复数的几何意义导学案

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《3.1.2复数的几何意义》导学案(新部编)1

《3.1.2复数的几何意义》导学案(新部编)1

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科:_____________任教年级:_____________任教老师:_____________xx市实验学校《3.1.2复数的几何意义》导学案【学法指导】:认真自学,激情讨论,愉快收获.●为必背知识【学习目标】:1、理解复数与复平面的点之间的一一对应关系;2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法.【学习重点】:理解复数与复平面的点之间的一一对应关系.【学习难点】:理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法.【教学过程】:一:回顾预习案●1、若R d c b a ∈,,,,我们规定⇔+=+di c bi a .●2、复数的分类:对于复数bi a +,当且仅当 时,它是实数;当且仅当 时,它是实数0;当 时,叫做虚数;当 时,叫做纯虚数;●3、复数的几何意义:(1)复数=z bi a +,可以由一个有序实数对 唯一确定,有序实数对),b a (与 一一对应,所以复数集与 一一对应.(2)点z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数=z bi a +可用 表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ,x 轴叫做 ,y 轴叫做 ,实轴上的点都表示 ,出来原点外,虚轴上的点都表示 .(3)复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数←−−−→一一对应复平面内的点←−−−→一一对应平面向量.规定:相等的向量表示同一个复数.(4)复数=z bi a +的模等于 .练习:口答.105页1,2,106页,4二 讨论展示案 合作探究,展示点评例1、(1)()12m z i =当<时,复数+m-1在复平面上对应的点位于( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限(2)当0<m <1时,z =(m +1)+(m -1)i 对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限(3)若复数z 1=1-i ,z 2=3-5i ,则复平面上与z 1,z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________.(4)复数z =a 2-1+(a +1)i (a ∈R )是纯虚数,则|z |=______.(5) 若复数z 1=-1,z 2=2+i 分别对应复平面上的点P ,Q ,则向量PQ →对应的复数是____.例2、已知复数i z 431-=,i z 23212+=,试比较它们模的大小.例3、已知复数z =a +3i 在复平面内对应的点位于第二象限,且|z |=2,求复数z .例4、若复数(-6+k 2)-(k 2-4)i (k ∈R )所对应的点在第三象限,求k 的取值范围.例5、课本55页A 组第5题.例6,106页A 组第6题。

3.1.2复数的几何意义导学案

3.1.2复数的几何意义导学案

3.1.2复数的几何意义※学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系;2.掌握实轴、虚轴、模等概念;3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。

※学习过程一、知识巩固1.复数的代数形式为 ,i 为虚数单位,=2i ; 2..两个复数相等的充要条件是?3.若两个复数bi a bi a 22+>+,则a 为 ,b 为 。

4.复数),(R b R a bi a z ∈∈+=是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是?5.”“0=a 是复数bi a +为纯虚数的 条件,”“0=b 是复数bi a +为实数的 条件),(R b R a ∈∈.6.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的关系?二、新课导学1.复数),(R b R a bi a z ∈∈+=与有序实数对()b a ,是 的2.建立直角坐标系表示复数的平面叫做 , x 轴叫做 ,y 轴叫做 实轴上的点表示 ;除了原点外,虚轴上的点都表示 。

3.复数集C 和复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的,与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的.即:复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应平面向量 。

4. 复数),(R b R a bi a z ∈∈+=的模为三、典型例题例1. 已知复数i m m m m z )2()6-(22-+++=在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m 允许的去取值范围.例2.设,满足下列条件的点的集合是什么 图形?(1)2=z ;(2)1≤z ;(3)21<≤z .例3.若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为i z 211+=,i z +=2-2,i z 2-1-3=.求这个正方形第四个顶点对应的复数.※总结提升实数的几何意义是实数与数轴上的点是一一对应的,类比得复数的几何意义:任何一个复数),(R b a bi a z ∈+=与复平面内的一点()b a Z ,对应,复平面内任意一点()b a Z ,又可以与以原点为起点,点()b a Z ,为终点的向量对应,这些对应都是一一对应.※达标检测1.过原点和i -3对应的点的直线的倾斜角是( )A. 6π B. 6π- C. 32π D. 65π 2. 复数()043<-=a ai a z 的模长为 .3. 已知复数z 对应的点在第二象限,它的模是3,实部是5-,则z 是( )A. i 25-+B. i 25--C. i 25+D. i 25-4. 下列给出四个等式,其中正确的是( )A.i i 23>B. i 413i 2->+C. 42i -2< D. i i ->2 5.若复数i m m m m z )65-()43-(22-+-=表示的点在虚轴上,则实数m 的值为 。

