概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)

习题四

求 E (X ), E (X ), E (2X+3).

1

1 1 1 1 【解】(1) E(X)=(-1)

1

2

;

8

2 8

4 2

2

2

1 2 1 2

1 2〔5 (2) E(X 2) =(-1)

2 - 02 — 12

- 22 ; 8 2

8 4 4 1

(3) E(2X 3) =2E(X) 3 = 2 —

3 = 4

2

2?已知100个产品中有10个次品，求任意取出的 5个产品中的次品数的数学期望、方差 【解】设任取出的5个产品中的次品数为 X ，则X 的分布律为

故 E(X)= 0.583 0 0. 34 0 1 0.070

2

0. 007

3

-0.501,

5

2

D(X)八[X i -E(X)] P

i=Q

=(0 -0.501)2 0.583 (1-0.501)2 0.340 ：：；■…川(5 - 0.501)2 0 = 0.432.

3?设随机变量X 的分布律为 且已知 E (X )=0.1,E(X )=0.9,求 P 1, P 2, P 3.

【解】因R +P 2+F 3=1……①，

又 E(X)=(—1)R +0畀十1^ = P 3 —P =0.1 ……②，

E(X 2) =(—1)2 勒 +02电+12匪=只+巳=0.9……

由①②③联立解得 P =O.4,P 2 =0.1,P 3=0.5.

4.袋中有N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E (X ) =n ,问从袋中任取1球为白 球的概率是多少？ 【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则

N

P(A)全概率公式' P{A|X 二 k}_P{X =k}

7

N

k

1 N P{X =k}

kP{X = k}

7 N N k 」

1 n

= N

￡(X

^N

5?设随机变量X 的概率密度为

x, 0 乞 x ：： 1,

f (x )=」2 —x,1 兰x 兰2,

0,其他.

求 E (X ), D (X ). -be

1 2

2

xf (x)dx = ° x dx 亠 I x(2「x)dx

2

- - 2

1

3

2

2

E(X ) x f (x)dx x dx 亠 I x (2-x)dx =

0 1

D

(X)=E(X 2)

—

[E(X)]2

T

X ，Y , Z 相互独立，且 E (X )=5，E ( Y ) =11，E (Z )=8，求下列随机变量 (1) U=2X+3Y+1 ； (2)

V=YZ -4X.

【解】(1) E[U ] = E(2X +3Y+1) = 2E(X)+3E(Y)+1

=2 5 3 11 1 = 44.

(2) E[V] =E[YZ _4X] =E[YZ] _4E(X)

因Y,Z 独立E(Y) _E(Z) -4E(X)

=11 8-4 5 = 68.

7?设随机变量 X ，Y 相互独立，且 E( X )=E ( Y )=3 ,D ( X )=12，D ( Y )=16,求 E ( 3X

-

2Y )，

D (2X -3Y ).

【解】(1) E(3X -2Y) =3E(X)-2E(Y) =3 3-2 3 =3.

2 2

(2) D(2X -3Y) =2 D(X) (-3) DY = 4 12 9 16=192. 8?设随机变量(X ，Y )的概率密度为

【解】E(X)

故

6?设随机变量 的数学期望?

,W ,1

/ y _c)

E(XY)

xy -2xe

dxdy

1

2

(v-5)

2 °2x dx? ye dy 6 二 4.

3

f (X , y )

k

0, 0 ：： x ::

1,0

：： y ：：

x,

其他. 试确定常数k ,并求E (XY ). 1 X 1 ,, 【解】因 f(x, y)dxdy 二 dx kdy k =1,故 k=2 o 旳 2

:::: 1 x

E(XY)二 xyf(x,y)dxdy xdx 2ydy = 0.25. 0 -0

9.设X , Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

0 乞 x 岂 1, 1^4“)，

y 5, f Y ( y )= i y

其他；

0, 其他? 求 E (XY ). 【解】方法一：先求X 与Y 的均值

1

2 E(X)= 0 x2xdx

3 ,

3

址 _￡v 5 )令z=y_5 址 丄

"be .

