1993年全国高考数学试题
1993年试题全国高考数学试题及参考答案
1993年试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为【】[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)C【】[Key] (2)B(A)45°(B)60°(C)90°(D)120°【】[Key] (3)C(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i【】[Key] (4)D(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是【】[Key] (5)C(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值【】[Key] (6)B(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35【】[Key] (7)B(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数【】[Key] (8)A(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线【】[Key] (9)A(10)若a、b是任意实数,且a>b,则【】[Key] (10)D(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间【】[Key] (11)A(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆【】[Key] (12)C(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥【】[Key] (13)D(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是【】[Key] (14)A(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项【】[Key] (15)B(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么【】[Key] (16)B(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种【】[Key] (17)B(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条【】[Key] (18)B二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.(19)2 (20)17.3 (21)4186三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.[Key] 三、解答题.(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.[Key] (26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.(Ⅱ)解法一:过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥l.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,∵l∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,在Rt△A1AE中,∵A1A=1,∠A1AE=90°,解法二:同解法一得l∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.[Key] (27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0).∵tgα=tg(π-∠N)=2,∴由题设知解法二:[Key] (28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.[Key] (29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.证法一:依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0.平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│a│<4+b.(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)=a2±8a+16=(4±a)2,又△≥0,∴-2<α≤β<2,得│α│<2,│β│<2.证法二:(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0,2a>-(4+b);4-2a+b>0,2a<4+b.∴2│a│<4+b.(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ①及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.综上所述α,β均落在(-2,2)内.∴│α│<2,│β│<2.。
1993年湖北高考数学试卷
有关高考“数学”试卷的例题
有关高考“数学”试卷的例题如下:
一、选择题
已知集合A={x∣x2−4x+3<0},B={x∣log2(x−1)<1}, 则A∩B=()
A.(1,3)
B.(2,3)
C.(1,2)
D.(3,4)
二、填空题
函数f(x)=sin(2x+6π)在区间[0,2π]上的最小值为_______。
三、解答题
已知函数f(x)=lnx+x1。
(1) 求函数f(x)的单调区间;
(2) 若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)>k恒成立,求实数k的取值范围。
四、选做题(考生从以下两题中任选一题作答,如果两题都做,则只按第一题计分。
)
1.【坐标系与参数方程选讲】
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=1+22ty=22t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ。
(1) 求曲线C的直角坐标方程;
(2) 设直线l与曲线C交于点A,B,求∣AB∣。
2.【不等式选讲】
已知函数f(x)=∣x−a∣+∣x+2∣。
(1) 当a=−1时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2) 若不等式f(x)≤6的解集包含[−2,3],求实数a的取值范围。
1993年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1993年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为()()()(A)45°(B)60°(C)90°(D)120°()(A)1(B)-1(C)i(D)-i(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是()(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB()(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()(A)12(B)10(C)8(D)2+log35()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数()()(10)若a、b是任意实数,且a>b,则()(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间()(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆()(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是()()(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么()(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=.三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l. (Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.1993年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(理工农医类)参考答案一、选择题:(1)C(2)B(3)C(4)D(5)C(6)B(7)B(8)A(9)A(10)D(11)A(12)C(13)D(14)A(15)B(16)B(17)B(18)B二、填空题:(19)2(20)17.3(21)4186三、解答题.(25)(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.(Ⅱ)解法一:过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥l.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,∵l∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,在Rt△A1AE中,∵A1A=1,∠A1AE=90°,解法二:同解法一得l∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.(27)解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0).∵tgα=tg(π-∠N)=2,∴由题设知解法二:(28)(29)证法一:依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0.平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│a│<4+b.(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)=a2±8a+16=(4±a)2,又△≥0,∴-2<α≤β<2,得│α│<2,│β│<2.证法二:(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0,2a>-(4+b);4-2a+b>0,2a<4+b.∴2│a│<4+b.(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0.①及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0.②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.综上所述α,β均落在(-2,2)内.∴│α│<2,│β│<2.。
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试1993
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则AB =(A ){1}(B ){12},(C ){0123},,,(D ){10123}-,,,, (2)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(A )(31)-,(B )(13)-,(C )(1,)∞+(D )(3)∞--,(3)已知向量(1,)(3,2)m =-,=a b ,且()⊥a +b b ,则m= (A )-8(B )-6 (C )6 (D )8(4)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a= (A )43-(B )34-(C )3(D )2(5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A )24 (B )18 (C )12 (D )9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A )20π(B )24π(C )28π(D )32π(7)若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则评议后图象的对称轴为(A )x=kπ2–π6 (k ∈Z) (B )x=kπ2+π6 (k ∈Z) (C )x=kπ2–π12 (k ∈Z) (D )x=kπ2+π12 (k ∈Z)(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s=(A )7 (B )12 (C )17 (D )34 (9)若cos(π4–α)=35,则sin 2α=(A )725(B )15(C )–15(D )–725(10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,nx ,1y ,2y ,…,ny ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n(11)已知F1,F2是双曲线E 22221x y a b-=的左,右焦点,点M 在E 上,M F1与x 轴垂直,sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为(AB )32(CD )2 (12)已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑(A )0 (B )m (C )2m (D )4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=. (14)α、β是两个平面,m 、n 是两条直线,有下列四个命题:(1)如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n.(3)如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β. (4)如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。
1993年全国高考理科试题
93年全国高校招生数学统考试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为:(A)/2 (B)/2 (C)3/2(D)2(2)函数的最小正周期是:(A)π/4 (B)π/2 (C)π(D)2π(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是:(A)45°(B)60°(C)90°(D)120°(4)当z=-[(1-i)/]时,z100+z50+1的值等于:(A)1 (B)-1 (C)i(D)-i(5)直线bx+ay=ab(a<0。
b<0)的倾斜角是(A)arctg(-b/a) (B)arctg(-a/b) (C)π-arctg(-b/a) (D)π-arctg(a/b)(6)在直角三角形中两锐角为A和B。
则sinAsinB(A)有最大值1/2和最小值0 (B)有最大值1/2但无最小值(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1。
但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列{an}中。
若a5a6=9。
则log3a1+log3a2+…+log3a10=(A)12 (B)10 (C)8(D)2+log35(8)F(x)=[1+2/(2x-1)]f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数(9)曲线的参数方程为(0≤t≤5),则曲线是:(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线(10)若a、b是任意实数,且a>b,则:(A)a2>b2(B)b/a<1 (C)lg(a-b)>0(D)(1/2)a<(1/2)b(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ。
0≤θ≤2π}。
F={θ│tgθ<sinθ}。
那么E∩F为区间:(A)(π/2。
1993年北京高考文科数学真题及答案
1993年北京高考文科数学真题及答案一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为2,焦距为6,那么离心率是 ( C )(A )23 (B )26 (C )23 (D )2 (2)函数xtg x tg y 212122+-=的最小正周期是 ( B ) (A )4π (B )2π (C )π (D )π2 (3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥的轴截面顶角是(A )450 (B )600 (C )900 (D )1200 ( C )(4)当21iz --=时,150100++z z 的值等于 ( D )(A )1 (B )-1 (C )i (D )-i(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是..(A )三棱锥 (B )四棱锥 (C )五棱锥 (D )六棱锥 ( D )(6)在直角三角形中两锐角为A 和B ,则sinAsinB ( B )(A )有最大值21和最小值0 (B )有最大值21,但无最小值 (C )即无最大值也无最小值 (D )有最大值1,但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则2313log log a a +=++103log a ( B )(A )12 (B )10 (C )8 (D )5log 23+(8))0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数,且)(x f 不恒等于零,则)(x f ( A )(A )是奇函数 (B )是偶函数(C )可能是奇函数也可能是偶函数 (D )不是奇函数也不是偶函数(9)设直线032=--y x 与y 轴的交点为P ,点P 把圆25)1(22=++y x 的直径分为两段,则其长度之比为 ( A )(A )7337或 (B )7447或 (C )7557或 (D )7667或 (10)若b a ,是任意实数,且b a >,则 ( D )(A )22b a > (B )1<a b (C )0)lg(>-b a (D )b a )21()21(< (11)已知集合}sin |{},20,sin cos |{θ<θθ=π≤θ≤θ<θθ=tg F E ,那么F E ⋂为区间 ( A )(A )),2(ππ (B ))43,4(ππ (C ))23,(ππ (D ))45,43(ππ (12)一动圆与两圆:x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( C )(A )抛物线 (B )圆 (C )双曲线的一支 (D )椭圆(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则 ( D )(A )ab>0,bc>0(B )ab>0,bc<0(C )ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0(14)如果圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( A )(A )π3)6(l(B )π3)3(l(C )π3)4(l(D )π3)4(41l (15)由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 ( B )(A )50项 (B )17项 (C )16项 (D )15项(16)设c b a ,,都是正数,且c b a 643==,那么 ( B )(A )b a c 111+= (B )b a c 122+= (C )b a c 221+= (D )ba c 212+= (17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 ( B )(A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )23种(18)在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,M 、N 分别为棱A 1A 和B 1B 的中点(如图)。
1993年陕西高考文科数学真题及答案