高中数学《复数的几何意义》导学案

高中数学《复数的几何意义》导学案

3.1.2 复数的几何意义1.复平面的相关概念如图,点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +b i 可用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做□01复平面,x 轴叫做□02实轴,y 轴叫做□03虚轴. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z =a +b i一一对应复平面内的点Z (a ,b ).2.复数的向量表示如图,在复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ,连接OZ ,显然向量OZ →是由□04点Z 唯一确定的;反过来,点Z (相应与原点来说)也可以由向量□05OZ →唯一确定.复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z =a +b i一一对应平面向量OZ→.这是复数的另一种几何意义,并且规定相等的向量表示□06同一个复数.3.向量的模的定义公式向量OZ→的模r 叫做复数z =a +b i 的模,记作□07|z |或□08|a +b i|.如果b =0,那么z =a +b i 是一个实数□09a ,它的模等于□10|a |(就是a 的□11绝对值).由模的定义可知:|z |=|a +b i| =r =a 2+b 2(r ≥0,r ∈R ).复数的向量表示(1)任何一个复数z =a +b i 与复平面内一点Z (a ,b )对应,而任一点Z (a ,b )又可以与以原点为起点,点Z (a ,b )为终点的向量OZ →对应,这些对应都是一一对应,即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.讨论复数的运算性质和应用时,可以在复平面内,用向量方法进行.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( ) (2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( ) (3)复数的模一定是正实数.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2.做一做(1)若OZ→=(0,-3),则OZ →对应的复数为________. (2)复数z =1-4i 位于复平面上的第________象限. (3)复数3i 的模是________. 答案 (1)-3i (2)四 (3) 3探究1 复平面内复数与点的对应例1 在复平面内,若复数z =(m 2-m -2)+(m 2-3m +2)i 对应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y =x 上,分别求实数m 的取值范围.[解] 复数z =(m 2-m -2)+(m 2-3m +2)i 的实部为m 2-m -2,虚部为m 2-3m +2.(1)由题意得m 2-m -2=0,解得m =2或m =-1. (2)由题意得⎩⎨⎧ m 2-m -2<0,m 2-3m +2>0,∴⎩⎨⎧-1<m <2,m >2或m <1,∴-1<m <1.(3)由已知得m 2-m -2=m 2-3m +2,∴m =2.[结论探究] 本例中的复数z 对应的点在单位圆上时,试求m 应满足的关系式.[解] 当点z 在圆x 2+y 2=1上时,有(m 2-m -2)2+(m 2-3m +2)2=1, 化简得:2m 4-8m 3+10m 2-8m +7=0.拓展提升复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对,复数的实部对应着有序实数对的横坐标,而虚部则对应着有序实数对的纵坐标,只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.【跟踪训练1】 实数m 取什么值时,复数z =(m 2+5m +6)+(m 2-2m -15)i. (1)对应的点在x 轴上方;(2)对应的点在直线x +y +4=0上.解 (1)由m 2-2m -15>0,得m <-3或m >5,所以当m <-3或m >5时,复数z 对应的点在x 轴上方. (2)由(m 2+5m +6)+(m 2-2m -15)+4=0, 得m =1或m =-52,所以当m =1或m =-52时, 复数z 对应的点在直线x +y +4=0上. 探究2 复平面内复数与向量的对应例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ,A ,C 对应的复数分别为0,3+2i ,-2+4i ,试求:(1)AO →表示的复数;(2)CA →表示的复数;(3)点B 对应的复数.[解] (1)∵AO→=0-(3+2i)=-3-2i ,∴AO→表示的复数为-3-2i. (2)∵CA→=(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ∴CA→表示的复数为5-2i. (3)∵OB→=OA →+OC →, ∴OB→表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i , 即点B 对应的复数为1+6i.拓展提升复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义,利用这个几何意义,复数问题可以转化为平面向量来解决,平面向量问题也可以用复数方法来求解.【跟踪训练2】 (1)复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量OA →与OB →,则向量AB →表示的复数是________;(2)在复平面内,O 为原点,向量OA→对应复数为-1+2i ,点A 关于直线y =-x 对称点为B ,则向量OB→对应复数为________.答案 (1)-6-8i (2)-2+i解析 (1)因为复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量OA→与OB →,所以OA →=(4,3),OB→=(-2,-5),又AB →=OB →-OA →=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量AB →表示的复数是-6-8i.(2)点A (-1,2)关于直线y =-x 对称点为B 是(-2,1),所以OB →=-2+i.探究3 复数模的综合应用例3 (1)复数z =x +1+(y -2)i(x ,y ∈R ),且|z |=3,则点Z (x ,y )的轨迹方程是________;(2)设z ∈C ,则满足条件|z |=|3+4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形?[解析](1)|z|=(x+1)2+(y-2)2=3,即(x+1)2+(y-2)2=9.(2)解法一:由|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量OZ→的长度等于5,即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,以5为半径的圆.解法二:设z=x+y i(x,y∈R),则|z|2=x2+y2.∵|3+4i|=5,∴由|z|=|3+4i|得x2+y2=25,∴点Z的集合是以原点为圆心,以5为半径的圆.[答案](1)(x+1)2+(y-2)2=9(2)见解析拓展提升根据复数的几何意义及复数模的定义可知,复数z=a+b i(a,b∈R)的模的几何意义就是复平面内点(a,b)到原点的距离.解决复数模的几何意义问题,需把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数模的定义,把模的问题转化为几何问题来解决.【跟踪训练3】(1)已知复数z=3+a i,且|z|<5,则实数a的取值范围________;(2)设z∈C,且满足下列条件,在复平面内,复数z对应的点Z的集合是什么图形?①1<|z|<2;②|z-i|<1.答案(1)-4<a<4(2)见解析解析(1)|z|=32+a2<5,解得-4<a<4.(2)①设z=x+y i(x,y∈R),则|z|=x2+y2.由题意1<x2+y2<2,即1<x2+y2<4.∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,不包括环的边界.②根据模的几何意义,|z -i|=1表示复数z 对应的点到复数i 对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z -i|=1的点Z 的集合为以(0,1)为圆心,以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界).1.复数的几何意义(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )的对应点的坐标为(a ,b ),而不是(a ,b i). (2)复数z =a +b i(a ,b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个.2.复数的模(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )的模|z |=a 2+b 2,它表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.(2)复数的模是实数绝对值概念的扩充,与实数的绝对值一样也是非负实数,因此复数的模是可以比较大小的.(3)复数的模相等是两个复数相等的必要不充分条件.1.已知a ∈R ,且0<a <1,i 为虚数单位,则复数z =a +(a -1)i 在复平面内所对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案 D解析 ∵0<a <1,∴a >0且a -1<0,故复数z =a +(a -1)i 在复平面内所对应的点(a ,a -1)位于第四象限.故选D.2.复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上,则( ) A .a ≠2或a ≠1 B .a ≠2且a ≠1 C .a =0 D .a =2或a =0答案 D解析 由点Z 在虚轴上可知,点Z 对应的复数是纯虚数和0,∴a 2-2a =0,解得a =2或a =0.3.已知复数z =1+2i(i 是虚数单位),则|z |=________.答案 5解析 因为z =1+2i ,所以|z |=12+22= 5.4.已知复数z =x -2+y i(x ,y ∈R )的模是22,则点(x ,y )的轨迹方程是________.答案 (x -2)2+y 2=8解析 由|x -2+y i|=22,得(x -2)2+y 2=8.5.如果复数z =(m 2+m -1)+(4m 2-8m +3)i(m ∈R )对应的点在第一象限,求实数m 的取值范围.解 因为复数z 对应的点在第一象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -1>0,4m 2-8m +3>0,解得m <-1-52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞.A 级:基础巩固练一、选择题1.复数z 1=1+3i 和z 2=1-3i 在复平面内的对应点关于( ) A .实轴对称B .一、三象限的角平分线对称C .虚轴对称D .二、四象限的角平分线对称 答案 A解析 复数z 1=1+3i 在复平面内的对应点为Z 1(1,3).复数z 2=1-3i 在复平面内的对应点为Z 2(1,-3),点Z 1与Z 2关于实轴对称.2.当23<m <1时,复数 z =(3m -2)+(m -1)i 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案 D解析 ∵23<m <1,∴2<3m <3,∴0<3m -2<1且-13<m -1<0,∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.3.复数z 1=a +2i ,z 2=-2+i ,如果|z 1|<|z 2|,则实数a 的取值范围是( ) A .-1<a <1 B .a >1C .a >0D .a <-1或a >0答案 A 解析 依题意有a 2+22<(-2)2+12,解得-1<a <1.4.若A ,B 为锐角三角形的两个内角,则复数z =(cos B -sin A )+i(sin B -cos A )对应的点位于复平面内的( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B解析 cos B -sin A =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B -sin A .∵△ABC 为锐角三角形,∴A +B >π2.∴A >π2-B ,∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B ,∴cos B -sin A <0.同理可知sin B -cos A >0,∴复数z 对应的点位于第二象限.故选B. 5.已知复数z 的实部为1,且|z |=2,则复数z 的虚部是( ) A .- 3 B.3i C .±3i D .±3 答案 D解析 设复数z 的虚部为b ,因为|z |=2,实部为1,所以1+b 2=4,所以b =±3.6.复数z 满足条件:|2z +1|=|z -i|,那么z 对应的点的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线 答案 A解析 设复数z =x +y i(x ,y ∈R ),∵|2z +1|=|z -i|, ∴(2x +1)2+4y 2=x 2+(y -1)2,化简得3x 2+3y 2+4x +2y =0满足42+22-4×3×0>0, ∴方程表示圆.故选A. 二、填空题7.i 为虚数单位,设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于原点对称,若z 1=2-3i ,则z 2=________.答案 -2+3i解析 复数z 1=2-3i 对应的点为(2,-3),则z 2对应的点为(-2,3).所以z 2=-2+3i.8.已知复数(2k 2-3k -2)+(k 2-k )i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数k 的取值范围是________.答案 -12<k <0或1<k <2解析 根据题意,有⎩⎪⎨⎪⎧2k 2-3k -2<0,k 2-k >0,即⎩⎨⎧-12<k <2,k <0或k >1,所以实数k 的取值范围是-12<k <0或1<k <2.9.已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-2i ,它们所对应的点分别是A ,B ,C ,若OC→=xOA →+yOB →(x ,y ∈R ),则x +y 的值是________.答案 5解析 由已知,得OA→=(-1,2),OB →=(1,-1),OC →=(3,-2),∴xOA →+yOB →=x (-1,2)+y (1,-1)=(-x +y,2x -y ).由OC→=xOA →+yOB →, 可得⎩⎪⎨⎪⎧ -x +y =3,2x -y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =4,∴x +y =5.三、解答题10.已知O 为坐标原点,OZ 1→对应的复数为-3+4i ,OZ 2→对应的复数为2a +i(a ∈R ).若OZ 1→与OZ 2→共线,求a 的值. 解 因为OZ 1→对应的复数为-3+4i ,OZ 2→对应的复数为2a +i ,因为OZ 1→=(-3,4),OZ 2→=(2a,1), 因为OZ 1→与OZ 2→共线,所以存在实数k 使OZ 2→=kOZ 1→,即(2a,1)=k (-3,4)=(-3k,4k ),所以⎩⎪⎨⎪⎧2a =-3k ,1=4k ,所以⎩⎪⎨⎪⎧k =14,a =-38,即a 的值为-38.B 级:能力提升练11.在复平面上,复数i,1,4+2i 对应的点分别是A ,B ,C ,求平行四边形的ABCD 的D 点对应的复数.解 解法一:由已知条件得点A (0,1),B (1,0),C (4,2), 则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,32,由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点, 设D (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x +12=2,y +02=32,解得⎩⎨⎧x =3,y =3,即D (3,3),∴D 点对应复数为3+3i.解法二:由已知得向量OA →=(0,1),OB →=(1,0),OC →=(4,2),其中O 为坐标原点.∴BA→=(-1,1),BC →=(3,2), ∴BD→=BA →+BC →=(2,3),∴OD →=OB →+BD →=(3,3), 即点D 对应复数为3+3i.12.已知z 1=x 2+x 2+1 i ,z 2=(x 2+a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立,试求实数a 的取值范围.解 ∵|z 1|=x 4+x 2+1,|z 2|=|x 2+a |,且|z 1|>|z 2|, ∴ x 4+x 2+1>|x 2+a |对任意的x ∈R 恒成立等价于(1-2a )x 2+(1-a 2)>0恒成立.不等式等价于①:1-2a =0,解得a =12, ∴a =12时,0·x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14>0恒成立,数学·选修2-2[A]或②:⎩⎪⎨⎪⎧ 1-2a >0,Δ=-4(1-2a )(1-a 2)<0.解得-1<a <12.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12. 综上可得,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧ a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-1<a ≤12.。

