第1课时分式方程的概念及解法

合集下载

《分式方程》(第1课时)教案doc初中数学

《分式方程》（第1课时）教案doc 初中数学[教学目标]1．明白分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2，了解分式方程产生增根的缘故，会判定所求得的根是否是分式方程的增根．3．会列出方程解决简单的实际咨询题，并能依照实际咨询题的意义检验所得结果是否合理．此外，通过经历〝实际咨询题一建立数学模型(方程)一讲明、应用与拓展〞的过程，体验解决咨询题的差不多策略，进展应用意识和解决咨询题的技能．[教学过程(第一课时)]1．情境创设咨询题是数学的心脏，遵循«标准»关于〝方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型〞的理念，同以往一样，我们仍旧从咨询题开始，让学生从实际咨询题数量关系的探究中，发觉一类未知数显现在分母中的新方程——分式方程．除课本提供的3个实例外，教师能够依照学生的实际情形，补充一些与学生生活相关的实际咨询题，激发学生学习分式方程的爱好．2．探究活动探究活动(一)：能够采纳不同的方式，探寻各个实际咨询题中的数量关系．例如：关于情境(一)，能够用表格揭示服装加工中的工作总量与工作时刻、个人工作效率之间的数量关系：依照咨询题中的相等关系，得x x 20124=+ 关于情境(二)，能够用数位填空的方式表示两位数的构成：原两位数改变后的两位数因此，可得方程47410104=++⨯x x 关于情境(三)，能够用线段示意图表示行程咨询题：由于自行车早动身40min ，但与汽车同时到达，多行驶了40min ，因此可得方程：604031515=-x x 探究活动(二)：探究分式方程的解法．仍以咨询题为先导，发动学生研究如何解分式方程?20124xx =+ 学生可能会显现多种思路，例如：其一，分式方程与含有分数系数的一元一次方程〝形似〞，容易想到通过类比提出猜想：解分式方程也应该先去分母(卡通人语)．猜想是否正确?实践之，检验之．要强调检验的必要性，通过检验能初步讲明猜想的正确性．然后告诉学生，解分式方程的一样方法是先去分母，把不熟悉的方程转化为熟悉的方程来解决．其二，移项进行减法运算，化简，得0)1(204=+-x x x 由分式的值为0的概念，得4x —20=0，从而得解x=5．正确否?可代人检验．其三，利用分式的差不多性质，使方程两边的分式的分子为它们的最小公倍数，如xx 612055120=+，由分式相等的概念，得5x+5＝6x ，从而得x=5．应注意的是，假如学生提出后两种解决咨询题的思路，教师那么要在给予充分确信后，引导学生连续探讨，得出解分式方程的一样方法；假如没有学生提出，那么不必刻意追求，幸免干扰本课主题——分式方程的一样解法．3．例题教学例1给出了解分式方程的一样过程及完整的书写格式，假设有必要，教师可增补例题，让学生学会求解并规范表述．。

(完整)分式方程概念及解法

分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。

解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。

初中数学华东师大版八年级下册1第1课时分式方程及其解法课件

课堂总结
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，那么如何将分式方程化为我们熟悉的整式方程进行求解呢？
在分式方程两边乘最简公分母可化为整式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
90 60 30+x 30 x
解：方程两边乘以最简公分母(30+x)(30-x)，得
90(30 x) 60(30+x)
概念剖析
典型例题
ห้องสมุดไป่ตู้
（一）分式方程的概念
当堂检测
课堂总结
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
解：设江水的流速为x千米/时.
定义：
90 60 . 30+x 30 x
方程中含有分式，并且分母里含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
解：（2）（4）是分式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.下列方程中，不是分式方程的是（ B ）
A. x 2 1 x
C. x 2x 2 1
x 1
x
2
B.
x 1 1 2 x 1 2x 3
D. 2x x 1 x2 1 2
分析：B选项中 x 1 是无理数，不属于整式， x 1 不是分式，所 x 1
组成的方程不是分式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
例2.解方程: 2 3 . x3 x
提示：先找出最简公分母化为整式方程、再求解.
课堂总结
解：去分母，方程两边乘以最简公分母x(x-3)，得