1993年陕西高考文科数学真题及答案一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为2,焦距为6,那么离心率是 ( C )(A )23 (B )26 (C )23 (D )2 (2)函数xtg x tg y 212122+-=的最小正周期是 ( B ) (A )4π (B )2π (C )π (D )π2 (3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥的轴截面顶角是(A )450 (B )600 (C )900 (D )1200 ( C )(4)当21iz --=时,150100++z z 的值等于 ( D )(A )1 (B )-1 (C )i (D )-i(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是..(A )三棱锥 (B )四棱锥 (C )五棱锥 (D )六棱锥 ( D )(6)在直角三角形中两锐角为A 和B ,则sinAsinB ( B )(A )有最大值21和最小值0 (B )有最大值21,但无最小值 (C )即无最大值也无最小值 (D )有最大值1,但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则2313log log a a +=++103log a ( B )(A )12 (B )10 (C )8 (D )5log 23+(8))0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数,且)(x f 不恒等于零,则)(x f ( A )(A )是奇函数 (B )是偶函数(C )可能是奇函数也可能是偶函数 (D )不是奇函数也不是偶函数(9)设直线032=--y x 与y 轴的交点为P ,点P 把圆25)1(22=++y x 的直径分为两段,则其长度之比为 ( A )(A )7337或 (B )7447或 (C )7557或 (D )7667或 (10)若b a ,是任意实数,且b a >,则 ( D )(A )22b a > (B )1<a b (C )0)lg(>-b a (D )b a )21()21(< (11)已知集合}sin |{},20,sin cos |{θ<θθ=π≤θ≤θ<θθ=tg F E ,那么F E ⋂为区间 ( A )(A )),2(ππ (B ))43,4(ππ (C ))23,(ππ (D ))45,43(ππ (12)一动圆与两圆:x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( C )(A )抛物线 (B )圆 (C )双曲线的一支 (D )椭圆(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则 ( D )(A )ab>0,bc>0(B )ab>0,bc<0(C )ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0(14)如果圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( A )(A )π3)6(l(B )π3)3(l(C )π3)4(l(D )π3)4(41l (15)由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有( B )(A )50项 (B )17项 (C )16项 (D )15项(16)设c b a ,,都是正数,且c b a 643==,那么 ( B )(A )b a c 111+= (B )b a c 122+= (C )b a c 221+= (D )ba c 212+= (17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 ( B )(A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )23种(18)在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,M 、N 分别为棱A 1A 和B 1B 的中点(如图)。
1993年全国高考数学试题(理)
1993年普通高等数学招生全国统一考试(全国Ⅱ)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率:()(1)k kn k n n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷(选择题共68分)一、选择题:本大题共17小题,每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A .2πB. C .πD .4π 2.如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为A .32BCD .23.和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为 A .3450x y +-= B .3450x y ++=C .3450x y -+-=D .3450x y -++=4.极坐标方程435cos ρθ=-所表示的曲线是A .焦点到准线距离为45的椭圆B .焦点到准线距离为45的双曲线右支C .焦点到准线距离为43的椭圆D .焦点到准线距离为43的双曲线右支5.35y x =在[1,1]-上是A .增函数且是奇函数B .增函数且是偶函数C .减函数且是奇函数D .减函数且是偶函数6.2251lim 25n n n n →∞--+的值为A .15-B .52-C .15 D .527.集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈,{|,}42k N x x k Z ππ==+∈,则A .M N =B .M N ⊃C .M N ⊂D .M N =∅I8.sin 20cos70sin10sin 50+oooo的值是A .14BC .12D9.参数方程|cos sin |22(02)1(1sin )2x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=+⎪⎩表示A .双曲线的一支,这支过点1(1,)2 B .抛物线的一部分,这部分过点1(1,)2C .双曲线的一支,这支过点1(1,)2-D .抛物线的一部分,这部分过点1(1,)2- 10.若a 、b 是任意实数,且a b >,则A .22a b >B .1ba<C .lg()0a b ->D .1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切,则动圆圆心轨迹为A .圆B .椭圆C .双曲线的一支D .抛物线12.圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是A .36l π⎛⎫⎪⎝⎭B .3192l π⎛⎫ ⎪⎝⎭C .34l π⎛⎫⎪⎝⎭D .324l π⎛⎫⎪⎝⎭13.451)(1)x -展开式中4x 的系数为A .40-B .10C .40D .4514.直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的32,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+,则旋转体的体积为A .2πB C D .73π15.已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1q ≠,则A .1845a a a a +>+B .1845a a a a +<+C .1845a a a a +=+D .18a a +与45a a +的大小关系不能确定16.设有如下三个命题:甲:相交两直线l ,m 都在平面α内,并且都不在平面β内.乙:l ,m 之中至少有一条与β相交.丙:α与β相交.当甲成立时 A .乙是丙的充分而不必要的条件 B .乙是丙的必要而不充分的条件C .乙是丙的充分且必要的条件D .乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17.将数字1,2,3,4填入1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 A .6种B .9种C .11种D .23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上.18.11sin(arccosarccos )23+= . 19.若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点,则实数k 的取值范围为 . 20.从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有 种取法.(用数字作答) 21.设1()42xx f x +=-,则1(0)f-= .22.建造一个容积为38m ,深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.23.如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P ,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度.三、解答题:本大题共6小题,共58分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.24.(本小题满分10分)已知1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠-. (1)求()f x 的定义域;(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明; (3)求使()0f x >的x 取值范围.25.(本小题满分12分)已知数列228113⋅⋅,228235⋅⋅,…,228(21)(21)n n n -+,….n S 为其前n 项和.计算得189S =,22425S =,34849S =,48081S =. 观察上述结果,推测出计算n S 的公式,并用数学归纳法加以证明.26.(本小题满分12分)已知平面αI 平面β=直线a .,αβ同垂直于平面γ,又同平行于直线b .求证: (1)a γ⊥;(2)b γ⊥.27.(本小题满分12分)在面积为1的△PMN 中,1tan 2PMN ∠=,tan 2MNP ∠=-.建立ECD PABC D E βαγab适当的坐标系,求以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程.28.(本小题满分12分)设复数cos sin (0)z i θθθπ=+<<,441()1z z ω-=+,并且||ω=,arg 2πω<,求θ.数学试题参考答案一、选择题,本题考查基础知识,基本概念和基本运算能力二、填空题.本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分68分.(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.(18)6322+ (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.M NP解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx. ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ,则-1<x <1;如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ,则不等式组无解. ——4分故f (x )的定义域为(-1,1)(Ⅱ) ∵ ()()x f x xx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ,∴ f (x )为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1,log a 011>-+x x 等价于111>-+xx, ①而从(Ⅰ)知1-x >0,故①等价于1+x >1-x ,又等价于x >0.故对a >1,当x ∈(0,1)时有f (x )>0. ——9分(ⅱ)对0<a <1,log a011>-+x x 等价于0<111<-+xx. ② 而从(Ⅰ)知1-x >0,故②等价于-1<x <0.故对0<a <1,当x ∈(-1,0)时有f (x )>0. ——12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分10分.解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112. ——4分 证明如下:(Ⅰ)当n =1时,98313221=-=S ,等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立,即()().1211222+-+=k k S k ——7分 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知,当n =k +1时等式也成立. ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知,等式对任何n ∈N 都成立. ——10分 (26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ,β∩γ=AC .在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ,PN ⊥AC . ——1分 ∵ γ⊥α,∴ PM ⊥α.而 a ⊂α,∴ PM ⊥a .同理PN ⊥a . ——4分 又 PM ⊂γ,PN ⊂γ,∴ a ⊥γ. ——6分(Ⅱ)于a 上任取点Q ,过b 与Q 作一平面交α于直线a 1,交β于直线a 2.—7分∵ b ∥α,∴ b ∥a 1.同理b ∥a 2. ——8分 ∵ a 1,a 2同过Q 且平行于b ,∵ a 1,a 2重合.又 a 1⊂α,a 2⊂β,∴ a 1,a 2都是α、β的交线,即都重合于a . ——10分 ∵ b ∥a 1,∴ b ∥a .而a ⊥γ,∴ b ⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的,该部分不给分. 证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ,过P 作直线a ′⊥γ. ——1分 ∵ α⊥γ,P ∈α, ∴ a ′⊂α.同理a ′⊂β. ——3分 可见a ′是α,β的交线.因而a ′重合于a . ——5分 又 a ′⊥γ,∴ a ⊥γ. ——6分(Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点,过b 和该点作平面与α交于直线c .同法过b 作平面与β交于直线d ——7分∵ b ∥α,b ∥β.∴ b ∥c ,b ∥d . ——8分 又 c ⊄β,d ⊂β,可见c 与d 不重合.因而c ∥d .于是c ∥β. ——9分 ∵ c ∥β,c ⊂α,α∩β=a ,∴ c ∥a . ——10分 ∵ b ∥c ,a ∥c ,b 与a 不重合(b ⊄α,a ⊂α),∴ b ∥a . ——11分 而 a ⊥γ,∴ b ⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的,该部分不给分.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分. 解法一如图,以MN 所在直线为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,设以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ,焦点为M (-c ,0),N (c ,0). —1分由tg M =21,tg α=tg(π-∠MNP )=2,得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x -c ).将此二方程联立,解得x =35c ,y =34c ,即P 点坐标为(35c ,34c ). ——5分在△MNP 中,|MN |=2c ,MN 上的高为点P 的纵坐标,故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆由题设条件S △MNP =1,∴ c =23,即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635,. ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM , ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN .得 ()21521=+=PN PM a . ——10分 又 b 2=a 2-c 2=343415=-,故所求椭圆方程为 1315422=+y x . ——12分 解法二同解法一得23=c ,P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635,. ——7分 ∵ 点P 在椭圆上,且a 2=b 2+c 2.∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b .化简得3b 4-8b 2-3=0. 解得b 2=3,或b 2=31-(舍去). ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=.故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分∵ ∠P =∠α-∠PMN ,∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ. ∴ ∠P 为锐角.∴ sin P =53,cos P =54.而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1,∴ |PM |·|PN |=310. ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ,|MN |=2c ,由余弦定理,(2c )2=|PM |2+|PN |2-2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2-2|PM |·|PN |(1+cos P )=(2a )2-2·310-2·310·54, ∴ c 2=a 2-3,即b 2=3. ——7分 又 sin M =51,sin N =52,由正弦定理,PMN MPN NPM sin sin sin ==,∴PMNM N PNPM sin sin sin =++.即 53251522ca =+,∴ a =5c . ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a .∴ a 2=415.① ② ③ 故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.满分12分. 解法一()()[][]44sin cos 1sin cos 1θθθθωi i ++-+--=()()θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1i i ++----=——2分θθθθθθ2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222i i ++=()θθθ4cos 4sin 2tg i += ——5分 332tg 4cos 4sin 2tg ==+⋅=θθθθωi 332tg ±=θ. ——6分因πθ<<0,故有(ⅰ)当332tg =θ时,得12πθ=或127πθ=,这时都有⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ,得26arg ππω<=,适合题意. ——10分(ⅱ)当332tg -=θ时,得125πθ=或1211πθ=,这时都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi , 得2611arg ππω>=,不适合题意,舍去. 综合(ⅰ)、(ⅱ)知12πθ=或127πθ=. ——2分解法二:θθ4sin 4cos 4i z +=.记θϕ4=,得()()ϕϕsin cos 44i z z-==.ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=. ——2分()ϕϕϕϕcos sin cos 1sin i ++=()ϕϕϕcos sin 2tg i +=. ——5分 ∵ 33=ω,2arg πω<, ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅>⋅=0cos 2tg 0sin 2tg 332tg ϕϕϕϕϕ ——8分当①成立时,②恒成立,所以θ应满足(ⅰ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=<<04cos 332tg 0θθπθ,或(ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=<<04cos 332tg 0θθπθ,——10分解(ⅰ)得12πθ=或127πθ=.(ⅱ)无解.综合(ⅰ)、(ⅱ) 12πθ=或127πθ=. ——12分。
1993年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学
1993年试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为【】【】(A)45°(B)60° (C)90° (D)120°【】(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i【】(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是【】(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值【】(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35【】(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数【】(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线【】(10)若a、b是任意实数,且a>b,则【】(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间【】(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆【】(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥【】(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是【】(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项【】(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么【】(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种(C)11种(D)23种【】(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条【】二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.1993年试题(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.(19)2 (20)17.3 (21)4186三、解答题.(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.(Ⅱ)解法一:过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥l.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,∵l∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,解法二:同解法一得l∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0).∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴由题设知解法二:(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.证法一:依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0.平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│a│<4+b.(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)=a2±8a+16=(4±a)2,又△≥0,∴-2<α≤β<2,得│α│<2,│β│<2.证法二:(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0,2a>-(4+b);4-2a+b>0,2a<4+b.∴2│a│<4+b.(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ①及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.综上所述α,β均落在(-2,2)内.∴│α│<2,│β│<2.。