E(Y)=j 5 y g

y^= 5 ezidj 0z

z=d+ 5 1 6.

由X 与Y 的独立性，得

E(XY) =E(X)_E(Y) =2 6=4.

3

方法二：利用随机变量函数的均值公式

.因X 与Y 独立，故联合密度为

f X ( x )“ 2x, 0, 4y^) 2xe72, 0 _ x _1,y 5,

“沪皿閱⑶科。，

其他，

10.设随机变量 X ，Y 的概率密度分别为

f X ( x )= * 2e , x a 0,

f y (y ) = * x 兰0; 心 y>0, y 乞0.

求(1) E (X+Y );( 2) E ( 2X WY 2).

【解】(X)二 ._xf x (x)dx. x_2e'x dx 二[-xe'x ]0「 0

0 e-2

：

e“dx= 1.

0 2

-He +oc E(Y)二―yf ( yd 0y -g

-oO 2 勺° 2 "bC 2 4 2

E(Y )y f Y (

y)dy 「° y ^^y

d^4^ 1 1 3 从而(1)E(X Y)二E(X) E(Y)

.

2 4

4

2 2

115

(2)E(2X -3Y ) =2E(X) -3E(Y )=2

-3 2 8 8 11. 设随机变量X 的概率密度为

r

_k 2x 2

cx e

=<

0,

求(1)系数 c; (2) E (X ) ; (3) D (X ).

2 2

【解】(1)由 f (x)dx = o cxe 上 ％ dx 厂1 得 c = 2k 2 .

:: :: 2

k 2x 2

(2) E(X)二 xf(x)d(x) = o x2k xe dx

12. 袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品?安装机器时，从袋中一个一个地取出(取 出后不放

回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X ，求E (X )和D (X ). 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为0, 1, 2,

3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

P{X 9

=0} 0.

7 50,

P{X =1}

_9 _ 0.204, 12

12 11

3 2

9

3 2 1 9

P{X =2}= ■: <

-0. 04 1, P{X =3}

=

X 浜=0.005 1 2 1 1

1 0

12 11 10 9

于是，

得到X 的概率分布表如下：

X 0

1 2 3 P 0.750

0.204

0.041

0.005

由此可得 E(X)=0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 =0.301.

E(X 2)=02 750 12 0.204 22 0.041 32 0.005= 0.413 D(X)二 E(X 2)-[E(X)]2 =0.413-(0.301)2 =0.322.

13.

一工厂生产某种设备的寿命 X (以年计)服从指数分布，概率密度为

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换 .若售出一台设备,

工厂获利100元，而调换一台则损失 200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望

.

【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100元和-200元

x _ 0, x ：

f (x )

2k 2

：x 2e^ 0

dx

'.丰

n E (x 2

r

-be r -::x -- 2 2

k 2 x 2

1 (x)d(x)二 o x

2 -2k 2xe

厂

k

2 2

D(X)二E(X )-[E(X)]

4k

f (x )

=1 e 4

0,

x 0, x 乞0.

::1

PWg pX—}1 4

P{Y= -200}=P X < 1> /4e

故E(Y) =100 e」/4 (—200) (1 -e」/4) = 300e」/4 -200 = 33.64 (元).

盒i=1, 2,…,

14?设X1, X2,…，X n是相互独立的随机变量，且有 E (X i)

n,记

n

丄X i,S2, n v 臭丄J (X i

n -1 i -X)2.

(1) 验证E(X) = u,D(X)

2

CJ

；n

(2) 验证

(3) 验证

n

S2= —c Xi2

n -1 i4

E (S2) =2.

