北京理工大学数学专业一般拓扑学期末试题(MTH17083)
北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH
课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ⊆上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α∉，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。
二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ， 证明：（1）{}k x 收敛于*0x =； （2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。
三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。
（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ∇Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ∀∈，()()f x f y L x y ∇-∇≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ∇=-∇⋅，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=∇<∞∑；（2）若0δ∃>，使得k ∀，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞∇=。
五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ∀=L ，()()10Tk k f xf x +∇∇=。
六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。
北京理工大学数学专业应用随机过程期末试题(MTH17096)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级《应用随机过程》期末试题A 卷一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。
二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。
三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（1）若初始分布为11,,0,0,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，1001,1,2,,1i i i a i a ∞-=<<==∑ 。
（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。
五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。
令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。
（1）写出()X t 的Q 矩阵；（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。
六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。
拓扑期末试题及答案
拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念？A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案：B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素？A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案：A. 集合，B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集？A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案：A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域，则称该空间满足：A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案：A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑？A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案：C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中，_________只有一个子集，即空集和整个集合本身。
答案：极大连通子集2. 设X是一个度量空间，如果序列{an}在X中收敛到点x，则它的任意一个子列也在X中收敛到点x，这个定理称为_________定理。
答案：Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a)，则称f是一个_________映射。
答案：连续映射4. 在一个度量空间中，若集合E能被包含在一列开集内，即E⊆∪(n=1)∞O(n)，则E称为_________集。
答案：可分集5. 在度量空间中，_________是指个别的点被聚集成簇，而某个区域内不能含有过多的点。
答案：Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集，其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T，计算X中元素x=1的极限点。
解答：首先，极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。
对于x=1来说，我们可以构造一个序列{a_n}，其中a_n = 1+1/n。
（完整word版）北京理工大学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）
（完整word版）北京理⼯⼤学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）北京理⼯⼤学2012-2013学年第⼀学期2010级泛函分析试题（A 卷）⼀、（10分）设T 是赋范线性空间X 到⾃⾝的线性映射。
证明以下三条等价：（1）T 连续；（2）T 在零点连续；（3）T 有界。
⼆、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明：（1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →；（2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性⼦空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的⼦集时充分性不成⽴，试举反例五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈，令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ?。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性⽆关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性⼦空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。