5.1.2 复数的几何意义导学案

5.1.2  复数的几何意义导学案

淅川中学高二数学(理)选修2-2第五章导学案编写:牛会芬校审:王明璞编号241 §3.1.2复数的几何意义学习目标1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.学习过程一、课前准备(预习教材P100~ P101,找出疑惑之处)复习1:复数(4)(3)z x y i=++-,当,x y取何值时z为实数、虚数、纯虚数?复习2:若(4)(3)2x y i i++-=-,试求,x y的值,若(4)(3)2x y i++-≥呢?)二、新课导学探究任务一:复平面问题:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?分析复数的代数形式,因为它是由实部a和虚部b同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数对或点的坐标.结论:复数与平面内的点或序实数一一对应.新知:1.复平面:以x轴为实轴,y轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.试试:复平面内的原点(0,0)表示,实轴上的点(2,0)表示,虚轴上的点(0,1)-表示,点(2,3)-表示复数探究任务二:2复数的几何意义:复数z a bi=+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b;复数z a bi=+←−−−→一一对应平面向量OZ;复平面内的点(,)Z a b←−−−→一一对应平面向量OZ.注意:人们常将复数z a bi=+说成点Z或向量OZ,规定相等的向量表示同一复数反思:复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.动手试试:在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i+--+--所对应的向量探究任务三:3。

复数的模向量OZ的模叫做复数z a bi=+的模,记作||z或||a bi+.如果0b=,那么z a bi=+是一个实数a,它的模等于||a(就是a的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R=+==+≥∈动手试试:计算复数112z i=+,223z i=+,332z i=-,42z i=-+的模,并画出对应的点1Z,2Z,3Z,4Z.试判断这4个点是否在同一个圆上?.2009年上学期◆高二 月 日 班级: 姓名: 第三章 复数2※ 典型例题例1在复平面内描出复数分别对应的点.变式1.说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b . 变式2。

《复数的几何意义》教案、导学案、课后作业

《复数的几何意义》教案、导学案、课后作业

《7.1.2 复数的几何意义》教案【教材分析】复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,引入复数以后,这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知,也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习,要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标:1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系;2.掌握实轴、虚轴、模等概念;3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.数学学科素养1.数学抽象:复平面及复数的几何意义的理解;2.逻辑推理:根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;3.数学运算:根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;4.数学建模:根据复数的代数形式,数形结合,多方位了解复数的几何意义,提高学生学习数学的兴趣.【教学重点和难点】重点:理解复数的几何意义,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.难点:根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【教学过程】一、情景导入提问:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢?要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本70-72页,思考并完成以下问题1、复平面是如何定义的,复数的模如何求出?2、复数与复平面内的点及向量的关系如何?复数的模是实数还是虚数? 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.复平面2.复数的几何意义(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R) 复平面内的点Z (a ,b ) .(2)复数z =a +b i (a ,b ∈R )平面向量OZ ―→. [规律总结] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z =0+0i =0,表示的是实数.3.复数的模(1)定义:向量OZ ―→的 模 r 叫做复数z =a +b i(a ,b ∈R)的模.(2)记法:复数z =a +b i 的模记为|z |或|a +b i|.(3)公式:|z |=|a +b i|=r =a 2+b 2(r ≥0,r ∈R).四、典例分析、举一反三题型一 复数与复平面内的对应关系例1求实数a 分别取何值时,复数z =a 2-a -6a +3+(a 2-2a -15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件:(1)在复平面的第二象限内.(2)在复平面内的x 轴上方.【答案】(1) a <-3. (2)a >5或a <-3.【解析】(1)点Z 在复平面的第二象限内,则⎩⎨⎧ a 2-a -6a +3<0,a 2-2a -15>0,解得a <-3.(2)点Z 在x 轴上方,则⎩⎨⎧ a 2-2a -15>0,a +3≠0,即(a +3)(a -5)>0,解得a >5或a <-3.解题技巧(利用复数与点的对应的解题步骤)(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练一1、实数x 取什么值时,复平面内表示复数z =x 2+x -6+(x 2-2x -15)i 的点Z :(1)位于第三象限; (2)位于直线x -y -3=0上【答案】(1)-3<x <2. (2) x =-2.【解析】因为x 是实数,所以x 2+x -6,x 2-2x -15也是实数.(1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x 2+x -6<0,x 2-2x -15<0,即-3<x <2时,点Z 位于第三象限.(2)当实数x 满足(x 2+x -6)-(x 2-2x -15)-3=0,即3x +6=0,x =-2时,点Z 位于直线x -y -3=0上.题型二 复数与平面向量的对应关系例2已知平面直角坐标系中O 是原点,向量OA ―→,OB ―→对应的复数分别为2-3i ,-3+2i ,那么向量BA ―→对应的复数是 ( )A .-5+5iB .5-5iC .5+5iD .-5-5i【答案】B . 【解析】 向量OA ―→,OB ―→对应的复数分别为2-3i ,-3+2i ,根据复数的几何意义,可得向量OA ―→=(2,-3),OB ―→=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→=OA ―→-OB ―→=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量BA ―→对应的复数是5-5i.解题技巧: (复数与平面向量对应关系的解题技巧)(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.跟踪训练二1、在复平面内,A ,B ,C 三点对应的复数分别为1,2+i ,-1+2i.(1)求向量AB ―→,AC ―→,BC ―→对应的复数;(2)若ABCD 为平行四边形,求D 对应的复数.【答案】(1)AB ―→,AC ―→,BC ―→对应的复数分别为1+i ,-2+2i ,-3+i.(2)D 对应的复数为-2+i.【解析】 (1)设O 为坐标原点,由复数的几何意义知:OA ―→=(1,0),OB ―→=(2,1),OC ―→=(-1,2),所以AB ―→=OB ―→-OA ―→=(1,1),AC ―→=OC ―→-OA ―→=(-2,2),BC ―→=OC ―→-OB ―→=(-3,1),所以AB ―→,AC ―→,BC ―→对应的复数分别为1+i ,-2+2i ,-3+i.(2)因为ABCD 为平行四边形,所以AD ―→=BC ―→=(-3,1),OD ―→=OA ―→+AD ―→=(1,0)+(-3,1)=(-2,1).所以D 对应的复数为-2+i.题型三 复数模的计算与应用例3 设复数.(1)在复平面内画出复数对应的点和向量;(2)求复数的模,并比较它们的模的大小.【答案】 (1)图见解析,对应的点分别为,对应的向量分别为,.(2),..【解析】(1)如图,复数对应的点分别为,对应的向量分别为,.(2),.所以.1243,43z i z i =+=-12,z z 12,z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 15z =25z =12=z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 1|43|5z i =+==2|43|5z i =-==12=z z例4 设,在复平面内z 对应的点为Z ,那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形?(1);(2).【答案】 (1)以原点O 为圆心,以1为半径的圆.(2)以原点O 为圆心,以1及2为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.【解析】(1)由得,向量的模等于1,所以满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以1为半径的圆.(2)不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合,不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集,就是上述不等式组的解集,也就是满足条件的点Z 的集合.容易看出,所求的集合是以原点O 为圆心,以1及2为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界(如图).解题技巧(与复数的模相关的解题技巧)(1)复数的模是非负实数,因此复数的模可以比较大小.(2)根据复数模的计算公式|a +b i|=a 2+b 2可把复数模的问题转化为实数问题解决.(3)根据复数模的定义|z |=|OZ ―→|,可把复数模的问题转化为向量模(即两z C ∈||1z =1||2z <<||1z =OZ ||1z=1||2z <<2,1.z z ⎧<⎪⎨>⎪⎩||2z <||2z =||1z >||1z =1||2z <<点的距离)的问题解决.跟踪训练三1、已知复数z =a +3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z |=2,则复数z 等于 ( )A .-1+3iB .1+3iC .-1+3i 或1+3iD .-2+3i【答案】A.【解析】由题意得⎩⎨⎧ a 2+3=4,a <0,解得a =-1.故z =-1+3i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本73页练习,73页习题7.1的剩余题.【教学反思】本节重在研究复数的几何意义,顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数,得出其几何意义,内容比较抽象,学生理解起来有一定难度。