—2

-nX );

【证】(1)E(X)=E 口X i

5「丿X i)

,. 1

E(X i) ru = u.

n y n

1n

D(X)

(X i -X)2

n

八(X i2

i 二

n

八X i2

i *

i=1

1

X i)X i之间相互独立—

n i m

—2

X -2XX i)八

im

—

2

nX

DX i

X i2

-2 —n

nX -2X' X i

i d

-2X /X 八X： - nX

故s2

n T n

c

i =1

X i2

—2

-nX ).

⑶因E(XJ 二u,D(XJ 乂2,故E(X：) = D(X i) (EXJ2 *2 u2.

同理因E(X)

2 2 C 22二u,D(X) ，故E(X ) u2.

n n

从而

显然 f x (x)-f Y (y) = f (x, y).

E(S 2)=E -1-r X ：—nX 2) =-^[E^ X ：) — nE(X 2)]

IL n -1 v n -1 i4

二七[' E(X i 2) 一nE (乂)]

n —1 i4 15.对随机变量 X 和丫，已知 D (X ) =2 , D (Y ) =3 , Cov(X,Y)= -1, 计算：Cov

(3X -2Y+1 , X+4Y -3).

【解】Cov(3X -2Y 1,X 4Y-3)=3D(X) 10Cov(X,Y)-8D(Y)

=3 2 10 (-1)-8 3 二-28

(因常数与任一随机变量独立，故

Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).

16?设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为

J - , X 2 +y 2 兰 1, f (x , y ) = n

[o, 其他.

试验证X 和Y 是不相关的，但 X 和Y 不是相互独立的? 【解】设 D = {(x, y) | x 2 y 2 _ 1}.

1

E(X)

xf(x,y)dxdy

xdxdy

n

X 2 刊2g

1

2 n 1

；o jcosrdrd

一0

.

同理 E(Y)=O.

而 CovX 丫 匚：「卜 E *)y [ E Y ( )]x(y, x y

1

1

2n 1

2

xydxdy

r sin rcosrrdrd ； - 0,

0 0

n

x 2 -y 2!

n

由此得，XY =0 ,故X 与Y 不相关?

当|y| w 时, f Y (y)17^2 ^x

n

1 - y

2 ?

7t

1 n -1

u 2) -n

F 面讨论独立性，当 xi w 时，

故X和Y不是相互独立的

17?设随机变量（X, Y）的分布律为

验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的?

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及X Y的分布律，其分布律如下表

X -10 1

P 3 2 3

8 8 8

Y -10 1

P 3 2 3

8 8 8

XY 0 1

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.

从而E（XY）=E（X） E（Y）,再由相关系数性质知p

即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的?

3 3 1

又P{X 二-1} F{Y 二-1} P{X 二-1,丫二—1}

8 8 8

从而X与Y不是相互独立的?

18?设二维随机变量（X, Y）在以（0, 0）, （0, 1） , （1 , 0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X, Y）,釵丫.

1

【解】如图，S D=，故（X, Y）的概率密度为

2

题18图

)12, (x,y)^D,

心沪0,其他.

42

从而

同理

所以 从而 E(X) = xf(x,y)dxdy 二

1

dx 0

x2d

^-

1 1 _x E(X 2) = x 2

f (x, y)dxdy =

1 1 _x

d

x.0

2x 2dy

2 2

D(X) =E(X )-[E(X)]

19.设(X , Y ) 求协方差 【解】E(X) _

18

E(XY)二 xyf (x,y)dxdy Cov(X,Y)

的概率密度为

f (x , y ) 二 2xydxdy

D

1

dx

2xydy

12

1

=

E(XY)

—

E(X

)曰丫“12

36

Cov(X,Y) =2

sin(x y),

0, Cov ( X ，Y )和相关系数 -be -be i”j“xf (

x,

y)dxdy 二 P Y . n 2 2

E(X ) 从而

同理

1 .D(X)二 D(Y)

2

36 1

18

18

1 n 0 dx 0 x-^sin(x 丫內盲 n

2 7t n n

0臥0曖寺 m & y )

d y =n 8 n 2.

