指数与指数函数-优秀课件

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0<a<1,则a2-a 1<0,
a x1
a x2 a x1x2 a x1 x2
1
<0,
f(x1)>f(x2). 所以,若 a>0,总有 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上是增函数.
(3)由(2)知 f(x)在[-1,1]上为增函数,
所以 f(x)在[-1,1]上的最小值为
f(-1)=a2-a 1(a-1-a)=-1.
x≥1, x<1,
故选 B.
答案 B
3.f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标为
A.(1,5)
B.(1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析 x-1=0即x=1时,f(x)=5,恒过(1,5)点.
答案 A
4.函数 y= 32x-1-217的定义域为________. 解析 由 32x-1-217≥0 知,32x-1≥3-3, 2x-1≥-3,∴x≥-1.
象的位置与底数大小的关系.
(2)底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函 数 y=ax 与直线 x=1 相交于点(1,a)可知:在 y 轴右侧, 图象从下到上相应的底数由小变到大.
如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<a4<a3<1 <a2<a1.
【变式训练】 2.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象 有两个公共点,则a的取值范围是________. 解析 数形结合.由图可知 0<2a<1, ∴0<a<12.
2.根式的性质 (1)当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数 的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号 n a 表 示. (2)当 n 为偶 数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为
相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号n a表示,负的 n 次方根用符号-n a 表示.正负两个 n 次方根可以合写为
答案 0,12
考点三:指数函数的综合应用
【例 3】已知 f(x)=a2-a 1(ax-a-x)(a>0,a≠1). (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 【解析】 (1)f(x)的定义域为 R, f(-x)=a2-a 1(a-x-ax)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.
【变式训练】
3.已知函数 f(x)=22xx-+11. (1)判断 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (3)求 f(x)的值域; (4)解不等式 f(x)>79. 解析 (1)f(x)的定义域为 R, f(-x)=22--xx-+11=11-+22xx=-f(x), ∴f(x)为奇函数.
指数与指数函数
考 1.理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算
纲 解
性质.
读 2.掌握指数函数的概念、图象和性质
主干知识整合
要点梳理
一、根式 1.根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*),那么这个 数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若 xn=a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子n a叫做 根式 ,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
(2)设 x1,x2∈R,且 x1>x2,

f(x1)-f(x2)=
2 x1 2 x1
1 1
2 x2 2 x2
1 1
22x1 2x2 = 2x1 12x2 1 .
∵x1>x2,∴ 2x1 2x2 >0, 又 2x1 1>0, 2x2 1>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上是增函数.
(2)在条件中已知不等式对任意的t∈R恒成立,可利用 函数的性质,将不等式转化为两函数值之间的关系,进而转 化为关于t的不等式,然后求解.
【规范解答】 (1)∵f(x)是奇函数,且定义域为 R, ∴f(0)=0,即-21++ab=0,解得 b=1, 从而有 f(x)=-2x+21x++a1,(3 分) 又由 f(1)=-f(-1)知-42++a1=--112++a1, 解得 a=2.经检验 a=2 适合题意, ∴所求 a,b 的值为 2,1.(6 分)
【题后总结】 (1)根据 f(x)的奇偶性,构建方程求参 数体现了方程的思想;在构建方程时,利用了特殊值的方 法,在这里要注意的是:有时利用两个特殊值确定的参数, 并不能保证对所有的 x 都成立.所以还要注意检验.
(2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将 f(t2-2t) +f(2t2-k)<0 等价转化为:t2-2t>-2t2+k 恒成立.这个 转化考生易出错.其次,不等式 t2-2t>-2t2+k 恒成立, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2- 2t,t∈R,只要 k 比 3t2-2t 的最小值小即可,而 3t2-2t 的 最小值为-13,所以 k<-13.
(2)设 x1,x2∈R 且 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=a2-a 1 ax1ax1 ax2 ax2
=a2-a 1
a x1 a x2 a x1 x2 a x1 x2
1
.

a>1,则a2-a 1>0,
a x1
a x2 a x1x2 a x1 x2
1
>0,
f(x1)>f(x2);
1
3
1
3
1
1
【例 1】若 x>0,则(2 x 4 + 32 )(2 x 4 - 32 )-4 x 2 (Fra bibliotek- x 2 )
=________.
1
3
1
【自主解答】 原式=(2 x 4 )2-( 32 )2-4 x 2 +4=-23.
【答案】 -23
【规律方法】 加法和减法是一级运算,乘法和除法是二级运算,当引 进分数指数幂后,乘方和开方也可看作同一级运算.利用指 数的运算性质,可将根式与指数幂进行互化运算,同时指数 运算也是研究指数函数图象和性质的基础.
(一)方程思想及转化思想在求参数中的应用
【典例】(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+21x++ab 是奇函数.
(1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.
【审题指导】 (1)求a、b的值,由于在条件中已知函 数f(x)为奇函数,所以在求解方法上,可以考虑奇函数的性质 列方程求解;
(3)由 y=22xx-+11得 2x=y1+-1y, 而 2x>0,∴y1+-1y>0,∴-1<y<1. 即 f(x)的值域为(-1,1). (4)f(x)>79即为22xx-+11>79, ∴2x+1>16,x+1>4,∴x>3. 即不等式 f(x)>79的解集为{x|x>3}.
思想方法应用
(4)正分数指数幂:
m
an
=n
am(a>0,m、n∈N*,且
n
>1);
m
(5)负分数指数幂: a n

