概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r_k2x2
cxe
=
0,
求(1)系数c;(2)E(X);(3)D(X).
2 2
【解】
:: ::2k2x2
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品•安装机器时，从袋中一个一个地取出(取 出后不放回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E(X)和D(X).
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0,1,2,
“沪皿閱⑶科。，其他，
,W,1/y_c)
E(XY)xy -2xedxdy
12(v-5)2
°2x dx® ye dy 6二4.
3
10.设随机变量
X，Y的概率密度分别为
fX(x)=*
2e, xa0,
fy(y)=*x兰0;
心y>0,
y乞0.
求(1)
E(X+Y);(2)E(2X WY2).
【解】(X)二
._xfx(x)dx.x_2e'xdx二[-xe'x]0「
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
P{X
9
=0} 0.
7 50,
P{X
=1}
_9_
0.204,
12
12
11
32
9
3
2
1 9
P{X
=2}=■:<
-0.04 1,
P{X
=3}
=
X
浜=0.005
1 2 1 1
1 0
12
11
10 9
于是，
得到X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
::1
PWgpX—}14
P{Y= -200}=P X<1>/4e
故E(Y) =100 e」/4(—200) (1 -e」/4) = 300e」/4-200 = 33.64(元).
盒i=1,2,…,
显然fx(x)-fY(y) = f (x, y).
0
0e-2<dx
：e“dx=1.
02
-He+oc
E(Y)二―yf ( yd0y -g
-oO
2勺°2"bC242
E(Y )y fY(y)dy「°y ^^yd^4^
113
从而(1)E(X Y)二E(X) E(Y).
244
22115
(2)E(2X -3Y ) =2E(X) -3E(Y)=2-3
28 8
11.设随机变量X的概率密度为
习题四
1•设随机变量X的分布律为
X
0
1
2
P
1/8
1/2
1/8
1/4
求E(X),E(X2),E(2X+3).
1111 1
【解】(1)E(X)=(-1)012;
8284 2
22121212〔5
(2)E(X2)=(-1)2-02—12-22;
82844
1
(3)E(2X3)=2E(X)3 = 2—3 = 4
5•设随机变量X的概率密度为
x,0乞x：：1,
f(x)=」2 —x,1兰x兰2,
0,其他.
求E(X),D(X).
-be122
xf (x)dx= °x dx亠Ix(2「x)dx
2- -21322
E(X)x f (x)dx x dx亠Ix (2-x)dx =
0 1
d(X)=E(x2)—[E(X)]2T
X，Y,Z相互独立，且E(X)=5，E(Y)=11，E(Z)=8，求下列随机变量
D(2X -3Y).
【解】(1)E(3X -2Y) =3E(X)-2E(Y) =3 3-2 3 =3.
2 2
(2)D(2X -3Y) =2 D(X)(-3)DY = 4 12 9 16=192.
8•设随机变量(X，Y)的概率密度为
f(X,y)
k
0,
0：：x::1,0：：y：：x,
其他.
试确定常数k,并求E(XY).
1 X1,,
【解】因f(x, y)dxdy二dx kdy k=1,故k=2
o旳2
::::1x
E(XY)二xyf(x,y)dxdyxdx 2ydy = 0.25.
0 -0
9.设X,Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
0乞x岂1,1^4“)，y5,
fY(y)=iy
其他；0,其他•
求E(XY).
【解】方法一：先求X与Y的均值
0.041
0.005
由此可得
E(X
13. 一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,
工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和-200元
12E(X)=0x2xdx3,
3
址_£v5 )令z=y_5址丄"be.
E(Y)=j5y gy^=5ezidj0zz=d+ 5 1 6.
由X与Y的独立性，得
E(XY) =E(X)_E(Y)=26=4.
3
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
fX(x)“2x,
0,
4y^)
2xe72, 0 _ x _1,y 5,
【解】因r+p2+f3=1……①，
又
E(X
由
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白 球的概率是多少？
【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则
N
P(A)全概率公式'P{A|X二k}_P{X =k}
7
Nk1N
P{X =k}kP{X = k}
7 NNk」
1n
=n£(X^n
(1)U=2X+3Y+1；
(2)V=YZ -4X.
【解】(1)E[U ] = E(2X +3Y+1) = 2E(X)+3E(Y)+1
=2 5 3 11 1 = 44.
(2)E[V]=E[YZ _4X]=E[YZ] _4E(X)
因Y,Z独立E(Y) _E(Z) -4E(X)
=11 8-4 5=68.
7•设随机变量X，Y相互独立，且E(X)=E(Y)=3 ,D(X)=12，D(Y)=16,求E(3X-2Y)，
2
2•已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5Байду номын сангаас
P
C5
590=0.583
C；00
呼。=0.340
C；00
C2C3
10590=0.070冼0
C3C2
=0.007
C00
CM。0
5= 0C100
C5
晋=0
C100
故E(X)=0.58300.34 010.07020.0073
-0.501,
5
2
D(X)八[Xi-E(X)] P
i=Q
=(0 -0.501)20.583 (1-0.501)20.340：：；■…川(5-0.501)20= 0.432.
3•设随机变量X的分布律为
X
70
1
P
P1
P2
P3
且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求P1,P2,P3.
cxe
=
0,
求(1)系数c;(2)E(X);(3)D(X).
