指数与指数函数-优秀课件

答案 {x|x≥－1}
1
1
5．已知 a 2 ＋ a 2 ＝3，则
a＋a－1＝________；a2＋a－2＝
________.
解析
由已知条件(
a
1 2
＋
a
1 2
)2＝9.整理得：a＋a－1＝7，
又(a＋a－1)2＝49，因此 a2＋a－2＝47.
答案 7 47
高频考点突破
考点一：指数幂的化简与求值
基础自测
1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，
函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
解析 由指数式的运算性质ax＋y＝ax·ay，知选C.
答案 C
2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是
解析
2x－1， f(x)＝12x－1，
答案 0，12
考点三：指数函数的综合应用
【例 3】已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a＞0，a≠1)． (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求 b 的取值范围． 【解析】 (1)f(x)的定义域为 R， f(－x)＝a2－a 1(a－x－ax)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
(2)设 x1，x2∈R，且 x1＞x2，
则
f(x1)－f(x2)＝
2 x1 2 x1
1 1
2 x2 2 x2
1 1
22x1 2x2 ＝ 2x1 12x2 1 .
∵x1＞x2，∴ 2x1 2x2 ＞0， 又 2x1 1＞0, 2x2 1＞0， ∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在 R 上是增函数．
若
0＜a＜1，则a2－a 1＜0，
a x1
a x2 a x1x2 a x1 x2
1
＜0，
f(x1)＞f(x2)． 所以，若 a＞0，总有 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在 R 上是增函数．
(3)由(2)知 f(x)在[－1,1]上为增函数，
所以 f(x)在[－1,1]上的最小值为
f(－1)＝a2－a 1(a－1－a)＝－1.
【题后总结】 (1)根据 f(x)的奇偶性，构建方程求参 数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方 法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数， 并不能保证对所有的 x 都成立．所以还要注意检验．
(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将 f(t2－2t) ＋f(2t2－k)＜0 等价转化为：t2－2t＞－2t2＋k 恒成立．这个 转化考生易出错．其次，不等式 t2－2t＞－2t2＋k 恒成立， 即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k＞0，也可以这样做：k＜3t2－ 2t，t∈R，只要 k 比 3t2－2t 的最小值小即可，而 3t2－2t 的 最小值为－13，所以 k＜－13.
②将 y＝13|x|向左平移 1 个单位， 即可得 y＝13|x＋1|的图象，如图所示． (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)
上是减函数．
(3)由图象知当x＝－1时，y有最大值1，无最小值．
【规律方法】 (1)画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住
三个关键点(1，a)、(0,1)、－1，1a，由此掌握指数函数图
1
3
1
3
1
1
【例 1】若 x＞0，则(2 x 4 ＋ 32 )(2 x 4 － 32 )－4 x 2 (x－ x 2 )
＝________.
1
3
1
【自主解答】 原式＝(2 x 4 )2－( 32 )2－4 x 2 ＋4＝－23.
【答案】 －23
【规律方法】 加法和减法是一级运算，乘法和除法是二级运算，当引 进分数指数幂后，乘方和开方也可看作同一级运算．利用指 数的运算性质，可将根式与指数幂进行互化运算，同时指数 运算也是研究指数函数图象和性质的基础．
x≥1， x＜1，
故选 B.
答案 B
3．f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标为
A．(1,5)
B．(1,4)
C．(0,4)
D．(4,0)
解析 x－1＝0即x＝1时，f(x)＝5，恒过(1,5)点．
答案 A
4．函数 y＝ 32x－1－217的定义域为________． 解析 由 32x－1－217≥0 知，32x－1≥3－3， 2x－1≥－3，∴x≥－1.
【变式训练】
3．已知函数 f(x)＝22xx－＋11. (1)判断 f(x)的奇偶性，并加以证明； (2)判断 f(x)的单调性，并加以证明； (3)求 f(x)的值域； (4)解不等式 f(x)＞79. 解析 (1)f(x)的定义域为 R， f(－x)＝22－－xx－＋11＝11－＋22xx＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
其图象由两部分组成：
一部分是：y＝13x(x≥0) 向左平移1个单位
y＝13x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x＜0) 向左平移1个单位
y＝3x＋1(x＜－1)．
如图所示．
解法二 ①由 y＝13|x|可知函数是偶函数，其图象关于 y 轴对称，故先作出 y＝13x 的图象保留 x≥0 的部分，当 x＜0 时，其图象是将 y＝13x(x≥0)的图象关于 y 轴对折，从而得出 y＝13|x|的图象．
3．等式np amp＝n am成立的条件 上面等式成立的条件是 a≥0. 4．函数 y＝ax、y＝|ax|、y＝a|x|(a＞0，a≠1)三者之间的 关系 函数 y＝ax 与 y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式，函数 y＝a|x|与 y＝ax 不同，前者是一个偶函数，其图象关于 y 轴对 称，当 x≥0 时两函数图象相同．
(2)设 x1，x2∈R 且 x1＞x2， 则 f(x1)－f(x2)＝a2－a 1 ax1ax1 ax2 ax2
＝a2－a 1
a x1 a x2 a x1 x2 a x1 x2
1
.
