
那道题就像是一个调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它的解题思路。
我一边咬着笔头，一边在心里嘀咕：“这题咋这么难呢，这出题老师也太狠了吧！”我着急得就像热锅上的蚂蚁，汗水都快冒出来了。
我使劲回想老师讲过的知识点，又在草稿纸上不停地写写画画，可还是没啥头绪。
就在我快要绝望的时候，突然，我好像看到了一点曙光。
我发现这道题好像和我们之前做过的一道练习题有点类似，我赶紧抓住这个线索，一点点地推导。
嘿，你还别说，慢慢地，解题的思路就清晰起来啦。
最后，我终于算出了答案，那一刻，我心里那个高兴呀，就别提了。
这场考试结束后，我就一直在想啊，这道题让我明白了好多。
遇到难题不能慌张，得冷静去思考，要善于发现那些细微的线索，而且呀，平时的学习真得好好下功夫，把知识掌握扎实了，不然在关键时刻就抓瞎啦。
同时呢，
我也体会到了坚持的重要性，要是我当时轻易就放弃了，那可就真答不出来了。
现在回想起来，那道数学中考题就像是我人生路上的一个小挑战，虽然有点难，但也让我收获了好多。
我相信，以后遇到其他的难题，我也一定能像这次一样，勇敢地去面对，去找到解决的办法。
哈哈，这就是那道数学中考题带给我的思考和感悟哟！。
_由一道习题引发的思考
_由一道习题引发的思考课堂是涌动着的生命，“让课堂焕发出生命活力”已成为新课程课堂教学理念的主流。
学生的深思顿悟、灵机一动、节外生枝、疏忽大意等，都可能催生出一个个鲜活的教学资源，为创设智慧的数学课堂带来可能。
因此，课堂教学不再只是教师的“预设”，更多的是学生智慧的灵动和生成。
在学习了点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系的有关内容后，我在课堂上出示了一道练习题。
原题如下：已知：如图1，⊙O的直径AB=2，∠ABC=30°，BC=2√3，D是线段BC的中点。
1.试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由。
2.过点D作DEAC，垂足为E，试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由。
当时本打算花十分钟时间用这道题来巩固一下所学知识，于是叫了个中等水平的学生上台演板，可是那个学生站起来竟说不知道怎么做，我感到有点意外，于是又请了另一名已经举手的同学上台来演绎，想以此来激励一下前面那个同学，结果却是精彩纷呈。
他的第（１）问解答如下：如图2，连结OD、AD，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，又因为D是BC的中点，所以AC=AB= ２，ＯＤ=AB=１，即ＯＤ等于⊙O的半径，点Ｄ在⊙O上。
当时我便问：同意这个同学做法的有哪些同学？教室里顿时便举起了十几个手，但是这时第一个同学站起来了，他说原题中并没有说出点Ｄ在⊙O上，怎么就有∠ADB=90°呢？课堂上出现了一时的沉默，学生们都开始关注和思考起来。
这时我开始提示：其实第二个同学把Ｄ点误当作在⊙O上的点来解题了，这是个很容易犯的错误，出现这种错误的原因：一是先入为主，审题不细，误把某些图形的直观当作条件；二是在证题中不考虑每一步的依据。
为了不会犯这种错误，我们重新画图（如图２），把点Ｄ画到圆外，看看可以怎么解答，请同学们一起思考。
过了会儿，又有一个同学举手示意会做，他的解答如下：设⊙O与ＢＣ相交与点Ｄ"，因为AB是⊙O的直径，所以∠AＤ"B=90°，△ABＤ"是直角三角形，又AB=2，∠ABC=30°，所以AＤ"=AB =1，由勾股定理得BＤ"=√3，又因为D是BC的中点，所以BD= ＢC=√3=BＤ"，所以Ｄ与Ｄ"重合，所以点Ｄ在⊙O上。
积累经验,生成智慧——由一道练习题教学引发的思考
小学 教学研ｊ 艺
专研 题 究
《 学 课 程 标 准 》 修 订 稿 ） 指 数 （ 中
出 ： 数 学 教 学 应 该 是 从 学 生 的 生 活 “
经 验 ， 我 思 考 的 第 一 个 问 题 。 为 是 此 ， 把 题 目改 了 ， 题 后 题 目的 本 我 改
积 累 数 学 活 动 经 验 ， 学 生 的 智 慧 使