2 2
【解】
:: ::2k2x2
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品•安装机器时，从袋中一个一个地取出(取 出后不放回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E(X)和D(X).
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0,1,2,
“沪皿閱⑶科。，其他，
,W,1/y_c)
E(XY)xy -2xedxdy
12(v-5)2
°2x dx® ye dy 6二4.
3
10.设随机变量
X，Y的概率密度分别为
fX(x)=*
2e, xa0,
fy(y)=*x兰0;
心y>0,
y乞0.
求(1)
E(X+Y);(2)E(2X WY2).
【解】(X)二
._xfx(x)dx.x_2e'xdx二[-xe'x]0「
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
P{X
9
=0} 0.
7 50,
P{X
=1}
_9_
0.204,
12
12
11
32
9
3
2
1 9
P{X
=2}=■:<
-0.04 1,
P{X
=3}
=
X
浜=0.005
1 2 1 1
1 0
12
11
10 9
于是，
得到X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
::1
PWgpX—}14
P{Y= -200}=P X<1>/4e
故E(Y) =100 e」/4(—200) (1 -e」/4) = 300e」/4-200 = 33.64(元).
盒i=1,2,…,
显然fx(x)-fY(y) = f (x, y).
0
0e-2<dx
：e“dx=1.
02
-He+oc
E(Y)二―yf ( yd0y -g
-oO
2勺°2"bC242
E(Y )y fY(y)dy「°y ^^yd^4^
113
从而(1)E(X Y)二E(X) E(Y).
244
22115
(2)E(2X -3Y ) =2E(X) -3E(Y)=2-3
28 8
11.设随机变量X的概率密度为
习题四
1•设随机变量X的分布律为
X
0
1
2
P
1/8
1/2
1/8
1/4
求E(X),E(X2),E(2X+3).
1111 1
【解】(1)E(X)=(-1)012;
8284 2
22121212〔5
(2)E(X2)=(-1)2-02—12-22;
82844
1
(3)E(2X3)=2E(X)3 = 2—3 = 4
5•设随机变量X的概率密度为
x,0乞x：：1,
f(x)=」2 —x,1兰x兰2,
0,其他.
求E(X),D(X).
-be122
xf (x)dx= °x dx亠Ix(2「x)dx
2- -21322
E(X)x f (x)dx x dx亠Ix (2-x)dx =
0 1
d(X)=E(x2)—[E(X)]2T
X，Y,Z相互独立，且E(X)=5，E(Y)=11，E(Z)=8，求下列随机变量
D(2X -3Y).
【解】(1)E(3X -2Y) =3E(X)-2E(Y) =3 3-2 3 =3.
2 2
(2)D(2X -3Y) =2 D(X)(-3)DY = 4 12 9 16=192.
8•设随机变量(X，Y)的概率密度为
f(X,y)
k
0,
0：：x::1,0：：y：：x,
其他.
试确定常数k,并求E(XY).
1 X1,,
【解】因f(x, y)dxdy二dx kdy k=1,故k=2
o旳2
::::1x
E(XY)二xyf(x,y)dxdyxdx 2ydy = 0.25.
0 -0
9.设X,Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
0乞x岂1,1^4“)，y5,
fY(y)=iy
其他；0,其他•
求E(XY).
【解】方法一：先求X与Y的均值
0.041
0.005
由此可得
E(X
13. 一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,
工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和-200元
12E(X)=0x2xdx3,
3
址_£v5 )令z=y_5址丄"be.
E(Y)=j5y gy^=5ezidj0zz=d+ 5 1 6.
由X与Y的独立性，得
E(XY) =E(X)_E(Y)=26=4.
3
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
fX(x)“2x,
0,
4y^)
2xe72, 0 _ x _1,y 5,
【解】因r+p2+f3=1……①，
又
E(X
由
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白 球的概率是多少？
【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则
N
P(A)全概率公式'P{A|X二k}_P{X =k}
7
Nk1N
P{X =k}kP{X = k}
7 NNk」
1n
=n£(X^n
(1)U=2X+3Y+1；
(2)V=YZ -4X.
【解】(1)E[U ] = E(2X +3Y+1) = 2E(X)+3E(Y)+1
=2 5 3 11 1 = 44.
(2)E[V]=E[YZ _4X]=E[YZ] _4E(X)
因Y,Z独立E(Y) _E(Z) -4E(X)
=11 8-4 5=68.
7•设随机变量X，Y相互独立，且E(X)=E(Y)=3 ,D(X)=12，D(Y)=16,求E(3X-2Y)，
2
2•已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5Байду номын сангаас
P
C5
590=0.583
C；00
呼。=0.340
C；00
C2C3
10590=0.070冼0
C3C2
=0.007
C00
CM。0
5= 0C100
C5
晋=0
C100
故E(X)=0.58300.34 010.07020.0073
-0.501,
5
2
D(X)八[Xi-E(X)] P
i=Q
=(0 -0.501)20.583 (1-0.501)20.340：：；■…川(5-0.501)20= 0.432.
3•设随机变量X的分布律为
X
70
1
P
P1
P2
P3
且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求P1,P2,P3.