1993年全国高考试卷
选择题已知集合A = {x | x^2 - 4x + 3 = 0},B = {x | x^2 - 2x - 3 = 0},则A ∩ B = ( )A. {1, 3}B. {-1, 3}C. {1}D. {-1}复数z满足z(1 + i) = 2 - i(其中i为虚数单位),则z = ( )A. 1 + iB. 1 - iC. -1 + iD. -1 - i若函数f(x) = ax^3 + bx^2 + c的导数为f'(x) = 3x^2 + 2x,则a和b的值分别为( )A. a = 1, b = 1B. a = 3, b = 2C. a = 1, b = 0D. a = 3, b = 0下列命题中,正确的是( )A. 平行四边形的对角线相等B. 菱形的对角线互相垂直且平分C. 矩形的对角线互相垂直D. 等腰梯形的对角线互相平分若函数y = f(x)的图象过点(1, 2),则函数y = f(x + 2)的图象必过点( )A. (1, 2)B. (2, 2)C. (3, 2)D. (-1, 2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2 + a5 = 12,则S6 = ( )A. 24B. 36C. 48D. 72填空题已知等比数列{an}的首项a1 = 1,公比q = 2,则a5 = _______。
若函数y = x^2 - 4x + 3在区间[m, m + 1]上的最小值为1,则m = _______。
已知双曲线C: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)的离心率为2,则C的渐近线方程为_______。
已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 = 0,则圆心C的坐标为_______。
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b = 2a,B = A + 60°,则A = _______。
函数y = sin(2x + π/6)在区间[0, π/2]上的最大值为_______。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试93
高考数学普通高等学校招生全国统一考试93高考数学普通高等学校招生全国统一考试93本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,第 I卷 1 至2 页,第 II 卷 3 至 9 页,共 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束.将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷(选择题共 40 分)注意事项:1.答第 I卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一.本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)在复平面内,复数对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(2)若 a 与 b-c 都是非零向量,则〝a·b=a·c〞是〝a⊥(b-c)〞的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为(A)36 个(B)24 个(C)18 个(D)6 个(4)平面的斜线 AB 交于点 B,过定点 A 的动直线与 AB 垂直,且交于点 C,则动点 C 的轨迹是(A)一条直线 (B)一个圆(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支(5)已知是上的增函数,那么 a 的取值范围是(A)(0,1) (B)(0,)(C),(D)(6)在下列四个函数中,满足性质:〝对于区间(1,2)上的任意,( ).恒成立〞的只有(A) (B)__61501;(C) (D)(7)设,则等于(A)(B)(C) (D)(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A.B.C 的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段 ,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则(A) __61502; __61502;(B)(C)__61502;(D)普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类) (北京卷)第II 卷(共 110 分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.(9)的值等于.(10)在的展开式中, 的系数是.(用数字作答)(11)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab0)共线,则,的值等于(12)在△ABC 中,若 C B A sinA: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是(13)已知点 P(_,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么PO 的最小值等于,最大值等于.(14)已知A.B.C三点在球心为 O,半径为R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A.B 两点间的球面距离为球心到平面 ABC 的距离为.. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题共 12 分)已知函数.(Ⅰ)求的定义域;(Ⅱ)设的第四象限的角,且,求的值(16)(本小题共 13 分)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:(Ⅰ)的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.(17)(本小题共 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且PA=PB,点 E 是 PD 的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥PB;(Ⅱ)求证:PB//平面 AEC;(Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小.(18)(本小题共 13 分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) (19)(本小题共 14 分)已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P满足条件PM -PN =,记动点 P的轨迹为 W.(Ⅰ)求 W 的方程;(Ⅱ)若 A,B 是W上的不同两点,O 是坐标原点,求.的最小值.(20)(本小题共 14 分)在数列中,若 a1,a2 是正整数,且,3,4,5,…,则称为〝绝对差数列〞.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的〝绝对差数列〞(只要求写出前十项); (Ⅱ)若〝绝对差数列〞中,,,数列满足n=1,2,3,…,分虽判断当时, 与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何〝绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项.数学(理工类)(北京卷)参考答案一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)(1)D (2)C (3)B (4)A(5)C (6)A (7)D (8)C二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9) (10)-14 (11) (12)(13) (14)三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)(15)(共 12 分)解:(Ⅰ)由得,故在定义域为(Ⅱ)因为,且是第四象限的角, 所以__61537; 故.(16)(共 13 分)解法一:(Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.(Ⅱ)由得解得解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设又所以由,即得,所以.(17)(共 17 分)解法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.(Ⅱ)连接BD,与 AC 相交于 O,连接 EO.∵ABCD 是平行四边形,∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥PB.又 PB平面 AEC,EO平面 AEC,∴PB∥平面 AEC.(Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为,=.又是二面角的平面角二面角E-AC-B的大小为.(18)(共 13 分)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率应聘者用方案二考试通过的概率.(Ⅱ)因为,所以故,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.(19)(共 14 分)解法一:(Ⅰ)由PM-PN=知动点 P 的轨迹是以为焦点的双曲线的右支,实半轴长又半焦距 c=2,故虚半轴长所以 W 的方程为,(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为,当AB⊥_轴时,从而从而当AB与_轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故所以.又因为,所以,从而综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为,则, ,则令则且所以当且仅当,即时〞〞成立.所以.的最小值是2.(20)(共 14 分)(Ⅰ)解:,(答案不惟一)(Ⅱ)解:因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,,即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限不存在.当时, ,所以(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而当时, ;当时,即的值要么比至少小1,要么比至少小1.令则由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项,这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值0,, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.绝密启用前_年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)(编辑:ahuazi)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目涂写在答题卡.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一.本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1) 在复平面内,复数对应的点位于(D)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解:故选D(2)若与都是非零向量,则〝〞是〝〞的(C)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解:_Ucirc;_Ucirc;_Ucirc;故选C(3)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有(B)(A)36个(B)24个(C)18个(D)6个解:依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是奇数,有种方法(2)3个数字中有一个是奇数,有,故共有+=24种方法,故选B(4)平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是(A)(A)一条直线(B)一个圆(C)一个椭圆(D)双曲线的一支解:设与_cent;是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内,故动点C都在这个平面与平面的交线上,故选A(5)已知是上的减函数,那么的取值范围是(C)(A) (B)(C) (D)解:依题意,有0_lt;a_lt;1且3a-1_lt;0,解得0_lt;a_lt;,又当__lt;1时,(3a -1)_+4a_gt;7a-1,当__gt;1时,loga__lt;0,所以7a-1_sup3;0解得__sup3;故选C(6)在下列四个函数中,满足性质:〝对于区间上的任意,恒成立〞的只有(A)(A) (B)(C) (D)解:_gt;1_lt;1\ _lt;_1-_2故选A(7)设,则等于(D)(A) (B)(C) (D)解:依题意,为首项为2,公比为8的前n+4项求和,根据等比数列的求和公式可得D(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则20,30;35,30;55,50 (C)(A)(B)(C)(D)解:依题意,有_1=50+_3-55=_3-5,\_1_lt;_3,同理,_2=30+_1-20=_1+10\_1_lt;_2,同理,_3=30+_2-35=_2-5\_3_lt;_2故选C绝密启用前_年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.(9)的值等于解:==(10)在的展开式中,的系数为(用数字作答).解:令得r=1故的系数为=-14(11)若三点共线,则的值等于解:, ,依题意,有(a-2)·(b-2)-4=0即ab-2a-2b=0所以=(12)在中,若,则的大小是.解: _Ucirc;a:b:c=5:7:8设a=5k,b=7k,c=8k,由余弦定理可解得的大小为.(13)已知点的坐标满足条件,点为坐标原点,那么的最小值等于,最大值等于. 解:画出可行域,如图所示:易得A(2,2),OA=B(1,3),OB=C(1,1),OC=故OP的最大值为,最小值为.(14)已知三点在球心为,半径为的球面上,,且,那么两点的球面距离为,球心到平面的距离为.解:如右图,因为,所以AB是截面的直径,又AB=R,所以△OAB是等边三角形,所以_ETH;AOB=,故两点的球面距离为,于是_ETH;O1OA=30°,所以球心到平面的距离OO1=Rcos30°=.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题共12分)已知函数,(Ⅰ)求的定义域;(Ⅱ)设是第四象限的角,且,求的值.解:(1)依题意,有cos__sup1;0,解得__sup1;kp+,即的定义域为{___Icirc;R,且__sup1;kp+,k_Icirc;Z}(2)=-2sin_+2cos_\=-2sina+2cosa由是第四象限的角,且可得sina=-,cosa=\=-2sina+2cosa=(16)(本小题共13分)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求: (Ⅰ)的值;(Ⅱ)的值.解:(1)由导函数的图象可知,当__Icirc;(-_yen;,1)时,_gt;0,当__Icirc;(1,2)时,_lt;0,当__Icirc;(2,+_yen;)时,_gt;0,所以当_=1时,函数取得极大值,即_0=1(2)=3a_2+2b_+c,依题意有:,=5即有3a+2b+c=0 ,12a+4b+c=0,a+b+c=5解得a=2,b=-9,c=12门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)解:设三门考试课程考试通过的事件分别为A,B,C,相应的概率为a,b,c(1)考试三门课程,至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC,设其概率为P1,则P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为P2,则P2=ab+ac+bc(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(ab+ac+bc)=ab+ac+bc-2abc=(ab+ac+bc-3abc)=〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕_gt;0\P1_gt;P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.(19)(本小题共14分)已知点,动点满足条件.记动点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.解:(1)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:(__gt;0)(2) 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为_=_0,此时A(_0,),B(_0,-),=2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k_+b,代入双曲线方程中,得: (1-k2)_2-2kb_-b2-2=0……………………1°依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(_1,y1),B(_2,y2),则解得k_gt;1又=_1_2+y1y2=_1_2+(k_1+b)(k_2+b)=(1+k2)_1_2+kb(_1+_2)+b2=_gt;2综上可知的最小值为2(20)(本小题共14分)在数列中,若是正整数,且,则称为〝绝对差数列〞.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的〝绝对差数列〞(只要求写出前十项);(Ⅱ)若〝绝对差数列〞中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何〝绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项.解:(Ⅰ),(答案不惟一)(Ⅱ)因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,,即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限不存在.当时, ,所以(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而当时, ;当时,即的值要么比至少小1,要么比至少小1.令则由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值0,, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.。
1993年全国统一高考数学试卷(文科)