嵇，
师 ： 为 他 画 得 正 确 的 请 举 认
３师 ： 能 算 列 出算 式 ， 果你 觉 ． 你 如 得 列式 有 困难 ， 以先 动手 画一 画 。 可 生 ：ｘ ＝ ２ 盆 ） 发 现 学 生 除 了 ３ ４ １（ （ 这 种方法外 ， 没别 的方 法 了 ， 原 有 受
质没变 ， 每边 ８ 旗 成了每边 ３ 但 面 盆 花 ， 字 减 少 了 ， 效 地 降 低 了学 生 数 有
思 考 的难 度 。 ） ２理 解 方 形 意 思 ， 静 地 想 一 想 ． 静 应该如何计算？
图
师 ： 你 的 想 法 用 简 单 的 图 画 把
出来 ， 吗 ？ 好
知 识 迁 移 的影 响 ） 设 计 意 图 ： 样 的 设 计 首 先 唤 这 醒 了学 生 原有 的 生活 经验 ， 生不 学
手。大部分学生举手 ） （
生 １ 老 师 ， 样 画 是 错 的 ， 四 ： 这 他
个 角 上没 摆 花 。
生 ２ 你 刚 才 说 四 个 角 都 要 摆 ： 花 ， 是 他 这 样 角 上 都 没 摆 花 ， 个 可 每
上 旗 ） 一 共 要 插 几 面旗 ？ ，
一
（ 据 学 生 的 回 答 ， 师 补 充 成 根 教
习题引发的思考解析
习题引发的思考解析在教学中我发现这样一个问题，学生在思考问题时脑子经常放不开，跳不出条条框框的束缚，不是围着书本和教师转，就是陷入题海之中，得不到主动发展，长期下去必然造成学生思维的定势状态，这对培养学生的思维能力会带来很大的消极作用。
因此，在教学中要抓住典型性习题，一题多解，一题多变，既能发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，又能培养学生多角度、全方位考虑问题的能力，有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。
下面就是这样一道好题：例：把下列几何体进行分类，并说明理由。
解答此题可以从以下角度进行尝试探索第一从几何体的形状进行分类：柱体：（1）（2）（3）锥体：（4）（6）球体：（5）第二从几何体的截面图进行分类截面有圆形的：（2）（4）（5）截面无圆形的：（1）（3）（6）第三从包围着几何体的面进行分类：包围着几何体的面都是平面的：（1）（3）（6）包围着几何体的面有平面也有曲面的：（2）（4）第四从包围着几何体的面数进行分类：几何体有6个面的：（1）（3）几何体有4个面的：（6）几何体有3个面的：（2）几何体有2个面的：（4）几何体只有1个面的：（5）第五从几何体的着地面进行分类：底面是平面的：（1）（2）（3）（4）（6）底面不是平面的：（5）第六从几何体的滚动情况进行分类：可以向前滚动的是：（2）（5）不能向前滚动的：（1）（3）（4）（6）第七从几何体有无顶点进行分类：有顶点的是：（1）（3）（4）（6）没有顶点的是：（2）（5）第八从几何体的主视图进行分类：主视图是长方形的是：（1）（2）（3）主视图是三角形的是：（4）（6）主视图是圆形的是：（5）通过对这道题的分析，可以得到如下启示：1，要重视双基教学，在这道题中用了几何体的形状，几何体的截面图，几何体的顶点，几何体的主视图，平面与曲面等基础知识，这就需要我们在教学中要狠下功夫，充分利用教材，抓好双基教学，帮助学生打好基础。
2，教学中要研究解题通法，重视一题多解，一解多变。
由一道题目引发的思考
由一道题目引发的思考一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
新课程标准明确指出要鼓励学生解决问题策略的多样化，不同的人在数学上得到不同的发展。
一题多解正是能充分实现这一目的的有效途径。
笔者近日在小学课外辅导资料《开心100》(六年级复习题)和陕西人民教育出版社出版的《小学奥数举一反三》（五年级）看到了同一题。
题目如下:一批图书发给六（1）班，平均每人分得12本；如果只发给女同学，平均每人分得20本；如果只发给男同学，平均每人可分得多少本？对于一个五六年级的小学生来说，有一定的难度。
本人亦做了一定的思考；总结出以下几种方法，仅供参考。