数学八年级上册【分式方程】知识点梳理

数学八年级上册【分式方程】知识点梳理知识点汇总一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。

在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。

因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。

三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.今日练习1.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为：A．B．C． D .2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B．C． D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：故选B考点：由实际问题抽象出分式方程2.B。

分式方程及其解法公开课教案

9．3 分式方程第1课时分式方程及其解法1．了解分式方程的概念；(重点)2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用；(重点)3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)一、情境导入1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？3．解一元一次方程的一般步骤是什么？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列方程是分式方程的是( )A.2x ＋1＝3x －1B.23x －1＝32x ＋2 C.12x 2－x ＝1 D.2x －3解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B ，C 选项是整式方程，D 选项是分式，只有A 选项分母含有未知数，并且是方程．故选A.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．探究点二：分式方程的解法【类型一】解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2； (2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5.检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2.检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点三：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根可能为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0.故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x 的分式方程2x －3＝1－m x －3有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2C ．－1D ．3解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，即(m －1)x ＝－10.①当m －1＝0时，此方程无解，此时m ＝1；②方程有增根，则x ＝2或x ＝－2，当x ＝2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×2＝－10，m ＝－4；当x ＝－2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×(－2)＝－10，解得m ＝6，∴m 的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1.分式方程的概念2.分式方程的解法3.分式方程的增根这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错。

八年级数学上册15.3分式方程第1课时分式方程及其解法说课稿(新版)新人教版

八年级数学上册 15.3 分式方程第1课时分式方程及其解法说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册15.3分式方程是新人教版教材中的一节重要内容。

本节内容主要介绍了分式方程的概念及其解法。

在此之前，学生已经学习了分式的基本性质和运算，为本节内容的学习奠定了基础。

本节内容的学习，不仅有助于学生巩固分式的相关知识，还能提高他们解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和性质有一定的了解。

但是，他们在解决实际问题时，还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，我们需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行教学，使他们在原有基础上得到提高。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握分式方程的概念，了解分式方程的解法，能运用分式方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决分式方程的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.重点：分式方程的概念及其解法。

2.难点：分式方程在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式方程的解法。

2.利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂效果。

3.学生进行小组讨论，培养他们的合作意识。

4.通过课后练习，巩固所学知识。

六. 说教学过程1.导入新课：以生活实例引入分式方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主探究分式方程的解法，培养学生独立解决问题的能力。

3.合作交流：学生进行小组讨论，分享各自的解题心得，互相学习，共同进步。

4.课堂讲解：对分式方程的解法进行讲解，重点讲解实际问题中的运用。

5.练习巩固：布置课后练习，让学生巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出重点。

主要包括以下内容：1.分式方程的概念2.分式方程的解法3.分式方程在实际问题中的应用八. 说教学评价1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度、思维品质和合作意识。

华师版八下《分式方程及其解》课件

例2 已知关于x的分式方程 x a 3 1. x1 x
(1)若有增根为1，求a的值； (2)若有增根，求a的值； (3)若无解，求a的值．
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解．此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原方程无解，则x(x－1)＝0，
x＝0或1，把x＝0代入整式方程，a的值不存在，把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
例1.
解方程：(1) 300 1.25 300 ;
2x
x
2x
解：方程两边同乘2x，得 300 2.5x 600
解得 x = 120. 检验：当 x=120 时，2x≠0，
所以，x = 120 是原分式方程的解． (2) 1 4 .
x 2 x2 4
(2)
1 x2
4
x2
. 4
解：方程两边同乘以 (x+2)(x-2)，
√ √ x 9 0 , x 7
3x 5
x 1 5 , 5x 6 1 x,
x1
72
观察其他方程有什么共同特点？分母中都含有未知数.
知识要点什么是分式方程？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征（1）是等式；（2）方程中含有分母；（3）分母中含有未知数.
找一找哪些是分式方程？
注意
一化（分式方程转化为整式方程）；二解（解整式方程）；三检验（代入最简公分母看是否为零四写出解
(1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘
(2)约去分母后，分子是多项式时,要添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)不要忘记检验
当堂练习 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是( D )