1993年全国统一高考数学试卷(文科)一、选择题(共17小题,每小题4分,满分68分)1.(4分)(1993•全国)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是()A.2πB.C.πD.2.(4分)(1993•全国)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为()A.B.C.D.23.(4分)(1993•全国)和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.﹣3x+4y﹣5=0 D.﹣3x+4y+5=04.(4分)(1993•全国)i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为()A.﹣2 B.0 C.2 D.45.(4分)(1993•全国)在[﹣1,1]上是()A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数6.(4分)(1993•全国)的值为()A.B.C.D.7.(4分)(2002•江苏)已知集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则()A.M=N B.M⊃N C.M⊂N D.M∩N=∅8.(4分)(1993•全国)sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是()A.B.C.D.9.(4分)(1993•全国)圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是()A.6 B.4 C.5 D.110.(4分)(1993•全国)若a、b是任意实数,且a>b,则()A.a2>b2B.C.lg(a﹣b)>0 D.11.(4分)(1993•全国)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线12.(4分)(1993•全国)如果圆柱的轴截面的周长l为定值,则圆柱体积的最大值为()A.B.C.D.13.(4分)(1993•全国)(+1)4(x﹣1)5展开式中x4的系数为()A.﹣40 B.10 C.40 D.4514.(4分)(1993•全国)直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π,则旋转体的体积为()A.2πB.C.D.15.(4分)(1993•全国)已知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公式q≠1,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8<a4+a5C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16.(4分)(1993•全国)设有如下三个命题:甲:相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l、m中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时()A.乙是丙的充分而不必要条件B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17.(4分)(1993•全国)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有()A.6种 B.9种 C.11种D.23种二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)18.(4分)(1993•全国)设a>1,则=.19.(4分)(1993•全国)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,则实数k的取值范围为.20.(4分)(1993•全国)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有种取法(用数字作答).21.(4分)(1993•全国)设f (x)=4x﹣2x+1,则f﹣1(0)=.22.(4分)(1993•全国)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为.23.(4分)(1993•全国)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为度.三、解答题(共5小题,满分58分)24.(10分)(1993•全国)求tan20°+4sin20°的值.25.(12分)(1993•全国)已知f(x)=log a(a>0,a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求使f(x)>0的x取值范围.26.(12分)(1993•全国)已知数列S n为其前n项和.计算得观察上述结果,推测出计算S n的公式,并用数学归纳法加以证明.27.(12分)(1993•全国)已知:平面α∩平面β=直线a.α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.求证:(1)a⊥γ;(2)b⊥γ.28.(12分)(1993•全国)在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=﹣2.建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.1993年全国统一高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共17小题,每小题4分,满分68分)1.(4分)(1993•全国)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是()A.2πB.C.πD.【考点】H1:三角函数的周期性.【分析】把三角函数式整理变形,变为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再用周期公式求出周期,变形时先提出,式子中就出现两角和的正弦公式,公式逆用,得到结论.【解答】解:∵f(x)=sinx+cosx=(=,∴T=2π,故选:A.【点评】本题关键是逆用公式,抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.2.(4分)(1993•全国)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为()A.B.C.D.2【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】由双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,能求出a,c,从而得到该双曲线的离心率.【解答】解:由题意知,∴a2=6,c=3,∴.故选:C.【点评】本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距,要求熟练掌握双曲线的性质.3.(4分)(1993•全国)和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.﹣3x+4y﹣5=0 D.﹣3x+4y+5=0【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.【分析】求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率,再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点,可求答案.【解答】解:和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线,其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反,设所求直线为3x+4y+b=0,两直线在x轴截距相等,所以所求直线是3x+4y+5=0.故选:B.【点评】本题是直线的对称问题,一般要用垂直平分解答;本题方法较多,由于对称轴是坐标轴,所以借助斜率,比较简单.4.(4分)(1993•全国)i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为()A.﹣2 B.0 C.2 D.4【考点】A5:复数的运算.【分析】利用i的幂的运算性质,对n为奇数和偶数分类讨论,可以得到结果.【解答】解:因为i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i;由复数i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3=2(i2n+1+i2n+3),当n是偶数时2(i2n+1+i2n+3)=2(i+i3)=0;当n是奇数时2(i2n+1+i2n+3)=2(i3+i)=0.故选:B.【点评】本题考查复数i的幂的运算,复数代数形式的运算,是基础题.5.(4分)(1993•全国)在[﹣1,1]上是()A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数【考点】4X:幂函数的性质.【专题】31 :数形结合.【分析】做出幂函数的图象,根据幂函数的图象与性质:可得在[﹣1,1]上的单调性和奇偶性.【解答】解:考查幂函数.∵>0,根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1,1]上的单调增函数,是奇函数.故选:A.【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质,幂函数是重要的基本初等函数模型之一.学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图象语言,熟记幂函数的图象、性质.6.(4分)(1993•全国)的值为()A.B.C.D.【考点】6F:极限及其运算.【专题】11 :计算题.【分析】分子分母都除以n2,原式简化为,由此可得到的值.【解答】解:==.【点评】本题考查数列的极限,解题时要注意正确选用公式.7.(4分)(2002•江苏)已知集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则()A.M=N B.M⊃N C.M⊂N D.M∩N=∅【考点】18:集合的包含关系判断及应用.【分析】首先分析M、N的元素,变形其表达式,使分母相同,观察分析其分子间的关系,即可得答案.【解答】解:对于M的元素,有x=π,其分子为π的奇数倍;对于N的元素,有x=π,其分子为π的整数倍;分析易得,M⊂N;故选:C.【点评】本题考查集合的包含关系的判断,注意先化简元素的表达式,进而找其间的关系.8.(4分)(1993•全国)sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是()A.B.C.D.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】从题目的结构形式来看,本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式,但是题目又不完全符合,因此有一个整理的过程,整理发现,刚才直观的认识不准确,要前后两项都用积化和差,再合并同类项.【解答】解:原式=]==,故选:A.【点评】在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.本题开始考虑时差点出错,这是解题时好多同学要经历的过程.9.(4分)(1993•全国)圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是()A.6 B.4 C.5 D.1【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】先求圆心到直线的距离,再减去半径即可.【解答】解:圆的圆心坐标(0,0),到直线3x+4y﹣25=0的距离是,所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选:B.【点评】本题考查直线和圆的位置关系,数形结合的思想,是基础题.10.(4分)(1993•全国)若a、b是任意实数,且a>b,则()A.a2>b2B.C.lg(a﹣b)>0 D.【考点】72:不等式比较大小.【专题】15 :综合题.【分析】由题意可知a>b,对于选项A、B、C举出反例判定即可.【解答】解:a、b是任意实数,且a>b,如果a=0,b=﹣2,显然A不正确;如果a=0,b=﹣2,显然B无意义,不正确;如果a=0,b=﹣,显然C,lg<0,不正确;满足指数函数的性质,正确.故选:D.【点评】本题考查比较大小的方法,考查各种代数式的意义和性质,是基础题.11.(4分)(1993•全国)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【考点】KA:双曲线的定义.【专题】11 :计算题.【分析】设动圆P的半径为r,然后根据⊙P与⊙O:x2+y2=1,⊙F:x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r,再两式相减消去参数r,则满足双曲线的定义,问题解决.【解答】解:设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F(4,0),半径为2.依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|﹣|PO|=(2+r)﹣(1+r)=1<|FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选:C.【点评】本题主要考查双曲线的定义.12.(4分)(1993•全国)如果圆柱的轴截面的周长l为定值,则圆柱体积的最大值为()A.B.C.D.【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】11 :计算题;15 :综合题.【分析】设出圆柱的底面半径和高,求出体积表达式,通过求导求出体积的最大值.【解答】解:圆柱底面半径R,高H,圆柱轴截面的周长L为定值:4R+2H=L,H=﹣2R,V=SH=πR2H=πR2(﹣2R)=πR2﹣2πR3求导:V'=πRL﹣6πR2令V'=0,πRL﹣6πR2=0,πR(L﹣6R)=0,L﹣6R=0,R=,当R=,圆柱体积的有最大值,圆柱体积的最大值是:V=πR2﹣2πR3=故选:A.【点评】本题考查旋转体的体积,导数的应用,是中档题.13.(4分)(1993•全国)(+1)4(x﹣1)5展开式中x4的系数为()A.﹣40 B.10 C.40 D.45【考点】DA:二项式定理.【专题】11 :计算题.【分析】先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和,再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数.【解答】解:展开式中x4的系数是下列几部分的和:的常数项与(x﹣1)5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与(x﹣1)5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与(x﹣1)5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为(x﹣1)5展开式的通项为T k=C5r x5﹣r(﹣1)r=(﹣1)r C5r x5﹣r+1∴展开式中x4的系数为C40(﹣C51)++C44(﹣C53)=45故选:D.【点评】本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用.14.(4分)(1993•全国)直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π,则旋转体的体积为()A.2πB.C.D.【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】11 :计算题.【分析】由题意可知,这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积,而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积.再根据题目中的条件求解即可.【解答】解:这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积,圆的面积,直角腰为半径,长方形的面积,圆的周长为长,上底为宽,扇形的面积,圆的周长为弧长,另一腰则为扇形的半径.设上底为x,则下底为,直角腰为,另一腰为整个面积式子为,解得x=±2,因为x>0,所以x=﹣2舍去,x=2.而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积,圆锥的高,下底减上底得圆锥的高为1,圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π,圆锥体积=π所以整个几何体的体积为.故选:D.【点评】本题考查学生的空间想象能力,和逻辑思维能力,等量之间的转换,是中档题.15.(4分)(1993•全国)已知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公式q≠1,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8<a4+a5C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定【考点】87:等比数列的性质.【分析】用作差法比较即可.【解答】解:a1+a8﹣(a4+a5)=a1(1+q7﹣q3﹣q4)=a1(1﹣q3)(1﹣q4)=a1(1+q)(q2+q+1)(q﹣1)2(1+q2)又∵a1>0,a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列∴q>0∴a1+a8﹣(a4+a5)>0另解:a1+a8﹣(a4+a5)=a1(1+q7﹣q3﹣q4)=a1(1﹣q3)(1﹣q4),由各项都大于零的等比数列,公式q≠1,不管q>1还是0<q<1,即可判断a1+a8﹣(a4+a5)>0.故选:A.【点评】本题考查比较法和等比数列通项公式的应用.16.(4分)(1993•全国)设有如下三个命题:甲:相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l、m中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时()A.乙是丙的充分而不必要条件B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系;29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】14 :证明题;16 :压轴题.【分析】判断乙是丙的什么条件,即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立.当乙成立时,直线l、m中至少有一条与平面β相交,则平面α与平面β至少有一个公共点,故相交相交.反之丙成立时,若l、m中至少有一条与平面β相交,则l∥m,由已知矛盾,故乙成立.【解答】解:当甲成立,即“相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内”时,若“l、m中至少有一条与平面β相交”,则“平面α与平面β相交”成立;若“平面α与平面β相交”,则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选:C.【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断,考查逻辑推理能力.17.(4分)(1993•全国)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有()A.6种 B.9种 C.11种D.23种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】11 :计算题;16 :压轴题.【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况,进而分析计算四个数字全部相同,有1个数字相同的情况,有2个数字相同情况,有3个数字相同的情况数目,由事件间的相互关系,计算可得答案.【解答】解:根据题意,数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,共A44=24种填法,其中,四个数字全部相同的有1种,有1个数字相同的有4×2=8种情况,有2个数字相同的有C42×1=6种情况,有3个数字相同的情况不存在,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种,故选:B.【点评】本题考查排列、组合的运用,注意此类题目的操作性很强,必须实际画图操作,认真分析.二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)18.(4分)(1993•全国)设a>1,则=﹣a2.【考点】6F:极限及其运算.【专题】11 :计算题.【分析】当n→∞时,a n→∞.由此能够推导出=的值.【解答】解:===﹣a2.【点评】本题考查极限的应用,解题时要注意等价转化的前提条件.19.(4分)(1993•全国)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,则实数k的取值范围为{k|或} .【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长,由此可以求出实数k的取值范围.【解答】解:∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,∴|3k|>1,∴.解得或.实数k的取值范围为{k|或}.答案为{k|或}.【点评】熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解.20.(4分)(1993•全国)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有100种取法(用数字作答).【考点】D5:组合及组合数公式;D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意,将这10个数分为奇数与偶数两个组,每组各5个数;分析可得,若取出的四个数的和为奇数,则取出的四个数必有1个或3个奇数;分别求出两种情况下的取法情况数,相加可得答案.【解答】解:根据题意,将这10个数分为奇数与偶数两个组,每组各5个数;若取出的四个数的和为奇数,则取出的四个数必有1个或3个奇数;若有1个奇数时,有C51•C53=50种取法,若有3个奇数时,有C51•C53=50种取法,故符合题意的取法共50+50=100种取法;故答案为100.【点评】本题考查利用组合解决常见计数问题的方法,解本题时,注意先分组,进而由组合的方法,结合乘法计数原理进行计算.21.(4分)(1993•全国)设f (x)=4x﹣2x+1,则f﹣1(0)=1.【考点】4R:反函数.【专题】11 :计算题.【分析】欲求f﹣1(0),根据反函数的定义知,只要求出使等式4x﹣2x+1=0,成立的x的值即可.【解答】解:∵4x﹣2x+1=0,2x(2x﹣2)=0,∴2x﹣2=0得:x=1.∴f﹣1(0)=1.故答案为1.【点评】本题主要考查了反函数的概念,属于基础题之列.22.(4分)(1993•全国)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为1760.【考点】5C:根据实际问题选择函数类型.【专题】12 :应用题;16 :压轴题.