①利用平均数的原理，一批图书分给全班平均每人分得12本，分给女同学平均每人分得20本。
这样女生就多分了20-12=8说明女生人数是男生人数的12÷8=1.5倍。
那么分给男生的书应该是女生的1.5倍，20﹡1.5=30本。
方法评价:此种方法有些学生不易理解。
关键是1、学生对平均数应有深刻理解，2、对于两个数的乘积一定时，一个乘数扩大，另一个乘数就缩小相应的倍数。
②运用最小公倍数的知识。
一批图书分给全班平均每人分得12本；如果只发给女同学，平均每人分得20本。
说明这批图书是12和20的倍数，那么这个数最小是60。
假设就是60本，全班人数60÷12=5人，女生人数60÷20=3人，男生人数5-3=2人，男生每人分的书60÷2=30本方法评价:此种方法容易理解。
对于接受能力较差的可以建议用此方法。
要点是要求学生对公倍数的认识较深刻。
③设置参数。
假设这批图书是n本，男生有(n/12-n/20)=n/30人n÷n/30＝30本④把全书看做单位“1”把全部的书当成一个整体，那么总人数就是书本的1/12，女生就占书本的1/20，所以男生就占1/12-1/20=1/30。
挖掘习题背后的有效价值——由一道小练习题引发的思考
简单的方式， 也是解决问题的一般 ｌ 思维思考。
方式 。 而从生 ２的表述看 ， 他对“ ： 减
Ｊ 生丰富的数学背景下的 ，在思考 、
华罗庚说 ：新 的数学方法 和 讨 论 、 算 过程 中学 生 已经 形成 了 “ 计
去２ ８ 个 ”的运算进行了思维的再 Ｉ 概念， 常常比解决数学问题本身更 Ｊ 种计 算 概念 的雏 形 。同 时 ， 对 这 又
法“６ ８ ４， — －０ ， ５ — ＝ ８ ８ ８ ４ ”他从题 目信 Ｉ ４ 显性体现 。 而有些学生还能用“ × 『 ５ 抓住数据特征 ， 利用乘 法得出“ 两
息 感 知 到首 先 是 “ 法 ” 减 ，然 后 是 ｌ— ” 计 算 ， 就 是 一 种 “ 工 思 Ｉ 八 可 以用二 八 十 六代 替 ， 以就 １来 ４ 这 加 个 所
过程 的再思考 ，我们 可以称之为 个人在数学上都有发展 ， 教学的意 Ｉ 从乘法的角度去思考。当生 ３ 得出
“ 工思维” 加 。最 为可 贵 的 是 ， 师 义就在 于引 导促进学生对知识 的 ｌ 我 可 以直接 用 ‘ 教 “ 五八 四 十 ’来计 又看 到 了“６这 个 数 的特 殊性 ， 理 解 ， 用 数 学 思 考 ， 构 新 的思 Ｉ ５” 它 运 建 算”的方法 ，巧妙利用钝感设疑 ， 可 以看作 是 “ ×８表 示 ７个 ８ ， ７ ， ”再 维结构 。在上述教学中， 计算没有 『 算式 里并 没有 ５ 看来 同学们和 我 “ ，
．
法 。 １ ”’
ｌ 是对感知的信息利用思维进行加
师： 五八四十？真的可以这样 ｌ
３ ・ ４
师 ：那 我们 来做做 这 道 题 ， Ｉ ， 看 工 即思考如何做 ； 三是作 为感 第
由一道习题引发的思考
无法辩驳的反例： 无法辩驳的反例：
如图，AB=CD，∠A=∠C，△AOD与△COB可 能不全等。
结论：当AD与BC不平行时，添加“∠A=∠C” 可以证明△AOD≌△COB；当AD∥BC时，添加 “∠A=∠C”, △AOD与△COB不全等。大家同 意这个说法吗？
图例展示
再思考
当AD与BC不平行时，添加“∠A=∠C”可以证 明△AOD≌△COB；当AD∥BC时，△AOD与△COB 不一定全等。
如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添 加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条 件是 （只需填写一个条 件即可） 解：添加OA=OC ∵AB=CD OA=OC ∴OD=OB 又∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等） ∴△AOD≌△COB（SAS） 添加OD=OB（方法同上）
牛刀小试： 牛刀小试：