复数的几何意义学案.doc

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§ 3. 1. 3复数的几何意义学案+练案【学习目标】1. 理解复数与以原点为起点的向量的对应关系;2. 了解复数的几何意义;3. 会用复数的几何意义解决有关问题.【重点难点】重点:复数与从原点出发的向量的对应关系.难点:复数的几何意义.【学法指导】由前一节内容知复数z = 是由其实部。

和虚部〃共同决定,所以可以考虑复数 Z = a+bi (a,b G R )与有序实数对仏/?)的对丿W 关系,有序实数对仏/?)与以原点为起点以(d,b )为坐标的 向量的对应关系,进而建立复数? = a + bi (a,b e /?)与以原点为起点以(a,b )为坐标的向量的对应关系, 这是理解复数几何意义的某础.【知识链接】1. 若 A (兀,y), 0(0,0),则 OA = (x,y);2. 若4(无],儿),则 4B =(曲一一戸)【问题探究】探究一、复数几何意义(一)引导:复数乙=a + bi (a,b e 7?)与有序实数对仏巧是 _____ 关 是b ,则复数z = a + bi (a,bw R )可用点 ___ 表示,其屮这个建面叫做 ______ ,兀轴叫做 _________ , y 轴叫做 ___________ . b思考:⑴实轴上的点都表示 _______ ,原点表示 _________ ,除原点外,虚轴上的点都表示 __________ • -⑵在复平曲内z=—5—3/对应的点 _____________ T Z=—3/对应的点实轴上的点(2,0)表示实数 ______ ,虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数 ____________虚轴上的点(0,5)表示纯虚数 _________ 复数Z = a + bi(a,b e R)—— 复平面内点Z(a,b)这就是复数的一种儿何意义•也就是复数的另一种表示方法,即儿何表示方法.点拨:复数z = a + bi (ci,bwR )是由其实部a 和虚部b 共同决定,所以复数z = a+bi (a,bwR )与有序实 数对(⑦方)是一一对应关系,和复平面内的点Z (a,b )也是一一对应关系,这样就建立了复数和复平面内儿 何图形——点Z 间的关系,体现了数与形结合思想.探究二、复数儿何意义(二)Z@,b ) < 塑 >平面向量引导:复平面内的点与平面向量的对应关系:I = ―复数Z = “ + bi (a,b G /?) < 出止〉平面向量OZ因此,我们可以用平面向量来表示复数,即: ---------------------------------------------- 同时我们把向最蒂 的模叫做复数z = a + bi 的模,即有\z\ = \a+bi\=OZ = _________ .系;若点Z 的横坐标是Q,纵坐标 I :了5.(广州一模)已知Z =i ( 1+ i) (i 为虚数单位),则复数Z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C ・第三彖限 D.第四象限C. (-2,0)D.(3,4) (A (B (C (D复数问题,实现了数与形的互化.探究三、共辄复数引导:像复数z = 2 + 3i 和"2-引这样,如果两个复数,实部 __________ ,虚部 ________________ 时,称这 四个复数互为共轨复数,且z = ci + bi 的尹觇复数记作2, __________________________________________ 即z 二 a+bi (ci eR,be /?)的共轨复数 2 = ・ 思考:(1)互为共辄复数的两个数所对应的点有什么关系?2)互为共觇复数的两个数的模有什么关系?点拨:实部相等虚部互为相反数的两个复数互为共铤复数,互为共純复数的两个复数有较好的性质,譬如 在复平面内对应的点关于兀轴对称,两个复数的模相等等性质,为后续进一步研究复数提供便利.【目标检测】一.选择题1、 (2009番禺)若x 5yeR, i 为虚数单位,且x+y + (x-y )i = 3-i t 则复数x+yi 在复平面内所对应的 点在( )A.第一象限B 第二象限 C.第三象限 D.第四彖限 2、 (2009汕头潮南)已知厶心扌+ isi 町,i 为虚数单位,那么平面内到点C (1, 2)的距离等于|Z|的 点的轨迹是()(A )圆(B )以点C 为圆心,半径等于1的圆 (C )满足方程x 2 + y 2 =1的曲线(D )满足(兀一1)2+(),-2)2 =丄的曲线 2 3、(2009饶平)在复平面内,复数l-i 对应的点与原点的距离是:() A. 1 B. 2 C. V2 D. 2A /24. (惠州二次调研)在复平面内,若^ = m 2(l + /)-m (4 + /)-6/所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是() A.(0,3)B. (-oo,-2) 6、 在复平面内,复数z 满足l<|z|<2,则z 所对应的点P 的集合构成的图形是 (A )圆 (B )直线 (C )线段 (D )圆环7、 设复数z=a+bi (a. bwR ), K|a|<l, |b|<l,则对应点Z 的集合是下图中的()8.已知复数刁对应的点在第二象限,它的模是3,实部是-徭,则刁为( )A.- 75+2iB.-V5-2iC.-V5+3iD.-V5-3i9.复平面内点(0,2)表示()A. 0B. 2C. 2iD. i10.复数z二3+4i对应的点Z关于原点的对应点Z,对应的复数为()A. - 3-4 iB. 4+3 iC. -4-3 iD. -3+4 i11.复数z=5-3i在第几象限()A.第一象限C.第三象限12.设z =(2.B.第二象限D.第四象限f2+5r-3)+ (r2+2r + 2)Z,绘R,则以下结论中正确的是()A. z对应的点在第一-象限B. z —定不是纯虚数C. z对应的点在实轴上方D. z—定是实数13 •下列命题屮假命题是()A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数力>勿的充要条件是丨刘>丨别二填空题1.已知复数z = (x—l) +(2x — l)j的模小于倾,则实数兀的取值范围是2. ______________________________________________________________________ 已知复数= a + bi(a,b e = -\ + ai,若|zj〈|z2,则实数〃适合的条件是_______________________________3.复平面内向量方表示的复数为1 + i,将励向右平移一个单位后得到向最小,则向量0'彷与点川对应的复数分别为______ •4.如果复数z = (m2+/n-l) +(4m2 -8/n + 3)z,(m G /?)对应的点在第一象限,则实数加的取值范I韦I为5.设复数z的模为17,虚部为一8,则复数______________ ・6.已知z = (l + i)加2-(8 + 0血+ 15 —6i,(加丘尺),若复数z对应点位于复平面上的第二象限,则加的取值范围是乙若虫R,t H -1J H 0,复数z = —+ —/的模的取值范围是________________ ・1 + / t8.(2010 •北京文,2)在复平面内,复数6 + 5i,-2 + 3/对应的点分别为昇,£若C为线段初的中点,则点C 对应的复数是29.当§<冰1时,复数乙=(3加-2)+伽-1”在复平面上对应的点Z位于第________ 象限.10.复数z = -2(sin 100。

复数的几何意义导学案

复数的几何意义导学案

的模为(
)
3. 设 Z∈C,满足 2<
Z 3 的点 Z 的集合是什么图形?
4. 已知复数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线 x-2y+4=0 上,实数 m 的值为_____________________.
【探究延伸】 1. 设 Z C 且满足下列条件,在复平面内,复数 z 对应的点 Z 的集合是 什么图形? 1) Z 5 2) 3 Z 5 3)Z 的实部和虚部相等
2. 已知 z1 均有 z1 解:
x 2 x 2 1i, z2 ( x 2 a )i ,对于任意的 x R ,
z2
恒成立,试求实数 a 的取值范围.
z1 x4 x2 1, z2 x2 a , Q z1 z2 , x4 x2 1 x2 a ,
咸阳市实验中学“链式高效课堂”课时导学案
课 题 § 1.2 复数的几何意义
三 维 目 标
知识与技能
1. 理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的 代数形式描出其对应的点及向量;
2.掌握复数几何意义及复数模的计算方法
通过学生自学、交流,教师点拨得出复平面、复数的几何意义、复数的 过程与方法 模的概念及其计算公式. 情感、 态度与价 值观
z (a bi ) (z∈C)的呢? z a bi (z∈C)的呢?
(a 2 2a 4) (a 2 2a 2)i 所对
例 1 已知 a R , 问复数 z
应的点在第几象限?复数 z 对应点的轨迹是什么? 解:由 a -2a+4=(a-1) +3≥3,-(a -2a+2)=-(a-1) -1≤-1