代数拓扑期末考试题及答案
代数拓扑期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是代数拓扑中的基本概念？A. 同伦B. 同胚C. 同构D. 同调答案：C2. 同调群是代数拓扑中研究空间的哪个性质的工具？A. 连通性B. 边界性C. 维度D. 形状答案：D3. 以下哪个空间的同调群是平凡的？A. 圆环面B. 球面C. 莫比乌斯带D. 克莱因瓶答案：B4. 代数拓扑中的单纯复形是由什么构成的？A. 点B. 线段C. 多面体D. 所有上述答案：D5. 以下哪个定理不是代数拓扑中的定理？A. 约旦曲线定理B. 约旦分离定理C. 布劳威尔不动点定理D. 泊松不动点定理答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 解释什么是同伦和同胚，并给出它们之间的区别。
答案：同伦是指两个连续映射在某个空间上可以连续变形为彼此，而同胚是指两个拓扑空间之间存在一个连续的双射，其逆映射也是连续的。
同伦是映射之间的性质，而同胚是空间之间的性质。
2. 简述单纯复形的定义及其在代数拓扑中的应用。
答案：单纯复形是由单纯形通过面与面之间的粘合构成的，它在代数拓扑中用于构造代数对象，如单纯同调群，来研究空间的拓扑性质。
3. 什么是同调群？它如何帮助我们理解空间的拓扑结构？答案：同调群是代数拓扑中用来描述空间的洞和连通性的一种代数结构。
它通过考虑空间中循环的线性组合来捕捉空间的某些拓扑特征。
4. 解释单纯同调群和奇异同调群的区别。
答案：单纯同调群是基于单纯复形的代数结构，而奇异同调群是基于奇异链复形的代数结构。
奇异同调群通常更易于计算，且在代数拓扑中更为常用。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算二维球面的零阶和一阶同调群。
答案：对于二维球面S^2，其零阶同调群H_0(S^2)是Z（整数加群），表示连通性；一阶同调群H_1(S^2)是0，表示没有洞。
2. 假设有一个由两个圆环面通过它们的边界粘合而成的空间，计算其一阶同调群。
答案：设两个圆环面分别为T1和T2，粘合后的空间记为X。
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A 卷）一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。
证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。
二、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭⎰。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈£。
【数学】北京理工大学数学专业数学析试题MTHMTH
【关键字】数学课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.11.32013级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。
求证：，其中和分别表示函数和沿S 外法线方向的方向导数。
2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和D’Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。
3.判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）4.设。
又设广义极限存在。
求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。
5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。
6.设收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。
7.设，且有极限。
求证：数列收敛，且。
8.设存在，又设绝对收敛。
求证：。
课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.112013级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。
2、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。
三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。
四、（10分）设，求证：收敛。
五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。
六、（10分）设。
（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。
七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。
北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH
2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级 学号 姓名 成绩一、（25分）设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。
取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数。
二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
求线性变换A 的Jordan 标准形。
三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。
（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。
（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
班级 学号 姓名 成绩一、（15分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。
北京理工大学数学专业一般拓扑学期末试题(MTH17083)
课程编号：MTH17083 北京理工大学2015-2016学年第二学期2013级一般拓扑学A 卷一、选择题（15分）1.已知{},,,,X a b c d e =，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。
①{}{}{}{},,,,,,,T X a a b a c e φ=②{}{}{}{},,,,,,,,,,,T X a b c a b d a b c e φ=③{}{}{},,,,T X a a b φ= ④{}{}{}{}{}{},,,,,,T X a b c d e φ= 2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）①平庸性 ②连通性 ③离散性 ④第一可数性公理3.设{}{}{}1,2,3,,,1,3X T X φ==，则(),X T 是（ ）①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对4.下列叙述中正确的个数为（ ） ①1 ②2 ③3 ④4（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的 （Ⅱ）{}0- 是连通的 （Ⅲ）(){}20,0- 是连通的 （Ⅳ）2 和 同胚5.拓扑空间X 的任何一个有限集都是（ ）①闭集 ②紧致子集 ③非紧致子集 ④开集二、判断题（15分）1.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。