D(X)二 E(X 2)-[E(X)]2

2

/ n 2. 16 2 n

E(Y)G D

"

2

n n

2.

16 2

n /2

n /2

E(XY)「° dx.。xysin(x y)dxdy

n 1, 故 CovX Y =) E XY —) EX )E 嘗—| 寸1

n

n - 4

=-—

(n-4)2

2

n ? 8 n —

32

2

n — 8 n 16 ""2

n ■ ■ 8 n

32

1 「

，试求Z i =X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关

4

系数?

【解】 由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X Y )=1.

从而

D(ZJ 二 D(X -2丫)= D(X) 4D(Y)-4Cov(X,Y) =1 4 4-4 1=13, D(Z 2) =D(2X -丫)=4D(X) D(Y)-4Cov(X,Y) =4 14-4 1=4, Cov(乙,Z 2) =Cov(X -2Y,2X -Y)

= 2Cov( X,X) - 4Cov(Y,X) -Cov(X,Y) 2Cov(Y,Y) = 2D(X)-5Cov(X,Y) 2D(Y) =2 1-5 1

2 4=5.

故

二ZZ 二

Cov(Z1,Z2)

- 5

- 5 P.

1 2

J D (Z 1

Z 2)届曲 26

21. 对于两个随机变量 V , W,若E (V 2), E (W 2)存在，证明：

:E (VW ) 2壬(V 2) E (W 2).

这一不等式称为柯西许瓦兹( Couchy -Schwarz )不等式.

【证】令 g(t) =E{[V tW]2}, t R. 显然

0 空 g(t)二 E[(V tW)2] = E[V 2 2tVW t 2W 2]

=E[V 2] 2t-E[VW] t 2 壬[W 2], -1 R.

可见此关于t 的二次式非负，故其判别式

2 2 2

即 0

：二[2E(VW)] -4E(W )-E(V )

= 4{[E(VW)]2 -E(V 2)壬(W 2)}.

故[E(VW)]2 乞 E(V 2) E(W 2)}. 22.

假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数/=1/5的指

数分布.设备定时开机，出现

故障时自动关机，而在无故障的情况下工作

2小时便关机?试求该设备每次开机无故障

工作的时间丫的分布函数F (y ).

Cov(X,Y)

「D (X )7D (Y

20.已知二维随机变量(

X , Y )的协方差矩阵为 2

n n

一 + —

16 2

-2

【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间

42

1

X~E (从E(X)=

=5. 九

依题意 Y=min(X,2). 对于 y

对于0今<2,当x 》0寸，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X

F(y)=P{Y

23. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有

3件合格品和3件次品，乙箱中仅装

有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：(1 )乙箱中次品件数 Z 的数学期 望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率

.

【解】(1) Z 的可能取值为0, 1 , 2, 3, Z 的概率分布为

Z=k 0

1

2

3

P k

1

9

9

1

20 20 20

20

(2)设A 表示事件 从乙箱中任取出一件产品是次品

”根据全概率公式有

3

P(A) P{Z 二 k}A{A|Z 二 k}

k =0

丄0 2 1.2 2.丄塞

20 20 6 20 6 20 6

24.

假设由自动线加工的某种零件的内径 X (毫米)服从正态分布

N (叨)，内径小于10或

大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已 知销售利润T (单位：元)与销售零件的内径

X 有如下关系

-1, 若X ：：10,

T=<20,若 10 兰 XE12,

-5,

若 X>12.

问：平均直径 □取何值时，销售一个零件的平均利润最大?

【解】E(T) - -P{X ：：10} 20P{10 _ X _12}-5P{X 12}

二-P{ X - u 10 u} 2CP{10J 伙乞U -12U } P X u

1 2u

P{Z =k}二

k =0,1,23

因此, E(Z) =0

1 1 -9-

2 9 C

：

dE(T) du =25 (12-u) (T)-21「(10-u) (T)

0(这里2”),

-- >(1 0u ) 20[ (1u2—「) - U10 -)] 5卜1 u (12 )] =2 少(12u -)舷1 _(U 0 ) 5.