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程4 第1课时分式方程的概念及列分式方程

4800 5000
x x 20
1400 1400 9 1400 2.8 1400
x 2.8x
y
y9
4800 5000 x x 20
思考由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
分母中都含有未知数.
知识要点
分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征（1）是等式；（2）方程中含有分式；（3）分母中含有未知数.
归纳总结
列分式方程的步骤：（1）审清题意，适当设出未知数；（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
分式方程
列方程步骤
1. 审清题意，适当设出未知数； 2. 根据题意找等量关系，列出分式方程
1. 下列属于分式方程的是（ A ）
A. 1 3 x2 x
___x ___x__3__.
3. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际
施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方程 5000 5000 15
____x____x___2_0______.
y9
1400 1400
关系式高铁列车平均速度 = 2.8×特快列车平均速度
做一做为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？
典例精析
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？

人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件

（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数，不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）

小学数学知识归纳认识简单的分式方程和解法

小学数学知识归纳认识简单的分式方程和解法分式方程是小学数学中一个较为复杂的内容，但是只要掌握了一些基本概念和解法，就能轻松应对。

本文将从简单的分式方程开始介绍，帮助读者加深对分式方程的理解，并掌握解决它们的方法。

一、分式方程的概念分式方程是由分式组成的等式，其中分式是由数字和变量组成的含有分母的式子。

它的一般形式可以表示为：a/b = c/d其中，a、b、c、d都可以是数字或变量，且分母b和d不能为零。

二、简单分式方程的解法1. 清除分母当分式方程中存在分母时，为了简化计算，我们需要先将方程两边的分母消去。

具体步骤如下：（1）找到方程中的最小公倍数，记为m；（2）将方程两边的分数乘以m，从而消除分母；（3）将等式两边的式子整理，得到一个简单的方程；（4）解这个简单的方程，即可得到原分式方程的解。

2. 同分母分式方程若分式方程的分母相等，则可以将方程直接转化为分子的等式。

具体步骤如下：（1）将分式方程中的分母设为相同的数值；（2）将等号两边的分子相等，得到一个简单的方程；（3）解这个简单的方程，即可得到原分式方程的解。

三、应用实例为了更好地理解和掌握简单分式方程的解法，我们来看一些具体的应用实例。

例一：解方程 2/x + 1/(x+2) = 3/2解法：首先，我们可以求出方程两边分母的最小公倍数，发现为2x(x+2)。

然后，将方程两边的式子乘以2x(x+2)，得到 2(x+2) + x = 3x(x+2)/2。

进一步整理，得到 2x + 4 + x = 3x^2 + 6x，即 3x^2 + 3x - 2x - 6x - 4= 0。

合并同类项，得到 3x^2 - 5x - 4 = 0。

通过因式分解或二次求根公式，解得 x = -1 或x ≈ 1.33。

例二：解方程 (x+3)/2 - (x-2)/3 = 4解法：首先，我们可以找到方程左右两边的最小公倍数，发现为6。

然后，将方程两边的式子乘以6，得到3(x+3) - 2(x-2) = 24。

分式方程ppt课件

•分式方程基本概念•分式方程解法•分式方程应用举例•分式方程与实际问题结合目•分式方程求解技巧与注意事项•分式方程练习题与答案解析录01分式方程基本概念分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程。

分母中含有未知数（或含有未知数整式的有理方程）叫做分式方程。

分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。

分式方程与整式方程区别方程形式不同未知数位置不同分式方程是分式的形式，而整式方程是整式的形式。

解法不同02分式方程解法通过通分，将分式方程转化为整式方程。

注意去分母后，整理得到的整式方程的解需要检验，以排除增根。

适用于分子、分母均为多项式的分式方程。

去分母法通过引入新的变量，将分式方程转化为整式方程。

换元法可以简化复杂的分式方程，降低求解难度。

适用于具有特定结构的分式方程，如分子或分母含有根式、指数等。

换元法判别式法因式分解法将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。

因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。

适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。

03分式方程应用举例千米，一辆汽车从甲地开千米。

问这辆汽车需要多少小时才能到达乙地？01020304利润= 售价-进价利润率= 利润÷进价×100%售价= 进价×(1 +利润率)进价= 售价÷(1 +利润率)举例：某商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为7.4元。