《3.1.2复数的几何意义》导学案

《3.1.2复数的几何意义》导学案
C.第三象限D.第四象限
3.如果复数z=1+ai满足条件|z|<2,那么实数a的取值范围是().
A.(-2,2)B.(-2,2)
C.(-1,1)D.(-,)
4.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为________.
5.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点.
(1)|z|=2;(2)|z|≤3.
互动探究3本例条件不变,|z-i|=1表示什么图形?
请记录你的疑惑。
展示总结
展示训练学案
测评提升
学习笔记
1.过原点和-i对应点的直线的倾斜角是().
A.B.-
C.D.
2.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于().
A.第一象限B.第二象限
课堂讲练:
考点一:复数的几何意义
复数的几何意义包含两种:(1)复数与复平面内的点一一对应;(2)复数与复平面内的向量一一对应.
例1在复平面上,复数i,1,4+2i的对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数.
互动探究1若本例条件不变,求由A、B、C、D点构成的平行四边形的D点对应的复数.
重点难点
1.复数模的概念及求法是考查的热点.
2.常与方程、解析几何结合命题,题型以选择、填空为主.
质疑自学学案
自主学习
问题记录
一、请同学们认真学习“导学目标”,明确本节课的学习内容及要求。
二、教材助读:1.复平面的定义:如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做,x轴叫做、y轴叫做.显然实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

第二课时 复数的几何意义导学案

第二课时  复数的几何意义导学案
第 2 课时 复数的几何意义
班级: 【的几何意义 【课前预习】 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,在复平面内,x 轴叫做_______,y 轴 叫做__________,x 轴的单位是 1,y 轴的单位是 i,实轴上的点都表示________,除原点以外, 虚轴上的点都表示_________ 2. 复 数 集 C 和 复 平 面 内 所 有 的 点 所 成 的 集 合 是 一 一 对 应 关 系 , 即 ______________________ 3. OZ =a+bi,则向量 OZ 的长度叫做复数 a+bi 的 ________(或 _______),记做 | a+bi|, 且 | a+bi|=__________ 4.当两个复数__________, 而虚部互为___________时, 这两个复数叫做互为_________ 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
例 3.设 z C ,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1) z 2 (2) 2 z 3
2
王新敞
奎屯
新疆
【课堂研讨】
例 1 设复数 z a bi 和复平面的点 Z( a, b )对应, a 、 b 必须满足什么条件,才能 使点 Z 位于: (1)实轴上?(2)虚轴上?(3)上半平面(含实轴)?(4)左半平面 (不含虚轴及原点)?
1
例 2.已知复数 z1 5 12i , z 2 6 6 2i ,求出他们的共轭复数,并比较共轭复数模 的大小

复数的几何意义

复数的几何意义

高二数学 3.1复数的几何意义 第一课时导学案编制人:曹继跃一.学习目标1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 了解复数的几何意义二.重点难点重点:复数与从原点出发的向量的对应关系难点:复数的几何意义三.知识链接向量的概念四.学习过程问题1:实数可以用数轴上的点来表示,那么复数能否也用点来表示呢?探究:复数的几何表示:复数的模:问题2:复数的加法具有怎样的几何意义呢?探究:复数的加法的几何意义:例1,在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:5,2,2,24,52i i i i ---+-例2,已知复数1243,24z i z i =+=-+,试比较它们模的大小例3,设z C ∈,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形?(1)|| 3 (2)1<|z|<2z =五.巩固检测1,在复平面内,分别用点表示复数32,3,1,2i i i ----+及其共轭复数2,分别求出复数23,5,85,37i i i i -+---+的模3,设z a bi =+与复平面内的点(,)Z a b 对应,当,a b 满足什么条件时,点Z 位于(1)实轴上? (2)虚轴上(原点除外)? (3)实轴的上方? (4)虚轴的右则?4,已知复数6534i i +-+和⑴在复平面上作出与这两个复数对应的向量OA OB 和⑵写出向量BA AB 和表示的复数高二数学 3.1数系的扩充(第一课时) 巩固案班级: 姓名:1.在复平面内,把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π,所得向量对应的复数是2.已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为3.若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是4.若,a b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①10a a +≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =,则a b =± ④若2a ab =,则a b =则对于任意非零复数,a b ,上述命题仍然成立的序号是_____。

人教版高中数学全套教案导学案312复数的几何意义

人教版高中数学全套教案导学案312复数的几何意义

3. 1.2复数的几何意义课前预习学案课前预习:1、复数与复平面的点之间的对应关系1、复数模的计算2、共轭复数的概念及性质4、提出疑惑:通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中课内探究学案学习目标:1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法3、理解共轭复数的概念,了解共轭复数的简单性质学习过程一、自主学习阅读课本相关内容,并完成下面题目zabiabab)是的∈R)1、复数=与有序实数对+((、,xy,叫做复平面,轴叫做2、轴叫做实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示3、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即一一对应一一对应 复数平面向量复平面内的点4、共轭复数zabiab∈R)(的模、5、复数= +二、探究以下问题1、实数与数轴上点有什么关系?类比实数,复数是否也可以用点来表示吗?2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的?3、复数的几何意义你是怎样理解的?4、复数的模与向量的模有什么联系?5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗?三、精讲点拨、有效训练见教案.反思总结1、你对复数的几何意义的理解2、复数的模的运算及含义3共轭复数及其性质当堂检测1、判断正误(1)实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数(2)若|z|=|z|,则z=z 2211(3)若|z|= z,则z>0111??i+在复平面上对应的点位于m-1m<时,复数1z?2当() 2、 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限22?2a?2a?4)?()i(a?2a所对应的点在第几象限 z=a3、已知,判断 i,求复数 |4、设Z为纯虚数,且|z+2|=|4-3Z3.1.2复数的几何意义【教学目标】1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法3、理解共轭复数的概念,了解共轭复数的简单性质【教学重难点】复数与从原点出发的向量的对应关系【教学过程】一、复习回顾(1)复数集是实数集与虚数集的(2)实数集与纯虚数集的交集是(3)纯虚数集是虚数集的(4)设复数集C为全集,那么实数集的补集是a+bi=c+di ? R,b.c.d∈(5)a,(6)a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件二、学生活动1、阅读课本相关内容,并完成下面题目zabiabab)是,的( 、(∈R1()、复数)=与有序实数对+x轴叫做,2)、叫做复平面,(y轴叫做实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示(3)、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即一一对应一一对应??????????复数复平面内的点平面向量(4)、共轭复数zabiab∈R)、复数=、+的模( 5()学生分组讨论、2(1)复数与从原点出发的向量的是如何对应的?(2)复数的几何意义你是怎样理解的?(3)复数的模与向量的模有什么联系?(4)你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗?3、练习(1)、在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,3+i,-1+4i,-3-2i,-i13ZZ?i,试比较它们模的大小。

复数的几何意义导学案.doc

复数的几何意义导学案.doc

复数的几何意义导学案学习目标:1•理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系。

2•掌握复数的几何意义。

3.了解复数的模的意义。

学习过程:.自主学习:阅读教材P52-53,并完成下列问题。

1.________________________________ 建立了直角坐标系来表示的平面叫复平面,___________________________ 叫做实轴,_______ 叫做虚轴,显然,实轴上的点都表示________ ,除了____ 夕卜,虚轴上的点都表示________ 02•复数集C和复平面内______ 所成的集合是一一对应的,即复数z = a + bi (a,bwR) < 一一对吟复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义。

3.复数集C和复平面内 _________ 所成的集合也是一一对应的,—即复数z = a+bi (a,b w R)《对电 > _________________________ , 这是复数的另一种几何意义。

4.________向量_________________________________________ 的模厂叫做复数z = a + bi (a,b e R)的模,记作__________________________ 或_______ 由模的定义可知厂= ________ 或 _______ 或__________ (r>0,re7?) o5•复数i +产在复平面内表示的点在()A 第一象限B 第二象限C 第三象限D第四象限6.复数Z =73+ Z2的对应点在复平面________________ o.探究1.复数与向量建立一一对应关系的前提是什么?1 71. —+——I2 1.2. 模相等的两个复数相等吗?. 例题剖析例一.当实数加为何值时,复数z = (m' -8m +15) + (m 2 3 + 3m - 28)/在复平面内 的对应点(1)位于第四象限;(2)位于x 轴负半轴上;(3)在上半平 面(含实轴)。

复数的几何意义教案、导学案

复数的几何意义教案、导学案

《复数的几何意义》教案、导学案威海四中一、教材分析:复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课,为研究复数加减法做了准备。

本节课主要是让学生了解即可。

二、学情分析:学生已经学过实数的几何意义,实数的绝对值的意义,所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