故

1 1

1 所以 E(Y) , D(Y) ,E(Y)=4

2,

2 4

2

A

A

D(Y)=4 - — =1 =E(Y 2)-(EY)2,

2 2

从而 E(Y 2) = D(Y) [E(Y)]2 =1 22 =5. 26.两台同样的自动记录仪， 每台无故障工作的时间

T i (i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先

开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启 ?试求两台记录仪无故障工作的

总时间T=「+T 2的概率密度f i (t),数学期望E (T )及方差D (T ).

【解】由题意知：

(5e^t , 2 0,

f i ⑴二

0, t :: 0.

因 T 1,T 2 独立，所以 f T (t)=f 1(t)*f 2(t). 当 t<0 时，f T (t)=0;

当t A0寸，利用卷积公式得

::

t

f T (t)

f 1 (x) -f 2(t - x)dx 5e _5x 5e _5(t * dx = 25te"st

故得

两边取对数有

1 2 1 2 In 25 (12—u)2 =In 21 (10—u)2.

- 2

1

In 1.19 : 10.9128(毫米) 2

由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大?

25?设随机变量X 的概率密度为

解得

I “

1 ■■

2 1 25

u = 11「 In 11

2 21

对X 独立地重复观察 (2002研考)

1 x -

“、」一cos —, 0 兰x 兰 n f(x)= < 2 2

[0, 其他.

4次，用Y 表示观察值大于

n /3的次数，求Y 2的数学期望.

【解】令

1, Y 二

0,

n

X ,

3

(i =123,4)

4

则 Y = 6 Y ~ B(4, p).因为

i 1

泪X n

"P{X 弓及P {

X 》.。

n 3

1

x 1

cos- dx = — 2 2 2

1 1

由于T i ~E(5)，故知E(T i)= ,D(T i)= i=1,2)

5 25

D(X-Y)=D(Z)=E(|Z|2)-[E(|Z|)]2

= E(Z2)-[E(Z)]2,

而

2 严丄/2」J 2

ze dz = i , ■,2n 0'、n

2 所以D(| X -Y |) = 1 - 一.

n

28?某流水生产线上每个产品不合格的概率为P(0

【解】记q=1 pX的概率分布为P{X=i}=q i 4p,i=1,2,

又E(X2)八i2q2p 八(i2-i)q i4p &iq i4p

i =1 i =2 i T

二pqC q i)

i =2

+丄1-q p

尹3丄冷二与(1-q) p p p 25te^,

t _0,

t :: 0.

因此，有E(T)=E(T I+T2)=

又因「卫独立，所以 D (T) =D (T什T2)

2

25

E(Z2) =D(Z) =1,E(|Z|)=

QO

故E(X)八iq2p

i=1 P C q i/= p

i A J-q丿

P

(1-q)

27?设两个随机变量X, Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量X罚的方差.

且X和Y相互独立，故Z~N( 0，1) 因

因此

同理可得

5 4 1 Cov(X,Y)二 E(XY)-E(X)壬(丫厂

12 9

36 1 1 D(U)二D(X Y)=

18 18

x= _1, U 一1,

1, U -1,

Y= J 卄 U" 1,若 U 1.

所以

2 2

2 — P

D(X)二 E(X )-[E(X)]

2

P

1 - P 2~

P

1

…~2

P

题29图 29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点(0, 1)，( 1，0)及(1, 服从均匀分布.(如图)，试求随机变量 U=X+Y 的方差.

【解】D(U)=D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2Cov( X,Y) = D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X) E(Y)].

由条件知X 和Y 的联合密度为

1)为顶点的三角形区域上

f(x,y)/(x ,y )G ,

0, t 0.