卖到还剩5双时，除成本外还获利44元。

这批凉鞋共有多少双？04分式方程与实际问题结合实际问题转化为分式方程通过分析实际问题的数量关系，建立分式方程模型。

将实际问题中的已知量和未知量用字母表示，根据问题中的等量关系列出分式方程。

注意分式方程中分母不能为0的条件，确保方程的合法性。

分式方程求解实际问题通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将分式方程化为整式方程。

解整式方程，求得未知数的值。

检验求得的解是否符合实际问题的要求，确保解的合理性。

人教版数学八年级上册第一课时分式方程及其解法课件

第十五章分式
上一页返回导航下一页
解：根据题意，得
x x＋1
＝2，解得x＝－2.经检验，x＝－2是分式方程的解，∴x
的值是－2.
第十五章分式
上一页返回导航下一页
数学·八年级 (上)·配人教
16
思维训练
15．(1)m为何值时，方程x3－x3＋5＝3－m x有增根？
解：方程两边同乘x－3，得3x＋5(x－3)＝－m.当原方程有增根时，x－3＝0，解得x＝3.当x＝3时，m＝－9.故当m＝－9时，方程x3－x3＋5＝3－m x有增根．
(2)m为何值时，方程x3－x3＋5＝3－m x的根是－1? 解：方程两边同乘x－3，得3x＋5(x－3)＝－m.当原方程的根为x＝－1时，m＝ 23.故当m＝23时，方程x3－x3＋5＝3－m x的根是－1.
第十五章分式
上一页返回导航下一页
数学·八年级 (上)·配人教
17
(3)任意写出三个m的值，使对应的方程x3－x3＋5＝3－m x的三个根中两个根之和等于第三个根；
14
(2)xx＋－11－x2－4 1＝1；解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝x2－1.去括号，得x2＋2x＋1－4 ＝x2－1，解得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，∴x＝1是原分式方程的增根，∴原分式方程无解．
(3)【四川广安中考】x－x 2－1＝x2－44x＋4.
第十五章分式
上一页返回导航下一页
基础过关
数学·八年级 (上)·配人教
6
1．下列是关于x的分式方程的是 A．x＋4 2－3＝3＋6 x C．xa－xb＝1
B．xa－＋77＝3－x D．x22＋x 2＝5

苏科版数学八年级上册第十五章15.3分式方程

第十五章分式15.3 分式方程第1课时分式方程及其解法学习目标：1.了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路.2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法. 重点：掌握解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解分式方程无解的原因.一、知识链接1.下列哪些式子是方程？（1）267=-x （）（2）549=- （）（3）8+x （）（4）312 -x （）（5）2131x x =- （）（6）132=-yx （）（7）132=-y x （）（8）5=x （） 2.解一元一次方程的一般需经过哪些步骤呢？结合例题回顾.3.找出下列各组分式的最简公分母：（1）11+x 与11-x 的最简公分母是 .（2）21+a 与412-a 的最简公分母是 . 二、新知预习问题1：什么是分式方程？要点归纳：分母中含有________的方程叫做分式方程.问题2：解分式方程的一般步骤有哪些？要点归纳：(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程； (2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解. 三、自学自测1.下列各式中，分式方程是（）A.65x x = B.1051x x =- C.2341x x =+ D.()1033x xa a =-≠2.解分式方程2211x x x++--＝3时，去分母后变形为（） A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x) ． D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)3.解方程：(1)x －2x ＋2－1＝3x 2－4；(2)2x 2x －3－12x ＋3＝1.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：分式方程的概念问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所解：设江水的流速为 x 千米/时.依题意，得问题2：此方程与我们所学过的方程有何差别？所列方程是整式方程吗？要点归纳：的方程叫做分式方程.例1：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？437x y +=；13(2)2x x =-；(1)(4)1x x x -=-；3(3)2x x π-=；162105x x -+=（）；152x x -=（）；2131x x x ++=.方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．探究点2：分式方程的解法问题1：如何求分式方程vv -=+30603090的解呢？问题2：分式方程2510512-=-x x 有解吗？问题3：解分式方程的基本思路是什么？需要注意的问题是什么？例1：解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3.方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．例2：关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.例3：若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值．方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．1.解方程：(1)2112x x =--；(2)2313162x x -=--. 2.若关于x 的方程无解，求a 的值.A.3＋x 2＝2＋x 5B.2x －17＝x 2C.x π＋1＝2－x 3D.12＋x＝1－2x 2. 要把方程化为整式方程，方程两边可以同乘以（） 3. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（） A.2（x -8)+5x=16(x -7) B.2(x -8)+5x=8 C.2(x -8)-5x=16(x -7) D.2(x -8)-5x=8 4．若关于x 的分式方程2213m x x x +-=-无解，则m 的值为 ( ) A ．－1，5 B ．1 C ．－1.5或2 D ．－0.5或－1.53. 解方程：311x a x x--=-第十五章分式15.3 分式方程第2课时分式方程的应用学习目标：1.理解实际问题中的数量关系.3.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.重点：能通过列分式方程解决实际问题.难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.一、知识链接1.解方程：2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？（1）；（2）；（3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案.3.列方程（组）解应用题的关键是什么？二、新知预习4.完成下面解题过程：小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？（1）请找出上述问题中的等量关系；答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解；解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得_________________________.解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________.答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；241122x x x x +=--第五步，作答．三、自学自测1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )A.300x －2060＝3001.2xB.300x －3001.2x ＝20C.300x －300x ＋1.2x ＝2060D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、要点探究探究点1：利用分式方程解决工程问题例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ . . 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？探究点2：利用分式方程解决行程问题例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？方法总结：明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？例3：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？掌握这次活动的流程．1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为()A.180x－180x＋2＝3 B.180x＋2－180x＝3 C.180x－180x－2＝3 D.180x－2－180x＝32.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.3.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？。