【分析】欲求水池的最低造价,先设长x,则宽,列出总造价,是一个关于x 的函数式,最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可.【解答】解:设长x,则宽,造价y=4×120+4x×80+×80≥1760,当且仅当:4x×80=×80,即x=2时取等号.故答案为:1760.【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.23.(4分)(1993•全国)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为30度.【考点】MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11 :计算题;16 :压轴题.【分析】二面角的度量关键在于作出它的平面角,取CD的中点M,连接PM、EM,因为PD=PC,所以PM⊥CD;同理因为ED=EC,所以EM⊥CD,故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角.【解答】解:设正方形的边长为2,取CD的中点M,连接PM、EM,∵PD=PC,∴PM⊥CD∵ED=EC,∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角.在△PME中:PE=1,PM=,EM=2,∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为:30.【点评】本小题主要考查棱锥的结构特征,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.三、解答题(共5小题,满分58分)24.(10分)(1993•全国)求tan20°+4sin20°的值.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】11 :计算题.【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形,再两次运用和差化积公式,同时结合正余弦互化公式,则问题解决.【解答】解:tan20°+4sin20°=======2sin60°=.【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力.25.(12分)(1993•全国)已知f(x)=log a(a>0,a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求使f(x)>0的x取值范围.【考点】4K:对数函数的定义域;3K:函数奇偶性的性质与判断.【分析】(1)求对数函数的定义域,只要真数大于0即可,转化为解分式不等式.(2)利用奇偶性的定义,看f(﹣x)和f(x)的关系,注意到和互为倒数,其对数值互为相反数;也可计算f(﹣x)+f(x)=0得到.(3)由对数函数的图象可知,要使f (x)>0,需分a>0和a<0两种境况讨论.【解答】解:(1)由对数函数的定义知.如果,则﹣1<x<1;如果,则不等式组无解.故f(x)的定义域为(﹣1,1)(2)∵,∴f(x)为奇函数.(3)(ⅰ)对a>1,log a等价于,①而从(1)知1﹣x>0,故①等价于1+x>1﹣x,又等价于x>0.故对a>1,当x ∈(0,1)时有f(x)>0.(ⅱ)对0<a<1,log a等价于0<.②而从(1)知1﹣x>0,故②等价于﹣1<x<0.故对0<a<1,当x∈(﹣1,0)时有f(x)>0.【点评】本题考查对数函数的性质:定义域、奇偶性、单调性等知识,难度一般.26.(12分)(1993•全国)已知数列S n为其前n项和.计算得观察上述结果,推测出计算S n的公式,并用数学归纳法加以证明.【考点】8H:数列递推式;RG:数学归纳法.【专题】14 :证明题.【分析】观察分析题设条件可知.然后再用数学归纳法进行证明.【解答】解:观察分析题设条件可知证明如下:(1)当n=1时,,等式成立.(Ⅱ)设当n=k时等式成立,即则======由此可知,当n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)可知,等式对任何n∈N都成立【点评】本题考查数列性质的综合应用,解题时要注意数学归纳法的证明步骤,注意培养计算能力.27.(12分)(1993•全国)已知:平面α∩平面β=直线a.α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.求证:(1)a⊥γ;(2)b⊥γ.【考点】LW:直线与平面垂直.【专题】14 :证明题;16 :压轴题.【分析】(1)在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC,由面面垂直的性质得PM⊥α,PM⊥a;同理证明PN⊥a,这样a垂直于面γ内的2条相交直线,从而a⊥γ.(2)通过α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b,利用线面平行的性质定理证明,b∥a,由(1)知a⊥γ,从而证得b⊥γ.【解答】证明:(1)设α∩γ=AB,β∩γ=AC.在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC.∵γ⊥α,∴PM⊥α.而a⊂α,∴PM⊥a.同理PN⊥a.又PM⊂γ,PN⊂γ,∴a⊥γ.(2)于a上任取点Q,过b与Q作一平面交α于直线a1,交β于直线a2.∵b ∥α,∴b∥a1.同理b∥a2.∵a1,a2同过Q且平行于b,∵a1,a2重合.又a1⊂α,a2⊂β,∴a1,a2都是α、β的交线,即都重合于a.∵b∥a1,∴b∥a.而a⊥γ,∴b⊥γ.【点评】本题考查证明线面垂直的证明方法.28.(12分)(1993•全国)在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=﹣2.建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.【考点】K3:椭圆的标准方程.【专题】11 :计算题;16 :压轴题.【分析】以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标,根据tanM=,tanα=tg(π﹣∠MNP)=2,得直线PM和PN的直线方程,将此二方程联立解得x和y,可知点P的坐标,根据,|MN|=2c,MN上的高为点P的纵坐标,根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c,则点P的坐标可得.由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|,进而根据椭圆的定义求得a,进而求得b,则椭圆方程可得.【解答】解:如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程为,焦点为M(﹣c,0),N(c,0).由tan∠PMN=,tan∠MNP=﹣2,tanα=tan(π﹣∠MNP)=2,得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x﹣c).将此二方程联立,解得x=c,y=c,即P点坐标为(c,c).在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为点P的纵坐标,故.=1,∴c=,即P点坐标为.由题设条件S△MNP由两点间的距离公式,.得.又b2=a2﹣c2=,故所求椭圆方程为.【点评】本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.考点卡片1.集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念:1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集;A⊆B;如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,即A⊂B;2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,即A=B.【解题方法点拨】1.按照子集包含元素个数从少到多排列.2.注意观察两个集合的公共元素,以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.4.有时借助数轴,平面直角坐标系,韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】通常命题的方式是小题,直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系,可以与函数的定义域,三角函数的解集,子集的个数,简易逻辑等知识相结合命题.2.充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断:当命题“若p则q”为真时,可表示为p⇒q,称p为q的充分条件,q 是p的必要条件.事实上,与“p⇒q”等价的逆否命题是“¬q⇒¬p”.它的意义是:若q不成立,则p一定不成立.这就是说,q对于p是必不可少的,所以说q是p的必要条件.例如:p:x>2;q:x>0.显然x∈p,则x∈q.等价于x∉q,则x∉p一定成立.2、充要条件:如果既有“p⇒q”,又有“q⇒p”,则称条件p是q成立的充要条件,或称条件q是p成立的充要条件,记作“p⇔q”.p与q互为充要条件.【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据;解题中必须涉及两个方面,充分条件与必要条件,缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性,实际上,充分性理解为充分条件,必要性理解为必要条件,学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.【命题方向】充要条件是学生学习知识开始,或者没有上学就能应用的,只不过没有明确定义,因而几乎年年必考内容,多以小题为主,有时也会以大题形式出现,中学阶段的知识点都相关,所以命题的范围特别广.3.函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.【解题方法点拨】①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③偶函数:在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解;④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反.例题:函数y=x|x|+px,x∈R是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关解:由题设知f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f(x),所以f(x)是奇函数.故选B.【命题方向】函数奇偶性的应用.本知识点是高考的高频率考点,大家要熟悉就函数的性质,最好是结合其图象一起分析,确保答题的正确率.4.对数函数的定义域【知识点归纳】一般地,我们把函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域是R.5.反函数【知识点归纳】【定义】一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x=g(y).若对于y在中的任何一个值,通过x=g (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=g(y)就表示y是自变量,x 是因变量是y的函数,这样的函数y=g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f(﹣1)(x)反函数y=f(﹣1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f (x)的值域、定义域.【性质】。
1993年高考数学试卷
高考数学试卷一、单选题1.命题:00x ∃≤,20010x x -->的否定是( )A .0x ∀>,210x x --≤B .00x ∃>,20010x x -->C .00x ∃≤,20010x x --≤D .0x ∀≤,210x x --≤2.函数2x y +=的定义域为( )A .{|21}x x x >-≠且B .{|21}x x x ≥-≠且C .)[(21,1,)-⋃+∞D .)((21,1,)-⋃+∞3.“1<x <2”是“x <2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.袋中有2个白球,2个黑球,若从中任意摸出2个,则至少摸出1个黑球的概率是( )A .16B .13C .34D .56 5.tan 3π=( )A .3B .3C .1D 36.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -,已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ,值域为[1,2],则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为( )A.1B.2C.3D.127.在三棱锥B ACD -中,若AB AC AD BC BD CD =====,则异面直线AB与CD所成角为()A.30° B.60° C.90° D.120°8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,c=2acosA,则cosA=()A.13 B.24 C.3D.6二、填空题9.25(0),()8(0).x xf xx x⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14.正方体的棱长扩大到原来的倍,其表面积扩大到原来的()倍。
10.已知球的体积为36π,则该球大圆的面积等于______.三、解答题11.已知x+y=7,xy=-8,求:(1)x2+y2的值;(2)(x-y)2的值.(3)若不等式f(2x)≧m·2x对xЄR恒成立,求实数m的取值范围。
1993年全国高考数学试题
1、设集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 5},B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1},若B ⊆ A,则实数m的取值范围是:A、[-3, 3]B、[-2, 4]C、(2, 3]D、[2, 3](答案)D。
解析:考虑B集合为空集和非空集两种情况,分别求解m的范围,综合得出m的取值范围为[2, 3]。
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 = 6,a4 = 6,则公差d等于:A、1B、2C、3D、4(答案)C。
解析:利用等差数列的前n项和公式S3 = 3/2 * (2a1 + 2d) = 6和通项公式a4 = a1 + 3d = 6,联立方程求解得d = 3。
3、若复数z满足(1 - i)z = 2i,则z等于:A、1 - iB、1 + iC、-1 - iD、-1 + i(答案)B。
解析:通过复数除法运算,z = 2i / (1 - i),乘以共轭复数(1 + i)后化简得z = 1 + i。
4、过点P(2, 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为:A、y = x + 1B、y = 3x - 6C、3x + y - 9 = 0D、x + y - 5 = 0 或 y = 3x(答案)D。
解析:分截距为0和截距不为0两种情况讨论,分别求出直线方程,综合得出答案。
5、设随机变量X的分布列为P(X = k) = a/k (k = 1, 2, 3),则P(X = 2)的值为:A、1/6B、1/3C、1/2D、2/3(答案)A。
解析:利用概率和为1的性质,列出方程a + a/2 + a/3 = 1,解得a = 1/2,所以P(X = 2) = a/2 = 1/6。
6、已知圆C的方程为x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0,则圆心C到直线l: x - y = 0的距离为:A、√2B、√2/2C、3√2/2D、2√2(答案)C。
解析:将圆方程化为标准形式得圆心坐标(1, 2),利用点到直线距离公式计算得距离为3√2/2。
1993高考数学全国卷及答案理
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共17小题;每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)函数f (x )=sin x +cos x 的最小正周期是 ( )(A) 2π(B) π22(C) π(D)4π(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为 ( ) (A)23 (B)23 (C)26 (D) 2(3)和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为 ( )(A) 3x +4y -5=0 (B) 3x +4y +5=0 (C) -3x +4y -5=0 (D) -3x +4y +5=0(4)极坐标方程θρcos 534-=所表示的曲线是 ( )(A) 焦点到准线距离为54的椭圆 (B) 焦点到准线距离为54的双曲线右支(C) 焦点到准线距离为34的椭圆 (D) 焦点到准线距离为34的双曲线右支(5)53x y =在[-1,1]上是 ( )(A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数(D) 减函数且是偶函数(6)5215lim 22+--∞→n n n n 的值为 ( )(A) 51-(B) 25-(C)51 (D)25 (7) 集合}24|{}42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==,,,ππππ,则 ( ) (A) M =N(B) N M ⊃(C) N M ⊂(D) =⋂N M Ø(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )(A)41(B) 23(C)21 (D)43 (9)参数方程()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθsin 1212sin 2cos y x ()πθ20<<表示( )(A) 双曲线的一支,这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛211,(B) 抛物线的一部分,这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛211,(C) 双曲线的一支,这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,(D) 抛物线的一部分,这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛-211, (10)若a 、b 是任意实数,且a >b ,则 ( )(A) a 2>b 2(B)1<ab (C) lg(a -b )>0(D) ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121(11)一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切,则动圆圆心轨迹为 ( )(A) 圆(B) 椭圆(C) 双曲线的一支(D) 抛物线(12)圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( )(A) π36⎪⎭⎫ ⎝⎛l(B) π3291⎪⎭⎫ ⎝⎛l(C) π34⎪⎭⎫ ⎝⎛l(D) π342⎪⎭⎫ ⎝⎛l(13)(x +1)4(x -1)5展开式中x 4的系数为( )(A) -40(B) 10(C) 40(D) 45(14)直角梯形的一个内角为45º,下底长为上底长的23,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π,则旋转体的体积为( )(A) 2π(B)π324+ (C)π325+ (D)π37 (15)已知a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等比数列,公式q ≠1,则 ( )(A) a 1+ a 8> a 4+ a 5 (B) a 1+ a 8< a 4+ a 5 (C) a 1+ a 8= a 4+ a 5(D) a 1+ a 8和a 4+ a 5的大小关系不能由已知条件确定 (16)设有如下三个命题:甲:相交两直线l ,m 都在平面α内,并且都不在平面β内. 乙:l ,m 之中至少有一条与β相交. 丙:α与β相交. 当甲成立时( )(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )(A) 6种(B) 9种(C) 11种(D) 23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项:1.第Ⅱ卷6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中,不要在答题卡上填涂. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题;每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(18)⎪⎭⎫ ⎝⎛+31arccos 21arccos sin = ________________(19)若双曲线222249ky k x -=1与圆x 2+y 2=1没有公共点,则实数k 的取值范围为_________________(20)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有______________种取法(用数字作答).(21)设f (x )=4x -2x +1,则f -1(0)=_____________(22)建造一个容积为8m 3 ,深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为________________元(23)如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P ,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________度三、解答题:本大题共5小题;共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.