G ={(x,y)|0 x_

从而f X (x)二 -be

::f(x,y)dy 二

1

心 2dy =2x

30?设随机变量 U 在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量

试求(1) 【解】(1)为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算(X, Y)的4个可能取值 及(1,1)的概率. P{x= T,Y= T}=P{U w T,U W 1} 4 dx

二 P{U —晋

X 和Y 的联合概率分布；(2)

D ( X+Y ). (-1, -1),(七1),(1, -1)

4

dx 1 I 一 =—

4

4

E(X)=

i

i 2

3

°xf x

(x)dx = °2x dx J

2

E(X )=

1 2,

2

D(X) =E(X )-[E(X)]

4

9 18

E(XY)二 2xydxdy

G

1

%

xdx

1

-x

ydy 5,

12 2

36 1

18

P{X= -1,Y=1}= P{U w 』,U>1}=P{ .一 }=0, P{X=1,Y= 样P{U> -1,U w 1}

1

dx

故得X 与Y 的联合概率分布为

1 1

从而 E(X Y) =( -2) — 2

0,

4 4

2 1 1 E[(X Y) H0

4 2,

2 2

所以 D(X Y)二 E[(X Y)2] -[E(X Y)]2 =2.

1 i_x

31.

设随机变量X 的概率密度为f(x)=— , ( KXV +S )

2

(1) 求 E (X )及 D (X );

(2) 求Cov(X,|X|),并问X 与|X|是否不相关？ (3)

问X 与|X|是否相互独立，为什么？

1

【解】(1)E(X)二 x e ^dx ^O.

. 2

--

2

1 _|x| ■ -

2 _x

D(X) (x-0)

e^dx"。x e dx = 2.

(2) Cov(X,|X)二 E(X |X |)-E(X)_E(|X |) =E(XfX |)

-be 1

= _ x | x 「e 4X dx = 0,

2

所以X 与|X|互不相关.

(3)为判断|X|与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 ?<<+8中

的子区间(0,+旳上给出任意点 X o ,则有

{—X o X ： X o } ={| X |：：X 。} {X : X o }.

所以 0 ：： P{| X | ：： x 0} :: P{X :: x 0} <1.

-2

0 21

-

0 41

1 1

1 2

,(X+Y) ~ 1 1

.4 2 4 一

1 I .2

2 一

X Y~

P{X =1,Y =1} =P{U -1,U

1} = P{U

1}— 1 4 4 (-h -1) (X,Y)~ 1

历

(-1,1)

(1,-1) 1 2

(1,1) 1 4 一

⑵ 因 D(X Y) = E[(X Y)2] -[E(X 丫)]2,而

X+Y 及 (X+Y ) 2的概率分布相应

故由

4

P{X :: X o ，| X k x 。}二 P{| X k x 。} P {| X k X o } P{X :: X o }

得出X 与|X|不相互独立?

32. 已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布 N ( 1, 32)和N ( 0, 42),且X 与Y 的相关系数

沁 X Y

P Y = 4/2，设 Z= -. 2 2

(1) 求Z 的数学期望E ( Z )和方差D ( Z ); (2) 求X 与Z 的相关系数p z ； (3)

问X 与Z 是否相互独立，为什么？

/ X Y 、 1

【解】(1) E(Z) =E —+― 1=-.

13 2丿 3

11 11

9 16 2 Cov( X ,Y), 9 4 3 2

而

Cov(X,Y)」XY .. D(X)_\ D(Y)=

D(Z) =1 4 _6

1

=3.

3

-1

D(X)

1

(_6)

- 3=0, 3

2

3

⑶ 由‘XZ == 0，得X 与Z 不相关.又因Z ~ N ,3 ,X ~ N(1,9)，所以X 与Z 也 13丿

相互独立

33?将一枚硬币重复掷 n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数 试求X 和Y 的相关系

【解】由条件知 X+Y= n ,则有D (X+Y ) =D (n ) =0.

1 再由 X~B(n,p),Y~B(n,q),且 p=q=,

2

从而有

D(X)二 npq=n = D(Y)

D(Z) = D

―2Cov 二― 2 3'2

所以

所以

_Cov(X,Z)_

：D(X^

=0.