三、教学目标:1.能够类比实数的几何意义说出复数几何意义,2.会利用几何意义求复数的模3.能够说出共轭复数的概念四、教学重、难点:重点:复数的几何意义以及复数的模难点:复数的几何意义及模的综合应用五、教学方法:本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义,探究出复数的几何意义和复数的模公式。

六、教具准备:多媒体七、教学过程复数的几何意义学案一、学习目标:1.能够类比实数的几何意义说出复数几何意义,2.会利用几何意义求复数的模3.能够说出共轭复数的概念二、学习重点:复数的几何意义以及复数的模三、学习过程:(一)课前复习回顾1、连连看复数集是实数集与虚数集的虚数集实数集与纯虚数集的交集是并集纯虚数集是虚数集的空集设复数集C为全集,那么实数集的补集是真子集2、填空a,b.c.d∈R,a+bi=c+di ___________a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的_________--条件(二)探究一:复数的几何意义思考1、实数与数轴上的点的对应关系是什么?类比实数的表示,是否也存在一个点与之对应?若存在,这个点的形式是什么?思考2、平面向量oz的坐标为 ,由此你能得出复数的另一个几何意义吗?小结:复数的几何意义:【自我检测1】1.下列命题中的假命题是()(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

2“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D)不充分不必要条件探究二:复数的模思考:实数绝对值的几何意义?通过类比,你能说出复数的模几何意义吗?复数z=a+bi(a ,b ∈R)的模:|z |==共轭复数:【自我检测2】求下列复数的模以及共轭复数的模: (1)z =-5i(2)z =-3+4i(3)z =1+mi(m ∈R) (三)典例分析例1 :实数x 分别取什么值时,复数i x x x x z )152(622--+-+= 对应的点Z 在第三象限?跟踪练习:实数x 分别取什么值时,复数xi x z ++=12对应的点Z(1)在第四象限?(2)直线上03=--y x ?例2 :设z ∈C 满足下列条件的点Z 的集合是什么图形? (1) |z|=5 (2)3<|z|<5例3.已知复数z 对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.(1)|z -(1+2i)| (2)|z -1| (3)|z+2i|(4)已知复数m=2-3i,若复数z 满足不等式|z -m|=1,则z 所对应的点的集合是什么图形?(四)拓展训练例4.设复数z=x+yi,(x,y ∈R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.(1)| z- 2|= 1 (2)| z- i|+ | z+ i|=4 (3)| z- 2|= | z+ 4|变式训练: (1)| z- i|+ | z+ i|=2 (2)| z- i|+ | z+ i|=1 (3)| z- i|- | z+ i|=1(五)小结 :(六)当堂检测2、判断(1)实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数 (2) 若|z 1|=|z 2|,则z 1=z 2 (3) 若|z 1|= z 1,则z 1>02、()12m z i =当<时,复数+m-1在复平面上对应的点位于( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3、已知a ,判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限? (七)作业:1、《复数的几何意义》卷子 2、(链接高考)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于A.第一象限B.第二象限C 第三象限D 第四象。

复数的几何意义导学案07.doc

复数的几何意义导学案07.doc

5.计算(-1 +V3Q3(1 +状一21 +课题:复数的几何意义班级:姓名:学号:【学习目标】1.复数的几何意义和复数模的计算2.复数代数形式的加、减法的儿何意义【预习导学】21.已知复数z = lT,则—= ________________________z-12.若将复数四表示为a + bi0,bcR,i是虚数单位)的形式,贝Ui + b = _________________1-z3.若复数z满足z = i(2-z) (i是虚数单位),M>J z =.74.复数Z] =1+初,Z, =-2 + 1,且一土的实部和虚部互为相反数,则实数"【合作探究】探究一:平面向量的坐标表示法,向量加法、减法运算法则问题一:己知向量a = 0M = (4,3),请在坐标平而内画出向量Z?问题二:你还记得向量的加法和减法法则吗?加法:三角形法则:平行四边形法则:减法:探究二:请阅读课本R S—77页内容,完成下列各题,并做好课堂交流展示的准备:1.如何在复平面内表示复数Z =。

+所?2.复数Z =。

+ hi与复平而内的点Z(a,b)、平而向量0Z的关系是?3.如何计算复数Z = o +所的模,它能比较大小吗?【课堂研讨】例1:在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2 + 1-1 + 31,3 — 2,蜉练习:鹫标平而内^画出下列啤:0A = (2,1),3 = (-1,3), 0C = (0,-1),55 = (3,-2)小结:综合以上两题,你有什么发现?例2.已知复数Z| =3 + 4/,z. =-l + 5z,试比较他们模的大小。

思考任意两个复数都可以比较大小吗?例3.设Ze C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?⑴国=2;(2) 2 < |Z| < 3导学:设Z = x+yj,试着从代数的角度解释你所画的图形?探允二:L A知复数Zj =2-3/,Z2=-1+2Z,试在复平而内表示复数Z], Z?, Z] + Z?, Z] - Z?,并求Zj — Z 21 导学:从复数的向量表示的角度去考虑。

复数几何意义导学案

复数几何意义导学案

龙江一中2014-15学年度(上学期)高二年级 《问题导学、探究发现》导学案 编号 编制人: 高丽华 审核人: 使用时间: 班级: 姓名: 教师评价:课前完成导学案,掌握基本题型,要求独立完成,坚决杜绝抄袭现象。

实验班学生完成所有内容,普通班学生完成带*号以外的内容。

1学习流程一、 问题导学预习P104—105,完成下列问题:1.说出下列复数的实部和虚部,哪些是实数,哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---2.复数(4)(3)z x y i =++-,当实数,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数?3. 若(4)(3)2x y i i ++-=-,试求,x y 的值.4.若(,)A x y ,(0,0)O ,则=5.若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a += ,b a -= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差6.若),(11y x A ,),(22y x B ,则= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 = - =( , ) - ( , )= ( , )二、合作探究1. 复数的几何意义的发现:讨论:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢?根据复数相等的定义,复数可以 由唯一确定。

2、复平面:叫复平面。

在复平面内,X 轴叫 ,Y 轴叫 。

X 轴的单位是 ,Y 轴的单位是 。

实轴上的点都表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 。

复数与复平面内的点 。

3、例题训练:(1)在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。

(先建立直角坐标系,标注点时注意纵坐标是b 而不是bi )(2)指出下列复平面上的点表示什么数(0,0) (1,0) (0,-4) (2,-3)讨论:观察上例中我们所描出的点,从中我们可以得出什么结论?结论:4、复数的几何意义 :(1)−−−→←+=一一对应复数bi a Z 复平面内的点( , ) (复数Z=a+bi 对应的点( , )−−−→←一一对应平面向量 )(2)−−−→←+=一一对应复数bi a Z 平面向量 复平面内人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量,规定相等的向量表示同一复数。

高一下学期数学必修二导学案(复数的几何意义)

高一下学期数学必修二导学案(复数的几何意义)

7.1.2 复数的几何意义【学习目标】1.了解复数代表的几何意义;2.掌握共轭复数代数形式的表示方法;【知识梳理】(20min)一、请同学们预习课本7.1.1节(第70-72页),完成下列知识梳理。

1、复数的几何意义(1)复平面复数集可以用平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系,因此可以用点表示复数.点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.直角坐标系表示复数的平面叫做复平面;x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.复数的几何意义1:复数的几何意义2:(2)复数的模⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并规定,相等的向量表示同一个复数.为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.|z|=|a+bi|=√a2+b22、共轭复数一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.复数z的共轭复数用z̅表示,即如果z=a+bi,那么z̅=a−bi例1(课本例2)设复数z1=4+3i, z2=4−3i.(1)在复平面内画出复数z1, z2对应的点和向量;(2)求复数z1, z2的模,并比较它们的模大小.跟踪训练11、已知复数2+i,−2+4i,4, 3−4i,2(1)在复平面内画出这些复数对应的向量;(2)求这些复数的模.2、当实数m去什么值时,复平面内表示复数z=(m2−8m+15)+(m2−5m−14)i的点分别满足下列条件?(1)位于第四象限;(2)位于第一象限或第三象限;(3)位于直线y=x上。

D.2例2:(课本例3)设z∈C,在复平面内z 对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1) |z|=1;(2) 1<|z|<2.跟踪训练21、设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形。

(1)|z|=3;(2)2≤|z|<5.2、如果复数z的实部为正数,虚部为3,那么在复平面内,复数z对应的点应位于怎样的图形上?【课堂练习】教材第73页习题7.1第2,3,4,5,10,11题。