2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。
3.设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭集A,B ，使得,A B A B X φ== 。
4.具有可数基的正则空间是正规空间。
5.在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。
三、（30分）设X 为一个集合，a X ∈，令{}{},c X G G a G τφ=∉ 为有限集或。
试证明（1）(),X τ为一个拓扑空间；（2）(),X τ为T 2拓扑空间；（3）(),X τ是否为A 1空间？试分别对X 是有限集，可数集情况进行讨论。
四、（10分）设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，Y X ⊆。
证明：如果A Y A ⊇⊇，则Y 也是X 的一个紧致子集。
最新北京理工大学数学专业模糊数学期末试题(MTH17077)
课程编号：MTH17077 北京理工大学2013-2014学年第二学期2011级模糊数学期末试题（本卷推断为2011级试题）一、（15分）设论域为实数集，(),A B F ∈，()(),011,122,12,3,230,0,x x x x A x x x B x x x ≤≤-≤≤⎧⎧⎪⎪=-≤≤=-≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它，（1）写出0.60.7,A A ∙；（2）求,c AB A 的隶属函数；（3）求A 与B 的内积，外积，格贴近度。
二、（10分）设H 是实数集R 上的集合套，已知()(),0,1H λλ⎡=∈⎣，令()[]0,1A H λλλ∈=。
（1）求ker ,A SuppA ；（2）求A 的隶属函数()A x 。
三、（10分）设余三角范式S 的表达式为(),S a b a b ab =+-，求与S 对偶的三角范式T 的表达式(),T a b 。
四、（15分）已知{}123456,,,,,X x x x x x x =，R 是X 上的模糊关系。
110.70.40.60.60.610.60.40.60.60.70.710.40.60.60.60.60.610.60.60.610.60.410.60.60.70.60.40.61R ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （1）判断R 是否是模糊拟序矩阵，说明理由；（2）依据R 对X 进行分类（要求写出对应各阈值λ的分类以及类间偏序关系）。
五、（10分）设{}{}1231234,,,,,,X x x x Y y y y y ==，R 是X 到Y 的模糊关系，0.70.510.90.20.40.60.810.20.60R ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
（1）求R 在X 中的投影X R ，R 在3x 处的截影3x R ；（2）设R T 为R 诱导的模糊变换，{}23,A x x =，求()R T A 。
六、（15分）设论域为实数集R ，已知()()()2,,,x f x x A F A x e x -=∈=∈。
点集拓扑讲义期末复习题
一、证明下列是否为拓扑1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集}满足①全集、空集包含于Tf②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。
若不是，（A∩B）′=A′∪B′，A∪B∈T③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。
显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。
设T2≠空集。
任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。
所以为拓扑。
2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集}3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X}二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。
求A在Y、R中的闭包、内部。
Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2）R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2）三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。
若A包含于Y则A为X中闭集。
Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。
四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。
2、A∪B= A∪B。
3、∪Aa包含∪Aa。
1、五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。
七、1、f:X Y连续。
2、任意B∈Y闭，f-1（B）闭。
3、任意A包含于X，f（A）包含于f（A）。
4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。
5、任意B包含于Y，f-1（B°）包含于（f-1（B））°证明1~5等价。
八、连续的满的闭映射为商映射。
九、商映射可以既不为开映射又不为闭映射。
十、连通子集在连续映射下的像是联通的。
十一、连通子集的闭包为连通子集。
道路连通则连通,而且R^n中连通就是道路连通.A的闭包是对的,因为任意开覆盖有有限子覆盖,闭包的点可以用无穷点列逼近,自然可以每个点取个领域,组成开覆盖.十二、设A、B为（X,T）的紧致子集，则A∪B为紧致子集。
拓扑期末考试题及答案
拓扑期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 拓扑空间中的开集具有以下哪些性质？A. 空集和整个空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的并集是开集D. 所有选项都正确答案：D2. 在度量空间中，若集合A是闭集，则其补集是：A. 闭集B. 开集C. 有限集D. 无限集答案：B3. 以下哪个是连续映射的定义？A. 映射的逆像包含所有开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含所有闭集D. 映射的逆像包含所有有限集答案：A4. 拓扑空间中的紧性意味着：A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是局部紧的答案：A5. 什么是紧空间？A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是局部紧的答案：A6. 在拓扑空间中，连续函数的原像是：A. 开集B. 闭集C. 紧集D. 可数集答案：B7. 什么是连通空间？A. 空间不能被两个非空开集分开B. 空间中任意两点都可以通过一条连续曲线连接C. 空间中任意两点都可以通过一条直线段连接D. 空间中任意两点都可以通过一条曲线连接答案：A8. 什么是局部连通空间？A. 空间中任意点都有一个邻域，该邻域是连通的B. 空间中任意点都有一个邻域，该邻域是紧的C. 空间中任意点都有一个邻域，该邻域是开的D. 空间中任意点都有一个邻域，该邻域是闭的答案：A9. 什么是分离空间？A. 空间中任意两点都可以通过不同的开集分开B. 空间中任意两点都可以通过相同的开集分开C. 空间中任意两点都可以通过不同的闭集分开D. 空间中任意两点都可以通过相同的闭集分开答案：A10. 什么是完备空间？A. 空间中任意序列都有收敛子序列B. 空间中任意序列都是柯西序列C. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是邻域系统，并给出邻域系统的基本性质。