八年级数学上册第十五章分式方程课时1分式方程及其解法教学课件新版新人教版ppt

检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=6.
当堂小练
关于x的方程
的解是正数，则a的取值范围是a＜－1且．a≠－2
【分析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 2x a 1的解是正数，
x 1
∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
当堂小练
若关于x的分式方程
无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
新课导入
思考一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
新课导入
思考一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？解：根据题意得： 130 70 40 v 40 - v 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速.
第十五章分式
15.3 分式方程课时一分式方程及其解法
目录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解分式方程的概念，会判断一个方程是分式方程. （难点） 2.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 3.了解分式方程验根的必要性．（重点）

八年级-人教版-数学-上册-[学习任务单]第1课时-分式方程及其解法

第1课时分式方程及其解法班级_________ 姓名_________ 1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程．2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程．3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．解方程：213x -－312x -＝116．【学习任务一】知识回顾1．前面我们学习了什么方程？2．什么是一元一次方程？学习目标课前学习任务课堂学习任务【学习任务二】新知学习问题1一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？新知_________________________叫做分式方程．练习判断下列式子是否为分式方程？若不是，请说明理由．（1）1x＝5；（2）5x＝1；（3）x2－x＋13＝5；（4）22x－1x；（5）4x＋35x＝7；（6）212x－2a＝1．问题2解分式方程：9030v＋＝6030v－．归纳解分式方程的基本思路是将分式方程化为_________方程，具体做法是“______”，即方程两边乘_________________．这也是解分式方程的一般方法．问题3 解分式方程：15x -＝21025x -．新知一般地，解分式方程时，___________后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为_____，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值_______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．【学习任务三】典例精讲例1 解方程：23x -＝3x．例2 解方程：1x x -－1＝3(1)(2)x x -+．请根据本课所学内容，画出你的思维导图吧！本课小结课后任务完成教材第150页练习题，第152页练习题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 1
3
x
1
1
8
解得
x=－3，
经检验：x=－3是原方程的解.
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
分式方程去分母整式方程
解整式方程
x=a
检验
x=a是分式最简公分母不为0 最简公分母为0 x=a不是分
方程的解
式方程的解
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤
练习2 指出下列方程中各分母的最简分母，
并写出去分母后得到的整式方程.
①
1 2x
2； x3
②
x
2
1
4. x2 1
解：①最简公分母为2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母为x2-1，去分母得 2(x+1)=4．
探究新知
下面我们再讨论一个分式方程
1
10 .
x5
x2 25
②
解：方程两边同乘最简公分母（x-5）（x+5），得
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解.
精讲例题
例1
解方程
2 x3
3 x
.
解：方程两边乘 x（x-3），得
2x = 3x-9
ab b
21a是原分式方程的解．
随堂练习
2
1.把分式方程 x 1
2 x 1 x
1 两边同乘
x－1，约去分母后，得（ D ） A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1