复数几何意义学案

复数几何意义学案

)
3.复数 z=1+ (A)4 (B)2
3 i 的模是(
(C)
)
1 3
(D)
2
)
4.已知复数 z=(a2-1)+i 所对应的点在直线 x-y=2 上,则实数 a=( (A)2 (B)-2 (C)±2 (D)4 5.下列命题中的假命题是( ) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上 (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上 (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数 (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数



二、自主探究、合作学习 1、复数的实质是什么?在什么条件下复数唯一确定?
2、复平面和平面直角坐标系的区别
3、复数与平面向量如何实现的一一对应?
三.例题讲解 例 1 在复平面内,描出表示下列各复数的点并求出它们的模 ①2+5i ;②-3+2i;③2-4i;④-3-i; ⑤5;⑥-3i
3.1.2 复数的几何意义导学案 知识目标 1.复平面、实轴、虚轴等概念,复数的几何意义 2.会进行复数模的运算 过程与方法目标 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.数学思想方法:类 比、数形结合 情感目标 学习重点 学习难点 感受知识的普遍联系性,数学的和谐美 对复数几何意义的理解以及复数的向量表示. 1.理解复数是一对有序实数不习惯,对于复数几何意义理解有一定困难 2.对于复数向量表示的掌握有一定困难。 导学设计 一、课前准备 复数的相关知识 1、复数的一般形式__________________________ 2、复数相等的充要条件__________________________ .实数和向量的相关知识 1、实数的几何意义_______________ 2、向量与直角坐标系中的有序实数对是怎样的对应关系? 3、向量 a (1, 2) 的模如何计算?若 b (3, 4) ,则 a b,a b 是________

《3.1.2复数的几何意义》导学案(新部编)3

《3.1.2复数的几何意义》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科:_____________任教年级:_____________任教老师:_____________xx市实验学校《3.1.2复数的几何意义》导学案3【课标要求】1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.【核心扫描】1.复数模的概念及求法是考查的热点.2.常与方程、解析几何结合命题,题型以选择、填空为主.自学导引1.复平面的定义如图所示,点Z 的横坐标为a ,纵坐标为b ,复数z =a +b i 可用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴、y 轴叫做虚轴.显然实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义复数z =a +b i(a ,b ∈R )与复平面内的点Z (a ,b )及以原点为起点,点Z (a ,b )为终点的向量OZ →是一一对应的,如图所示.想一想:平面向量能够与复数一一对应的前提是什么?提示 复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点,若起点不是原点,则复数与向量就不能建立一一对应关系.3.复数的模复数z =a +b i(a ,b ∈R )对应的向量为OZ →,则OZ →的模叫做复数z 的模,记作|z |,且|z |=a 2+b 2.想一想:(1)复平面内|z |的意义是什么?提示 在复平面内,|z |表示复数z 的点Z 到原点的距离,也就是向量O Z →的模. (2)模相等的两个复数相等吗?提示 模相等的两个复数未必相等.例如,|i|=1=|-i|,但显然i≠-i.名师点睛1.复平面上的点的坐标与复数的关系(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部.(2)表示实数的点都在实轴上,实轴上的点都表示实数,它们是一一对应的;表示纯虚数的点都在虚轴上,但虚轴上的点不都表示纯虚数,如原点表示实数0.2.复数的几何意义每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此可知,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z =a +b i 一一对应复平面内的点Z (a ,b ).设复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ,连结OZ ,显然向量OZ →是由点Z 唯一确定;反过来,点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ →唯一确定.因此,复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z =a +b i 一一对应平面向量OZ →.用点Z (a ,b )表示复数称为复数的几何形式,用向量OZ →表示复数称为复数的向量形式. 为方便起见,我们常把复数z =a +b i 说成点Z 或说成向量O Z →,并且规定,相等的向量表示同一个复数.3.巧用复数的几何意义解题 (1)复平面内|z |的意义我们知道,在实数集中,实数a 的绝对值,即|a |是表示实数a 的点与原点O 间的距离.那么在复数集中,类似地,|z |是表示复数z 的点到坐标原点间的距离,也就是向量OZ →的模,即|z |=|OZ →|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P 、Q 所对应的复数分别为z 1、z 2,则|PQ |=|z 2-z 1|. 运用以上性质,可以通过数形结合的方法解决有关问题.题型一 复数的几何意义【例1】 在复平面上,复数i,1,4+2i 的对应的点分别是A ,B ,C .求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数.[思路探索] 法一 复数―→点的坐标―→中点坐标公式―→D 点坐标―→D 对应复数, 法二 复数―→向量―→向量运算―→OD →―→D 对应复数. 解 法一 由已知A (0,1),B (1,0),C (4,2),则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,32,由平行四边形的性质知E 也是BD 的中点,设D (x ,y )则⎩⎪⎨⎪⎧x +12=2,y +02=32,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =3.即D (3,3),∵D 点对应复数为3+3i.法二 由已知:OA →=(0,1),OB →=(1,0),OC →=(4,2). ∴BA →=(-1,1),BC →=(3,2),∴BD →=BA →+BC →=(2,3), ∴OD →=OB →+BD →=(3,3), 即点D 对应复数为3+3i.法三 设D (x ,y ),由BA →=CD →,∴(1,-1)=(x -4,y -2),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =3,即D (3,3).复数的几何意义包含两种情况:(1)复数与复平面内点的对应:复数的实、虚部是该点的横、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.(2)复数与复平面内向量的对应:复数的实、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.【变式1】 实数k 为何值时,复数z =k 2-3k -4+(k 2-5k -6)i 对应的点位于:(1)x 轴正半轴上;(2)y 轴负半轴上;(3)第四象限角平分线上.解 ∵k 为实数,∴k 2-3k -4,k 2-5k -6为实数,∴复数z =k 2-3k -4+(k 2-5k -6)i 对应的点Z 为(k 2-3k -4,k 2-5k -6). (1)若对应点位于x 轴正半轴上,则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2-3k -4>0,k 2-5k -6=0,解得k =6.(2)若对应点位于y 轴负半轴上,则⎩⎪⎨⎪⎧k 2-3k -4=0,k 2-5k -6<0,解得k =4.(3)若对应点位于第四象限角平分线上,又第四象限角平分线的方程为y =-x (x >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2-5k -6=-k 2-3k -4,k 2-3k -4>0,解得k =5.题型二 复数的模的求法【例2】 求复数z 1=6+8i 及z 2=-12-2i 的模,并比较它们的模的大小.[思路探索] 先确定复数的实、虚部,再代入公式即可. 解 ∵z 1=6+8i ,z 2=-12-2i ,∴|z 1|=62+82=10,|z 2|= ⎝ ⎛⎭⎪⎫-122+-22=32. ∵10>32,∴|z 1|>|z 2|.计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.【变式2】 在复平面内画出下列各复数对应的向量,并求出各复数的模. 1,-12+32i ,-12-32i.解 在复平面内找出各复数对应向量.显然复数1,-12+32i ,-12-32i 对应向量分别为OA →,OB →,OC →.各复数的模为:|1|=1,⎪⎪⎪⎪⎪⎪-12+32i =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-12-32i =1.题型三 复数的模的几何意义【例3】 设z ∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形? (1)|z |=2; (2)|z |≤3.审题指导 利用模的意义或转化为实数x 、y 应满足的条件.[规范解答] 法一 (1)∵复数z 的模等于2,这表明向量OZ →的长度等于2,即点Z 到原点的距离等于2,因此满足条件|z |=2的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以2为半径的圆.(6分)(2)满足条件|z |≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以3为半径的圆及其内部.(12分)法二 设z =x +y i(x ,y ∈R ),(1)|z |=2,∴x 2+y 2=4, ∴点Z 的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(6分) (2)|z |≤3,∴x 2+y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.(12分)【题后反思】 法一 根据|z |表示点Z 和原点间的距离,直接判定图形形状.法二 利用模的定义,把复数问题转化为实数问题来解决,这也是本章的一种重要思想方法.【变式3】如图,平行四边形OABC ,顶点O 、A 、C 分别表示0,3+2i ,-2+4i ,试求: (1)AO →表示的复数,BC →表示的复数; (2)CA →所表示的复数;(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|=|CA →|,求P 点的轨迹方程. 解 (1)AO →=-OA →,而OA →对应的复数为3+2i , ∴AO →表示的复数为-3-2i ;∵BC →=AO →.∴BC →表示的复数为-3-2i.(2)CA →=OA →-OC →,∴CA →所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)设P (x ,y ),∵|CA →|=|5-2i|=52+-22=29,|OP →|=x 2+y 2,由|OP →|=|CA →|,得x 2+y 2=29,即点P 的轨迹方程为x 2+y 2=29.误区警示 因对复数的模理解不到位而导致错误【示例】 试研究方程x 2-5|x |+6=0在复数集上解的个数. [错解] 将方程变为|x |2-5|x |+6=0⇒|x |=2或|x |=3⇒x =±2或x =±3,故共有4个.这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法,注意这里|x |是一个复数的模,它不等同于实数的绝对值,x 2也不能写成|x |2.[正解] 设x =a +b i(a ,b ∈R ),则原方程可化为a 2-b 2-5a 2+b 2+6+2ab i =0⇒⎩⎨⎧a 2-b 2-5a 2+b 2+6=0,2ab =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =±2,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =±3,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =±1,即x =±2或x =±3或x =±i. 故方程在复数集上的解共有6个.|z |是表示复数z 的点Z 与坐标原点间的距离.也就是向量OZ →的模,即|z |=|OZ →|.。