(24)(本小题满分10分) 已知f (x )=log axx-+11(a >0,a ≠1). (Ⅰ)求f (x )的定义域;(Ⅱ)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (Ⅲ)求使f (x )>0的x 取值范围.(25)(本小题满分12分) 已知数列()().1212853283118222222 ,,,,+-⋅⋅⋅⋅n n nS n 为其前n 项和.计算得.818049482524984321====S S S S ,,,观察上述结果,推测出计算S n 的公式,并用数学归纳法加以证明.(26)(本小题满分12分)已知:平面α∩平面β=直线a .α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b . 求证:(Ⅰ)a ⊥γ;(Ⅱ)b ⊥γ.(27)(本小题满分12分)在面积为1的△PMN 中,tg ∠PMN =21,tg ∠MNP =-2.建立适当的坐标系,求以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程.(28)(本小题满分12分)设复数()πθθθ<<+=0sin cos i z ,()4411z z+-=ω,并且33=ω,2arg πω<,求θ.1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分68分.(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.(18)6322+ (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx. ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ,则-1<x <1;如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ,则不等式组无解. ——4分故f (x )的定义域为(-1,1) (Ⅱ) ∵ ()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log , ∴ f (x )为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1,log a011>-+xx等价于 111>-+xx, ① 而从(Ⅰ)知1-x >0,故①等价于1+x >1-x ,又等价于x >0.故对a >1,当x ∈(0,1)时有f (x )>0. ——9分(ⅱ)对0<a <1,log a 011>-+xx等价于 0<111<-+xx. ② 而从(Ⅰ)知1-x >0,故②等价于-1<x <0.故对0<a <1,当x ∈(-1,0)时有f (x )>0. ——12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分10分.解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112. ——4分 证明如下:(Ⅰ)当n =1时,98313221=-=S ,等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立,即()().1211222+-+=k k S k——7分 则 ()()()221321218++++=+k k k S S k k()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知,当n =k +1时等式也成立. ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知,等式对任何n ∈N 都成立. ——10分(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB,β∩γ=AC.在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC.——1分∵γ⊥α,∴PM⊥α.而a⊂α,∴PM⊥a.同理PN⊥a.——4分又PM⊂γ,PN⊂γ,∴a⊥γ.——6分(Ⅱ)于a上任取点Q,过b与Q作一平面交α于直线a1,交β于直线a2.——7分∵b∥α,∴b∥a1.同理b∥a2.——8分∵a1,a2同过Q且平行于b,∵a1,a2重合.又a1⊂α,a2⊂β,∴a1,a2都是α、β的交线,即都重合于a.——10分∵b∥a1,∴b∥a.而a⊥γ,∴b⊥γ.——12分注:在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的,该部分不给分.证法二(Ⅰ)在a上任取一点P,过P作直线a′⊥γ.——1分∵α⊥γ,P∈α,∴a′⊂α.同理a′⊂β.——3分可见a′是α,β的交线.因而a′重合于a.——5分又 a ′⊥γ,∴ a ⊥γ. ——6分(Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点,过b 和该点作平面与α交于直线c .同法过b 作平面与β交于直线d . ——7分∵ b ∥α,b ∥β.∴ b ∥c ,b ∥d . ——8分 又 c ⊄β,d ⊂β,可见c 与d 不重合.因而c ∥d .于是c ∥β. ——9分 ∵ c ∥β,c ⊂α,α∩β=a ,∴ c ∥a . ——10分 ∵ b ∥c ,a ∥c ,b 与a 不重合(b ⊄α,a ⊂α),∴ b ∥a . ——11分 而 a ⊥γ,∴ b ⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的,该部分不给分.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.解法一如图,以MN 所在直线为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,设以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ,焦点为M (-c ,0),N (c ,0). —1分由tg M =21,tg α=tg(π-∠MNP )=2,得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x -c ).将此二方程联立,解得x =35c ,y =34c ,即P 点坐标为(35c ,34c ). ——5分在△MNP 中,|MN |=2c ,MN 上的高为点P 的纵坐标,故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件S △MNP =1,∴ c =23,即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635,. ——7分由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM , ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN . 得 ()21521=+=PN PM a . ——10分 又 b 2=a 2-c 2=343415=-,故所求椭圆方程为 1315422=+y x . ——12分 解法二同解法一得23=c ,P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635,. ——7分 ∵ 点P 在椭圆上,且a 2=b 2+c 2.∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b . 化简得3b 4-8b 2-3=0.解得b 2=3,或b 2=31-(舍去). ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=.故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ∵ ∠P =∠α-∠PMN ,∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ. ∴ ∠P 为锐角.∴ sin P =53,cos P =54. 而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1,∴ |PM |·|PN |=310. ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ,|MN |=2c ,由余弦定理, (2c )2=|PM |2+|PN |2-2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2-2|PM |·|PN |(1+cos P ) =(2a )2-2·310-2·310·54,∴ c 2=a 2-3,即b 2=3. ——7分 又 sin M =51,sin N =52,由正弦定理,P MN MPN NPM sin sin sin ==,∴PMN MN PN PM sin sin sin =++.即53251522c a =+, ∴ a =5c . ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a .∴ a 2=415. 故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.满分12分.解法一()()[][]44sin cos 1sin cos 1θθθθωi i ++-+--=()()θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1i i ++----=——2分θθθθθθ2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222i i ++= ()θθθ4cos 4sin 2tg i +=. ——5分332tg 4cos 4sin 2tg ==+⋅=θθθθωi 332tg ±=θ. ——6分 因πθ<<0,故有 (ⅰ)当332tg =θ时,得12πθ=或127πθ=,这时都有⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi , 得26arg ππω<=,适合题意. ——10分(ⅱ)当332tg -=θ时,得125πθ=或1211πθ=,这时都有⎪⎭⎫⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi , 得2611arg ππω>=,不适合题意,舍去. 综合(ⅰ)、(ⅱ)知12πθ=或127πθ=. ——2分解法二θθ4sin 4cos 4i z +=.记θϕ4=,得()()ϕϕsin cos 44i z z-==.ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=. ——2分()ϕϕϕϕcos sin cos 1sin i ++=()ϕϕϕcos sin 2tgi +=. ——5分① ② ③ ∵ 33=ω,2arg πω<,∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅>⋅=0cos 2tg 0sin 2tg 332tg ϕϕϕϕϕ ——8分当①成立时,②恒成立,所以θ应满足(ⅰ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=<<04cos 332tg 0θθπθ,或(ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=<<04cos 332tg 0θθπθ, ——10分解(ⅰ)得12πθ=或127πθ=.(ⅱ)无解.综合(ⅰ)、(ⅱ) 12πθ=或127πθ=. ——12分。
数学试卷93年普通高等国统一考试(北京及云南等省用题)文科数学试题及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共17小题;每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) 函数f (x )=sin x +cos x 的最小正周期是 ( )(A) 2π(B) π22(C) π(D)4π(2) 如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为( )(A)23 (B)23 (C)26 (D) 2(3) 和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为 ( )(A) 3x +4y -5=0 (B) 3x +4y +5=0 (C) -3x +4y -5=0(D) -3x +4y +5=0(4) i 2n -3+i 2n -1+i 2n +1+i 2n +3的值为( )(A) -2(B) 0 (C) 2 (D) 4(5) 53x y =在[-1,1]上是 ( )(A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数(D) 减函数且是偶函数(6) 5215lim 22+--∞→n n n n 的值为( )(A) 51-(B) 25-(C)51 (D)25 (7) 集合}24|{}42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==,,,ππππ,则 ( ) (A) M =N(B) N M ⊃(C) N M ⊂(D) =⋂N M Ø(8) sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )(A)41(B) 23(C)21 (D)43 (9) 圆x 2+y 2=1上的点到直线3x +4y -25=0的距离的最小值是 ( ) (A) 6(B) 4(C) 5(D) 1(10) 若a 、b 是任意实数,且a >b ,则 ( )(A) a 2>b 2(B)1<ab (C) lg(a -b )>0(D) ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121(11) 一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切,则动圆圆心轨迹为 ( )(A) 圆(B) 椭圆 (C) 双曲线的一支(D) 抛物线(12) 圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( )(A) π36⎪⎭⎫⎝⎛l(B) π3291⎪⎭⎫ ⎝⎛l(C) π34⎪⎭⎫ ⎝⎛l(D) π342⎪⎭⎫ ⎝⎛l(13) (x +1)4(x -1)5展开式中x 4的系数为 ( )(A) -40(B) 10(C) 40(D) 45(14) 直角梯形的一个内角为45º,下底长为上底长的23,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π,则旋转体的体积为( )(A) 2π(B)π324+ (C)π325+ (D)π37 (15) 已知a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等比数列,公式q ≠1,则 ( )(A) a 1+ a 8> a 4+ a 5 (B) a 1+ a 8< a 4+ a 5 (C) a 1+ a 8= a 4+ a 5(D) a 1+ a 8和a 4+ a 5的大小关系不能由已知条件确定 (16) 设有如下三个命题:甲:相交两直线l ,m 都在平面α内,并且都不在平面β内. 乙:l ,m 之中至少有一条与β相交. 丙:α与β相交. 当甲成立时( )(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17) 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )(A) 6种(B) 9种(C) 11种(D) 23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项:1.第Ⅱ卷6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中,要在答题卡上填涂. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题;每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(18) 设a >1,则1111lim -+∞→+-n n n a a =________________(19) 若双曲线222249ky k x -=1与圆x 2+y 2=1没有公共点,则实数k 的取值范围为___________________(20) 从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有__________种取法(用数字作答).(21) 设f (x )=4x -2x +1,则f -1(0)=______________(22) 建造一个容积为8m 3 ,深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为________________元(23) 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P ,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________度三、解答题:本大题共5小题;共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.(24) (本小题满分10分) 求tg20º+4sin20º的值. (25)(本小题满分12分) 已知f (x )=log axx-+11(a >0,a ≠1). (Ⅰ)求f (x )的定义域;(Ⅱ)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (Ⅲ)求使f (x )>0的x 取值范围. (26) (本小题满分12分) 已知数列()().1212853283118222222 ,,,,+-⋅⋅⋅⋅n n nSn 为其前n 项和.计算得.818049482524984321====S S S S ,,,观察上述结果,推测出计算S n 的公式,并用数学归纳法加以证明.(27) (本小题满分12分)已知:平面α∩平面β=直线a . α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b .求证:(Ⅰ)a ⊥γ; (Ⅱ)b ⊥γ.(28) (本小题满分12分)在面积为1的△PMN 中,tg ∠PMN =21,tg ∠MNP =-2.建立适当的坐标系,求以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程.1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明:1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分68分. (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)A (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.(18)-a 2 (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题(24)本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力.满分10分.解 tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin︒︒+︒=20cos 40sin 220sin ——2分 ()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2 ——6分 ︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2 ︒=60sin 23=. ——10分(25)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx. ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ,则-1<x <1; ——3分如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ,则不等式组无解. ——4分故f (x )的定义域为(-1,1) (Ⅱ) ∵ ()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log , ∴ f (x )为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1,log a011>-+xx等价于111>-+xx, ① 而从(Ⅰ)知1-x >0,故①等价于1+x >1-x ,又等价于x >0.故对a >1,当x ∈(0,1)时有f (x )>0. ——9分(ⅱ)对0<a <1,log a 011>-+xx等价于 0<111<-+xx. ② 而从(Ⅰ)知1-x >0,故②等价于-1<x <0.故对0<a <1,当x ∈(-1,0)时有f (x )>0.——12分(26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分12分.解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112. ——4分 证明如下:(Ⅰ)当n =1时,98313221=-=S ,等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立,即()().1211222+-+=k k S k——7分 则 ()()()221321218++++=+k k k S S k k()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k()()2232132+-+=k k()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知,当n =k +1时等式也成立. ——11分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知,等式对任何n ∈N 都成立. ——12分 (27)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ,β∩γ=AC .