D.2+（2－x）=x－1
2.分式方程
3 x
6 x 1
x5 x( x 1)
0
的解是（ D ） A. x=1
分母中含有未知数．
引入新知分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．追问你能再写出几个分式方程吗？
1 = 2 ； 1 = 10 ； 2 x x+3 x-5 x2 -25
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
巩固练习
练习1 下列哪些是分式方程？ _④__⑤__
分式方程
第1课时分式方程及其解法
问题情境
一艘轮船在静水中的最大航速为３0千米/时，它沿江以最大航速顺流航行９0千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等．江水的流速为多少？
一艘轮船在静水中的最大航速为３0千米/时，它沿江以最大航速顺
流航行９0千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的
B. x =－1
C. x=－14
D.无解
x 1
3.已知关于x的方程 x2 x
1 3x
xk 3x 3
无解，
求k的值.
解：去分母，得3x+3－（x－1）=x2+kx，整理，得x2+（k－2）x-4=0.① 因为分式方程，所以x=0或x=1. 当x=0时，代入方程①，得－4=0，所以x≠0；当x=1时，代入方程①，得k=5，所以k=5.
解得
x=9
检验：当 x = 9时， x（x-3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x =9.
例2
解方程
x
x
1
1
（x
3 1）（x
2）.
解：方程两边乘（x－1）（x+2），得
x（ x+2）－（x－1）（x+2）=3
解得
检验：当x=1时，（x=x－1 1）（x+2）=0，因此， x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解.
①
②
x2 5
2y 2 3
③
x
1
2
④x+xyy =1
3 5
=1
⑤x
1 x
1
⑥
x π
3
2 5
x
思考：
如何解分式方程①
90 = 60 30+ v 30- v
可以先去分母，将分式方程转化为我们熟
知的整式方程，再解整式方程．
如
解分式方程：
90 30+v
=
60 30-v
（30+v）（30-v），得
90（30-v）=60（30+v）.
巩固练习
练习4
解关于x 的方程
x
a
a
b
1（ b ≠ 1）.
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= x-a
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得
（b-1）x = ab-2a
∴x
ab 2a b 1
检验：当 x
ab b
2a 1
时，∵
b
≠
1，∴b-1
≠0，
x-a ≠ 0，所以 x
2x（x+3），
检验：
1
去分母，得
左边= 2 =右边，
x+3=4x，所以x=1是原分式
解得
方程的解.
x=1.
探究新知
上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未
知数的式子（最简公分母）.
x+5=10．
解得
x=5．
x=5是原分式方程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义．因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解.
巩固练习
练习3 解方程并检验.
1 2 . 2x x 3
解：最简公分母为
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此
方程② 所当得x=整5时式，方（程x的-5）解（与x①+的5）解=相0，同这. 就是说，去分母
时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.
时间相等．江水的流速为多少？
分析:设江水的流速为v千米/时,则
轮船顺流航行速度为３0+v 千米/时，
逆流航行速度为３0－v 千米/时，90 30 v
顺流航行100千米所用的时间为3060 v 时，
逆流航行60千米所用的时间为
时.：
根据题意，得
90 = 60
30+ v 30- v . ①
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
4.解方程：
(x
1 1)( x
2)
(x
1 2)( x
5)
(x
1 5)( x
8)
(x
1 8)( x
11)
1
1
3 x 3 24
解：方程可化为：
1 1
3
x
1
1 x
2
1 1
3
x
2
1
x
5
1 3
x
1
5
x
1
8
1 1
3
x
8
x
1
11
1
1，
3 x 3 24
得
1 1
3
x
1
x
1
11
解得
v = 6.
检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，
因此v=6是原方程的解.
即江水的流速为６ｋｍ／ｈ．
归纳总结
将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
巩固练习