上学期拓扑学考试试卷及答案
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=TB. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=TC. {,,{},{,}}X a a b φ=TD. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43、在实数空间中，整数集Z 的内部Z o 是（ ）A. φB. ZC. R -ZD. R4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）A. 若A φ=,则d A φ=B. 若0{}A x =,则d A X =C. 若A={12,x x },则d A X A =-D. 若12{,}A x x =,则d A A =5、平庸空间的任一非空真子集为( )A. 开集B. 闭集C. 既开又闭D. 非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、2 A 空间2、1T 空间：3、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ）4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )四、证明题（共50分）1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明:g f X Z →o 也是连续映射。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案一、选择题（共20题，每题2分，共40分）1. 拓扑学的基本研究对象是：A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案：D2. 拓扑学中的同胚关系是指：A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案：C3. 拓扑学中的紧集是指：A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案：A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量：A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案：D5. 拓扑学中的连通性是指：A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案：A6. 拓扑空间中的完备性是指：A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案：D7. 拓扑学中的邻域是指：A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案：A8. 拓扑学中的连续映射是指：A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案：A9. 拓扑学中的嵌入是指：A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案：A10. 拓扑学中的同伦是指：A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案：B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指：A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案：A12. 拓扑学中的同调是指：A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案：D13. 拓扑学中的拓扑原则是：A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案：D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指：A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案：C15. 拓扑学中的同调群是指：A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案：A16. 拓扑学中的拓扑分类是指：A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案：A17. 拓扑学中的拓扑基是指：A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案：D18. 拓扑学中的拓扑核是指：A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案：A19. 拓扑学中的四色定理是指：A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同且不重叠答案：D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是：A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案：D二、填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 拓扑学最早由________ 提出。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案拓扑学是一门研究空间性质的数学分支，它关注的是空间中的对象在连续变换下保持不变的性质。
以下是一份模拟的拓扑学期末考试题及答案：# 拓扑学期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 空集和全空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的交集是开集D. 任意两个集合的并集是开集答案：D2. 拓扑空间中的连续映射是指：A. 映射的逆像总是开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像总是交集D. 映射的逆像总是并集答案：A3. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本概念？A. 邻域B. 极限点C. 稠密性D. 线性无关答案：D二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是紧致性，并给出一个紧致空间的例子。
