3.2函数的表示方法

3.2函数的表示方法
一个函数 y f ( x) 除了直接用自然语言来表述外，常用的表示方法还有解析法、列表 法和图象法三种。
表示方法一：解析法
在上一节开始给出的两个函数 s 100t(t 0,2) 和 V 15h(h 0,10), 都是用等式来表示两个变量 间的函数关系，这种表示函数的方法叫做解析法.例如， y x2 , y 2x, y x 等都是用解析法表示的函 数. 用解析法表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易由自变量的值求出其对应的函数值，便于用解 析式研究函数的性质.
例 2 作函数 y 的图象. 这时函数的图象在第一象限， y 的值随着 x 的值的增大而减小；当 x 0 时， y 0 ，这时函数的图 象在第三象限， y 的值也是随着 x 的值的增大而减小.
1 1 1 1 解：在这个函数的定义域内，适当地取若干个 x 的值：…， 2, 1, , , …, , ,1,2, …， 2 3 3 2
表示方法二：列表法
把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数的关系， 这种方法叫做列表法 .下表是一个例子，它记录了张超同学 中学期间数学期末考试成绩.
表 3-1 张超同学 12 次数学考试成绩 学期 1 序号 成绩 89 93 85 94 83 87 92 88 90 95 94 96 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
（4） y 2 x 1.
练习3-2
3.作出函数 y 2 x 的图象.
1, x 1,0 4.作出函数 y 的图象. 2, x 0,2
拓展
习题册和导学案
小结与作业
像例 3 这样的函数，在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的 函数通常叫做分段函数.
函数图象的判断
说明：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. 综上所述，函数只须有一个法则存在，使得在取值范围中的每一个 x 值，都有唯一确定的 y 值和它对 应即可，不管这个法则是公式、图象、表格，还是其他形式.
函数图象的判断
练习3-2
1.口答下列问题： （1）函数的表示方法有哪几种形式？ （2）已知函数 y f ( x) 的图象如图所示，说出函数的定义域、值域及 f (0) 的值.
练习3-2
2.作出下列函数的图象，并写出函数的定义域、值域： （1） y 3x； （3） y x ；
2
2 （2） y ； x
上表中，学期序号和成绩是两个变量，表中列出了不同学期序号对应 的数学成绩.
又如，下表也是用列表来表示函数关系的.
表 3-2 我国国内生产总值 年份 1997 1998 1999 2000 2001
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单位：亿元 2002 2003 2004 2005
生产 78973.1 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183867.9 总值
解：这个函数的定义域是集合 1,2,3,4 ，函数解析式为： y 3x, x 1,2,3,4. 它的图象由 4 个离散 的点组成，如图 3-3 所示，这些点的坐标分别是 (1,3),(2,6),(3,9),(4,12).
例题
1 x 1 分析： 函数 y 是初中学过的反比例函数， 图象是双曲线， 它的定义域是 x | x 0. 当 x 0 ，y 0 ， x
用列表法表示函数关系的优点是：能够直接表明函数关系中的一 些对应值，不必通过计算就可以知道当自变量取某些值时对应的函数 值，使用比较方便.
想一想：
你能从生活中或者是以前学 过的知识中，找到用列表法来表 示函数关系的例子吗？
表示方法三：图象法
所谓图象法是指用图象来表示两个变量之间函数关系的 方法. 例如，气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化 的曲线就是用图象法表示函数关系的.
例题
x 1, x 0,3 例 3 作函数 f ( x) 的图象. x, x 3,0
解：如图 3-5 所示： 当 x 0,3 时， f ( x) x 1，它的图象是一条线段； 当 x 3,0 时， f ( x) x ，它的图象是一条不含点 O 的线段.
计算出对应的函数值，列出函数的对应值表，见表 3-3：
表 3-3 函数 y
1 的对应值表 x 1 3 1 2
2 1 1 2
… …
x
y
… …
2
1 1

1 2

1 3
… …

1 2
2
3
3
1 2
1 在直角坐标系中描出这些点并连成光滑曲线，这就是函数 y 的图象（图 3-4）. x
在作这种定义在无穷区间上的函数的 图象时，我们不可能画出其完整的图象， 只能画出它在有限区间上的图象，于是， 我们可以先作出这种函数图象中的有限个 点，并把这些点顺次用光滑的曲线连接起 来即可.
又如图3-2是我国人口出生率变化曲线，也是用图象法表示函数关系的.
用图象法表示函数关系的优点是：能够直观地表示出当自变量变化时相应函数值的变化趋势，使得我们可 以通过图象来研究函数的性质.
例题
例 1 某种笔记本每本 3 元，买 x （ x {1,2,3,4}) 本笔记本的钱数记为 y （元）.试写出以 x 为自变量 的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图象.