(2)因 Cov( X, Z)二 Cov

1

Cov X,X 2cov X,Y

3 2

所以 0 二 D(X Y) =D(X) D(Y)

D(X^<-. D(Y)

试求X 和Y 的相关系数p

【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY 的概率分布为

YX

0 1 P 0.08

0.72

0.2

所以 E (XY )= -0.08+0.2=0.12

Cov(X,Y)=E(XY) -E(X) E(Y)=0.12 -0.6 ?.2=0

从而

35. 对于任意两事件 A 和B , 0

p = P AB "(A) P(B)为事件A 和B 的相关系数.试证: .P(A)P(B)P(A)P(B)

(1)事件A 和B 独立的充分必要条件是 p =0;

(2) |p| W 1.

【证】(1)由p 的定义知，p =0当且仅当P(AB) -P(A) P(B)=0.

而这恰好是两事件 A 、B 独立的定义，即 p =0是A 和B 独立的充分必要条件

(2)引入随机变量X 与Y 为

1,若A 发生, 0,若Z 发生;

由条件知，X 和Y 都服从0 /分布，即

从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),

D(X)=P(A) P(A ),D(Y)=P(B) P(B ),

Cov(X,Y)=P(AB) -P(A) P(B)

所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量 X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相

关系数的基本性质可得| p W 1. 36. 设随机变量X 的概率密度为

=-2--XY ^,

2 4

34?设随机变量X 和Y 的联合概率分布为

故『XY = -1.

‘XY =

X ?0

1-P(A)

1

P(A)

Y~ 0

1

1 - P(B) P(B)

-仁：X ::: 0,

0

令Y=X 2, F (x,y )为二维随机变量(X , Y )的分布函数，求: (1) Y 的概率密度f Y (y);

⑵ Cov(X,Y);

1

⑶ F( ,4).

2

解：(1) Y 的分布函数为

F Y W) =P{Y 曲}二 P{X 2 乞 y}.

当y wO 寸， F Y (y)=0, f y (y) =0 ;

当O v y v 1时，

FY (y) =P{—-J} = P{ —J EX ：：：O} P{0 乞X 「V} =4 J ,

当1今<4时，

f

Y

(y)二

8?

A

A

F Y

(y

m }

的沐“二小

fY(y)[1

y ；

当 y 》4时，F Y (y) =1 , f Y (y)=O . 故Y 的概率密度为

^^,0 ￡y ￡1,

8 J y

=0 1

0,

其他.

1 , E(X)=[閃xf x (x)dx= [12xdx +〕0；xdx

2 +：： 2 E(Y)=E(X )=[Qc x f x (x)dx = 1

4，

2 1 2门 5、

x dx ), 4 6 3 2 1 3 x dx 亠 I x dx = ‘0 4 Cov(X,Y) = E(XY)- E(X) E(Y)= | .

2

1 . , _ -4

0 1 2 -x dx -1 2 0

2 + ?二

3 0 1

E(XY)=E(Y )= f x f x (x)dx= J 1 I

5 ,5

6

7

8 1

2'

1 f x (x)= ?

4 0, f Y (y)

1

1 1 ⑶

F (- ,4)=P{X ，丫 乞 4}=P{X

2 2

1

=P{X , —2 乞 X 乞 2} 2 1 1

=P{ 一仁X —才蔦.

37. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，求P{X=E(X 2)}.

Y k e k4(k-1)! r co 1

z 1

Ik 三(k —

2)!

1

=e (e e) = 2.

所以 P{x = E(X 2)} =P{X =2}

解：因为其分布律为 P{x=k}=

e J

,k=0,1,2，…, k!

1 2

--,X <4} 2 P{—2乞 X }

2

e 」

所以 E(X?)

' k 2 -— 7 k!

人 k-1 1 二e v

k^ (k-1)!

oCi 1 吃1

z(k —1)!丿