答案：紧致性是拓扑空间中的一种性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
一个典型的紧致空间的例子是闭区间 [0, 1]，它在实数线上的欧几里得拓扑中是紧致的。
2. 解释什么是连通性，并给出一个连通空间的例子。
答案：连通性是指拓扑空间不能被分为两个非空的分离的开子集。
实数线上的整个空间 R 就是一个连通空间，因为它不能被分为两个不相交的开子集。
3. 什么是同胚映射？请给出一个例子。
答案：同胚映射是一种特殊的连续双射映射，它和它的逆映射都是连续的。
一个典型的同胚映射的例子是单位圆盘与单位球面的同胚映射，它们在拓扑上是相同的。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个拓扑空间 X，证明如果 X 是紧致的，那么它的任意子空间也是紧致的。
答案：假设 X 是紧致的，我们需要证明 X 的任意子空间 Y 也是紧致的。
考虑 Y 的任意开覆盖{U_i ∩ Y}，其中 {U_i} 是 X 的开覆盖。
由于 X 是紧致的，存在有限个 U_i1, U_i2, ..., U_in 使得它们的并集覆盖了 X。
显然，这些 U_i 的交集覆盖了 Y，因此 Y 是紧致的。
北京理工大学数学专业离散数学期末试题
(完整word版)北京理工大学数学专业离散数学期末试题(MTH17068,MTH17175)亲爱的读者：本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。
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最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~课程编号：MTH17068 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级离散数学试题A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列不是命题的是A.7能被3整除B.5是素数当且仅当太阳从西边升起C.x+7<0D.北京理工大学位于北京市西城区2.设p ：王平努力学习，q ：王平取得好成绩。
命题“除非王平努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为A.p q →B.p q ⌝→C.q p →D.q p ⌝→3.下列4个推理定律中正确的是A.A A B ⇒∨（附加律）B.()A B A B ∨∧⌝⇒（析取三段论）C.()A B A B →∧⇒（假言推理）D.()A B B A →∧⌝⇒（拒取式） 4.设解释I 如下：个体域{}()()()()1,2,1,12,20,1,22,11D F F F F =====。
在此解释下，下列各式真值为1的是A.(),x yF x y ∀∃B.(),x yF x y ∃∀C.(),x yF x y ∀∀D.(),x yF x y ⌝∃∃ 5.下列4个命题为真的是 A.Φ∈Φ B.{}a Φ∈ C.{}{}Φ∈ΦD.Φ⊆Φ6.设{},,A a b c =上的二元关系{},,,,,R a a b b a c =<><><>，则关系R 的对称闭包()s R 为A.A R IB.RC.{},R c a <>D.A R I7.设{},,A a b c =，则下列是A 的划分的是A.{}{}{},,b c cB.{}{}{},,,a b a cC.{}{},,a b cD.{}{}{},,a b c8.下列编码是前缀码的是A.{1,11,101}B.{1,001,0011}C.{1,01,001,000}D.{0,00,000}9.下列图既是Euler 图又是Hamilton 图的是 A.9K B.10K C.2,3KD.3,3K10.下列图一定是平面图的是A.5KB.,,9,22G V E V E =<>==C.3,3KD.,,10,8G V E V E =<>==二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若对命题P 赋值1，对命题Q 赋值0，则命题P Q ↔的真值为_______________。
点集拓扑学期末考试练习题(含答案)
点集拓扑学期末考试一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明：若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾，所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明：若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
点集拓扑期末试卷.docx
得分阅卷人 ------ 、单项选择题（每小题3分，共30分）1、设X={aM ，下列集族中，X 上的拓扑是 .................... （②）・① T ={X,0,⑷,{a.b},{c}}② T ={X,0,{a},{d,纠,{a,c}} ③ T ={X,0,{&},{b},{a,c}}④ T ={X,0,{&},{b},{c}}2、 已知 X = {a,b^d},拓扑T={X,0,{°}},则面二 ................. （ ④ ..................................................... ）①0 ②X ③{b} ④{b,c,〃}3、 在实数空间中，有理数集Q 的边界d （Q ）是 .............. （④ ）①0②Q ③R_Q ④R4、 在实数空间中，区间[0,1）的内部是 ................... （④ ）① 0 ②[0,1] ③{0,1} ④（0,1）5、 设X 是一个拓扑空间，A,B 是X 的子集，则下列关系中错误的是（③）① d （AuB ） = d （A ）ud （B ） ② AuB = AuB ③ d （4cB ）二d （A ）cd （B ） ④ A =6、 离散空间的任一子集为 ................................ （③）①开集 ②闭集 ③即开又闭④非开非闭7、设X = X]XX2X ・・・xX6是拓扑空间X「X2,…,Xe 的积空间.片是X 到£的投射，则呂是 ..................................................... （④ ....................................................... ）①单射②连续的单射 ③满的连续闭映射④满的连续开映射8、在实数空间/?中，下列集合是开集的是 ................. （ ................................................... ④ ）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z'9、设X = {1,2,3},T={0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑,A = {2,3}, ......................................... （ ②）② T 二{0,A,{2},{3}}点集拓扑试题样卷A—■二三四总分则X 的子空间A 的拓扑为 ① T 二{0,{3},{2,3}} ③ T ={0,X,{2},{3},{2,3}}得分阅卷人③3 ④4二、填空题（每小题4分，共20分）（ ② ）①1 ②2④ T ={0,X,⑶}10、设X = {a,b,c},拓扑T ={X,0,{a},{b,c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为1、设X={a,b}f则X的平庸拓扑为_T ={X,0} _________2、每一个球形的邻域都是开集3、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间4、若任意让1个拓扑空间X],X2,…,X”，都具有性质P ,则积空间X] x X? x…x X”也具有性质P，则性质P称为有限可积性5、/:X T Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射/而言的商拓扑，则称f是一个商映射得分阅卷人---------------- 三、名词解释（每小题4分，共20分）1、同胚映射：设X和丫是两个拓扑空间.