3.1.2复数的几何意义导学案

3.1.2复数的几何意义导学案

3.1.2复数的几何意义 编制人:高二数学组 日期:2014-3-121.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系;2.了解复数的几何意义;.难点:复数的几何意义.由前一节内容知复数(),z a bi a b R =+∈是由其实部a 和虚部b 共同决定,所以可以考虑复数(),z a bi a b R =+∈与有序实数对(),a b 的对应关系,有序实数对(),a b 与以原点为起点以(),a b 为坐标的向量的对应关系,进而建立复数(),z a bi a b R =+∈与以原点为起点以(),a b 为坐标的向量的对应关系,这是理解复数几何意义的基础.预学案【预习导学】(一)阅读 课本相关内容,并完成下面题目1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ,b )是 的2、 叫做复平面, x 轴叫做 ,y 轴叫做虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应平面向量 4、共轭复数5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模(二)知识链接1.若(,)A x y ,(0,0)O ,则(),OA x y =;2.若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x --=【预习自测】 1、判断正误(1) 实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数(2) 若|z 1|=|z 2|,则z 1=z 2(3) 若|z 1|= z 1,则z 1>0 2、()12m z i =当<时,复数+m-1在复平面上对应的点位于( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【预习总结】(请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来,待课堂上与老师同学探究解决)导学案 【探究点一】复数几何意义(一)引导:复数(),z a bi a b R =+∈与有序实数对(),a b 是 关系;若点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,则复数(),z a bi a b R =+∈可用点 表示,坐标系来表示复数的平面叫做_______,x 轴叫做_________,y 做__________思考:⑴实轴上的点都表示________,原点表示 , 除了原点外,虚轴上的点都表示 ___________.⑵在复平面内z =-5-3i 对应的点______________,z =-3i 对应的点______________, 实轴上的点()20,表示实数 ,虚轴上的点()01-,表示纯虚数_____________, 虚轴上的点()0,5表示纯虚数____________;这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.点拨:复数(),z a bi a b R =+∈是由其实部a 和虚部b 共同决定,所以复数(),z a bi a b R =+∈与有序实数对(),a b 是一一对应关系,和复平面内的点()Z ,a b 也是一一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几何图形——点之间的关系,体现了数与形结合思想. 【探究点二】复数几何意义(二)引导:复平面内的点与平面向量的对应关系:复数()R b a bi a z∈+=,←−−−→一一对应复平面内点(,)Z a b因此,我们可以用平面向量来表示复数,即:= .点拨:复数(),z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 建立了一一对应关系,从而可以利用平面向量知识来解决复数问题,实现了数与形的互化.【探究点三】共轭复数引导:像复数i z 32+=和i z 32-=这样,如果两个复数,实部 ,虚部________________时,称这两个复数互为共轭复数,且z a bi =+的共轭复数记作,(,)_________z a bi a R b R z =+∈∈=即z 的共轭复数.思考:(1)互为共轭复数的两个数所对应的点有什么关系? (2)互为共轭复数的两个数的模有什么关系?点拨:实部相等虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数,互为共轭复数的两个复数有较好的性质,譬如在复平面内对应的点关于x 轴对称,两个复数的模相等等性质,为后续进一步研究复数提供便利.【典例分析】例1已知复数i z +=21,i z 212+=在复平面内对应的点分别为A 、B ,求AB 对应的复数z ,z 在平面内所对应的点在第几象限?引导:根据复数的几何意义(一)知复数1z 、2z 对应的点A 、B 的坐标,进而可知向量AB 的坐标,即可判断z 在平面内所对应 的点在第几象限.解:AB 复数21z z -对应的有序数对.例2如果复数z 的实部为正数,虚部为3,那么在复平面内,复数z 对应的点应位于怎样的图形上。

复数的几何意义教案

复数的几何意义教案

复数的几何意义教案第一篇:复数的几何意义教案课题:复数的几何意义学校姓名一、教学目标:(1)能够类比实数的几何意义说出复数几何意义(2)会利用几何意义求复数的模;(3)能够说出共轭复数的概念二、教学重点、难点:重点:复数的几何意义以及复数的模难点:复数的几何意义及模的综合应用三、教学方法:本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义,探究出复数的几何意义和复数的模公式。

四、教学过程:(一)课题引入实数的几何意义1.提问:在几何上,我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示→数轴上的点实数←−−−(数)(形)(二)新知探究探究一:复数的几何意义思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么?类比实数的表示,是否也存在一个点与之对应?若存在,这个点的形式是什么?问:你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗?(教师提出问题,学生思考,进行小组讨论)。

通过类比,找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。

从而找到复数的几何意义。

思考2:平面向量oz的坐标为 ,由此你能得出复数的另一个几何意义吗?一一对应通过思考2,让学生能够把复数和位置向量相结合,从而推导复数的另一个几何意义。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即一一对应一一对应复数←−−−→复平面内的点←−−−→平面向量(数)(形)建立了平面直角坐标系来表示------复数平面(简称复平面)x轴------实轴 y轴------虚轴小结:复数的几何意义:1复数与复平面内的点是一一对应的2复数与复平面内向量oz一一对应的复平面的有关概念介绍 1复平面2实轴表示实数3虚轴除原点外都是纯虚数探究二:复数的模思考:实数绝对值的几何意义?通过类比,你能说出复数的模几何意义吗? 复数z=a+bi(a,b∈R)的模:|z|=OZ= 共轭复数:(三)典型例题例1.辨析下列命题中的假命题是()(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

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第5课 3. 3复数的几何意义
班级:高二()班姓名:____________
教学目标:
1.了解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
2.通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系,自主探索复数加减法的几何意义.
教学重点:复数的几何意义,复数加减法的几何意义.
教学难点:复数加减法的几何意义.
教学过程:
一、问题情境
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,实数可以用数轴上的点来表示.那么,复数是否也能用点来表示呢?
二、学生活动
问题1任何一个复数a+b i都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢?
问题2平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点,A为终点的向量是
一一对应的,那么复数能用平面向量表示吗?
问题3任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离.任何一个向量都有模,它表示向量的长度,那么相应地,我们可以给出复数的模(绝对值)的概念吗?它又有什么几何意义呢?
问题4复数可以用复平面的向量来表示,那么,复数的加减法有什么几何意义呢?它能像向量加减法一样,用作图的方法得到吗?两个复数差的模有什么几何意义?
三、建构数学
1.复数的几何意义:在平面直角坐标系中,以复数a+b i的实部a为横坐标,虚部b为纵坐标就确定了点Z(a,b),我们可以用点Z(a,b)来表示复数a+b i,这就是复数的几何意义.
2.复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面.其中x轴为实轴,y轴为虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.因为复平面上的点Z(a,b)与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应,所以我们也可以用向量OZ来表示复数z=a+b i,这也是复数的几何意义.
4.复数,复平面的点和平面向量之间的关系:见课本P67图3-3-3.5.复数的模:向量的模叫做复数的z的模,记作│z│或│a+b i│.由模
的定义可知│z│=│a+b i│
离.
6.复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到.两个复
数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.同时,复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的.
四、数学应用
例1在复平面内,分别用点和向量表示下列复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.
练习课本P78练习3,4(口答).
思考
1.复平面内,表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系?
2.如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称,那么它们的实部和虚部分别满足什么关系?
3.“a=0”是“复数a+b i(a, b∈R)是纯虚数”的__________条件.
4.“a=0”是“复数a+b i(a, b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件.
例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围.
例3已知复数
134i
z=+,
215i
z=-+,试比较它们模的大小.思考任意两个复数都可以比较大小吗?
例4设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)│z│=2;(2)2<│z│<3.。

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