弹性力学课件：第四章应力应变关系

第四章应力应变关系静力平衡和几何变形

通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系

材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系

目录

§4.1广义胡克定理

§4.2拉梅常量与工程弹性常数§4.3弹性体的应变能函数

§4.1广义胡克定义

•应力应变关系属于材料性能

•称为物理方程或者本构方程

•单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定

•复杂应力状态难以通过实验确定

•广义胡克定理——材料应力应变一般关系

xz

yz xy z y x xz xz yz xy z y x yz xz yz xy z y x xy xz yz xy z y x z xz yz xy z y x y xz yz xy z y x x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=•工程材料，应力应变关系受到一定的限制

•一般金属材料为各向同性材料

•复合材料在工程中的应用日益广泛

弹性体变形过程的功与能

•能量守恒是一个物理学重要原理

•利用能量原理可以使得问题分析简化

•能量原理的推导是多样的，本节使用热力

学原理推导。

外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——弹性体内的能量也发生变化

根据热力学概念绝热过程

格林公式

等温过程

弹性体的应变能函数表达式

内能等于应变能

xz

xz yz

yz xy

xy z

z y

y x

x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ∂∂=

∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=0

,

,

,

,

,

)

(2

1

0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=

工程材料

•各向同性材料•各向异性材料——金属材料

⏹完全各向异性⏹弹性对称面

一个弹性对称面

21个弹性常数

xz

xy xz yz z y x yz xz

xy xy yz z y x z yz z y x y yz z y x x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγτγεεετγγτγεεεσγεεεσγεεεσ6664555352514644353332312523222115131211+=+++=+=+++=+++=+++=13个弹性常数

两个弹性对称面

xz

xz yz yz xy xy z y x z z y x y z y x x C C C C C C C C C C C C γτγτγτεεεσεεεσεεεσ665544333231232221131211===++=++=++=9个弹性常数

相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面拉压与剪切变形

不同平面内的剪切之间称为正交各向异性

正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。

没有耦合作用

各向同性弹性体

•物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。•数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。

•金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。

•弹性力学主要讨论各向同性材料。

根据正交各向异性本构关系

1.各向同性材料沿x ，y 和z 座标轴的的弹性性质相同；

2.弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关

各向同性材料广义胡克（Hooke ）定理

xz

xz z z yz yz y y xy xy x x μγτμελθσμγτμελθσμγτμελθσ=+==+==+=,2,2,2ij

ij kk ij μεδλεσ2+=λ, μ称为拉梅（Lame ）弹性常数

应力表示本构方程

G G G v v E

v E v v E v E

v v E v E

xz

xz yz yz xy xy z y x z z y z x y y x z y x x τγτγτγσσσσεσσσσεσσσσε==

=

Θ-+=+-=Θ-+=+-=Θ-+=+-=])1[(1)]([1])1[(1)]([1])1[(1)]([1•E 为弹性模量•G 为剪切弹性模量•v 为横向变形系数——泊松比

§4.2拉梅常量与工程弹性常数

杨泊松

工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为

μ

μλλμλμμλ=+=++=G v E ,)(2,)22(两个独立的弹性常数

)

1(2v E G +=实验测定：

单向拉伸实验可以测出弹性模量E

薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G

各向同性材料

主应力状态——对应的切应力分量均为零。

所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体

应力主轴同时又是应变主轴

应力主方向和应变主方向是重合的