如果广X T F是一个一一映射，并且/和厂：Y T X都是连续映射，则称/是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间3、拓扑4、导集5、度量得分阅卷人-------------- 四、证明题(每小题6分，共30分)2、设/: X t F是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则/(X)是丫的一个连通子集.证明：如果/(X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集4,B使得f(X) = AuB................................................................................ 3 分于是广是X的非空子集，并且：(/■* (A)c.厂(B)) u (/T(B)C/T(A))u (/-1 (A) c 厂⑻2 (厂(B) c=/T ((Ac 歹2(方c 3)) = 0所以广匕),广SB)是X的非空隔离子集此外，f-\A)uf-\B) = f-\AuB) =/•1(/(X)) = X ,这说明X 不连通,矛盾•从而/(X)是Y的一个连通子集.4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明：若X满足第一可数公理，则在xe X处，有一个可数的邻域基，设为V •「因为X是可数补空间，因此对X,y^x,X-{y}是兀的一个开邻域，从而3V v eV v,使得叫uX —{刃.于是{y}uV〕， ......................................... 3分由上面的讨论我们知道：x — {x}= U{y}u u v/yeX—{x} )wX-{"因为x-{x}是一个不可数集，而U匕:是一个可数集，矛盾.WX-{x}从而X不满足第一可数性公理.3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和〃是X的两个无交的开集使得Yu AuB,则或者Yu A,或者YuB・证明：因为〃是X的开集，从而AnY.BnY是子空间丫的开集.又因Y <zAuB中，故Y = (AnY)u(Br>Y)由于Y是X的连通子集，则AnY^BnY中必有一个是空集.若BcY =①,则y c A ;若AcY = O，则YuB。
《拓扑学》课程考试试题
《拓扑学》课程考试试题学年第学期班级
时量：100分钟总分100分考试形式开卷一、判断题：（每
题3分，共30分）
1.两个连通子集的并仍是连通子集.（）.包含不可数多个点的离散空间是4空间.（）
2.乂为42空间，那么X必为可分空间.（）.每一个满足第二可数性公理的正那么空间都是完
全正那么的.（）
3. 7；空间的收敛序列有惟一的极限.（）. R中的开区间是实数集合的开集.（）
4.紧致的右空间是正规空间.（）.拓扑空间中的子集不是开集就是闭集.（）
5.紧致空间中,任一子集均有凝聚点.（）. X'X2均为Lindeldf空间，A x人分别为X1，X2中的闭子集，那么A x &也是LindelGf
的（）二、填空题（每题5分，共10分）
1.当X为时,X的子集A的凝聚点的每一个邻域中都含有无穷多个点.
2.当X为且为正那么时X为正规的.
三、证明题（每题12分，共60分）.证明：拓扑空间的可分性是开遗传的.
空间中任一个连通子集如果包含着多于一个的点,那么它一定是一个不可数集.
1. 1
4
3•设X是一个正那么空间,A是X的一个紧致子集，丫 UX,证明：如果Az）Y =）工，那么丫是
一个紧致子集.
4.假设X为紧致的T2空间，那么X可度量当且仅当X是4空间.
5.假设X是拓扑空间，Y是连通空间，映射f: X-Y是开且闭映射，那么映射f是满射.。
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课程编号：MTH17083 北京理工大学2015-2016学年第二学期
2013级一般拓扑学A 卷
一、选择题（15分）
1.已知{},,,,X a b c d e =，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。
①{}{}{}{},,,,,,,T X a a b a c e φ=
②{}{}{}{},,,,,,,,,,,T X a b c a b d a b c e φ=
③{}{}{},,,,T X a a b φ= ④{}{}{}{}{}{},,,,,,T X a b c d e φ= 2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
①平庸性 ②连通性 ③离散性 ④第一可数性公理
3.设{}{}{}1,2,3,,,1,3X T X φ==，则(),X T 是（ ）
①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对
4.下列叙述中正确的个数为（ ） ①1 ②2 ③3 ④4
（Ⅰ）单位圆周1
S 是连通的 （Ⅱ）{}0- 是连通的 （Ⅲ）(){}20,0- 是连通的 （Ⅳ）2 和 同胚
5.拓扑空间X 的任何一个有限集都是（ ）①闭集 ②紧致子集 ③非紧致子集 ④开集
二、判断题（15分）
1.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。
2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。
3.设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭集A,B ，使得,A B A B X φ== 。
4.具有可数基的正则空间是正规空间。
5.在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。
三、（30分）设X 为一个集合，a X ∈，令{}{},c X G G a G τφ=∉ 为有限集或。
试证明（1）(),X τ为一个拓扑空间；（2）(),X τ为T 2拓扑空间；
（3）(),X τ是否为A 1空间？试分别对X 是有限集，可数集情况进行讨论。
四、（10分）设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，Y X ⊆。
证明：如果A Y A ⊇⊇，
则Y 也是X 的一个紧致子集。
五、（10分）设X 是Hausdorff 空间，:f X X →为一连续映射，
试证明其不动点集(){}Fixf x X f x x =∈=是一个闭集。
六、（10分）如果:f X Y →是一个闭的双射（即一一映射），而X 是Hausdorff 空间， 则Y 也是Hausdorff 空间。
七、（10分）设X 为拓扑空间，记(){}
F x F F x =是的闭邻域，
则X 为T 2空间当且仅当(){},F F x x X F x ∈∀∈= 。