在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ,PN ⊥AC . ——1分∵ γ⊥α, ∴ PM ⊥α. 而 a ⊂α, ∴ PM ⊥a .同理PN ⊥a . ——4分 又 PM ⊂γ,PN ⊂γ,∴ a ⊥γ. ——6分(Ⅱ)于a 上任取一点Q ,过b 与Q 作一平面交α于直线a 1,交β于直线a 2. ——7分 ∵ b ∥α,∴ b ∥a 1.同理b ∥a 2. ——8分 ∵ a 1,a 2同过Q 且平行于b , ∵ a 1,a 2重合. 又 a 1⊂α,a 2⊂β,∴ a 1,a 2都是α、β的交线,即都重合于a . ——10分 ∵ b ∥a 1,∴ b ∥a . 而a ⊥γ,∴ b ⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的,该部分不给分.证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ,过P 作直线a ′⊥γ.——1分∵ α⊥γ,P ∈α, ∴ a ′⊂α.同理a ′⊂β. ——3分 可见a ′是α,β的交线.因而a ′重合于a. ——5分 又 a ′⊥γ,∴ a ⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点,过b 和该点作平面与α交于直线c .同法过b 作平面与β交于直线d . ——7分∵ b ∥α,b ∥β.∴ b ∥c ,b ∥d . ——8分 又 c ⊄β,d ⊂β,可见c 与d 不重合.因而c ∥d .于是c ∥β. ——9分 ∵ c ∥β,c ⊂α,α∩β=a ,∴ c ∥a . ——10分 ∵ b ∥c ,a ∥c ,b 与a 不重合(b ⊄α,a ⊂α),∴ b ∥a . ——11分 而 a ⊥γ,∴ b ⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的,该部分不给分.(28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.解法一如图,以MN 所在直线为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,设以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ,焦点为M (-c ,0),N (c ,0). ——1分 由tg M =21,tg α=tg(π-∠MNP )=2,得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x -c ).将此二方程联立,解得x =35c ,y =34c ,即P 点坐标为(35c ,34c ). ——5分在△MNP 中,|MN |=2c ,MN 上的高为点P 的纵坐标,故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件S △MNP =1,∴ c =23,即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635,. ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM , ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN . 得 ()21521=+=PN PM a . ——10分 又 b 2=a 2-c 2=343415=-,故所求椭圆方程为 .1315422=+y x ——12分 解法二同解法一得23=c ,P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635,. ——7分 ∵ 点P 在椭圆上,且a 2=b 2+c 2.∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b . 化简得3b 4-8b 2-3=0.解得b 2=3,或b 2=31-(舍去). ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=.故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ∵ ∠P =∠α-∠PMN ,∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ. ∴ ∠P 为锐角.∴ sin P =53,cos P =54. 而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1,∴ |PM |·|PN |=310. ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ,|MN |=2c ,由余弦定理, (2c )2=|PM |2+|PN |2-2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2-2|PM |·|PN |(1+cos P ) =(2a )2-2·310-2·310·54, ∴ c 2=a 2-3,即b 2=3. ——7分又 sin M =51,sin N =52,由正弦定理,P MN MPN NPM sin sin sin ==,∴PMN MN PN PM sin sin sin =++.即53251522ca =+, ∴ a =5c . ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a .∴ a 2=415. 故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分古今中外有学问的人,有成就的人,总是十分注意积累的。
1993年全国高考文科试题
93年全国高校招生数学统一考试题(文)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为:( )(A)(B)(C)3/2 (D)2(2)函数y=(1-tg22x)/(1+tg22x)的最小正周期是:( )(A)π/4 (B)π/2 (C)π(D)2π(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是:( )(A)45°(B)60°(C)90°(D)120°(4)当z=(1+i)/2时,z100+z50+1的值是:( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是:( )(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB:( )(A)有最大值1/2和最小值0(B)有最大值1/2,但无最小值(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为:( )(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35(8)当F(x)=[1+2/(2x-1)]f(x) (x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x):( )(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数(9)设直线2x-y-=0与y轴的义点为P,把圆(x+1)2+y2=25的直径分为两段,则其长度之(A)7/3或3/7 (B)7/4或4/7(C)7/5或5/7 (D)7/6或6/7(10)若a、b是任意实数,且a>b,则:( )(A)a2>b2(B)b/a<1(C)lg(a-b)>0 (D)(1/2)a<(1/2)b(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间:( )(A)(π/2,π) (B)(π/4,3π/4)(C)(π,3π/2) (D)(3π/4,5π/4)(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为:( )(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则:( )(A)ab>0,bc>0 (B)ab>0,bc<0(C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0(14)如果圆柱轴截面的周长L为定值,那么圆柱体积的最大值是:( )(A)(L/6)3π(B)(L/3)3π(C)(L/4)3π(D)[(L/4)3π]/4(15)展开所得的x多项式中,系数为有理数的共有:( )(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么:( )(A)1/c=1/a+1/b (B)2/c=2/a+1/b(C)1/c=2/a+2/b (D)2/c=1/a+2/b(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡配方式有:( )(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种(18)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点(如图).若θ为直线CM与D1N所成的值为:( )(A)1/9 (B)2/3 (C)(D)二、填空题:把答案填在题中横线上.(19)抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为,则焦点到AB的距离为________。
1993年全国统一高考数学试卷(理科)
1993年全国统一高考数学试卷(理科)一、选择题(共17小题,每小题4分,满分68分)1.(4分)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是()A.2πB.C.πD.2.(4分)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为()A.B.C.D.23.(4分)(2012•北京模拟)和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.﹣3x+4y﹣5=0D.﹣3x+4y+5=04.(4分)极坐标方程所表示的曲线是()A.焦点到准线距离为的椭圆B.焦点到准线距离为的双曲线右支C.焦点到准线距离为的椭圆D.焦点到准线距离为的双曲线右支5.(4分)在[﹣1,1]上是()A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数6.(4分)的值为()A.B.C.D.7.(4分)(2002•广东)设集合M=,N=,则()A.M=N B.M⊂N C.M⊃N D.M∩N=ΦA.B.C.D.9.(4分)参数方程(0<θ<2π)表示( )A . 双曲线的一支,这支过点B . 抛物线的一部分,这部分过 C . 双曲线的一支,这支过点D . 抛物线的一部分,这部分过10.(4分)若a 、b 是任意实数,且a >b ,则( )A . a 2>b 2B .C . l g (a ﹣b )>0D .11.(4分)一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2﹣8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为( )A . 圆B . 椭圆C . 双曲线的一支D . 抛物线12.(4分)圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是( )A .B .C .D .13.(4分)(+1)4(x ﹣1)5展开式中x 4的系数为( ) A . ﹣40B . 10C . 40D . 4514.(4分)直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周 A . 2π B . C .D . 16.(4分)(2014•黄山一模)设有如下三个命题:甲:相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l 、m 中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17.(4分)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有()A.6种B.9种C.11种D.23种二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)18.(4分)=_________.19.(4分)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,则实数k的取值范围为_________.20.(4分)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有_________种取法(用数字作答).21.(4分)设f (x)=4x﹣2x+1,则f﹣1(0)=_________.22.(4分)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为_________.23.(4分)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度.三、解答题(共5小题,满分58分)24.(10分)已知f(x)=log a(a>0,a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求使f(x)>0的x取值范围.25.(12分)已知数列S n为其前n项和.计算得观察上述结果,推测出计算S n的公式,并用数学归纳法加以证明.26.(12分)已知:平面α∩平面β=直线a.α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.求证:(1)a⊥γ;(2)b⊥γ.27.(12分)在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=﹣2.建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.28.(12分)设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),,并且,,求θ.1993年全国统一高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共17小题,每小题4分,满分68分)1.(4分)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是()A.2πB.C.πD.考点:三角函数中的恒等变换应用.分析:把三角函数式整理变形,变为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再用周期公式求出周期,变形时先提出,式子中就出现两角和的正弦公式,公式逆用,得到结论.解答:解:∵f(x)=sinx+cosx=(=,∴T=2π,故选A点评:本题关键是逆用公式,抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.2.(4分)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为()A.B.C.D.2考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:由双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,能求出a,c,从而得到该双曲线的离心率.解答:)D.﹣3x+4y+5=0A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.﹣3x+4y﹣5=0借助斜率,比较简单.4.(4分)极坐标方程所表示的曲线是()A.焦点到准线距离为的椭圆B.焦点到准线距离为的双曲线右支C.焦点到准线距离为的椭圆D.焦点到准线距离为的双曲线右支考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:利用圆锥曲线统一的极坐标方程,求出圆锥曲线的离心率和焦点到准线距离,从而确定选项.解答:解:将原极坐标方程为,化成:极坐标方程为ρ=,对照圆锥曲线统一的极坐标方程得:e=>1,表示双曲线,且焦点到准线距离为.故选B.点评:本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程,属于基础题.5.(4分)在[﹣1,1]上是()A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数考点:幂函数的性质.专题:数形结合.分析:做出幂函数的图象,根据幂函数的图象与性质:可得在[﹣1,1]上的单调性和奇偶性.解答:点评:本题主要考查幂函数的图象与性质,幂函数是重要的基本初等函数模型之一.学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图象语言,熟记幂函数的图象、性质.6.(4分)的值为()A.B.C.D.考点:极限及其运算.专题:计算题.分析:分子分母都除以n2,原式简化为,由此可得到的值.解答:解:==.点评:本题考查数列的极限,解题时要注意正确选用公式.7.(4分)(2002•广东)设集合M=,N=,则()A.M=N B.M⊂N C.M⊃N D.M∩N=Φ考点:集合的包含关系判断及应用.分析:从元素满足的公共属性的结构入手,首先对集合N中的k分奇数和偶数讨论,易得两集合的关系.解答:解:当k=2m(为偶数)时,N==当k=2m﹣1(为奇数)时,N===M∴M⊂N故选B点评:本题主要考查集合表示方法中的描述法.A.B.C.D.考点:三角函数中的恒等变换应用.分析:从题目的结构形式来看,本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式,但是题目又不完全符合,因此有一个整理的过程,整理发现,刚才直观的认识不准确,要前后两项都用积化和差,再合并同类项.解答:解:原式=]==,故选A点评:在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.本题开始考虑时差点出错,这是解题时好多同学要经历的过程.9.(4分)参数方程(0<θ<2π)表示()A.双曲线的一支,这支过点B.抛物线的一部分,这部分过C.双曲线的一支,这支过点D.抛物线的一部分,这部分过考点:参数方程化成普通方程.专题:计算题.分析:将参数方程化为普通方程,然后再对A、B、C、D进行判断;解答:解:∵x=|cos+sin|,∴x2=1+sinθ,∵y=(1+sinθ),∴y=x2,是抛物线;当x=1时,y=;故选B.点评:此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.A.a2>b2B.C.l g(a﹣b)>0 D.专题:综合题.分析:由题意可知a>b,对于选项A、B、C举出反例判定即可.解答:解:a、b是任意实数,且a>b,如果a=0,b=﹣2,显然A不正确;如果a=0,b=﹣2,显然B无意义,不正确;如果a=0,b=﹣,显然C,lg>0,不正确;满足指数函数的性质,正确.故选D.点评:本题考查比较大小的方法,考查各种代数式的意义和性质,是基础题.11.(4分)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为()D.抛物线A.圆B.椭圆C.双曲线的一支考点:双曲线的定义.专题:计算题.分析:设动圆P的半径为r,然后根据⊙P与⊙O:x2+y2=1,⊙F:x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r,再两式相减消去参数r,则满足双曲线的定义,问题解决.解答:解:设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F(4,0),半径为2.依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|﹣|PO|=(2+r)﹣(1+r)=1<|FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选C.点评:本题主要考查双曲线的定义.12.(4分)圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是()A.B.C.D.考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).专题:计算题;综合题.分析:设出圆柱的底面半径和高,求出体积表达式,通过求导求出体积的最大值.解答:解:圆柱底面半径R,高H,圆柱轴截面的周长L为定值:当R=,圆柱体积的有最大值,圆柱体积的最大值是:V=πR2﹣2πR3=故选A.点评:本题考查旋转体的体积,导数的应用,是中档题.13.(4分)(+1)4(x﹣1)5展开式中x4的系数为()A.﹣40 B.10 C.40 D.45考点:二项式定理的应用.专题:计算题.分析:先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和,再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数.解答:解:展开式中x4的系数是下列几部分的和:的常数项与(x﹣1)5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与(x﹣1)5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与(x﹣1)5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为(x﹣1)5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r(﹣1)r=(﹣1)r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40(﹣C51)++C44(﹣C53)=45故选项为D点评:本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用.14.(4分)直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π,则旋转体的体积为()A.2πB.C.D.考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).