Hale Waihona Puke 开动脑筋： 开动脑筋：如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添 加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件 （只需填写一个条件即可） 是 添加“∠A=∠C”，能否得到 △AOD≌△COB呢？请你想一想！
开动脑筋： 开动脑筋：
如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得 △AOD≌△COB，你添加的条件是 （只需填写一个 条件即可） 解：添加∠A=∠C 延长DA与BC交于点E ∵∠DAB=∠BCD ∴∠1=∠2 （等角的补角相等） 在△DCE与△BAE中 ∠E=∠E ∠1=∠2 CD=AB ∴△DCE≌△BAE（AAS） ∴EC=AE DE=BE（全等三角形的对应边相等） ∴AD=BC 又∵∠DAB=∠BCD 此种证明是否“无懈可击” 此种证明是否“无懈可击”？ ∠AOD=∠BOC 从而可以得出△AOD≌BOC（AAS）
到底够不够--由一道习题引发的思考与探索
≥
思考三 ： 假如 以 ８ ０ ０ ｍ ｌ 果 汁 能 够 倒 满
通过计 算 ， 三 只 杯 子 的 总 容 量 为 ９ ３ ２ ． ５ ８ ｍ ｌ ， 因为 ８ ０ ０ ｍ ｌ ＜ ９ ３ ２ ． ５ ８ ｍ ｌ ， 得 出结 论： 明明和客人每人一杯不够 。这个看似
三个杯子这一结论为前提 ， 如果妈妈 冲的
杯够吗” ？如果不够 ， 有悖常理 ， 而这个
题 目本身就来源于生活实 际 ； 如果结论 是 够 了， 将会导致这个问题没有任何 实际意
义； 如果 从 问题 本身去 分析 ， 那么两种 理
解又会 导致完全不 同 的两种 结果 。对 于 此种现状 ， 笔者尝试着从以下几个问题 人 手进行剖析 。 （ １ ）是 问题 的不严 谨导致 理解 的歧 义？站在教师的角度 ， 在遇上这样的困惑 时第一反应是归结于题 目本身 的问题 。 也
果 汁 只有 ６ ０ ０ ｍ ｌ …… ３ ０ ０ ｍ ｌ …… ｌ ｍ ｌ … …
呢？ 按照理解 ， 只要妈妈 冲了果汁（ 也包括
简单 的解 题过程 和明确 的结 论 ，却不止
一
大于三个杯子总容积 的情况 ） ，分给 明明
和客人 每人一杯都 是够 的。那 么问题本 身还有什么意义？ 总结起来 看 ， 问题 “ 明明和 客人每 人
在学 习了圆柱 的体积计算 以后 ，在练习
三 中 编排 了这 样 一 道 题 目 ：明 明 家 里 来
情 况下得 出的结论 。 假设 “ 果汁＞ 总容积 ” ， 妈妈泡的果汁有 １ ０ ０ ０ ｍ ｌ ， 那么问题 １ 的结果
是１ ０ ０ ０ ｍ ｌ 果汁能装满 三个杯子 ， 问题 ２ 则三
不 同吧 。
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让练习题的评价更有灵气
张金玲枝江市董市镇泰洲小学数学专业邮编443214
前段时间，听了一节三年级的两步计算的复习课，课讲得很好，教师研究教材也很透彻，将本单元知识复习的比较扎实、完整。
在练习一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题时，从教师批阅学生的作业中我发现了这样一个问题，学生是这样列式的：
21×5=105（只）
105×5=525（只）
答：5只蜻蜓一个周吃了525只蚊子。
教师在第二步的乘“5”处批了一个大大的圆圈并标了一个“×”。
很明显，教师认为第一步21×5=105（只）是求5只蜻蜓一天吃了多少只蚊子，第二步105×5=525（只）是求一个周吃多少只蚊子，此处不应该乘5应该乘7。
看到这里引起我的思考：一个周他为什么不乘7却乘5呢，他为什么这样做？
学生的做法引起了我的兴趣，带着问题，我首先找到这个学生。
我让学生不要担心说错，当时怎么想的就怎么说给我听。
在我的鼓励下学生说出了他的做法。
学生说21×5=105（只）是求一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子，105×5=525（只）是在求出一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子之后再求5只蜻蜓一个周吃了多少只蚊子。