若
a＞1，则a2－a 1＞0，
a x1
a x2 a x1x2 a x1 x2
1
＞0，
f(x1)＞f(x2)；
(2)由(1)知 f(x)＝－2x＋21x＋＋21＝－12＋2x＋1 1， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数， 又∵f(x)是奇函数， ∴不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 等价于 f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)，(9 分) 由 f(x)在区间 R 上为减函数得： t2－2t＞－2t2＋k 对于一切 t∈R 恒成立， 即 3t2－2t－k＞0， ∴Δ＝4＋12k＜0，解得 k＜－13.(12 分)
(4)正分数指数幂：
m
an
＝n
am(a＞0，m、n∈N*，且
n
＞1)；
m
(5)负分数指数幂： a n
＝
1
m
an
＝
1 n am
(a＞0，m、
n∈N*且 n＞1)．
(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意
义．
2．有理数指数幂的性质 (1)aras＝ ar＋s (a＞0，r、s∈Q) (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r、s∈Q) (3)(ab)r＝arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
三、指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域
R (0，＋∞)
过点(0,1)
当x＞0时，y ＞ 1； 性质 x ＜ 0时，0＜y＜1
当x ＞ 0时，0＜y＜1； x＜0时，y ＞ 1
在(－∞，＋∞)上是 增函数
在(－∞，＋∞)上是 减函数
核心突破
1．分数指数幂与根式的关系 分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂 进行根式的运算． 2．依据指数函数在同一直角坐标系中的图象比较它们 底数的大小关系 在图象中首先作出直线x＝1的图象，将该直线与所有指 数函数的图象的交点向y轴作垂线，其垂足的纵坐标就是相 应指数函数的底数．
【变式训练】
1．计算下列各式：
(1)(0.027)
2 3
＋12275
1 3
－
2
7 9
0.5
；
(2) 51＋2－( 3－1)0－ 9－4 5. 1
125 3 解析 (1)原式＝(0.3)2＋ 27 －
25 9
＝1900＋53－53＝1090.
(2)原式＝ 5－2－1－ 5－22
＝( 5－2)－1－( 5－2)＝－1.
(2)在条件中已知不等式对任意的t∈R恒成立，可利用 函数的性质，将不等式转化为两函数值之间的关系，进而转 化为关于t的不等式，然后求解．
【规范解答】 (1)∵f(x)是奇函数，且定义域为 R， ∴f(0)＝0，即－21＋＋ab＝0，解得 b＝1， 从而有 f(x)＝－2x＋21x＋＋a1，(3 分) 又由 f(1)＝－f(－1)知－42＋＋a1＝－－112＋＋a1， 解得 a＝2.经检验 a＝2 适合题意， ∴所求 a，b 的值为 2,1.(6 分)
又 f(x)≥b 恒成立，∴b≤－1.
【规律方法】 (1)判断函数的奇偶性，先看函数的定义域是否关于原 点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系； (2)在利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要 特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论； (3)解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化 为求函数的最值来实现．
指数与指数函数
考 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算
纲 解
性质．
读 2.掌握指数函数的概念、图象和性质
主干知识整合
要点梳理
一、根式 1．根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n＞1 且 n∈N*)，那么这个 数叫做 a 的 n 次方根．也就是，若 xn＝a ，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N*.式子n a叫做 根式 ，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(一)方程思想及转化思想在求参数中的应用
【典例】(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋21x＋＋ab 是奇函数．
(1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求 k 的取值范围．
【审题指导】 (1)求a、b的值，由于在条件中已知函 数f(x)为奇函数，所以在求解方法上，可以考虑奇函数的性质 列方程求解；
考点二：指数函数的图象与性质
【例
2】已知函数
y＝
1 3
|x+1|
.
(1)作出函数的图象(简图)；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当 x 取什么值时 y 有最值，并求出最值．
【自主解答】 (1)解法一 由函数解析式可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y＝13|x＋1|＝313x＋x1＋，1，
x≥－1， x＜－1.
象的位置与底数大小的关系．
(2)底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函 数 y＝ax 与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变到大．
如图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1 ＜a2＜a1.
【变式训练】 2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象 有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析 数形结合．由图可知 0＜2a＜1， ∴0＜a＜12.
(3)由 y＝22xx－＋11得 2x＝y1＋－1y， 而 2x＞0，∴y1＋－1y＞0，∴－1＜y＜1. 即 f(x)的值域为(－1,1)． (4)f(x)＞79即为22xx－＋11＞79， ∴2x＋1＞16，x＋1＞4，∴x＞3. 即不等式 f(x)＞79的解集为{x|x＞3}．
思想方法应用
±n a(a＞0)．
(3)(n a)n＝ a .
(4)当 n 为奇数时，n an＝ a ；
a，
a≥0，
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝ －a， a＜0.
(5)负数没有偶次方根．
二、有理数指数幂
1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂：an＝
a1
•4a2•L4
n个
•3a
(n∈N*)；
(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)； 1 (3)负整数指数幂：a－p＝ a p (a≠0，p∈N*)；
2．根式的性质 (1)当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号 n a 表 示． (2)当 n 为偶 数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为
相反数，这时，正数的正的 n 次方根用符号n a表示，负的 n 次方根用符号－n a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为