专题:计算题.分析:由题意可知,这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积,而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积.再根据题目中的条件求解即可.解答:解:这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公式q≠1,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8<a4+a5C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16.(4分)(2014•黄山一模)设有如下三个命题:甲:相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l、m中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.点评:本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断,考查逻辑推理能力.17.(4分)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有()A.6种B.9种C.11种D.23种考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题;压轴题.分析:首先计算4个数字填入4个空格的所有情况,进而分析计算四个数字全部相同,有1个数字相同的情况,有2个数字相同情况,有3个数字相同的情况数目,由事件间的相互关系,计算可得答案.解答:解:根据题意,数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,共A44=24种填法,其中,四个数字全部相同的有1种,有1个数字相同的有4×2=8种情况,有2个数字相同的有C42×1=6种情况,有3个数字相同的情况不存在,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种,故选B.点评:本题考查排列、组合的运用,注意此类题目的操作性很强,必须实际画图操作,认真分析.二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)18.(4分)=.考点:任意角的三角函数的定义.专题:计算题.分析:利用两角和正玹公式展开,利用反三角函数值的求法,即可求出答案解答:解:sin(arccos+arccos)=sin(arccos)cos(arccos)+cos(arccos)sin(arccos)==故答案为;点评:本题考查三角函数求值,不过学生对反三角函数不是很理解,希望学生能抓住实质,加大训练量.19.(4分)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,则实数k的取值范围为{k|或}.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:解答:解:∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,∴|3k|>1,∴.解得或.实数k的取值范围为{k|或}.答案为{k|或}.点评:熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解.20.(4分)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有100种取法(用数字作答).考点:组合及组合数公式;排列、组合的实际应用.分析:根据题意,将这10个数分为奇数与偶数两个组,每组各5个数;分析可得,若取出的四个数的和为奇数,则取出的四个数必有1个或3个奇数;分别求出两种情况下的取法情况数,相加可得答案.解答:解:根据题意,将这10个数分为奇数与偶数两个组,每组各5个数;若取出的四个数的和为奇数,则取出的四个数必有1个或3个奇数;若有1个奇数时,有C51•C53=50种取法,若有3个奇数时,有C51•C53=50种取法,故符合题意的取法共50+50=100种取法;故答案为100.点评:本题考查利用组合解决常见计数问题的方法,解本题时,注意先分组,进而由组合的方法,结合乘法计数原理进行计算.21.(4分)设f (x)=4x﹣2x+1,则f﹣1(0)=1.考点:反函数.专题:计算题.分析:欲求f﹣1(0),根据反函数的定义知,只要求出使等式4x﹣2x+1=0,成立的x的值即可.解答:解:∵4x﹣2x+1=0,2x(2x﹣2)=0,∴2x﹣2=0得:x=1.∴f﹣1(0)=1.故答案为1.点评:本题主要考查了反函数的概念,属于基础题之列.22.(4分)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为1760.考点:函数模型的选择与应用.专题:应用题;压轴题.分析:本不等式求出此函数式的最小值即可.解答:解:设长x,则宽,造价y=4×120+4x×80+×80≥1760,当且仅当:4x×80=×80,即x=2时取等号.故答案为:1760.点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.23.(4分)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为30度.考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:计算题;压轴题.分析:二面角的度量关键在于作出它的平面角,取CD的中点M,连接PM、EM,因为PD=PC,所以PM⊥CD;同理因为ED=EC,所以EM⊥CD,故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角.解答:解:设正方形的边长为2,取CD的中点M,连接PM、EM,∵PD=PC,∴PM⊥CD∵ED=EC,∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角.在△PME中:PE=1,PM=,EM=2,∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为:30.点评:本小题主要考查棱锥的结构特征,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.三、解答题(共5小题,满分58分)24.(10分)已知f(x)=log a(a>0,a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求使f(x)>0的x取值范围.分析:(1)求对数函数的定义域,只要真数大于0即可,转化为解分式不等式.(2)利用奇偶性的定义,看f(﹣x)和f(x)的关系,注意到和互为倒数,其对数值互为相反数;也可计算f(﹣x)+f(x)=0得到.(3)有对数函数的图象可知,要使f (x)>0,需分a>0和a<0两种境况讨论.解答:解:(1)由对数函数的定义知.如果,则﹣1<x<1;如果,则不等式组无解.故f(x)的定义域为(﹣1,1)(2)∵,∴f(x)为奇函数.(3)(ⅰ)对a>1,log a等价于,①而从(1)知1﹣x>0,故①等价于1+x>1﹣x,又等价于x>0.故对a>1,当x∈(0,1)时有f(x)>0.(ⅱ)对0<a<1,log a等价于0<.②而从(1)知1﹣x>0,故②等价于﹣1<x<0.故对0<a<1,当x∈(﹣1,0)时有f(x)>0.点评:本题考查对数函数的性质:定义域、奇偶性、单调性等知识,难度一般.25.(12分)已知数列S n为其前n项和.计算得观察上述结果,推测出计算S n的公式,并用数学归纳法加以证明.考点:数列递推式;数学归纳法.专题:证明题.分析:观察分析题设条件可知.然后再用数学归纳法进行证明.解答:======由此可知,当n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)可知,等式对任何n∈N都成立点评:本题考查数列性质的综合应用,解题时要注意数学归纳法的证明步骤,注意培养计算能力.26.(12分)已知:平面α∩平面β=直线a.α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.求证:(1)a⊥γ;(2)b⊥γ.点评:本题考查证明线面垂直的证明方法.27.(12分)在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=﹣2.建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.考点:椭圆的标准方程.专题:计算题;压轴题.分析:以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标,根据tanM=,tanα=tg(π﹣∠MNP)=2,得直线PM和PN的直线方程,将此二方程联立解得x和y,可知点P的坐标,根据,|MN|=2c,MN上的高为点P的纵坐标,根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c,则点P的坐标可得.由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|,进而根据椭圆的定义求得a,进而求得b,则椭圆方程可得.解答:解:如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,得.又b2=a2﹣c2=,故所求椭圆方程为.点评:本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.28.(12分)设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),,并且,,求θ.考点:复数代数形式的混合运算.专题:压轴题.分析:化简ω,利用,求出θ的三角函数值,再用,来验证ω,从而求出θ的值.解答:解法一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一九九三年全国高考数学试题理科试题一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为2,焦距为6,那么离心率是 ( C ) (A )23 (B )26 (C )23(D )2 (2)函数xtg xtg y 212122+-=的最小正周期是 ( B ) (A )4π (B )2π (C )π (D )π2 (3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥的轴截面顶角是 (A )450 (B )600 (C )900 (D )1200 ( C ) (4)当21i z --=时,150100++z z 的值等于 ( D )(A )1 (B )-1 (C )i (D )-i(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是 ( C ) (A ))(a b arctg - (B ))(ba arctg - (C ))(ab arctg --π (D ))(ba arctg --π(6)在直角三角形中两锐角为A 和B ,则sinAsinB ( B ) (A )有最大值21和最小值0 (B )有最大值21,但无最小值 (C )即无最大值也无最小值 (D )有最大值1,但无最小值 (7)在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则2313log log a a +=++103log a ( B )(A )12 (B )10 (C )8 (D )5log 23+ (8))0)(()1221()(≠-+=x x f x F x是偶函数,且)(x f 不恒等于零,则)(x f (A )是奇函数 (B )是偶函数 ( A ) (C )可能是奇函数也可能是偶函数 (D )不是奇函数也不是偶函数(9)曲线的参数方程为⎩⎨⎧≤≤-=+=)50(.1,2322t t y t x ,则曲线是 ( A ) (A )线段 (B )双曲线的一支 (C )圆弧 (D )射线 (10)若b a ,是任意实数,且b a >,则 ( D ) (A )22b a > (B )1<ab (C )0)lg(>-b a (D )b a )21()21(< (11)已知集合}sin |{},20,sin cos |{θ<θθ=π≤θ≤θ<θθ=tg F E ,那么F E ⋂为区间 ( A )(A )),2(ππ (B ))43,4(ππ (C ))23,(ππ (D ))45,43(ππ (12)一动圆与两圆:x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 ( C ) (A )抛物线 (B )圆 (C )双曲线的一支 (D )椭圆 (13)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是.. (A )三棱锥 (B )四棱锥 (C )五棱锥 (D )六棱锥( D )(14)如果圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( A )(A )π3)6(l(B )π3)3(l (C )π3)4(l (D )π3)4(41l(15)由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 ( B )(A )50项 (B )17项 (C )16项 (D )15项(16)设c b a ,,都是正数,且c b a 643==,那么 ( B ) (A )b a c 111+= (B )b a c 122+= (C )b a c 221+= (D )ba c 212+= (17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 ( B ) (A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )23种 (18)已知异面直线b a 与所成角为500,P 为空间一定点,则过点P 且与b a ,所成的角都是300的直线有且仅有 ( B ) (A )1条 (B )2条 (C )3条 (D )4条 二.填空题:本大题共6小题;每小题3分,共18分。
把答案填在题中横线上。
(19)抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴,若AB 的长为34,则焦点到AB 的距离为________________. [答]:2(20)在半径为30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为1200。
若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m (精确到0.1m ). [答]:17.3(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共_________种(用数字作答). [答]:4186(22)建造一个容积为8m 3,深为2m 的长方体无盖水池。
如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为_______元. [答]:1760(23)设124)(+-=x x x f ,则)0(1-f =__________ [答]:1(24)已知等差数列}{n a 的公差d>0,首项∑=+=>ni i i n a a S a 111,1,0则=∞→n n S lim ____________[答]:da 11 三.解答题:本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。
(25)(本小题满分8分) 解不等式.01log )5(log 2221>+-+xx 解:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧><><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>-.41,0,5.0)]5(41[log ,0,0521x x x x x x x x 或解得 所以原不等式的解集为}54|{}10|{<<⋃<<x x x x (26)(本小题满分8分)如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,过点A 1、B 、C 1的平面和平面ABC 的交线记作L 。
(Ⅰ)判定直线A 1C 1和L 的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A 1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=900,求顶点A 1到直线L 的距离。
解:(Ⅰ)L ∥A 1C 1证明如下:根据棱柱的定义知平面A 1B 1C 1和平面ABC 平行。
由题设知直线A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1, 直线L=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1,根据两平面平行的性质定理 有L ∥A 1C 1(Ⅱ)过点A 1作A 1E ⊥L 于E ,则A 1E 的长为点A 1到L 的距离。
连接AE ,由直棱柱的定义知 A 1A ⊥平面ABC∴直线AE 是直线A 1E 在平面ABC 上的射影。
又L 在平面ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有AE ⊥L 由棱柱的定义知A 1C 1∥AC ,又L ∥A 1C 1,∴L ∥AC 作BD ⊥AC 于D ,则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高,且BD=AE , 从而512=⨯==AC BC AB BD AE 在Rt △A 1AE 中,∵A 1A=1,∠A 1AE=900, ∴.5132121=+=A A AE E A 故点A 1到直线L 的距离为.513 (27)(本小题满分10分)A 1C 1 B 1 ADE L C B在面积为1的△PMN 中,2,21-==tgN tgM .建立适当的坐标系,求出以M ,N 为焦点且过点P 的椭圆方程。
解:建立直角坐标系如图:以MN 所在直线为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴设所求的椭圆方程为12222=+by a x分别记M 、N 、P 点的坐标为 (-c,0),(c,0)和(x 0,y 0) ∵tg α=tg(π-∠N )=2 ∴由题设知⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)(2)(210000c x y c x y 解得)34,35(343500c c P c y c x 即⎪⎩⎪⎨⎧== 在△PMN 中,MN=2c MN 上的高为c 34∴S △PMN =)332,635(,23134221P c c c 即=∴=⨯⨯ 3152)(||2020=++=y c x PM 315)(||2020=+-=y c x PN 3215)||(|21222=-==+=∴c a b PN PM a 从而 故所求椭圆方程为1315422=+y x (28)(本小题满分12分)Y设复数,2arg ,33||,1)(1),0(sin cos 44π<ω=ω+-=ωπ<θ<θ+θ=已知zz i z 求θ。
解:θ+θ+θ--θ--=θ+θ+θ-+θ--=ω4sin 4cos 1)4()4cos(1]sin [cos 1)]sin()[cos(144i i i ,121125,332)2(,26arg ),6sin 6(cos 33,12712,332)1(,033|2|||)4cos 4(sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222π=θπ=θ-=θπ<π=ωπ+π=ωπ=θπ=θ=θπ<θ<=θ=ωθ+θθ=θθ+θθθ+θ=或得时当适合题意得这时都有或得时当故有tg i tg tg i tg i i舍去不适合题意得这时都有,,2611arg ),611sin 611(cos 33π>π=ωπ+π=ωi .12712)2(),1(π=θπ=θ或可知综合 (29)(本小题满分10分)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根α、β.证明:(Ⅰ)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b 且|b|<4;(Ⅱ)如果2|a|<4+b 且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2. 证法一:依题意,设二次方程有两个实根βα,,所以判别式.042≥-=∆b a 不妨取)(21)(21∆+-=β∆--=αa a (Ⅰ)4||||,2||,2||<αβ=∴<β<αbba b a b a a b a a a b a a a a a +<∴+<<+-++<-+-<-+<∆≤-<∆≤<∆+-∆--<-4||2),4(48)4(4,8164,8164,40,40.2)(21),(2122222由此得平方得且(Ⅱ),4|)|4(21||,4||,4||2<+<∴<+<b a b b a.2||,2||,22,44.4,0,)4(168)4||2(44;042222<β<α<β≤α<-∴<∆+-≤∆--<-±<∆∴≥∆±=+±=--<-=∆>±得得又且a a a a a a a a b a a证法二:(Ⅰ)根据韦达定理4||||<αβ=b因为二次函数b ax x x f ++=2)(开口向上,.2||,2||<β<α 故必有,0)2(>±f.4||2.42,024);4(2,024b a b a b a b a b a +<∴+<>+-+->>++(Ⅱ)由0244||2>+++<b a b a 得)1(,0)2(,0222>>++f b a 即)2(0)2(,0)2()2(0242>->+-+->+-f b a b a 即及由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在区间(-2,2)之外若两根α,β均落在(-2,2)之外则与4||||<αβ=b 矛盾若α(或β)落在(-2,2)外,则由于4||||<αβ=b ,另一根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与(1),(2)式矛盾 综上所述α,β均落在(-2,2)内.2||,2||<β<α∴文科试题一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。