也就是说学生的想法与老师的想法是不一致的，学生第一步中的乘5才是表示一周的工作时间，第二步中乘5其实表示的是5只蜻蜓，那么教师在学生的第二步的“5”处打“×”就值得商榷了。
一个周是7天呀，学生在求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子时用21×5=105，为什么不乘7却乘5呢？有了前面的交谈，学生的胆量也大了起来：一个周是7天，但我们都是工作5天休息2天，蜻蜓吃蚊子也是工作呀，如果他天天工作，不累吗，我让他跟我们一样也休了两天，所以列式21×5。
听了学生的想法我感觉到学生的做法虽然幼稚但其实还是有他自己的道理。
可不是吗，如果把吃蚊子看成是蜻蜓的工作，一个周按照工作5天计算，那求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子，不就应该是21×5吗？
原来我还在想，学生不乘7却乘5，是不是受5只蜻蜓的干扰不小心马虎写错了，看来我的想法也是与学生的想法是不一致的。
幸亏我及时找到这位同学了解到他的想法，要不也不知道我们的评价会给学生造成什么样的影响，那位学生说不定会对求五只蜻蜓吃多少蚊子该不该乘5也会糊涂啦。
由此看来，课堂上那位老师的评判处理的还是过于急了，其实很多类似的问题教师在评判时如果发现问题并不急于评判，而是把学生叫到面前进行面对面的交流，学生的想法教师也掌握了，教师的评判是不是会更科学效果更好呢？学生学习过程中出现的问题是不是也就迎刃而解了呢？那样，学生的错误是不是也就不会成为问题，纠正起来也会省很多力呢？
像今天这样的问题，我感觉教师如果多想想学生为什么这样做可能处理起来也会更艺术、更有实效。
为了防止类似问题的发生，在平日学习过程中，教师在领学生做题时是不是该多思考这样问题：
1、设计这样的练习题是为了干什么？
2、学生怎样做的，道理是什么？
3、通过练习，我们要提高学生什么？
比如一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题，我认为教师设计这样一道题就是为了考察学生两步计算问题的算法是否清楚、两三位数乘一位数的算
理是否准确。
（这也是我在课后找到任课老师得到证实的。
）学生列式21×5=105（只）105×5=525（只）对于两步计算问题的算法和算理其实是准确的，也就是说做到这里这道题已经达到了教师预设的基本目标，教师对学生的知识目标达成度也有了清楚的了解。
下一步我们就要思考通过这道题还要提高学生什么的问题。
教师在本道题中没有设计成一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓7天吃多少只蚊子其实就是想要提高学生分析问题、解决问题的能力，对于一些审题不认真的学生很可能就会把“一个周”忽视了，比如想成一天，这道题就会变成另外一种情况，以此来检验学生审题是否认真，应该说这种想法是无可厚非的。
但问题在于对“一个周”学生的认识却有不同的见解，教师认为一周7天天经地义，但学生的想法却让我们产生了更多思考。
这个时候教师千万别一个大“×”了事，否则会对学生后来的学习产生不必要的干扰。
遇到这种情况我喜欢在课堂上将出现的问题完整的呈现出来，这毕竟是一个很有想法和生成性的问题，应该让学生自己去评判和感悟。
不妨给这个学生一个充分展示自己想法的机会，让他说出自己这样做的道理，开展学生互评，我相信通过学生互相评价一定会对这道题谈出自己的想法，一定会对这道题的算法及算理有一个清晰明确的理解，也一定会对“一个周”到底算5天还是算7天好，形成自己的准确清晰的结论。
这样既能使这个学生知道自己的问题所在乐于接受，又能很好的提高学生主动参与学习的意识。
同时，通过这道题我们还能提高学生对自然生活常识的了解，明白蜻蜓吃蚊子和我们的工作还是有区别的，从另一角度出发还会扩大学生学习的视野。
说不定学生还会对老师练习题设计提出一些意想不到的合理化建议，从而达到练习设计的真正目的使学生得到真正的提高。
那样，这道练习题设计的价值也会更大。
我想只有这样，教师才能从一个简单的评判者实现学生学习的参与指导者的转变。
也只有这样，我们的数学课堂才会更有味道，我们的数学学习评价才会更有灵气。