1
m
an

1 n am
(a>0,m、
n∈N*且 n>1).
(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意
义.
2.有理数指数幂的性质 (1)aras= ar+s (a>0,r、s∈Q) (2)(ar)s= ars (a>0,r、s∈Q) (3)(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈Q).
考点二:指数函数的图象与性质
【例
2】已知函数
y=
1 3
|x+1|
.
(1)作出函数的图象(简图);
(2)由图象指出其单调区间;
(3)由图象指出当 x 取什么值时 y 有最值,并求出最值.
【自主解答】 (1)解法一 由函数解析式可得
y=13|x+1|=313x+x1+,1,
x≥-1, x<-1.
三、指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
R (0,+∞)
过点(0,1)
当x>0时,y > 1; 性质 x < 0时,0<y<1
当x > 0时,0<y<1; x<0时,y > 1
在(-∞,+∞)上是 增函数
在(-∞,+∞)上是 减函数
核心突破
1.分数指数幂与根式的关系 分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂 进行根式的运算. 2.依据指数函数在同一直角坐标系中的图象比较它们 底数的大小关系 在图象中首先作出直线x=1的图象,将该直线与所有指 数函数的图象的交点向y轴作垂线,其垂足的纵坐标就是相 应指数函数的底数.
又 f(x)≥b 恒成立,∴b≤-1.
【规律方法】 (1)判断函数的奇偶性,先看函数的定义域是否关于原 点对称,再看f(-x)与f(x)之间的关系; (2)在利用指数函数的性质解决相关的综合问题时,要 特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论; (3)解决恒成立问题,一般需通过分离变量,通过转化 为求函数的最值来实现.
其图象由两部分组成:
一部分是:y=13x(x≥0) 向左平移1个单位
y=13x+1(x≥-1);
另一部分是:y=3x(x<0) 向左平移1个单位
y=3x+1(x<-1).
如图所示.
解法二 ①由 y=13|x|可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称,故先作出 y=13x 的图象保留 x≥0 的部分,当 x<0 时,其图象是将 y=13x(x≥0)的图象关于 y 轴对折,从而得出 y=13|x|的图象.
基础自测
1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,
函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是
A.幂函数
B.对数函数
C.指数函数
D.余弦函数
解析 由指数式的运算性质ax+y=ax·ay,知选C.
答案 C
2.函数f(x)=2|x-1|的图象是
解析
2x-1, f(x)=12x-1,
答案 {x|x≥-1}
1
1
5.已知 a 2 + a 2 =3,则
a+a-1=________;a2+a-2=
________.
解析
由已知条件(
a
1 2

a
1 2
)2=9.整理得:a+a-1=7,
又(a+a-1)2=49,因此 a2+a-2=47.
答案 7 47
高频考点突破
考点一:指数幂的化简与求值
±n a(a>0).
(3)(n a)n= a .
(4)当 n 为奇数时,n an= a ;
a,
a≥0,
当 n 为偶数时,n an=|a|= -a, a<0.
(5)负数没有偶次方根.
二、有理数指数幂
1.幂的有关概念
(1)正整数指数幂:an=
a1
•4a2•L4
n个
•3a
(n∈N*);
(2)零指数幂:a0=1(a≠0); 1 (3)负整数指数幂:a-p= a p (a≠0,p∈N*);
②将 y=13|x|向左平移 1 个单位, 即可得 y=13|x+1|的图象,如图所示. (2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)
上是减函数.
(3)由图象知当x=-1时,y有最大值1,无最小值.
【规律方法】 (1)画指数函数 y=ax 的图象,应抓住
三个关键点(1,a)、(0,1)、-1,1a,由此掌握指数函数图
【变式训练】
1.计算下列各式:
(1)(0.027)
2 3
+12275
1 3

2
7 9
0.5

(2) 51+2-( 3-1)0- 9-4 5. 1
125 3 解析 (1)原式=(0.3)2+ 27 -
25 9
=1900+53-53=1090.
(2)原式= 5-2-1- 5-22
=( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
(2)由(1)知 f(x)=-2x+21x++21=-12+2x+1 1, 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数, 又∵f(x)是奇函数, ∴不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k),(9 分) 由 f(x)在区间 R 上为减函数得: t2-2t>-2t2+k 对于一切 t∈R 恒成立, 即 3t2-2t-k>0, ∴Δ=4+12k<0,解得 k<-13.(12 分)
3.等式np amp=n am成立的条件 上面等式成立的条件是 a≥0. 4.函数 y=ax、y=|ax|、y=a|x|(a>0,a≠1)三者之间的 关系 函数 y=ax 与 y=|ax|是同一个函数的不同表现形式,函数 y=a|x|与 y=ax 不同,前者是一个偶函数,其图象关于 y 轴对 称,当 x≥0 时两函数图象相同.
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